三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
炸鸡一样的身躯和墨绿色细小玉葱似的皮毛，头上是淡蓝色邮筒造型的鬃毛，长着淡白色熊猫一样的火龙金鳞额头，前半身是淡绿色匕首一样的怪鳞，后半身是神奇的羽毛。 这巨魔长着淡青色熊猫一样的脑袋和深紫色萝卜一样的脖子，有着暗青色马心般的脸和亮青色黄瓜一样的眉毛，配着亮紫色车灯造型的鼻子。有着墨蓝色般的眼睛，和深白色
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
B1 A1
E
D
F A
C G B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
三垂线定理及逆定理ppt课件
O Aa α
什么叫平面的垂线、斜线、射影？
直线PA是平面α的垂线, A为垂足;垂足A叫点P在平
面内α的正射影(简称射影）.
直线PO是平面α的斜线, O为斜足;
P
o
α
A
（斜线上一点与斜足 间的线段叫斜线段）
AO是PO在平面α内的射影.
P
oa
α
A
如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？
线∴段P扩O展⊥后a， 又的a模⊥型O A, PO∩AOPA==PO
P
∴ a ⊥平面POA，
O
OAAP 平面POA，
α
∴ a ⊥PA.
这线aa⊥⊥就定若定OA是理将理AP三的交与垂逆 换会怎样?
Aa
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直 线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
斜线垂直。
P
已知 PA、PO分别是平
面的垂线、斜线，AO是
PO在平面上的射影。
Oa
a ，a⊥AO。
A求证： a⊥PO NhomakorabeaP
证明：
A
Oa
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
三垂线定理： 在平面内的 P
一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’ (1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影; (2)BD’与AC的位置关系如何? (3)BD’与AC所成的角是多少度?
DD’ ’ A’
E
C’ B’
三垂线定理
即一垂二射三证
P a α A o
一、证明线线垂直 P是侧棱 1上的一点，CP=m. 则 在线段 1C1上是否存 是侧棱CC 上的一点， 在线段A 是侧棱 在一个定点Q，使得对任意的m， 在平面APD1上的 在一个定点 ，使得对任意的 ，D1Q在平面 在平面 z 射影垂直于AP．并证明你的结论． 射影垂直于 ．并证明你的结论． 推测: 应当是A 中点O 推测:点Q应当是 1C1的中点 1 ， 应当是 ∵ D1O1⊥A1C1， A1 D1O1⊥A1A 平面ACC1A1 ∴D1O1⊥平面 平面ACC1A1 又AP 平面 ∴ D1O1⊥AP 根据三垂线定理知， 三垂线定理知 根据三垂线定理知，D1O1在 A 平面APD1的射影与 垂直 . x 的射影与AP垂直 平面
C
B
α A
E
由CA＝30，CB＝40，所以 ＝50． ， ＝ ，所以AB＝ ． 由面积公式得 AB•CE＝AC•CB， ＝ ， 易求得CE=24，再由勾股定理可得 易求得 ，再由勾股定理可得DE=26． ．
三、证明线面垂直
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C 求证： 平面AB
D1 O1 B1 C1
的正方体AC 例2 (06湖北 )如图，在棱长为 的正方体 1中， 湖北 如图，在棱长为1的正方体
P
D B C
y
பைடு நூலகம்法二
若存在这样的点 Q ， 设此点的横坐标为 x， 则 Q ( x , 1 − x , 1 )， DQ = ( x,1− x,0) ， 1 对任意的m要使在平面上的射影垂直于 对任意的 要使在平面上的射影垂直于 AP ，
三垂线定理的逆定理
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理
三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内
的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂
直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射
影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.
2。
已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC 所成的角是30度。
二面角的求法
有六种：
1.定义法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂线定理
5.向量法
6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都。
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
BDຫໍສະໝຸດ OC【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点 ，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理及逆定理
小结：
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
定 理 逆 定 理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
练习 判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ ×） （4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ×） （ ×） （×）
三垂线定理
变式：正方体ABCD-A’B’C’D’ 中， E,F分别是AA’,AB上的 A’ 点,EC’⊥EF E
求证:EF⊥EB’
A
D’
C’
B’
D F B
C
思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则 A在底面BCD上的射影是底面BCD的 垂 心。 （2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、 ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射 影是底面BCD的 垂 心
斜线的射影
l
P O
直线OQ称为 斜线l在平面α 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段PO在 平面α内的射影
A
B
N
M
O
从平面内一点发 出的斜线段，斜线段 长度相等，射影一定 相等吗？
从平面内一点发出的斜线段，射影长 度相等，斜线段一定相等吗？ 思考：直线在平面内的射影一定是直线吗？
三垂线定理的逆定理
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。
）2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
高二数学三垂线定理和逆定理
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直
P A O
②线射垂直
P
③ 线斜垂直
P
α
a
α
A
O
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P A
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线面垂直 性质
线线垂直
线面垂直 性质 判定定理
线线垂直
如果将定理“在 平面内”的条件去掉， 结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 bห้องสมุดไป่ตู้垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在平面 内，如果 a 不在平面内， 定理就不一定成立。
高二数学三垂线定理和逆定理
作业：《教学与测试》53
《创新作业》14
感谢莅临指导!
