例1 讨论直线与双曲线的公共点的个数
高考数学专题直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=， 或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（） (A) 4条(B) 3条(C) 2条(D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（）（A ）相交（B ）只有一个交点（C ）相离（D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49(B)29(C) 9(D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有() A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B. 2、若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1解：直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近 线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
2.3.2直线与双曲线的位置关系
相离： 相离：0个交点
Y
特殊的相交(与渐近 特殊的相交 与渐近 线平行)： 个交点 线平行 ：1个交点
O
X
判断直线与双曲线位置关系的一般思路 判断直线与双曲线位置关系的一般思路 代数法: 代数法:
把直线方程代入双曲线方程
（2次系数等于 ） 次系数等于0） 次系数等于 （2次系数不等于 ） 次系数不等于0） 次系数不等于
走向高考 若不论K为何值， 若不论 为何值，直线 y = k ( x − 2) + b 与曲线 为何值 总有公共点， 的取值范围是（ 的取值范围是 x − y =1总有公共点，则b的取值范围是（ B ）
2 2
A. − 3, 3 , B. − 3, 3 , C ( −2, 2 ) , D [ −2, 2]
弦长问题
x2 y2 − = 1 的右焦点 F2 , 例3、如图，过双曲线 、如图， 3 6 o 的直线交双曲线于A， 两点 两点， 倾斜角为 30 的直线交双曲线于 ，B两点，求|AB|。 。
分析:求弦长问题有两种方法 分析 求弦长问题有两种方法: 求弦长问题有两种方法 法一:如果交点坐标易求 如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 法一 如果交点坐标易求 可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 式代入求弦长 法二:但有时为了简化计算,常设而不求 运用韦达 法二 但有时为了简化计算 常设而不求,运用韦达 但有时为了简化计算 常设而不求 定理来处理. 定理来处理
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点） 相交（一个交点） 相交
（两个交点）（一个交点） （无交点） 两个交点） 一个交点） 无交点）
易错点19用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)
【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线224xy -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
解析：联立方程组()2214y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()22221240k xk x k -+--=（1）当210k -=时，即1k=±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。
（2）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=-=⎪⎩时即233k =±，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=->⎪⎩时，方程组有两个交点此时232333k -<<且1k ≠±。
（4）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=-<⎪⎩时即233k >或233k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
综上知当1k =±或233k =±时直线与双曲线只有一个交点，当232333k -<<且1k ≠±。
时直线与双曲线有两个交点，当233k >或233k <-时方程组无解此时直线与双曲线无交点。
【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。
直线与双曲线
一点: 二次项系数=0 （直线与渐进线平行） ②相切 一点:
③相离:
△=0
△＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
练一练
1.过点P(1,1)与双曲线 4 交点的直线 共有_______ 条. 变题:将点P(1,1)改为
x y 1 只有 一个 9 16 Y
点差法
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y 2 )( y1 y 2 ) 4
显然，x1 x2 0, y1 y2 0
A
0
P
B
y1 y2 x1 x2 4 所以有 x1 x2 y1 y2
得k=０ 所以,得直线L:y=2 经检验:此直线与双曲线相交,符合题意.
3 法二:设直线AB的方程为 y ( x 3) 3
y
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0 设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5 1 ( x1 x2 ) 2 3
F1
O
A
B
F2 x
2 | AF2 | 8 3
练习:
x2 y2 （1 ）过双曲线 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲 9 16 4 192
线交于 A、B 两点，则|AB|=
. 7
（ 2 ） 双 曲 线 的 两 条 渐 进 线 方 程 为 x 2y 0 ， 且 截 直 线
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
高考数学一轮复习双曲线的综合问题
3
＜y0＜ .
