质点与刚体力学 习题.ppt
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理论力学第三章刚体力学课件
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Email:fcj@
1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
电子科技大学物理电子学院 付传技
Email:fcj@
1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
工程力学习题
工程力学习题第一章质点、刚体的基本概念和受力分析一、填空题1、在力的作用下大小和形状都保持不变的物体,称之为____。
2、力使物体的机械运动状态发生改变,这一作用称为力的____。
3、力对物体的效应决定于力的大小，方向和三个因素。
4、力对物体的效应不仅决定于它的大小，而且还决定于它的方向，所以力是____。
5、作用于物体上同一点的两个力可以合成一个合力，这一个合力作用于该点，其大小和_____应以这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
6、一个力可以公解为两个力，力的分解也按平行________法则进行。
7、受二力作用的刚体处于平衡的必要充分条件是：这二力等值、反向和_____。
8、在两个力作用下处于平衡的刚体称为_____构件。
9、在任一力系中加上或减去一个______，不会影响原力系对刚体的作用效果。
10、作用在______上的力，可沿力作用线在其上移动到任何位置，而不会改变此力对的作用效应。
11、两个物体的相互作用力总是等值、反向、共线，并分别作用在两个相互作用的物体上。
12、理论力学将阻碍物体运动的限制条件称______，这些限制条件由周围的其他物体构成。
13、刚体受到_____的三个力的作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。
14、在工程上能使物体运动或能使物体具有运动趋势的力称为______。
15、柔索给予被约束物体的力总是沿着柔索中心线，其指向_____物体。
16、光滑接触面约束的约束反力必沿着接触面在该处的公法线，并_____物体。
17、如果支座和支承面之间有辊轴，这时的约束反力过辊轴中羽，其方位____于支承面，而指向不定。
18、画受力图的一般步骤是，先取_____，然后画主动力和约束反力。
19、用扳手拧紧螺母时，所施力的作用线与螺母转动轴心的_____称为力臂。
20、度量力使物体绕某一点产生转动的物体量称为____.21、力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与_____乘积。
质心运动(课堂PPT)
m1l1m2l2（杠杆关系）
m1 x1
l1
xC
l2
m2 x2
x
xC就是m1和m2的质心位置
m 1 (x C x 1) m 2(x 2 x C ) xCm 1 m x1 1 m m 2 2x2m 1x1M m 2x 4 2
二.质心坐标
推广到3维质点系，若n个质点的位矢为
r1,r2, rn,
质点系总质量 Mmi
作用在质点系上的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积
质心的运动状态变化只由系统所受 的合外力决定，与内力无关。
（质心运动定理本身只对惯性系成立!）
10
质心的运动满足： F r合外Marc
质心能作为质点系 整体运动的代表!
11
五.质心动量变化定理
质心运动定理：
F 合 外 d(M dv C t)M a c
2
旋轮线:教材P25习题1.4
• 质点系运动 质心运动＋各质点相对于质心的运动3
§6-1 质心动量定理
一. 质心
质心 — 质点系统的质量中心
对质点系, 总有一特殊点，其运动和质点系的所 有质量集中于该处的质点运动相同 质心
以质点系各点质量为权重的系统位置的平均值
以两质点系统为例：
若有一点xC，使
若质心系是非惯性系，则质心系中有:
F 合 F 外 惯 m a '（c质心系中的质心运动定律） 而a 'c0（质 心系中质心的加速度为零）
F 合 外 F 惯 0
在质心非惯性系中惯性力和外力完全抵消，
故系统总动量守恒，且恒为零。
16
§6-2. 质心动能定理
M aCF 合 外
若F合
外 0x，则 a C0
m1 x1
l1
xC
l2
m2 x2
x
xC就是m1和m2的质心位置
m 1 (x C x 1) m 2(x 2 x C ) xCm 1 m x1 1 m m 2 2x2m 1x1M m 2x 4 2
二.质心坐标
推广到3维质点系，若n个质点的位矢为
r1,r2, rn,
质点系总质量 Mmi
作用在质点系上的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积
质心的运动状态变化只由系统所受 的合外力决定，与内力无关。
（质心运动定理本身只对惯性系成立!）
10
质心的运动满足： F r合外Marc
质心能作为质点系 整体运动的代表!
