北师大版必修4 第3章 2.3 两角和与差的正切函数 作业
北师大版数学必修四同步练习：第三章 2.3 两角和与差的正切函数
[A 基础达标]1．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2解析：选B.tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A ．－13 B.13C ．－3D ．3解析：选B.a·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2＝13.3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝() A.π4 B.3π4C ．－π4D ．－3π4解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0<α<π2，π2<β<π.所以0<β－α<π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13×12＝－1.所以β－α＝3π4.4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B ＝( )A.14 B.13C.12D.53解析：选B.因为C ＝120°，则A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B， 故2331－tan A tan B ＝3，所以tan A tan B ＝13. 5．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 的形状是 ( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定解析：选A.由题意，知tan A ＋tan B ＝53， tan A ·tan B ＝13，所以tan(A ＋B )＝52， 所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， 所以C 为钝角，故选A.6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.答案：27.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________． 解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°）＝1tan 30°＝ 3. 答案： 38．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________． 解析：因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13，所以12sin α·cos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin α·cos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 答案：239．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值． 解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，② 由①②整理得⎩⎨⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115， 则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14. 10．已知A ＋B ＝45°，求证：(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，并应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)的值．解：因为tan A ＋tan B＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )且A ＋B ＝45°，即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，所以(1＋tan A )(1＋tan B )＝tan A ＋tan B ＋1＋tan A tan B＝1－tan A tan B ＋1＋tan A tan B ＝2，即(1＋tan A )(1＋tan B )＝2.因为1°＋44°＝45°，2°＋43°＝45°，…，22°＋23°＝45°，所以(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2，(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，…，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，所以原式＝2×2×2×…×2,22个 ＝222.[B 能力提升]11．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C.由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.12．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________． 解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255， 所以tan β＝sin βcos β＝－2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，又因为0<α<π2， 所以3π2<α＋β<52π， 所以α＋β＝74π. 答案：74π 13．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12，求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值． 解：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. 所以sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 14．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是210和255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝210，cos β＝255. 由于α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2 β＝55.从而tan α＝7，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－72＝－3. (2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121＋32＝－1，又0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以0＜α＋2β＜3π2，从而α＋2β＝3π4.由Ruize收集整理。
北师大版必修4《两角和与差的正切函数》练习含解析
又0<φ< ，∴tanφ＝1，∴φ＝ .
24两角和与差的正切函数
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设tanα＝ ，tanβ＝ ，且α、β角为锐角，则α＋β的值是( )
A. B. 或
C. D.
答案：C
解析：由tanα＝ ，tanβ＝ ，得tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.又α、β均是锐角，
答案：A
解析：由tanAtanB>1得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
6．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
解析：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝ ＝ ＝－1，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝ ＝ ＝－ ，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－ ＝－ .
12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共线，其中θ∈ .
A. B.
C．－ D．不确定
答案：C
解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴m≤ ，且m≠0.tan(α＋β)＝ ＝ ＝ ＝－m＋ .
∴当m＝ 时，tan(α＋β)的最小值为－ .
【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：3.2.3 两角和与差的正切函数(含答案解析)
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课时提升作业(二十五)两角和与差的正切函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若tan=3,则tanα的值为()A.-2B.-C.D.2【解析】选B.tanα=tan===-.【一题多解】选B.由tan==3得3tanα+3=1-tanα,所以tanα=-.2.(2015·宿州高一检测)的值为()A. B.C.1D.-【解析】选B.原式==tan(45°-15°)=tan30°=.3.若tanα=2,tanβ=3,且α,β∈,则α+β的值为()A.30°B.45°C.135°D.225°【解析】选C.因为tan(α+β)===-1,0<α+β<π,所以α+β=135°.4.(2015·上饶高一检测)若∠A=22°,∠B=23°,则(1+tanA)(1+tanB)的值是()A. B.2C.1+D.2(tanA+tanB)【解析】选B.因为原式=1+tanA+tanB+tanAtanB=1+tanAtanB+tan(A+B)(1-tanAtanB)=1+tanAtanB+tan45°(1-tanAtanB)=2+tanAtanB-tanAtanB=2.【补偿训练】已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanα·tanβ等于()A.4B.2C.1D.【解析】选D.因为tan(α+β)=,又tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,所以4=,所以tanαtanβ=.5.(2015·西安高一检测)在△ABC中,若0<tanBtanC<1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.由条件知,tanB>0,tanC>0,因为0<tanBtanC<1,所以1-tanBtanC>0,根据两角和的正切公式可得tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角.故选B.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1,所以B,C均为锐角,所以<1,所以cos(B+C)>0,所以cosA<0,所以A为钝角.故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.的值为________.【解析】原式===tan(30°-75°)=tan(-45°)=-1.答案:-1【补偿训练】=________.【解析】原式=tan(51°-6°)=tan45°=1.答案:17.(2015·阜阳高一检测)已知A,B都是锐角,且tanA=,sinB=,则A+B=________.【解析】因为B为锐角,sinB=,所以cosB=,所以tanB=,所以tan(A+B)===1.因为0<A+B<π,所以A+B=.答案:8.(2015·九江高一检测)已知tan=,tan(β-)=-,则tan=________. 