3
3
答案 （1）A
2 2
（2）设P是双曲线 － ＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝
2
2
5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案 （2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
直线与双曲线位置关系典例精析()
直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=，或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y k k y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y的通径长是 (A)49 (B) 29(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a a ==== D.2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( )A.33⎛- ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得－153<k <－1. 3、过点5)P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系一、知识要点:1．直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系 ①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
2. 直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系判断方法。
联立方程组2222=+=1y kx m x y ab ⎧⎪⎨-⎪⎩ 消去y 得到 ()2222222222=0b a k x kma x a m a b ---- 当2220,0b a k -≠∆>时，直线l 与双曲线C 有两个不同交点； 当2220,0b a k -≠∆=或2220b a k -=时，直线l 与双曲线C 有一个交点； 当2220,0b a k -≠∆<时，直线l 与双曲线C 无公共点。
3. 直线被双曲线截得弦长公式()()[]21221241x x x x k PQ -++=Ak ∆+=21 4 .中点弦问题:点差法—设端点坐标—代入双曲线方程作差—得斜率—写方程。
二．典例分析例1. 判断下列直线与双曲线的位置关系（1）2221001205x y x y --=-=与 （2）22103x y x y -+=-=与例2．（1）过定点P(0,-1)的直线与双曲线224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（2）过定点P(1,1)的直线与双曲线 224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（3）过点()2,1P 的直线与双曲线1322=-y x 有且只有一个公共点，这样的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例3．经过双曲线2213y x -=的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A ，B 两点，求1F AB ∆ 的周长。
（1F 为双曲线的左焦点）例4.（1）以P （1，8）为中点作双曲线为224=4y x -的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的关系
1、巩固双曲线的几何性质，掌握直线与 双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲 线交点个数问题。 2、掌握利用方程研究曲线的基本思想， 加深对曲线与方程关系的理解，提高分析问 题，解决问题的能力。 3、理解事物既有联系又有区别的辨证观 点，体会等价转化思想，数形结合思想的渗 透作用。
例1： 求下列直线与双曲线的交点坐标， 并在同一系中画出直线与双曲线的图形
即k=
5 2
时, 方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解
∴当k=±1或
5 2
时, 直线与双曲线仅有一个公共点
k=－1
k=1
k
5 2
5 k 2
变式: ⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围. ⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围. ⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有一 个公共点,求k的取值范围.
作业
1、复习本节内容，识记基本知识点； 2、《教与测》P77例1，例2
2、过双曲线 x
2
线的两支都相交，则直线l的倾斜角的取值范围是
y2 1 的右焦点F，作直线l与双曲 3
3、预习8.5抛物线及其标准方程
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
例3:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围. 解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解. y=kx－1 消去y整理得 由 x2-y2=4 (1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析
题的解决方法，一是代数方法，通过联立直线和双曲线方程，消元后，研究判别式的符号来研究公共点个数，该方法运算量
大，学生不易掌握；另一种方法是几何法，通过数形结合，利用直线与双曲线相切和直线与双曲线渐近线平行为临界，通过
旋转直线可得结果。
关键词：直线；双曲线；公共点；直线与曲线相交
中图分类号：G633.6
因此直线和双曲线只有一个公共点，故选D。解析二：由引
例，直线y=kx+2必过定点P（0，2），P位于双曲外线，过P且与
双曲线有唯一公共点的直线必有四条，即可选出答案D。
例题变式1：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左右两支各
有个公共点，那么实数k的取值范围是
；解析：由
x1x2=-
10 1-k2
姨15 3
，±1。解析一：将直线方程代入双曲线方程消去
y，得x2-（kx+2）2=6，即（1-k2）x2-4kx-10=0，对k≠±1，由判别
式 Δ=16k2+40（1-k2）=0，得 k= ±
姨15 3
；当 k= ±1 时 ，方 程
（1-k2）x2-4kx-10=0变化为一次方程，方程只有唯一的实根，
是设出直线方程，与圆锥曲线联立组成方程组，考虑解的个
. A数l，l因此Ri得g到h以ts下两R种es解e法rv：解ed法.一：从双曲线的图像来分
析，点P恰好在双曲线的一条渐近线上，因此，当直线与双曲
线的渐近线平行时，只有一条直线符合要求，当直线与双曲
线相切时，也只有一条直线符合要求，即x=4。因此，符合要
3 4
，不
合题意。综上所述，符合要求的直线只有能一帆风顺，到处都有
陷阱，这是代数法解决这类问题的缺点。
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
1《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计昌黎汇文二中 李小庆一、教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；2. 数形结合思想方法在解题中的应用三、教学过程：1、复习提问：双曲线的方程和性质思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数：①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2在右支上时 –2＜k ＜-1在两支上时 -1＜k ＜1所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L 与C 有两个公共点。
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线122=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;⑵k ∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上;k ∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;2⑶k ∈(1,+∞) 时没有公共点。
直线与双曲线的位置关系
2 2
2
3
12 2 +8
16( 2 +1)
2
2
＝ 1+ ·
− 2 ＝ 1+ · 2 2
2
−2
−2
( −2)
4( 2 +1)
2
＝
＝4，解得 k ＝± .
2
2
｜ −2｜
当2－ k 2≠0时， x
考点三
例3
综上可知过 P 0，2 且与双曲线2 x 2－ y 2＝1有且只有一个公共点的直线
有4条.