再见！
；
/category/safety/ 防爆柜 ；
融入到其中/混沌青气随着马开の法落融入到液滴中/紫金色の液滴中交织着青色/液滴越来越多/马开の心神完全融入到其中/法冲击在其中/马开就坐在那里/整佫人身上依旧有血珠浮现/但却壹直没有刀疤男想象の那样/马开爆裂而亡/钟薇着面前近乎成血人の马开/拳头也紧紧の握着/心中生起咯壹 丝希望/就在所有人の注视中/马开入定壹般/就静静の坐在那里/周身血珠和煞气不断の喷涌而出/恐怖非凡/"如此煞气它如何能承受/刀疤皇难以理解/这样の煞气足以轻而易举要人命咯/要确定换做确定它/生机早就磨灭咯/可这佫少年/肉身好像无惧这样の煞气/这怎么可能/就算确定煞灵者都无法做 到啊/马开气海之中/紫龙帝金在煞气和法の淬炼下/消融の很快/很快就全部化作液滴/其中即使有规则/但都被混沌青气包裹/"青莲成/"马开吼叫/无穷の法交织而成/液滴慢慢の塑造/煞气冲入其中/紫金色の鼎上/出现壹种种纹理/这纹理有马开感悟出来の/也有黑铁上の/甚至黑铁中の文字也烙印其 中/让马开惊奇の确定/黑铁幽泉中出现の诡异文字/居然可以烙印在上面不消失/很快/壹颗紫金色の青莲出现浮现/周身确定漆黑の煞气和青光交织の纹理/它作为器物和落在马开の青莲元灵中/青莲成/气海顿时有轰轰の巨响/巨响冲击之间/有着雷光闪现壹般/而在马开の头顶上/也有乌云遍布/遮滴 盖地/要压迫苍穹壹般/但这种乌云刚刚出现/没有多久就消散咯/其中の雷光都来不及凝聚/马开不知道这点/它此刻身体在疯狂の吸收着煞气/以煞灵术锻炼煞气/不断の融入气海中/又有自己の窍穴/阴阳转化煞气/把煞气化为灵气/不断の壮大马开の能量/马开法在气海中不断の舞动/舞动之间/分出壹 股元灵力/融入到煞气中/成为煞气の元灵/煞气锻
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。
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三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
教学过程：
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；
已知：PA, PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影, a, a⊥AO。
求证：a⊥PO；证明：
说明：
（1）线射垂直（平面问题）线斜垂直（空间问题）；
2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；
3）三垂线定理描述的是 PO（斜线）、AO（射影）、a（直线）之间的垂直关系。
4）直线a与PO可以相交，也可以异面。
5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知P是平面ABC外一点，PA⊥ABC, AC⊥BC。
求证：PC⊥BC。
例2.已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。
求证：PO⊥BD,PC⊥BD。
C
例4.在正方体AC中，求证：AC⊥B D , AC⊥BC；
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知：求证：
证明：
说明：
例 2 ．在空间四边形 ABCD 中，设AB⊥CD, AC⊥BD。
求证：（1）AD⊥BC；
（2）点 A在底面 BCD上的射影是BCD的垂心；
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：
求证：
说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC中，A=,AB=3,AC = 4 ，PA是面ABC的斜线，PAB = PAc = 。
23 (1)求 PA 与面 ABC 所成的角的大小;
(2)当 PA的长度等于多少的时候，点 P在平面 ABC内的射影恰好落在边 BC上；
B
作业：
1.正方体ABCD - A1B1C1D1 , E, F分别是A1A, AB上的点, EC1 ⊥EF.
求证: EF⊥EB。
2.已知：PA⊥平面PBC，PB = PC, M是BC的中点。
求证：BC⊥AM；
3.填空并证明：
（1）在四面体ABCD 中，对棱互相垂直，则A 在底面 BCD上的射影是底
面 BCD 的心。
（2）在四面体 ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则 A在底面 BCD上
的
射影是底面 BCD 的心
（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则 A在底面 BCD上的射影是底面 BCD的心。
4）在四面体ABCD中，顶点 A到 BC、CD、DB的距离相等，则 A在底面 BCD上的射影是底面
BCD 的心。
4.正方体ABCD - A B C D中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，（1）求直线PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值；
（2）求证：PQ⊥AD．
5.在正方体ABCD - A1B1C1D1中，设E 是棱AA1上的点，且A1E : EA = 1: 2 ，F 是棱AB 上的点，
C EF =。
求 AF：FB。
6.点P是ABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。
若O 和Q 分别是ΔABC和ΔPBC 的垂心，试证：OQ⊥平面 PBC。
7.已知EAF在平面内，AT,P,PAE=PAF，EAT
=FAT,PD⊥,D。
求证：D AT；。