【解析】tan=tan===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin(π+θ)=-,tanφ=,θ为第二象限角,求tan(θ-φ)的值.【解题指南】首先利用诱导公式求出sinθ,然后利用sin2θ+cos2θ=1,求出cosθ,进而求出tanθ,最后利用tan(θ-φ)=求解.【解析】因为sin(π+θ)=-sinθ=-,所以sinθ=,又因为θ是第二象限角,所以cosθ=-=-,所以tanθ==-,又tanφ=,所以tan(θ-φ)===-2.10.已知tanα与tan是方程x2+px+q=0的两根,且tanα∶tan=3∶2,求p和q的值.【解析】由已知tanα∶tan=3∶2得tanα∶=3∶2,所以2tan2α+5tanα-3=0,解得tanα=或tanα=-3.当tanα=时,tan=,此时tanα+tan=-p,tanαtan=q,所以p=-,q=.当tanα=-3时,tan=-2,p=-=5,q=tanαtan=6.所以p=-,q=或p=5,q=6.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·南昌高一检测)设A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选D.由题意知,tanA+tanB=,tanAtanB=.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=-<0.所以<C<π.所以△ABC为钝角三角形.2.(2015·汉中高一检测)已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,则tan=()A.7B.-7C.D.-【解析】选A.因为a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,故3cosx=4sinx,即tanx=,所以tan===7.【补偿训练】已知α+β=π,则(1-tanα)(1-tanβ)=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.-1=tan(α+β)=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.化简=________.【解析】因为tan(α+β)=,所以tan(α+β)(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ,即tan(α+β)-tanα-tanβ=tan(α+β)tanαtanβ,所以原式=tanβ.答案:tanβ【补偿训练】的值为________.【解析】原式===-tan(45°+15°)=-tan60°=-.答案:-4.(2015·景德镇高一检测)已知α,β,γ都是锐角,且tanα=,tanβ=,tanγ=,则α+β+γ的值为________.【解析】因为tan(α+β)===,tan[(α+β)+γ]===1.由已知可推得γ<β<α,又因为0<tanα<<,所以0<γ<β<α<,即0<α+β+γ<.故α+β+γ=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·西安高一检测)一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的最小值.【解析】因为mx2+(2m-3)x+(m-2)=0有两根tanα,tanβ,所以解得m≤,且m≠0,由一元二次方程的根与系数的关系得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,所以tan(α+β)====-m≥-=-.故tan(α+β)的最小值为-.【误区警示】解答本题时易忽视Δ≥0且m≠0,即实数m的取值范围求错而致误.6.(2015·榆林高一检测)已知tanα=-,cosβ=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值.(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.【解析】(1)tanα=-,cosβ=,β∈(0,π),所以sinβ=,所以tanβ=2.所以tan(α+β)===1.(2)因为tanα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,所以f(x)=(sinxcosα-cosxsinα)+cosxcosβ-sinxsinβ=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修四北师大版 3.2.3两角和与差的正切函数 作业2 含答案
双基达标 (限时20分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )．A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.答案 A2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)的值等于( )．A.13 B ．1 C. 3 D. 6解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3[tan 30°(1－tan 10°·tan 20°)]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 答案 B3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )． A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 解析 由题意知tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，∴C ＝π3. 答案 A4.tan 20°tan (－50°)－1tan 20°－tan 50°的值为________．解析 原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan (50°－20°)＝1tan 30°＝3. 答案35．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，tan 2α和tan 2β的值分别为________和________．解析 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47. tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)·tan (α－β) ＝3－51＋3×5＝－18. 答案 －47 －186．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)， 所以sin α＝110，cos α＝－310. f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x ，所以f (x )的最大值为 5.综合提高 (限时25分钟)7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3等于( )．A ．1B ．－1 C. 3 D ．－ 3 解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β＋π6－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝1. 答案 A8．已知tan α＝17，tan β＝13，0＜α＜β＜π2，则α＋2β等于( )． A.5π4 B.π4 C.5π4或π4 D.7π4 解析 先求α＋2β的某一三角函数值，显然选择正切较简单． ∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34，∴tan(α＋2β)＝17＋341－328＝1. ∵tan α＝17＜1，∴0＜α＜π4.∵tan 2β＝34＜1， ∴0＜2β＜π4.∴0＜α＋2β＜π2.∴α＋2β＝π4. 答案 B9．在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，tan C 的值为________．解析 由已知tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13.∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2. 答案 210．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________. 解析 cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β＝15. ① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，。
数学北师大版必修4课件：3-2-3 两角和与差的正切函数
三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 两角和与差的正切公式
[填一填] tanα＋tanβ
(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ (Tα＋β)． tanα－tanβ
(2)两角差的正切：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ (Tα－β)． 公式 Tα±β 的记忆规律： 公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是
∵0<α<π2，π<β<32π， ∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝54π.
——易错警示—— 给值求角中的易错误区 则 2α【－例β＝5】__－__34已_π_知__.tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)， 【错解】 π4或54π
【正解】 由于 tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13， 所以 α∈(0，π4)①， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1－12＋12×13 13＝1， 而 β∈(π2，π)①，所以 2α－β∈(－π，0)②， 故 2α－β＝－34π.
若 tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则 α＋β＝74 π. 解析：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ，
∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1， ∴tan(α＋β)＝t1a－nαttaannαβt－an1β＝－1. ∵α＋β∈(π，2π)， 又 tan(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝74π.
北师大版数学必修四课件：第3章§2 2.3 两角和与差的正切函数
tan tan tan( ) 记：T + 1 tan tan
得到： tan( )
理解：
tan tan 1 tan tan
T( α + β )
1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正 切的积. 3.公式成立的条件是：
tan tan T : tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角 正切的积. 3.公式成立的条件是：
k
学会恰当赋值、逆用公式等技能.
复习
1、两角和、差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差的正弦公式
C
C
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k
2
且 k
2
且 k
2
k Z .
tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
用 代替 得到
tan tan tan 1 tan tan
2.3 两角和与差的正切函数
1.知识目标：
（1）掌握两角和与差的正切公式的推导 ；
（2）掌握公式的正、逆向及变形运用 ； （3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决
2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数练习(含解析)北师大版必修4
2.3 两角和与差的正切函数填一填两角和与差的正切公式展开式 记法 和的正切tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βT (α＋β)差的正切tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βT (α－β)判一判1.存在α、β，使tan(α－β)＝tan α－tan β.( )2．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan π2＋tan α1－tan π2·tan α.( ) 3．tan(α－β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.( )4．对任意α、β，T (α－β)适合．( )5．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )6．对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )7．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )8．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )想一想1.公式T (α±β)提示：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形有哪些？提示：(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.(2)公式的特例： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 思考感悟：练一练1.已知tan α＝4A.711 B ．－711 C.713 D ．－7132．已知tan α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4－α＝( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－123．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.564.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.知识点一给角求值1.11＋tan 15°＝( )A.33B. 3 C ．1 D.122．tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37°＝________.知识点二 给值求值3.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－4＝5，则tan α＝________. 4．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)．知识点三 给值求角5.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝4，且β∈(0，π)，则β的值为________．6．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．综合知识 与韦达定理的联系7.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π2，则α＋β＝________.基础达标一、选择题1．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3C ．4 D.4332．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2 4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．35．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )A ．－47 B.47C.18 D ．－186．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．37．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4B.3π4 C ．－π4 D ．－3π48．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B ＝( )A.14B.13C.12D.53 二、填空题9．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________． 10.tan 20°tan －50°－1tan 20°－tan 50°＝________.11．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________. 12．已知tan(α＋β)＝3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，那么tan β＝________. 三、解答题13．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值．14．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．能力提升 15.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12， 求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值． 16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 2．3 两角和与差的正切函数一测 基础过关判一判1．√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.× 7．√ 8.× 练一练1．B 2.D 3.A 4. 3 二测 考点落实1．解析：1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan 30°＝33.答案：A2．解析：∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23° tan37°＝ 3. 答案： 33．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝15， 所以tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：324．解析：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0.∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan α·tan α－β ＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan α·tan α－β ＝34＋121－34×12＝2.5．解析：解法一：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋β·tan α＝7－341＋7×34＝1， 又因为β∈(0，π)，所以β＝π4.解法二：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，将tan(α＋β)＝7，tan α＝34代入上式得7＝34＋tan β1－34tan β，解得tan β＝1.因为β∈(0，π)，所以β＝π4.答案：π46．解析：因为tan α＝17<1且α为锐角，所以0<α<π4.又因为sin β＝1010<5010＝22且β为锐角． 所以0<β<π4，所以0<α＋2β<3π4.①由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， 所以tan β＝13.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12，所以tan(α＋2β)＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.7．解析：因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.答案：－2π3三测 学业达标1．解析：tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A.答案：A2．解析：因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.答案：D3．解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.答案：B4．解析：a ·b ＝2cos α－sin α＝0得tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan α·ta nπ4＝2－11＋2＝13.答案：B5．解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋β·tan α－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.答案：A6．解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.答案：A7．解析：由题知tan α＝12，tan β＝－13，0<α<π2，π2<β<π，∴0<α－β<π，∴tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β·tan α＝－13－121－13×12＝－1∴β－α＝3π4.答案：B8．解析：∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，故2331－tan A tan B＝3， ∴tan A tan B ＝13.答案：B9．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.答案：210．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan 50°－20° ＝1tan 30°＝ 3. 答案： 311．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝35－131＋35×13＝29.答案：2912．解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2， 则tan α＝13，又tan(α＋β)＝tan β＋tan α1－tan αtan β＝3，所以tan β＝43.答案：4313．解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.14．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β ＝13＋121－13×12＝1.因为tan β＝－17，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝12>0，得α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2， 所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.15．解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.所以sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β- 11 - ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin β－αcos β－α＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 16．解析：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝210，cos β＝255. 由于α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.从而tan α＝7，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－72＝－3. (2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121＋32＝－1，又0<α<π2，0<β<π2， 所以0<α＋2β<3π2，从而α＋2β＝3π4.。
2020-2021学年北师大版数学必修4学案：3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含解析
2.3两角和与差的正切函数考纲定位重难突破1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．2.掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.重点：两角和与差的正切公式及其应用．难点：两角和与差的正切公式的推导及变形应用.授课提示：对应学生用书第62页[自主梳理]两角和与差的正切公式[双基自测]1．若α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)＝()A．－1B．1 C.32D．－32解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋131－12×13＝1.答案：B2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于()A．－3 B．－13C．3 D.13解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D3．tan 75°＝________.解析：tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°·tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.答案：2＋ 3授课提示：对应学生用书第62页探究一利用两角和与差的正切公式求值[典例1]已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．[解析]∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34，又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋(－34)×12＝－2.若已知α，β的正弦、余弦的值，求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正弦、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α，tan β，而后应用α±β的正切公式．若已知α，β的正切值，则直接应用正切公式求解即可．1．求下列各式的值．(1)tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°；(2)3－tan 15°1＋3tan 15°；(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.(3)原式＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.探究二 利用和与差的正切公式求角[典例2] 已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值．(2)角α＋β的值． [解析] (1)若tan α＝13，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝3π4.(1)求值．计算待求角的正切函数值．(2)求范围．借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，注意角的范围越小越好．(3)求角．借助角的范围及角的三角函数值求角．2．