11
五.质心动量变化定理
质心运动定理：
F 合 外 d(M dv C t)M a c
2
旋轮线:教材P25习题1.4
• 质点系运动 质心运动＋各质点相对于质心的运动3
§6-1 质心动量定理
一. 质心
质心 — 质点系统的质量中心
对质点系, 总有一特殊点，其运动和质点系的所 有质量集中于该处的质点运动相同 质心
以质点系各点质量为权重的系统位置的平均值
以两质点系统为例：
若有一点xC，使
若质心系是非惯性系，则质心系中有:
F 合 F 外 惯 m a '（c质心系中的质心运动定律） 而a 'c0（质 心系中质心的加速度为零）
F 合 外 F 惯 0
在质心非惯性系中惯性力和外力完全抵消，
故系统总动量守恒，且恒为零。
16
§6-2. 质心动能定理
M aCF 合 外
若F合
外 0x，则 a C0
大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件
5
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
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例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
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例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
运动力学刚体与质点的碰撞问题
运动力学刚体与质点的碰撞问题碰撞是物体相互作用的一种常见形式，而运动力学中的刚体和质点碰撞问题则是研究碰撞过程中物体运动状态变化的一种重要方法。
本文将围绕着运动力学刚体与质点的碰撞问题展开讨论，探究碰撞过程中所涉及的基本概念、运动方程以及碰撞后的结果等内容。
一、碰撞的基本概念碰撞是指两个或多个物体之间发生直接接触并互相作用的过程。
在物理学中，碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞两种情况。
弹性碰撞是指碰撞物体之间能量和动量都得到保持的碰撞，而非弹性碰撞则是在碰撞过程中存在动能损失的碰撞形式。
二、刚体与质点的碰撞1. 刚体碰撞：刚体是指具有一定形状和质量的物体，在碰撞过程中不会发生形变。
运动力学刚体与刚体碰撞是研究刚体在碰撞前后的运动状态变化以及动量守恒等问题。
在碰撞过程中，刚体之间的相对位置和相对速度发生改变，而具体变化取决于刚体的质量、形状和碰撞的角度等因素。
2. 质点碰撞：质点是指物体在运动学上可以被视为集中质量的点，并且在碰撞过程中不会发生形变。
质点碰撞是运动力学中的一种简化模型，常用于研究刚体碰撞问题的特殊情况，如质点与刚体碰撞或质点与质点碰撞。
在质点碰撞中，可以通过分析碰撞前后的速度和动量变化来研究碰撞过程。
三、运动方程与碰撞在碰撞问题中，运动方程是分析碰撞前后物体运动状态变化的基本工具。
对于刚体碰撞，我们可以利用动量守恒定律和动能守恒定律来建立运动方程。
动量守恒定律指出，在碰撞过程中，物体的总动量保持不变；而动能守恒定律则是指在弹性碰撞中，碰撞前后物体的总动能保持不变。
对于质点碰撞，我们可以利用动量守恒定律来建立运动方程。
动量是一个矢量，表示物体运动的方向和大小。
在碰撞过程中，质点碰撞前后的总动量保持不变，即碰撞前后的动量之和等于零。
利用动量守恒定律，可以得到碰撞后质点的速度与质点碰撞前速度之间的关系。
四、碰撞后的结果碰撞后的结果取决于碰撞的特性和碰撞物体的性质。
在弹性碰撞中，物体的总动能保持不变，碰撞物体碰撞后会发生反弹，并且碰撞前后的速度、动量和动能等都会发生变化。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
质点和刚体力学 习题
2G(M + m ) = r
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
第六章 刚体质点组力学(1)2012
为镜面的反演变换所对应的正交矩阵为
⎛1 0 0 ⎞ ⎟ R=⎜ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠
记 Rr 为 r′ ，即 r′ = Rr 。由于
r = x1e1 + x2e 2 + x3e 3 = ∑ xi ei
i =1
3
由 R 的线性性，得
∑ xi′ei = r′ = Rr = ∑ x j Re j = ∑ x j ∑ Rijei
பைடு நூலகம்
′ , x′ ′ ϕ ( x1 , x2 , x3 ) = ϕ ′( x1 2 , x3 )
成立，则称 ϕ 是标量。 注意：当坐标变换之后，函数形式可能发生了改变（因此，记为 ϕ ′ ） ，但只要 ( x1 , x2 , x3 ) 和
′ , x′ ′ ( x1 2 , x3 ) 表示同一个点，则它们的值就相等。
6．1．2 正交变换（数学 II）
刚体有两种基本运动的运动形式，一是平动（translation） ，一是转动（rotation） 。 所谓平动是指刚体上任意两点的联线在整个运动过程中始终保持其原来的方向不变，或 者说，任意两点的联线始终与其初始位置平行的运动。
P′
P
Q′ Q
刚体的平动
刚体的转动则是指刚体上有两个点（实际上这两点连线上所有的点）始终保持不动的运 动。这两个点构成的直线称为转动轴。此时，刚体上所有各点都绕转动轴作圆周运动。
det | RR T |= det | R | ⋅ det | R T |= (det | R |) 2 = det | I |= 1
所以
det | R |= ±1
当 det | R |= +1 时， 对应的正交变换称为正当转动， 它表示空间内的旋转变换； 而当 det | R |= −1 时，正交变换为非正当转动，表示空间内的反演变换。 考察正交矩阵
⎛1 0 0 ⎞ ⎟ R=⎜ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠
记 Rr 为 r′ ，即 r′ = Rr 。由于
r = x1e1 + x2e 2 + x3e 3 = ∑ xi ei
i =1
3
由 R 的线性性，得
∑ xi′ei = r′ = Rr = ∑ x j Re j = ∑ x j ∑ Rijei
பைடு நூலகம்
′ , x′ ′ ϕ ( x1 , x2 , x3 ) = ϕ ′( x1 2 , x3 )
成立，则称 ϕ 是标量。 注意：当坐标变换之后，函数形式可能发生了改变（因此，记为 ϕ ′ ） ，但只要 ( x1 , x2 , x3 ) 和
′ , x′ ′ ( x1 2 , x3 ) 表示同一个点，则它们的值就相等。
6．1．2 正交变换（数学 II）
刚体有两种基本运动的运动形式，一是平动（translation） ，一是转动（rotation） 。 所谓平动是指刚体上任意两点的联线在整个运动过程中始终保持其原来的方向不变，或 者说，任意两点的联线始终与其初始位置平行的运动。
P′
P
Q′ Q
刚体的平动
刚体的转动则是指刚体上有两个点（实际上这两点连线上所有的点）始终保持不动的运 动。这两个点构成的直线称为转动轴。此时，刚体上所有各点都绕转动轴作圆周运动。
det | RR T |= det | R | ⋅ det | R T |= (det | R |) 2 = det | I |= 1
所以
det | R |= ±1
当 det | R |= +1 时， 对应的正交变换称为正当转动， 它表示空间内的旋转变换； 而当 det | R |= −1 时，正交变换为非正当转动，表示空间内的反演变换。 考察正交矩阵
刚体力学优质课件
解 根据定义，飞轮的角速度为 d 2π 0t dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
09刚体力学基础习题课
