山西省大同市煤矿第四中学2020届高三数学下学期模拟考试试题(1)文

山西省大同市煤矿第四中学2020届高三数学下学期模拟考试试题（1）文本试卷共6 页 满分：150分 考试用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|B x y ==，则A B =I （ ） A ．}2{B ．}0{C ．[2,2]-D ．[0,2]2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知圆22:1O x y +=，直线:0l x y m ++=，若圆O 上总存在到直线l 的距离为1的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(,)-∞-+∞UB ．[-C ．(,1][1,)-∞-+∞UD ．[1,1]-4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．74尺 B ．2916尺 C ．158尺 D ．3116尺 5．已知直线x y =与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 无公共点，则双曲线离心率的取值范围 为（ ）A ．)+∞B ．(1C ．(-∞D ．]3,2[6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工表面积为（ ）A ．π5B ．π01C ．π512+D ．2412π+7．在ABC ∆中，2=∆ABC S ，5AB =，1AC =，则BC =（ ） A ．52B ．32C ．32或34D ．52或248．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为3509．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12||||PF PF λ=，若λ的最小值为21，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．31 D ．3510．已知），（20πα∈，则21tan tan 2tan ααα-+取得最小值时α的值为（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．2π 11．已知函数2()f x x ax =+的图象在21=x 处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）A ．1314B ．1514 C ．1615 D ．171612．已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ---=，(2019)f e =-，则(1)f =（ ）A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设x ，y 满足约束条件1023603260x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数y x z 2-=的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += ．14．||2a =r ，||1b =r，a r ，b r 的夹角为60︒，则b r 与2a b -r r 的夹角为 ．15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，30ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．16．已知点5cos ,25s n ()i P θθ到直线0:x y l k ++=的最大距离为25，则k = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在正项等比数列{}n a 中，已知1031=+a a ，4053=+a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a b 2log =，求数列2(}1){n n b -的前100项和100S ．18．（12分）新高考33+最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．（1）请完成下面的22⨯列联表；（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=．19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD ∆为等边三角形，AB CD ∥，M 是PD 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PCD ； （2）若122AB AD CD ===，求点M 到平面PBC 的距离．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，其焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于M 、N 两点，当l 的斜率为1时，||8MN =．（1）求p 的值；（2）在y 轴上是否存在一点P 满足OPM OPN ∠=∠（点O 为坐标原点）？若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xe f x m x=-，)(ln )(x x m x g -=． （1）设函数)()()(x g x f x F +=，若1=x 是函数)(x F 的唯一极值点，求实数m 的取值范围；（2）若函数)()(x xf x h =有两个零点1x ，2x ，证明：12()()0h x h x ''+>． 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ+-=．（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于P ，Q 22||||MP MQ +的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数()|1||2|f x x x =-++． （1）求不等式03)(≤--x x f 的解集；（2）设函数()()2|2|g x f x x =-+，若存在x 使2()2g x λλ≥-成立，求实数λ的取值范围．文科数学参考答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 【答案】A 【解析】由1244x ≤≤，得22x -≤≤，即[2,2]A =-， 由x x y -+-=22，得2=x ，所以{2}B =，所以{2}A B =I ．2． 【答案】A【解析】由(1)12z i i +=+，得1231122i z i i +==++，所以z 在复平面内对应的点位于第一象限． 3． 【答案】B【解析】若圆O 上只有一点到直线l 的距离为1时，圆心O 到直线的距离为2，故要使圆O 上总存在到直线l 的距离为1的点，则圆心O 到直线的距离2d ≤，即2≤，即m -≤≤4． 