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π，π)，求α＋β的值． 解析：由韦达定理，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵α，β∈(－π，π)，∴α＋β∈(－2π，2π)， ∴α＋β＝－53π，－23π，π3，43π.探究三 综合应用问题[典例3] 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tanA tanB ，判断△ABC 的形状．[解析] tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，而0°＜A ＜180°，∴A ＝120°.而tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33.而0°＜C ＜180°，∴C ＝30°.∴B ＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．利用和差角公式判断三角形形状：首先应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，其次注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．3．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又因为tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－ 3.因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根．解该方程得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4.所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.给值求角中的易错误区[典例] 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.[解析] 由于tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，且α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4 又由tan β＝－17，且β∈(0，π)，得β∈(π2，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，所以2α－β＝－34π.[答案] －3π4[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为π4，5π4这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该 ①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围． 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版高中数学高一必修4学案第三章2.3两角和与差的正切函数
2．3 两角和与差的正切函数预习课本P121～122，思考并完成以下问题 1．两角和与差的正切公式是什么？2．和与差正切公式中α，β，α＋β，α－β满足条件是什么？[新知初探]两角和与差的正切公式名称 公式简记符号 使用条件两角和的正切tan(α＋β) ＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T α－β)α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z)(1)公式T α±β中tan α，tan β，tan(α±β)必须都有意义，因此α，β，α±β均不能为k π＋π2，k ∈Z.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝tan π2＋tan α1－tan π2tan α( ) (2)tan(α－β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β( )答案：(1)× (2)×2．若tan α＝3，tan β＝43，则1tan (α－β)等于 ( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13解析：选C 1tan (α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝53－43＝3.3．tan(－165°)的值为( )A ．2＋3B ．－2－ 3C ．2－ 3 D.3－2 解析：选C tan(－165°)＝－tan 165°＝－tan(45°＋120°) ＝－tan 45°＋tan 120°1－tan 45°tan 120°＝－1－31－(－3)＝2－ 3.4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于________．解析：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，∴tan αtan β＝12.答案：12化简求值问题[典例] (1)若α＋β＝π3，tan α＋3(tan αtan β＋c )＝0(c 为常数)，则tan β＝________；(2)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________． [解析] (1)∵α＋β＝π3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan α＋3tan αtan β＋3c ＝3－tan β＋3c ＝0，∴tan β＝3(c ＋1)．(2)∵tan 60°＝ 3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. [答案] (1)3(c ＋1) (2)3化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． [活学活用]tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 3 解析：选D ∵tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－ 3.给值求值(角)题点一 1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tan α＋β2的值．解：由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－513， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－43，tan ⎝⎛⎭⎫α2－β＝512， ∴tanα＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2－tan ⎝⎛⎭⎫α2－β1＋tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－43－5121－43×512＝－6316.题点二 给值求角2．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵tan β＝－17，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， ∴tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α] ＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1. ∴2α－β＝－3π4.给值求值(角)问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[注意] 求角时要注意角的范围判断．层级一 学业水平达标1．若tan 28°·tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°＝ ( )A.3mB.3(1－m )C.3(m －1)D.3(m ＋1)解析：选B tan 28°＋tan 32°＝tan(28°＋32°)·(1－tan 28°tan 32°)＝3(1－m )． 2．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 ( ) A ．2＋ 3 B ．1 C ．2－ 3 D. 3 解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 3．已知sin x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于 ( ) A.17B ．7C ．－17 D ．－7解析：选B ∵sin x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos x ＝－35，tan x ＝－43，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －tanπ41＋tan x tanπ4＝7. 4．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为 ( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.5．化简：cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝ ( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选C 原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.6．若tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 解析：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝1＋121－12＝3. 答案：37．tan π9＋tan 2π9＋3tan π9·tan 2π9的值为________．解析：tan π9＋tan 2π9＋3tan π9·tan 2π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π9＋2π9⎝⎛⎭⎫1－tan π9·tan 2π9＋3tan π9tan 2π9 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan π9·tan 2π9＋3tan π9·tan 2π9 ＝ 3. 答案： 38．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：19．已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝⎛⎭⎫－34×12＝－2.10．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12. (1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值．解：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12， ∴1＋tan α1－tan α＝12，∴2＋2tan α＝1－tan α， ∴tan α＝－13.(2)2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－13－12＝－56. 层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B ＞1，知tan A ＞0，tan B ＞0，从而A ，B 均为锐角． 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＜0，即tan C ＝－tan(A ＋B )＞0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．2．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是 ( )A ．2 B.12C ．－1D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3， 所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B.法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tanπ4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4 ＝tan α＝12.故选B.3．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为 ( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.4．已知tan θ和tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ 是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 间的关系是 ( ) A ．p ＋q ＋1＝0 B ．p －q －1＝0 C ．p ＋q －1＝0 D ．p －q ＋1＝0 解析：选D 由题意得tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝－p ， tan θtan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝q ，而tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤θ＋⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ1－tan θtan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，从而1－q ＝－p ，即p －q ＋1＝0.5．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3的值为________． 解析：依题意，tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 答案：2－ 36．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.解析：由已知得：sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24° ⇒(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0 ⇒sin θ＝cos θ⇒tan θ＝1，∴tan(θ＋60°)＝1＋31－3＝－2－ 3.答案：－2－37．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)．解：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β)1－tan α·tan(α－β)＝34＋121－34×12＝2.8．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝2π3，②tanα2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β，使得①α＋2β＝2π3，②tanα2·tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tanα2＋tan β1－tanα2tan β＝ 3.又tanα2tan β＝2－3，所以tanα2＋tan β＝3－3，因此tanα2，tan β可以看成是方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－ 3.若tanα2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．所以tanα2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4.所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.。