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚 体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获 得的角加速度的乘积。
M外JJddt
2.刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等
于刚体的转动动能的增量。
A1 2J221 2J12E k2E k1
2019/11/22
JRmV0
JmR2(V) 0
（D） mR2 ，(逆V时) 针。
J mR2 R
R mR2 (V )
∴选（A ） 2019/11/22
[]
同课本p120.5-14
JR
10
3.（p8. 45 ） 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径 为50cm 的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转
[ 22 1 019M /11/22 2 1 M R (R 2 0 ) 2 ]0 2 1 M 2 1 M R (R 2 0 ) 2 20(2 )
（1）（2）两式联立可得
ω
ω0
2v 21R
（2）欲使盘对地静止，须
2v ω ω0 21R 0
v 21Rω0 2
4
3. 刚体的角动量定理
微分形式： M 外
dL dt
积分形式：
t2 t1
M dtL2L1L
4. 角动量守恒定律
如果刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩为零，
则它对于这一固定轴的角动量保持不变。
M外 z 0，则 Jzωcon. st
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律
步骤： （1）审题，确定研究对象； （2）建立坐标系； （3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注： 受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将
M外JJddt
2.刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等
于刚体的转动动能的增量。
A1 2J221 2J12E k2E k1
2019/11/22
JRmV0
JmR2(V) 0
（D） mR2 ，(逆V时) 针。
J mR2 R
R mR2 (V )
∴选（A ） 2019/11/22
[]
同课本p120.5-14
JR
10
3.（p8. 45 ） 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径 为50cm 的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转
[ 22 1 019M /11/22 2 1 M R (R 2 0 ) 2 ]0 2 1 M 2 1 M R (R 2 0 ) 2 20(2 )
（1）（2）两式联立可得
ω
ω0
2v 21R
（2）欲使盘对地静止，须
2v ω ω0 21R 0
v 21Rω0 2
4
3. 刚体的角动量定理
微分形式： M 外
dL dt
积分形式：
t2 t1
M dtL2L1L
4. 角动量守恒定律
如果刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩为零，
则它对于这一固定轴的角动量保持不变。
M外 z 0，则 Jzωcon. st
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律
步骤： （1）审题，确定研究对象； （2）建立坐标系； （3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注： 受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将
大学物理 刚体力学(课堂PPT)
3
（2）转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动， 则称刚 体作转动，该直线称转轴。
转动又分定轴转动和非定轴转动 。
转轴
固定转轴 瞬时转轴
定轴转动 非定轴转动
4
刚体的平面运动 （滚动）
5
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
6
3.刚体的定轴转动
（1）角位置和角位移
P
Qx
x
角位移
PP
rd dW Md
-----力矩的功
合外力矩
F
d
r
ds
35
若力矩是恒量:
比较： 力矩的功就是力的功。
例题3-8
36
例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过 其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始 自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。
解：在棒的下摆过程中，对转轴O而 言，支承力N通过O点，所以支承力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，
N π (300)3 3104 r
2 π 2 π 450
14
1.力矩
力
二、刚体定轴转动的转动定律
改变质点的运动状态
质点获得加速度
力矩 改变刚体的转动状态
（1） 力矩的定义式
r M
rr
r F
刚体获得角加速度 M
大小：M Fr sin Fd
（2） 物M理 意r 义F
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、 方向和作用点对物体转动的影响。
图3-14
33
解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m 的加速度为a，由牛顿第二定律可得
mg T ma
以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转 动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得
（2）转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动， 则称刚 体作转动，该直线称转轴。
转动又分定轴转动和非定轴转动 。
转轴
固定转轴 瞬时转轴
定轴转动 非定轴转动
4
刚体的平面运动 （滚动）
5
+ 刚体的一般运动= 质心的平动 绕质心的转动
6
3.刚体的定轴转动
（1）角位置和角位移
P
Qx
x
角位移
PP
rd dW Md
-----力矩的功
合外力矩
F
d
r
ds
35
若力矩是恒量:
比较： 力矩的功就是力的功。
例题3-8
36
例题3-8 一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过 其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始 自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。
解：在棒的下摆过程中，对转轴O而 言，支承力N通过O点，所以支承力N的 力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，
N π (300)3 3104 r
2 π 2 π 450
14
1.力矩
力
二、刚体定轴转动的转动定律
改变质点的运动状态
质点获得加速度
力矩 改变刚体的转动状态
（1） 力矩的定义式
r M
rr
r F
刚体获得角加速度 M
大小：M Fr sin Fd
（2） 物M理 意r 义F
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、 方向和作用点对物体转动的影响。
