第8章hust 电路理论

∑I
∑U
17
∑
I km e jω t = 0
km
=0
∑I
k
相量形式 Ukm = Ukm∠φk
km
Uk = Uk ∠φk
∑u (t )= 0
k
=0
∑U
k
=0
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8.2.4 电路的相量模型
1.电阻 （Resistor）
iR(t) + uR(t) R 时域
iR(t) = IRmcos(ω t+φi) uR(t) =URmcos(ω t+ φ u) uR(t)=RiR(t)
° ° °
i
U
超前方向 Leading direction 135º
º I2 -150
.
V
u leads i1 165º
-30º
I1
.
i2 lags i1 120º
+1
I 2 = 5 ∠ − 150 ° A
i
滞后方向 Lagging direction
u = 100 2 sin( 2t − 135 ° ) = 100 2 cos( 2t − 135 ° − 90 ° ) = 100 2 cos( 2t − 225 ° ) = 100 2 cos( 2t − 225 ° + 360 ° ) = 100 2 cos( 2t + 135 ° )V U = 100 ∠ 135 ° V
0
u 2 (t ) d t
2. 正弦电流、电压的有效值
或
5
U m = 2U
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8.2 相量法
8.2.0 相量-复数运算(P178)
1.复数的表示形式
代数式 指数式 极坐标式 三角函数式
Im y r z
z = x + jy
z = re z = r ∠φ
z = r (cos φ + jsin φ)
= 380 2Sin(314t + 30° ) (V)
∴ U s = 380 V
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8.2 相量法
8.2.1 正弦量与相量的对应关系 u2 u1 u1+u2 →u3
角频率
(幅值)
ω
u, i
u1
O
最大值 U1m 初相位
u2 U2m
ω
u ω3= u1 +u2 U3m ωt
φ1
φ2
φ3
结论
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需 确定初相位和有效值。因此采用变换的思想
模相除角相减
7
O
-z2
z1-z2
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Re
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8.2 相量法
8.2.0 相量-复数运算(P178)
2. 复数运算 ③ 倒数运算 ④ 共轭运算
1 1 1 = jφ = ∠-φ z re r
z ∗ = x − jy
3. 用相量表示正弦量的基础——欧拉公式
e jφ = cos φ + j sin φ
cos φ = Re ⎡e jφ ⎤ , sin φ = Im ⎡e jφ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
z1±z2 =(x1 ± y2)+ j (x1±y2) O Im z1+z2 z1-z2 z2 z1 Im z2 z1 Re
②乘除运算 —— 采用极坐标式
z1 z2 = r1∠ϕ1 ir2∠ϕ2 = r1r2∠(ϕ1 + ϕ2 )
模相乘角相加
z1 r1∠ ϕ 1 r1 = = ∠( ϕ 1 − ϕ 2 ) z 2 r2 ∠ ϕ 2 r2
jφ
φ
O
x
Re
z = re jφ = r (cos φ + jsin φ) = r ∠φ = x + jy y 2 2 φ = arctan z = r＝ x + y x y = r sin φ x = r cos φ
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8.2 相量法
8.2.0 相量-复数运算(P178)
2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式

us (t) = us1 (t) − us2 (t) = 220 2sin(314t ) − 220 2sin(314t − 120° )
= 220 2 ⎡ sin(314t ) − (sin(314t )cos120° − cos(314t )sin120° )⎤ ⎣ ⎦
= 220 2 ⎡ sin( 314t )cos30 ° + cos( 314t ) sin30 ° ⎤ ⎣ ⎦
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8.2 相量法