2020-2021学年北师大版数学必修4作业：第三章 2.3 两角和与差的正切函数 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17D ．7解析：∵α∈(π2，π)，sin α＝35， ∴tan α＝－34， tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11＋34＝17.答案：C2．求值：1－tan 15°1＋tan 15°＝( )A.12B. 3C.33D.32解析：1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.故选C.答案：C3．在△ABC 中，C ＞90°，则tan A tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A tan B ＞1 B ．tan A tan B ＜1 C ．tan A tan B ＝1D ．不能确定解析：∵C ＞90°，∴0°＜A ＋B ＜90°， ∵tan(A ＋B )＞0，tan A ＋tan B ＞0， ∴1－tan A tan B ＞0， ∴tan A tan B ＜1. 答案：B4．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7D ．－17解析：因为sin α＝45，α是第二象限角，所以cos α＝－35.所以tan α＝－43. 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以1＝－43＋tan β1＋43tan β⇒tan β＝－7. 答案：C5．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β的值为( ) A.91050 B.31010 C ．－1010D.131050解析：因为α，β为锐角，且cos α＝45，所以sin α＝35，所以tan α＝34.又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝34－tan β1＋34tan β＝－13，所以tan β＝139，即sin βcos β＝139，因为β为锐角，所以13cos β＝91－cos 2β， 整理得cos β＝91050. 答案：A6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.解析：∵tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13， 则tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12－131－12×(－13)＝17 答案：177．tan 21°＋tan 39°＋3tan 21°·tan 39°＝________. 解析：tan(21°＋39°)＝tan 60°＝3， ∴tan 21°＋tan 39°1－tan 21°·tan 39°＝ 3.∴tan 21°＋tan 39°＋3tan 21°tan 39°＝ 3. 答案： 38．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________． 解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255，所以tan β＝sin βcos β＝－2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1， 又因为0<α<π2， 所以3π2<α＋β<52π， 所以α＋β＝74π. 答案：74π9．在△ABC 中，已知tan A 与tan B 是方程2x 2＋9x －13＝0的两个根，求tan C 的值．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝－92，tan A tan B ＝－132，∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A tan B ＝－－921＋132＝35.10．已知tan α＝13，tan β＝－2(0＜α＜π2，π2＜β＜π)．求：(1)tan(α＋β)；(2)tan(2α－β)；(3)tan 2α.解析：(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21－13×(－2)＝－1.(2)∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21＋13×(－2)＝7，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β) 1－tan αtan(α－β)＝13＋71－13×7＝－112.(3)tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝－1＋71－(－1)×7＝68＝34.[B组能力提升]1．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝()A．2 B．－2 C．1 D．－1解析：∵α＋β＝3π4，∴－1＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，∴tan α＋tan β＝－1＋tan α·tan β，∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 答案：A2．设α，β∈(0，π2)，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于()A.π3 B.π4C.3π4D．－π4解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)．∴α－β＝－π4.答案：D3．若α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：由已知得tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)，∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4.又0＜β＜π2，∴β＝π4－α.∴α＋β＝π4.∴tan(α＋β)＝1.答案：14．设0<β<α<π2，且cos α＝17，cos(α－β)＝1314，则tan β的值为________．解析：由0<β<α<π2，可得0<α－β<π2，又cos α＝17，cos(α－β)＝1314，得sin α＝1－cos2α＝43 7，sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝33 14，则tan α＝43，tan(α－β)＝33 13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan αtan(α－β)＝43－33131＋43×3313＝ 3.答案： 35．已知tan α，tan β为方程x 2－3x －3＝0的两根． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求sin 2(α＋β)－3sin(2α＋2β)－3cos 2(α＋β)的值． 解析：(1)由韦达定理知⎩⎨⎧tan α＋tan β＝3tan αtan β＝－3，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.∴tan(α＋β)＝31＋3＝34. (2)原式＝cos 2(α＋β)[tan 2(α＋β)－6tan(α＋β)－3] ＝11＋tan 2(α＋β)[tan 2(α＋β)－6tan(α＋β)－3] ＝(34)2－6×34－31＋(34)2＝－11125. 6．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1. (1)求角A 的值；(2)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝－3，求tan C 的值．解析：(1)∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∵0＜A ＜π， ∴－π6＜A －π6＜5π6. ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝tan B ＋11－tan B＝－3，解得tan B ＝2.又∵A＝π3，∴tan A＝ 3.∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A tan B＝－2＋31－23＝8＋5311.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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10．设一元二次方程 mx2＋(2m－1)x＋(m＋1)＝0 的两根为 tan α，tan β，求 tan(α＋β)的 取值范围．
参考答案
1 答案：A 2 答案：B 3 答案：B 4 答案：B 5 答案：D 6 答案：
3
2 3
7 答案： 3 8 答案：
9 答案：18 m 10 答案：(－∞，－1)∪ 1, 4
1．若 tan α＝3，则 tan 4．若 A＝15° ，B＝30° ，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )． A．1 B．2 C．－1 D．－2 5．设 A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x2－5x＋1＝0 的两个实 数根，则△ABC 是( )． A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3 ＝ 3 tan Atan B，则 C＝__________．
课后训练
13 )． 的值为( 4 1 1 A．－2 B．2 C． D． 2 2 2 1 2．已知 tan(α＋β)＝ ， tan ，则 tan 的值等于( )． 5 4 4 4 13 3 13 3 A． B． C． D． 18 22 22 18 2 3 ，则 tan Atan B 的值为( 3．在△ABC 中，∠C＝120° ，tan A＋tan B＝ )． 3 1 1 1 5 A． B． C． D． 4 3 2 3
tan 20 tan50 1 7． ＝__________． tan20 tan50 1 8．已知 tan =2 ，求 的值． 2sin cos cos 2 4
北师大版必修4高中数学3.2.3《两角和与差的正切函数》练习题
【金榜教程】2018年高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数检测试题 北师大版必修4(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·邯郸高一检测)已知tan α=12，tan(α-β)=25-,那么tan(2α-β)的值为( )(A)34- (B)98 (C)98- (D)1122.已知α+β=34p,则(1-tan α)(1-tan β)的值等于( )(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 3.已知实数a ，b 均不为零，asin bcos tan acos bsin a +a =b a -a ，且β－α=6p ，则ba等于( )4.(2011·承德高一检测) 设tan θ、tan(4p-q )是方程x 2+px+q=0的两个根，则p 、q 之间的关系为( )(A)p+q+1=0 (B)p-q+1=0 (C)p+q-1=0 (D)p-q-1=0二、填空题(每小题4分，共8分) 5.已知sin α=45，tan(α+β)=1，且α是第二象限的角，那么tan β的值等于________．6.已知△ABC tanAta nB-tanA-tanB=则∠C=_______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知tan α与tan β是一元二次方程3x 2+5x-2=0的两个根，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°．求tan(α-β)的值.8.角α、β(0＜α＜β＜π)的终边与单位圆分别交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为10、5-.试求： (1)tan(α-β)；(2)α-2β. 【挑战能力】(10分)是否存在两个锐角α,β满足(1)α+2β=23p ；(2)tan tan 22ab =-α,β的值；若不存在，说明理由．答案解析1.【解析】选D.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]tan tan()1tan tan()a +a -b =-a a -b12()12512121()25+-==--g . 2.【解析】选A.∵α+β=34p ,∴tan(α+β)= tan tan 1tan tan a +b -a b=-1, 则tan αtan β-tan α-tan β=1,(1-tan α)(1-tan β)=1-tan α-tan β+tan αtan β =1+tan αtan β-(tan α+tan β)=1+1=2. 3.【解析】选B. tan β=tan(α+6p) tan tantan 61tan tan 6p a +a +==p -a btan asin bcos a b acos bsin 1tan aa +a +a ==a -a -a.∴b a =. 4.【解析】选B.由题意及韦达定理可得：tan tan 4p tan tan()tan 41tan tan 2p-q p -=q+-q =q+p +q 2tan 11tan q+=+q， tan tan 4q tan tan()tan 41tan tan 4p-qp =q -q =q p +q g gg2tan tan 1tan q-q=+q， ∴22tan 1tan tan p q 11tan 1tan q+q-q-+=+=+q +q，∴p-q+1=0.5.【解析】sin α=45，α是第二象限的角， ∴cos α=35-，tan α=43-，∴41tan()tan 3tan tan[()]741tan()tan 13+a +b -a b =a +b -a ===+a +b a -－. 答案:-76.【解析】由题知tanA tanB1tanAtanB+=--又0＜A+B ＜π,∴A+B=23π,∴C=π-A-B= 3p.答案: 3p7.独具【解题提示】根据一元二次方程可以求出它的两个根，然后再根据角的范围确定tan α和tan β的值，从而可求tan(α-β)的值；也可以根据韦达定理写出tan α+tan β和tan αtan β的值，表示出tan α-tan β，再用公式求tan(α-β)的值. 【解析】方法一:一元二次方程3x 2+5x-2=0的两个根x 1=13,x 2=-2. ∵0°＜α＜90°， 90°＜β＜180°， ∴tan α=13,tan β=-2. ∴tan tan tan()1tan tan a -ba -b =+a b73721()3==+-.方法二：由一元二次方程根与系数的关系有: tan α+tan β=53-,tan αtan β=23-，∵(tan α-tan β)2=(tan α+tan β)2-4tan αtan β25249()4()339=--?=. ∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180° ∴tan α-tan β＞0，∴tan α-tan β=73. ∴tan tan tan()1tan tan a -ba -b =+a b73721()3==+-.8.【解析】(1) 由已知条件及三角函数的定义可知， 0＜α＜2 ＜β＜π，cos α=10，cos β=5- . 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin a =， 同理可得sin β=5，因此tan α=7，tan β=12-. 所以17tan tan 2tan()311tan tan 172+a -b a -b ===-+a b -?. (2)tan(α-2β)=tan[(α-β)-β]132111(3)()2-+==-+-?.又0＜α＜2p , 2p＜β＜π. ∴-2π＜α-2β＜2p-， 得α-2β=54p-. 独具【误区警示】求解过程中，往往容易忽略对角范围的判断或者是范围判断不准确而导致出错.【挑战能力】 【解析】由(1)得23a p +b =，tan tan2tan()21tan tan2a+ba+b=-b∴tan tan22tan tan32ìaïïb=-ïïíïaï+b=-ïïïî，∴tan22tan1ìaïï=-ïíïïb=ïîtan2tan12ìïb=-ïïíaï=ïïïî(∵024a p＜＜，∴ta n2a≠1，舍去)，∴64ìpïïa=ïïíïpïb=ïïïî为所求满足条件的两个锐角．独具【方法技巧】探索性问题的求解方法:本题属于条件探索性问题.求解时，先假设结论成立，采用执果索因的方式利用已有的知识建立等量关系，如本题中，应充分利用(1)、(2)两个条件，通过tan(2a+β)的公式建立2与β的等量关系进而求出α,β的值，最后下结论.。
北师大必修四：3.2.3《两角和与差的正切函数》ppt课件
思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:
代入 sin15o, cos15o.