考点二
例2
弦长问题
如图，过双曲线2 x 2－ y 2＝6的左焦点 F 1，作倾斜角为30°的直线交双
曲线于 A ， B 两点，则｜ AB ｜＝
16 3
5
.
设 A 点坐标为( x 1， y 1)， B 点坐标为( x 2， y 2).
B. x ＋2 y －1＝0
AB ｜＝4，则下列不满足条件的直线 l 为(
B )
设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，
当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝ 3 ，
由ቐ
＝ 3，
2
−
2
2
得 y ＝±2，
= 1，
∴｜ AB ｜＝｜ y 1－ y 2｜＝4满足题意.
2 ＋ 2
2
3
6
2
所以 e ＝
＝1＋ 2 ＝ ，即 e ＝ .
2
2
2
4.
2
(2024·浙江金华模拟)过点 P (1，1)作直线 l 与双曲线 x 2－ ＝λ交于
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
高中数学 直线与双曲线的位置关系教案 新人教A版选修1-1
直线与双曲线位置关系学案巩义二中高二数学（文科）备课组一、学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路二、学习重点：直线与双曲线的位置关系三、知识链接：(1) 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？ （2）当直线与椭圆相交时，如何求弦长？ （3）涉及弦的中点问题，如何解决？ 四、问题探究1、过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。
思考：(1) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为045”， ||AB 如何变化？（2）将条件“倾斜角为030”改为“斜率为2”， ||AB ？(3) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为060”， ||AB 如何变化？ (4) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为090”， ||AB 如何变化？2、若直线2:+=kx y l 与双曲线32x —2y =1恒有两个不同的交点A 和B ，且OB OA ⋅>2(其中O 为原点)，求K 的取值范围。
练习：1、过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l ，并交双曲线于A 、B 两点，若||AB =4，则这样的直线存在（ ） A ．0条 B.1条 C.2条 D. 3条 2、已知双曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围：（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 值。
思考：直线与双曲线的位置关系的讨论，和椭圆完全一样吗？3、已知双曲线1222=-y x ，过点P(1,1)能否做一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？五、巩固练习1、经过点)2,21(且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线的条数是A ．4 B.3 C.2 D. 12、已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)0,7(F ，直线y=x-1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为 A ．14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 3、以y= 为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为（ ）A ．223y x -=1B ．223y x -=1C．222x -=–1D222x -=1 4、如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）A3 B3CD5、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A( B( C[ D[6、已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点N 在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+ B. 13- C.213+ D. 13+ 7、双曲线116922=-y x 的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线交于点B ，则ΔABF 的面积为8、已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，求实数λ的取值范围是 9、设ABC ∆是等腰三角形，0120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为10、已知双曲线1322=-y x ，直线l 过双曲线右焦点F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的斜率为1，求线段AB 的长度。
过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析
过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析作者：詹文艺来源：《教育教学论坛》2013年第41期摘要：直线与双曲线的公共点问题是直线与圆锥曲线公共点问题中相对比较复杂的，问题设置非常灵活，学生比较难理解和掌握这类问题。
本文通过对一道典型例题分析，归纳出过定点的直线与双曲线的公共点问题的本质，整理出这类问题的解决方法，一是代数方法，通过联立直线和双曲线方程，消元后，研究判别式的符号来研究公共点个数，该方法运算量大，学生不易掌握；另一种方法是几何法，通过数形结合，利用直线与双曲线相切和直线与双曲线渐近线平行为临界，通过旋转直线可得结果。
关键词：直线；双曲线；公共点；直线与曲线相交中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）41-0095-02在高中数学《圆锥曲线》一章中，经常遇到研究直线与圆锥曲线的公共点个数的问题，题目设置比较灵活，陷阱比较多，学生在处理这类问题时经常漏解，下面探讨过定点的直线与双曲线公共点问题的处理方法。
一、过定点的直线与双曲线公共点问题的代数和几何解法分析引例、过点P（4，3）作与双曲线■-■=1只有一个公共点的直线有（？摇？摇）A.1条？摇B.2条？摇C.3条？摇D.4条？摇（答案：B）对于直线与圆锥曲线的交点问题，常规处理方法不外乎是几何法和代数法，几何法就是数形结合，考虑两种情况，一是直线与双曲线相切，一是直线与双曲线的渐近线平行，代数法是设出直线方程，与圆锥曲线联立组成方程组，考虑解的个数，因此得到以下两种解法：解法一：从双曲线的图像来分析，点P恰好在双曲线的一条渐近线上，因此，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一条直线符合要求，当直线与双曲线相切时，也只有一条直线符合要求，即x=4。
因此，符合要求的直线共有两条。
这种处理方法好处是直观，通过作图分析就可以得出结论，缺点是必须考虑该点所处的位置，位置不一样得出的结果不同，这是学生比较难掌握的，也是在教学过程中普遍出现的问题。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：4.数形结合讨论直线与双曲线的公共点的个数
,
,
2.