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项51=a ，前30项的和39030=S ，求公差d ， 由等差数列的前n 项公式可得，30293903052d ⨯=⨯+，解得1629d =． 5． 【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线为x a b y =，因为直线x y =与双曲线无公共点，故有1≤ab，即221b a ≤，22222211b c a e a a-==-≤，所以22≤e ，所以21≤<e ． 6． 【答案】D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5， 故每部分的表面积为11112436591262424πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+， 故两部分表面积为2412π+． 7． 【答案】D【解析】11sin 51sin 222ABC S AB AC A A ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=， 所以54sin =A ，所以53cos =A 或53-，当53cos =A时，由余弦定理可得，B C ==同理，53cos -=A时，BC =8．【答案】C【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012)501a +++++⨯=，解得0.0044a =，故A 错； 由A可知，0.0044a =，所以平均数为0.002450750.0036501250.006050⨯⨯+⨯⨯+⨯1750.0044502250.0024502750.001250325186⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；居民月用电量在[50,150)的频率为(0.00240.0036)500.3+⨯=， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060500.3⨯=， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为0.50.315050183.30.3-+⨯≈，故C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D 错误． 9． 【答案】C【解析】由12||||PF PF λ=，得12||||PF PF λ=，当1||PF 最小且2||PF 最大时，λ取得最小值21， 所以12a c a c -=+，所以c a 3=，所以离心率31==a c e ．10． 【答案】C【解析】21tan 11tan (tan )12tan 2tan ααααα-+=+≥，当且仅当ααtan 1tan =，即1tan =α时等号成立，所以α=4π． 11． 【答案】B【解析】a x x f +='2)(，则()y f x =的图象在21=x 处的切线斜率a f k +='=1)21(，由于切线与直线20x y +=垂直，则有1)1)(21(-=+-a ，则1a =， 所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111)(1+-=k k k f ， 所以11111(1)()()2231S k k =-+-++-+L ，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次， 此时1111115(1)()()223151616S =-+-++-=L ，故t 的值可以为1514．12． 【答案】C【解析】由)(x f 为R 上的奇函数，且(2)()0f x f x ---=，得(2)()f x f x -=-， 故函数)(x f 的周期为4，所以(2019)(3)(3)(1)f f f f e ==--=-=-，所以(1)f e =． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】4013-【解析】x ，y 满足约束条件1023603260x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如下图，由23603260x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得)1330,136(-A ；由103260x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，得)3,4(--B ，将目标函数化为221z x y -=，由图可知，当直线221zx y -=经过点A 时目标函数取得最小值，所以1366min -=z ； 当直线221zx y -=经过点B 时目标函数取得最大值，所以2max =z ，所以有662430131--+=． 14． 【答案】120︒【解析】222||||44||42a b a a b b =--⋅+=r r r r r r ，所以|2|2a b =-r r，设b r 与2a b -r r 的夹角为θ，则(2)1cos 2|||2|b a b b a b θ⋅-==--r r rr rr ，又因为[0,180]θ∈︒︒，所以120θ=︒． 15．【答案】π20【解析】设ABC ∆外接圆的半径为r ，则4sin 2ABA Br C ∠==，∴2r =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则222()52PA R r =+=，故外接球的表面积2420S R ππ==． 16．【答案】5-或5【解析】点P 到直线l的距离d =当0k ≥时，d ≤=，所以5k =； 当0k <时，d ≤==5k =-． 综上，5k =-或5．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在正项等比数列{}n a 中，已知1031=+a a ，4053=+a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a b 2log =，求数列2(}1){n n b -的前100项和100S ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）设公比为q ，则由题意可知：21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 又0q >，所以⎩⎨⎧==221q a ，所以11-=n n q a a =n2．（2）n b n =，∴222222100123499100S b b b b b b =-+-+--+L2222221234991003711195199=-+-+--+=+++++L L50(3199)50502+==．18．（12分）新高考33+最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．