tan15o
sin15o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o 30o) sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o , cos(45o 30o) cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
三角函数值（如：sin A B 2 ,tan A B 1等），
2 再确定A B的范围即可.
证明:因为tan A 2,tan B 3, 所以 tan( A B) tan A tan B 2 3 1；
1 tan Atan B 1 2 3 又因为A，B都是锐角，所以 0 A B 180， 所以A B 135.
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )； ２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
1.掌握两角和与差的正切公式的推导及公式的正、 逆向变形及运用.（重点） 2.正确寻找角之间的关系，恰当选用公式形式解决 问题.（重点） 3.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单 的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（难点）
20152016学年高中数学北师大版必修4第3章23《两角和与差的正切函数》课时作业
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 2、3两角与与差的正切函数课时作业 北师大版必修4一、选择题1、若tan α＝3,tan β＝43,则tan(α－β)等于( )A 、－3B 、－13C 、3D 、13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13、2、若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3,则tan α等于( ) A 、－2 B 、－12C 、12 D 、2[答案] B[解析] tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan π4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12、 3、若tan α＝2,tan β＝3,且α,β∈(0,π2),则α＋β的值为( )A 、30°B 、45°C 、135°D 、225° [答案] C[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1,0<α＋β<π,∴α＋β＝135°、4、若sin α＝45,tan(α＋β)＝1,且α就是第二象限角,则tan β的值为( )A 、43B 、－43C 、－7D 、－17[答案] C[解析] 因为sin α＝45,α就是第二象限角,所以cos α＝－35、所以tan α＝－43、因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β,所以1＝－43＋tan β1＋43tan β,解得tan β＝－7、5、若∠A ＝22°,∠B ＝23°,则(1＋tan A )(1＋tan B )的值就是( ) A 、 3 B 、2C 、1＋ 2D 、2(tan A ＋tan B ) [答案] B[解析] 因为原式＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1＋tan A tan B ＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝1＋tan A tan B ＋tan45°(1－tan A tan B )＝2＋tan A tan B －tan A tan B ＝2、 6、若tan28°tan32°＝m ,则tan28°＋tan32°的值为( ) A 、3m B 、3(1－m ) C 、3(m －1) D 、3(m ＋1) [答案] B[解析] ∵tan(28°＋32°)＝tan28°＋tan32°1－tan28°tan32°,∴tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝3(1－m )、 二、填空题7、tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°＝________、 [答案]3[解析] 原式＝tan(23°＋37°)＝tan60°＝3、8、设sin α＝35(π2<α<π),tan(π－β)＝12,则tan(α－2β)＝________、[答案]724[解析] sin α＝35(π2<α<π),则tan α＝－34、tan(π－β)＝12,则tan β＝－12,tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－34＋121＋34×12＝－211,tan(α－2β)＝tan α－β－tan β1＋tan α－βtan β＝－211＋121＋211×12＝724、三、解答题9、计算下列各式的值、 (1)tan15°＋tan75°; (2)tan41°＋tan19°1－tan41°tan19°、 [分析] 观察各式的特点,设法化为特殊角的与、差正切公式计算、[解析] (1)tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝1－tan30°1＋tan30°＋1＋tan30°1－tan30°＝1－331＋33＋1＋331－33＝3－11＋3＋1＋33－1＝4、 (2)原式＝tan(41°＋19°)＝tan60°＝3、10、如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A ,B 两点、已知点A ,B 的横坐标分别为210,255、(1)求tan(α＋β)的值; (2)求α＋2β的值、[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义,可知cos α＝210,cos β＝255、 因为α为锐角,故sin α>0, 从而sin α＝1－cos 2α＝7210、 同理可得sin β＝55、因此tan α＝7,tan β＝12、 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3、(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121－－3×12＝－1、又0<α<π2,0<β<π2,故0<α＋2β<3π2,从而由tan(α＋2β)＝－1,得α＋2β＝3π4、一、选择题1、△ABC 中,tan A ·tan B >1,则△ABC 为( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定[答案] A[解析] ∵tan A ·tan B >1>0、∴tan A >0且tan B >0(否则A 、B 同为钝角,不可能), ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B <0,∴90°<A ＋B <180°,∴0°<C <90°、2、已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π,tan(α＋β)＝－2,tan(α－β)的值为( ) A 、12 B 、－12C 、－211D 、211[答案] A[解析] 先求出cos2α＝－45,∴tan2α＝－34、由于tan2α＝tan[(α－β)＋(α＋β)]＝tan α－β＋tan α＋β1－tan α－βtan α＋β＝－34,解得tan(α－β)＝12、二、填空题3、在△ABC 中,tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ,则C ＝________、 [答案]π3[解析] 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B ), ∴tan(A ＋B )＝－3、 ∵A ,B 均为△ABC 的内角, ∴0<A ＋B <π、∴A ＋B ＝2π3、∴C ＝π3、4、已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12,tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13,则tan α＋β2＝________、[答案] 17[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17、三、解答题5、已知sin(2α＋β)＝5sin β,求证:2tan(α＋β)＝3tan α、 [解析] ∵2α＋β＝α＋(α＋β),β＝(α＋β)－α, ∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α, 而5sin β＝5sin[(α＋β)－α]＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α、 由已知得sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α、 ∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α, 等式两边都除以cos(α＋β)cos α,得2tan(α＋β)＝3tan α、6、在△ABC 中,已知sin B cos A ＝3sin A cos B 且cos C ＝55,求A 的值、 [解析] 因为sin B cos A ＝3sin A cos B , 所以tan B ＝3tan A 、 又因为cos C ＝55,0<C <π, 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255, 从而tan C ＝2,于就是tan[π－(A ＋B )]＝2, 即tan(A ＋B )＝－2,亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2,又因为tan B ＝3tan A ,所以得4tan A 1－3tan 2A ＝－2,解得tan A ＝1或－13, 因为cos A >0,故tan A ＝1,所以A ＝π4、7、已知tan α＝－13,cos β＝55,α,β∈(0,π)、(1)求tan(α＋β)的值;(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值、[解析] 考查两角与与差的三角函数公式的运用与三角函数的性质、 (1)由cos β＝55,β∈(0,π),得sin β＝255, 所以tan β＝sin βcos β＝2,所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1、(2)因为tan α＝－13,α∈(0,π),所以sin α＝110,cos α＝－310、∴f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x cos β－sin x sin β ＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x 、所以f (x )的最大值为5、。