3.选B.
3.过点P且与双曲线只有一个公共点的直线最多有4条。
练习：
1.讨论过（1，1）点的直线与双曲线 公共点的个数。
2.讨论过（1，0）点的直线与双曲线 公共点的个数。
3.若过原点的直线l与双曲线 有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是()
A. B．(－ ， )
C. D. ∪
答案：
1.
解：直线斜率不存在时，直线x=1与双曲线 有一个公共点。
解：如图，
当直线斜率在0<k<2时，直线与双曲线有两个交点。
当直线斜率在k≥2时，直线与双曲线无交点。
所以本题应选B.
规律整理：
直线过定点，
1.定点在双曲线内部：（含焦点的部分约定为双曲线内部）
直线与双曲线一定相交，交点有一个或两个；
2.定点在双曲线上：直线与双曲线相交，有两交点、一个交点；
直线与双曲线相切，有一个交点。
今天我们研究数形结合讨论直线与双曲线的公共点的个数。用代数方法判断直线与双曲线的位置关系，将直线方程与双曲线方程联立，利用方程组、判别式等求解。当直线位置比较特殊时，如过原点、过定点等，结合图形，讨论直线与双曲线的公共点的个数。
先看例个交点（C）相离（D）有两个公共点
3.定点在双曲线外：直线与双曲线相离，无交点；
直线与双曲线相切，有一个交点；
直线与双曲线相交，有两个交点或一个交点。
注意：相切和直线与渐近线平行的情况，其位置关系比较特殊，应引起重视。
再看一个例题，加深印象例
例：过点 作直线 ，如果它与双曲线 有且只有一个公共点，则直线 的条数是_______________．(4条)
解：如图：过A点可以做双曲线的两条切线，以及两条与渐近线平行的直线。
求两个二次曲线交点个数的解决策略
m(x -
2)与双曲线 M:
x2 3
-
y2 3
= 1 相交于四个点。求 m 的取值范围。
y2= m(x- 2) (4)
解:联立方程
x2 3
-
y2 3
=
1
(5)
消去 y 并化简得
x2- mx + 2m- 3= 0
(6)
判别式 = m2- 8m+ 12, x1+ x2= m, x1x2= 2m- 3
因为这个方程的根 x1, x2 必须代入(4)才能解出方程组
用判别式法讨论实数解的情况。这种转化是否等价, 是解答
正确与否的关键。
例1 已知抛物线 E: y= x 与圆 M: (x- 4)2+ y2= r2( r>
0)相交于 A、B、C、D 四个点, 求 r 的取值范围。
y= x 解:联立方程 (x - 4)2+ y2= r2 x2- 7x + 16- r2= 0 (3)
变化的对应规律, 交点个数与参数范围的关系则一目了然。
[责任编辑: 刘志军]
= (- 8)2- 12(8- 4r2)> 0 由此得 f (- 2)> 0
解得
6 3
<
r<
1
f (2)> 0
有些二次曲线的相交问题也可以用参数法。
例4 抛物线 E: y2= x 与圆 M: (x- m)2+ y2= 1 没有交 点,求 m 的取值范围。
解:圆 M: (x- m)2+ y2= 1 的参数方程为: x= m+ cos y= sin
中学生叛逆心理很强, 受各方面的影响, 在服饰穿着、语 言举止方面须强化礼仪观点。基于这一原则, 从人文角度来 处理, 应对服饰穿着进行正面的要求: ∃ 对于中学生来说现在 正是阳光灿烂, 激情飞扬的时刻, 应用色彩鲜明的运动服和简 洁大方的休闲服、校服来修饰自己。只有这样才可以迸发出 青春和朝气, 感染别人使其蓬勃向上。%对语言举止方面, 宜采 用对比方式进行教育。因为中学生现已具备分辨是非的能 力,把一些好的和坏的表达行为同时展现在学生面前, 让学生
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例１讨论直线与双曲线的公共点的个数．
分析直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题．
解联立直线与双曲线方程
消去y得，
当时，．
当时，．
由得；
由得；
由得．
所以当时，直线l与双曲线Ｃ相交于两点；
当时，直线l与双曲线Ｃ相切于一点；
当时，直线l与双曲线Ｃ相交于一点；
当时，直线l与双曲线Ｃ没有公共点，直线l与双曲线Ｃ相离．
点评该题讨论了过定（０，１）的直线系与等轴双曲线的位置关系．按是否等于０来分类讨论．容易犯的两个错误一是不讨论二次项系数为零的情况，二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零．
９．设双曲线(>0，>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于A
(1)若直线FA 与另一条渐近线交于B 点，且线段AB 被
左准线平分，求离心率;
(2)若直线FA 与双曲线的左右支都相交，求离心率e
的取值范围．
１０．直线y=kx ＋1与双曲线3x 2－y 2=1相交于两点A ．B ，