（1）请完成下面的22⨯列联表；（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题意可得列联表：（2）2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴99.5%的把握认为选择全理与性别有关．（3）设3名男生分别为1，2，3，两名女生分别为4，5．从5名学生中抽取2名所有的可能为(1,2),(1,3)，(1,4),(1,5)，(2,3),(2,4)，(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，不包含女生的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)，共3种，故所求概率3711010P =-=． 19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD ∆为等边三角形，AB CD ∥，M 是PD 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PCD ； （2）若122AB AD CD ===，求点M 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵CD ⊥平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，∴AM CD ⊥， ∵AP AD =，M 是PD 的中点，∴AM PD ⊥， 又PD CD D ⋂=，∴AM ⊥平面PCD ．（2）∵AB CD ∥，CD ⊥平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴AB PA ⊥，∴2222PB PA AB =+=同理在Rt PCD ∆中，52=PC ，在梯形ABCD 中，易得22BC =所以等腰PBC ∆底边PC 上的高为3，所以1535221=⨯⨯=∆PBC S ， 又14242PCD S ∆=⨯⨯=，∵AB CD ∥，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ， ∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，∵AM =11433B PCD PCD V S AM -∆=⋅=⨯=设点D 到平面PBC 的距离为d ，则由D PBC B PCD V V --==所以5d =．∵点M 为PD 的中点，∴点M 到平面PBC 的距离为25d =． 20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，其焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于M 、N 两点，当l 的斜率为1时，||8MN =．（1）求p 的值；（2）在y 轴上是否存在一点P 满足OPM OPN ∠=∠（点O 为坐标原点）？若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）(0,)2p F ，当直线l 的斜率为1时，其方程为2px y +=， 设),(11y x M ，),(22y x N ，由2p x y +=，得2py x -=，把2p y x -=代入抛物线方程得22304p y py -+=，所以p y y 321=+，所以12||48MN y y p p =++==，所以2p =．（2）由（1）可知，抛物线2:4C x y =，(0,1)F ，由题意可知，直线l 的斜率存在，设其方程为1+=kx y ，将其代入抛物线方程为0442=--kx x ，则k x x 421=+，421-=x x ，假设在y 轴上存在一点),0(t P 满足OPM OPN ∠=∠， 则0=+PN PM k k ，即12120y t y tx x --+=，即12211)1)0kx t x kx t x +-++-=（（， 所以0))(1(22121=+-+x x t x kx ，即0)1(=+t k ，由于R k ∈，所以1-=t ，即)1,0(-P ，即在y 轴上存在点)1,0(-P 满足POM PON ∠=∠．21．（12分）已知函数()xe f x m x=-，)(ln )(x x m x g -=． （1）设函数)()()(x g x f x F +=，若1=x 是函数)(x F 的唯一极值点，求实数m 的取值范围；（2）若函数)()(x xf x h =有两个零点1x ，2x ，证明：12()()0h x h x ''+>． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】由()(ln )x e F x m m x x x =-+-，可得1()()(0)xx e F x m x x x-'=->， ∵函数)(x F 有唯一极值点1=x ，∴0≥-m x e x ，即m x e x≥恒成立， 设)0()(>=x x e x c x ，则2)1()(xx e x c x -='， 当10<<x 时，()0c x '<，函数)(x c 单调递减；当1>x 时，()0c x '>，函数)(x c 单调递增，所以e c x c ==)1()(min ，所以e m ≤，即实数m 的取值范围是],(e -∞． （2）()()(0)xh x xf x e mx x ==-≠，∵1x ，2x 是函数)(x h 的两个零点， ∴11mx ex =，22mx ex =，∴1212x x e e m x x -=-，∴121212()()2x x x x h x h x e m e m e e m ''+=-+-=+-=1212122x x x x e e e e x x -+-⨯-．要证12()()0h x h x ''+>，即证12121220x x x x e e e e x x -+-⨯>-．设12x x >，则12121220x x x x e e e e x x -+-⨯>-等价于121212()()2()0x x x x x x e e e e -+-->，即证121212()(1)21)0x x x x x x e e ---+-->（，令12t x x =-，且0t >，即证(1)2(1)0ttt e e +-->，则)0)(1(2)1()(>--+=t e e t t m tt ，则0,1)1()(>+-='t e t t m t ,令1)1()(+-=te t t ϕ，则()0tt te ϕ'=>，故)()(t m t '=ϕ在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0m t m ''>=， 所以函数)(t m 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0m t m >=．即(1)2(1)0ttt e e +-->对任意0t >恒成立，所以12()()0h x h x ''+>．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。