高中数学 第三章 三角恒等变形 3.2.3 两角和与差的正
2.3 两角和与差的正切函数1.已知α∈,sin α=-,则tan=( )A.-7B.-C.D.7解析:∵α∈,∴cos α=,∴tan α=-.∴tan=-.答案:B2.(2016山东日照高二统考)已知tan(α+β)=,tan,那么tan=()A. B. C. D.-解析:因为α+=(α+β)-,所以tan=tan=,故选C.答案:C3.若A=15°,B=30°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为()A.1B.2C.-1D.-2解析:由结论A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)=2.答案:B4.(2016四川成都高三模拟)若tan α=lg(10a),tan β=lg,且α+β=,则实数a的值为()A.1B.C.1或D.1或10解析:tan α+tan β=lg(10a)+lg=lg 10=1,∵α+β=,∴tan=tan(α+β)==1,∴tan αtan β=0,则有tan α=lg(10a)=0或tan β=lg=0,∴10a=1或=1,即a=或1,故选C.答案:C5.若锐角α,β使α+2β=,tantan β=同时成立,则α+β的值为()A.B.C.D.解析:∵α+2β=,∴+β=,∴tan,即tan+tan β=,∴tan,tan β是x2-x+=0的两个根,解得tan=tan β=.又α,β均为锐角,∴=β=,故α+β=.答案:B6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则tan的值为.解析:依题意,tan θ==-1,∴tan=2-.答案:2-7.已知tan α=,tan(α-β)=,则tan β=.解析:因为tan α=,tan(α-β)=,所以tan β=tan[α-(α-β)]==-.答案:-8.导学号03070137(2015浙江调研)已知α∈,且tan=3,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sinα+cos α)=.解析:利用两角和的正切公式得tan=3,∴tan α=.∴log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=log5=log5=log55=1.答案:19.已知tan α=3.(1)求tan的值;(2)求的值.解:(1)tan.(2)由tan α=3,得cos α≠0,所以=4.10.已知tan α=-,cos β=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.解:(1)∵cos β=,β∈(0,π),∴sin β=,∴tan β=2,∴tan(α+β)==1.(2)∵tan α=-,α∈(0,π),∴sin α=,cos α=-,∴f(x)=(sin x cos α-cos x sin α)+(cos x cos β-sin x sin β)=-sin x-cos x+cos x-sin x=-sin x.又-1≤sin x≤1,∴f(x)的最大值为.11.导学号03070138在△ABC中,求证:tantan+tantan+tantan=1.证明:左边=tan+tantan=tantan+tantan=tantan+tan·tan=tan+tantan=1=右边.故原等式成立.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的正切
3.2 两角和与差的正切函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若A A tan 1tan 1+-=4+5，则tan （4π-A ）的值为（ ）A.54--B.54+C.541+-D.541+解析：tan （4π-A ）=54tan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan+=+-=•+-AAAAππ.答案：B2.计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_____________. 解析:tan60°=tan（20°+40°）=340tan 20tan 140tan 20tan =︒︒-︒+︒，则tan20°+tan40°=3（1-tan20°tan40°）=33-tan20°tan40°， 因此tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 答案:3 3.当α=40°时,)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-•---++=________________.解析:原式=tan ［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=3-. 答案:3-10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如果tan （α+β）=52，tan （β-4π）=41，那么tan （α+4π）等于（ ） A.1813 B.2213 C.223 D.183 解析：tan （α+4π）=tan ［（α+β）-（β4π-）］=2234152152=•+.答案：C 2.已知34tan 1tan 1+=+-αα，则cot （4π+α）的值等于（ ）A.34+B.34-C.34--D.34+-解析:由)4tan(tan 4tan1tan 4tantan 1tan 1απαπαπαα-=+-=+-,可知，tan （4π-α）=34+. 而4π-α与4π+α互为余角， 则有cot （4π+α）=tan （4π-α）=34+.答案：A 3.︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_________________.解析：原式=︒︒+︒-︒-=+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan 115tan 115tan =-tan （45°-15°）=33-. 答案:33-4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2. 证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=︒︒-︒+︒23tan 22tan 123tan 22tan .∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°. 左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边. 5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 解:tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］ =7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα.tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］ =8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=+++--+βαβαβαβα.tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若0＜α＜2π,0＜β＜2π,且tanα=71,tanβ=43,则α+β等于（ ）A.6πB.4πC.3πD.43π解析:∵tanα=71,tanβ=43,∴tan(α+β)=4371147tan tan 1tan tan ⨯-=-+βαβα=1. 又∵0<α<2π,0<β<2π,∴0<α+β<π.而在(0,π)内只有tan 4π=1.∴α+β=4π.答案:B2.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC 等于（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4解析:由于tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根， 根据韦达定理，有tanA+tanB=38-，tanA·tanB=31-. 则tanC=tan ［π-（A+B ）］=-tan （A+B ）=2)31(138tan tan 1tan tan =----=-+-BA BA .答案:A3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________. 解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223. 4.tan70°+tan50°3-tan50°·tan70°=_______________. 解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan70°tan50° =3-(1-tan70°tan50°)3-tan70°tan50°=3-. 答案:3-5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为21、51、81，求证：α+β+γ=45°. 证明：由于tanα=21，tanβ=51， 可知tan （α+β）=97512115121tan tan 1tan tan =•-+=-+βαβα. 由题意可知tanγ=81，则tan （α+β+γ）=tan ［（α+β）+γ］=8197189tan )tan(1tan )tan(•-=+-++γβαγβα=1. 根据α、β、γ都是锐角，且0＜tanα=21＜1，0＜tanβ=51＜1，0＜tanγ=81＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,得0＜α+β+γ＜135°. 所以，α+β+γ=45°.6.求证：tan （A-B ）+tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （A-B ）·tan（B-C ）·tan（C-A ）. 证明：（A-B ）+（B-C ）=A-C. 由两角和的正切公式变形为 tan ［（A-B ）+（B-C ）］=)tan()tan(1)tan()tan(C B B A C B B A -•---+-.∴tan（A-B ）+tan （B-C ）=tan （A-C ）·［1-tan （A-B ）·tan（B-C ）］. 