(1)当k 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点;
(2)是否存在实数k ，使A ．B 关于直线y=2x 对称?若存在，求出k;若不存在，说明理由．
（19）（本小题满分14分）
抛物线y x 2
23=-的焦点是F ，准线是直线l ，双曲线C x a y b ：222
21-=（a >0，b >0），以F 为右焦点，l 为右准线。
（I ）求双曲线C 的方程；
（II ）直线()l y k x ：=-2与双曲线C 交于A 、B 两点，若AB >62，求k 的取值范围。
（19）本小题主要考查直线、抛物线、双曲线等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力及探究问题的能力。
满分14分。
解：（I ）抛物线方程为y x 2232=-⎛
⎝ ⎫⎭⎪，顶点320，⎛⎝ ⎫⎭
⎪，焦参数p =1 ∴焦点F （2，0），准线x =1………………2分
故在双曲线C x a y b
：22221-=中c a c ==212
， ∴==-=a b c a 222222，
∵双曲线方程为x y 22
22
1-=………………4分 （II ）由()y k x x y =--=⎧⎨⎪⎩⎪22
2122
，消y ，整理得： ()
144202222-+--=k x k x k ∵直线l 与双曲线C 有两个交点
()()()
∴-≠=-+-+>⎧⎨⎪⎩
⎪⇒≠±+>⎧⎨⎩∴≠±<>10441420188011222222k k k k k k k ∆ 设()()
A x y
B x y 1122，、， 则x x k k x x k k 12221222
41421+=--⋅=---，………………8分 AB k k k =++->188
162222·………………10分
∴+>-13122k k
解之得：12
22<<k 即-<<-222k 或2222<<<>k
由<1>、<2>得：()()
k ∈----⎛
⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪2112222112，，， ………14分 20．(A)（10分）直线y ＝kx ＋1与双曲线y x 22-＝1左支交于A ，B ，直线L 经过点(－2，0)及AB 的中
点，求直线L 在y 轴上截距b 的取值范围.
20．(B)（10分）双曲线a x
22－b y 22＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝3
32，过点A(0，－b )和B(a ，0)的直线与坐标原点的距离为2
3. ① 求双曲线的方程;
② 直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一
圆上，求m 的取值范围.
20．(A)解：将y ＝k x ＋1代入y x 22-＝1得(1－k 2)x 2
－2k x －2＝0 (*) 因直线与双曲线左支交于两点，方程(*)有两相异负根.
∴⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆0
002121x x x x ⇒1＜k ＜2
又AB 中点为(k k 21-，k 2
11-)，∴直线L 的方程为y ＝2212++-k k (x ＋2)
令x ＝0，得b ＝2222++-k k ＝817(22)412+
--k
∵1＜k ＜2∴2－2＜－2)41(2-k ＋8
17＜1 ∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)⋃(2，＋∞)
20．(B) 解：①32
x －y 2
＝1 ②联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==-m kx y y x 1322得(1－3k 2)x 2－6km x －3m 2－3＝0
因直线与双曲线有两个交点
∴△＝36k 2m 2＋12(m 2＋1)(1－3k 2)＞0⇒m 2＋1－3k 2＞0……(1) 设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)
则x 1＋x 2＝k km 2316-，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k m 2
312- 设CD 中点P(x 0，y 0)，则x 0＝
k km 2313-，y 0＝k m 231- 依题意AP ⊥CD ，且A(0，－1)
∴k AP ＝k k km m 2
2313131-+-＝－k
1 ⇒3k 2＝4m ＋1…………(2) 把(2)式代入(1)式得：m 2－4m ＞0 ⇒m ＜0或m ＞4
又3k 2＝4m ＋1＞0⇒m ＞－
41 ∴－
4
1＜m ＜0或m ＞4。