8.2.1 正弦量与相量的对应关系(P179)
1. 问题的提出 例:
us1 (t) = 220 2sin(314t)V, us2 (t) = 220 2sin(314t −120° )V
_ us1 + + _ us2 + us _
试求： us(t)及其有效值 US. 解: 根据KVL
1 Ui = U jω
2U d e jωt = 2 jωUe jωt
du ud = ↔Ud = jωU dt
例题分析 (P181 例8-2-4)
16
1 ui = ∫ udt ↔ Ui = U jω
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8.2.3 基尔霍夫定律的相量形式
1. KCL 时域 ik ( t ) = I km cos( ω t + φk ) 相量形式
⎡ ⎤ ik ( t ) = Re ⎣ Ikme j( ωt +φk ) ⎦ = Re ⎡ Ikme jωt ⎤ ⎣ ⎦
ik ( t ) = ∑ Re ⎡ Ikme jωt ⎤ = Re ∑ ⎣ ⎦
∑i
k
(t )= 0
{
}
{∑I
=0
e jωt = 0 km
}
2 . KVL 时域
uk ( t ) = U km cos( ω t + φk )
第8章 正弦稳态电路分析 谭 丹
华中科技大学 电气与电子工程学院
1
8.1 正弦量
8.1. 1正弦量的三要素
i + u _ i(t)=Imcos(ω t +φ )
0
i
i(t)=Imcos(ω t+φ)
Im
T waveform
ωt
φ
波形
(1)幅值 (Amplitude (or maximum value)) Im 反映正弦量的大小。 (2)角频率 (Angular Frequency) ω 反映正弦量变化快慢。 (3)初相位 (Initial Phase Angle ) φ 反映正弦量的计时起点。 ωt+ϕ = 相位 Phase Angle
U
U =U +U U ∠φ = U11∠φ1 2+ U 2∠φ2
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i1 ± i2 = i3
I ∠φ =1I1± 1 2±=2I 3 2 I ∠φI I ∠φ
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例题分析
例8-2
u1 (t ) = 6 2cos(314t + 30 ) V u2 (t ) = 4 2cos(314t + 60 ) V
0
ϕ = (ω t+φ u)- (ω t+φ i) ϕ = φ u-φ i
等于初相位之差 规定： ϕ ≤ 180°
φi ϕ
ωt
2. 两同频率正弦量的超前、滞后关系 ：
ϕ >0， u超前i ，或i 滞后 u (u 比 i 先到达最大值)。 ϕ <0， i 超前 u ，或u 滞后 i (i 比 u 先到达最大值)。
o
求u(t)及U
u1 u2 + _ + _
+ u _
u = u1 + u2
U = U1 + U 2
U1 = 6∠30 V U 2 = 4∠60 V
U = U1 + U 2 = 6∠30 + 4∠60
= 5.19 + j3 + 2 + j3.46 = 7.19 + j6.46 = 9.64∠41.9 V
写出个正弦量所对应的相量，作出相量图，并比较它们之间的相位关系 解：同一问题中，必须先统一函数用标准的余弦函数cosin表示
I 1 = 10 ∠ − 30 ° A
i2 = −5 2 cos( 2t + 30 ° )A = 5 2 cos( 2t + 30 − 180 )A = 5 2 cos( 2t − 150 )A
i (t ) = Re[I m e jωt ]＝Re[ 2 Ie jωt ]
旋转相量 包含了三要素：Um、 φ 、ω， 相量包含了两个要素： Um , φ。 电路常选择有效值相量表示正弦量 U ＝ U ∠ φ
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例题分析
例8-1 ：= 10 i1
例8-2-1(P179）
2 cos( 2t − 30 ° )A， i2 = −5 2 cos( 2t + 30 ° )A, u = 100 2 sin( 2t − 135 ° )V
ψ i −ψ i = −150° − ( −30° )− = −120°
2 1
ψ u −ψ i = 135° − ( −30° ) = 165°
1
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8.2 相量法
8.2.2 正弦量运算的相量方法－相量法
① 同频率正弦量的加减
•
u1 (t ) = 2 U1 cos(ω t + φ 1 ) = Re( 2 U 1 e jω t ) u2 (t ) = 2 U 2 cos(ω t + φ 2 ) = Re( 2 U 2 e jω t )