左=tan （A-C ）［1-tan （A-B ）·tan （B-C ）］+tan （C-A ）=tan （A-C ）-tan （A-C ）·tan （A-B ）·tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （C-A ）·tan （A-B ）·tan（B-C ）=右. 7.已知α∈(0,4π),β∈(0,π),且tan(α-β)=21,tanβ=71-，求tan(2α-β)的值及角2α-β.解:tanα=t an ［(α-β)+β］=31)71(2117121tan )tan(1tan )tan(=-⨯--=•--+-ββαββα. tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］=213112131)tan(tan 1)tan(tan ⨯-+=-•--+βααβαα=1. 又 β∈(0,π),tanβ=71-<0,∴β∈(2π,π).∵α∈(0, 4π),∴2α∈(0, 2π).∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=43-π.8.已知sinα=53 (90°＜α＜180°),cosβ=1312(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值. 解:∵sinα=53,90°<α<180°,∴cosα=43-. ∴tanα=54-.∵cosβ=1312,270°<β<360°, ∴sinβ=135-.∴tanβ=125-.∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=3356165167)125)(43(112543-=--=-----. tan(α-β)=6316)125)(43(112543tan tan 1tan tan -=--++-=+-βαβα.9.设一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的取值范围. 解:因为tanα、tanβ为方程的两根,则有Δ=(2m -1)2-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤81,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,81］. 由韦达定理得tanα+tanβ=mm 12--,tanα·tanβ=mm 1+,于是,tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan •-+=121112-=+---m mm m m . 因为2m-1≤2×81-1=-43且2m-1≠-1,所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-43］.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4第3章§22.3两角和与差的正切函数
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【解】
(1)tan 15° ＋tan 30° ＝tan(15° ＋30° )(1－tan 15° · tan 30° )
＝tan 45° (1－tan 15° · tan 30° ) ＝1－tan 15° · tan 30° ， 所以原式＝1－tan 15° · tan 30° ＋tan 15° · tan 30° ＝1.
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【自主解答】
tan 60° ＋tan 15° (1)原式＝ 1－tan 60° tan 15°
＝tan 75° ＝tan(45° ＋30° ) 3 1＋ 3 3＋ 3 9＋3＋6 3 ＝ ＝ ＝ ＝2＋ 3. 6 3 3－ 3 1－ 3
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(2)∵tan(23° ＋37° )＝tan 60° tan 37° ＋tan 23° ＝ ＝ 3， 1－tan 23° tan 37° ∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3(1－tan 23° tan 37° )， ∴原式＝ 3(1－tan 23° tan 37° )＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
又 0° <C<180° ，∴C＝30° ，∴B＝30° . ∴△ABC 是顶角为 120° 的等腰三角形．
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1.等式中同时出现 tan A± tan B 与 tan A· tan B 时，一般是构造 tan(A± B)，利 用两角和与差的正切公式求解． 2.在三角形中要注意应用 A＋B＋C＝π 这一隐含条件．
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给值求角 XXX
已知 的值.
π α∈0，4，β∈(0，π)，且
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第三章 三角恒等变形 §2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的正切函数
课后拔高提能练
一、选择题
1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝17，则sin α＝( )
A ．3
5 B ．45 C ．－35
D ．－45
解析：选A tan α＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4－11＋tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝17－1
1＋17
＝－
34， 因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，所以sin α＝35，选A ． 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝( )
A ．13
18 B ．1323 C ．723
D ．16
解析：选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
β－π4＝
35－141＋35×14
＝723. 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为( )
A ．3
2
B ．－32
C ．23
D ．－2
3
解析：选C 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2知， tan α＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4－π4＝2－11＋2＝13
. 又12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2
α＋cos 2
α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2
α＋12tan α＋1＝1
9＋123
＋1
＝106＋9＝2
3. 4．若tan α＝lg 10m ，tan β＝lg m ，且α－β＝π
4，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或1
10
D ．1或10
解析：选C ∵tan α＝lg 10m ＝1＋lg m ，tan β＝lg m ， 又α－β＝π
4， ∴tan(α－β)＝
tan α－tan β1＋tan αtan β
＝
1＋lg m －lg m 1＋(1＋lg m )lg m
＝1，
∴lg m (lg m ＋1)＝0，∴lg m ＝0或lg m ＝－1， ∴m ＝1或1
10. 二、填空题
5．(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.
解析：解法一：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16， 即6tan α－6＝1＋tan α，∴tan α＝7
5. 解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫α－π4＋π4＝
tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16
＝7
5. 答案：75
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－5π4＝
tan α－tan 5π
41＋tan α·tan
5π4
＝tan α－1
1＋tan α
＝15，解方程得tan α＝3
2.
答案：3
2
7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 解析：tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12－1
31＋12·13＝17. 答案：1
7 三、解答题
8．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．
解：∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴
tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝－3
3.
∴tan(A ＋B )＝－
33
. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π
6. 又∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， ∴tan B ＋33＋3×3
3tan B ＝ 3. ∴tan B ＝33，∴B ＝π6，从而A ＝2π
3.
∴△ABC 是等腰钝角三角形．
9．若tan α，tan β是关于x 的方程mx 2－(2m －3)x ＋m －2＝0的两个实根． (1)求m 的取值范围； (2)求tan(α＋β)的取值范围．
解：(1)∵tan α，tan β是方程mx 2－(2m －3)x ＋m －2＝0的两实根，且tan α∈R ，tan β∈R ，
∴只需⎩⎨⎧ m ≠0，Δ≥0，即⎩⎨⎧
m ≠0，
(2m －3)2
－4m (m －2)≥0. 得m ≤94且m ≠0.∴m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，94.
(2)∵tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
，
且tan αtan β＝m －2m ，tan α＋tan β＝2m －3
m ， ∴tan(α＋β)＝
2m －32＝m －3
2.
∵m ≤94且m ≠0，∴tan(α＋β)≤34，且tan(α＋β)≠－3
2.。