图3-14
33
解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m 的加速度为a，由牛顿第二定律可得
mg T ma
以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转 动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得
第3章 刚体力学基础
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动
理论力学第三版-课件PPT
1. 选出几个相互独立的物理量作为基本量； 通常基本量都是选取可以直接测量的 物理量.
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出 关系式）.
3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）
4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大
理论力学教程（第三版） 电子教案
使用方法
▪ 本电子教案是用Microsoft Office中的PowerPoint
应用程序制作而成. 在所有安装了Microsoft Office 应用程序, 并能够运行自如的计算机上都能够操 作使用.
▪ 本电子教案共分五章, 每章内容都是是以节为单
位建立一个独立的PPT文件.
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 0 x3 1 (3) x1 0 x2 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
求解上述方程组, 得到 x1 1, x2 1, x3 2
于是我们得到
ln[ P] 1 ln[ n] 1 ln[ m] 2 ln[ v]
§0.2 理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量.
• 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量 情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出 关系式）.
3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）
4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大
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位建立一个独立的PPT文件.
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 0 x3 1 (3) x1 0 x2 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
求解上述方程组, 得到 x1 1, x2 1, x3 2
于是我们得到
ln[ P] 1 ln[ n] 1 ln[ m] 2 ln[ v]
§0.2 理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量.
• 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量 情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
大学物理第三章刚体力学 ppt课件
M F2d F2r sin
ppt课件
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Frsin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
或 L 常矢量
dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守 恒定律 。
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
ppt课件
29
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
d
C
JC 、 JD 分别是刚体对过质心轴， 和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为d
z ▪薄板的正交轴定理：
Jz Jx Jy
o
y
x
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
ppt课件
14
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O
组成一正方形框架，绕过其一顶点O
并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒不变。
L rmv sin 常量
因而掠面速度：
dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
ppt课件
30
例10 发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R 的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以
ppt课件
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Frsin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
或 L 常矢量
dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守 恒定律 。
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
ppt课件
29
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
d
C
JC 、 JD 分别是刚体对过质心轴， 和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为d
z ▪薄板的正交轴定理：
Jz Jx Jy
o
y
x
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
ppt课件
14
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O
组成一正方形框架，绕过其一顶点O
并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒不变。
L rmv sin 常量
因而掠面速度：
dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
ppt课件
30
例10 发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R 的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以
大学物理力学ppt课件
02
非线性物理力学的研究对象与 方法
03
非线性物理力学的应用领域与 发展趋势
混沌现象与分形几何在物理力学中应用
01
02
03
混沌现象的基本概念与 原理
分形几何在物理力学中 的应用
混沌现象与分形几何在 物理力学中的联系与区
别
量子物理力学发展前沿
量子物理力学的基本概念与原理 量子物理力学的研究对象与方法 量子物理力学的发展前沿与未来趋势
E=mc^2，表示物体的能量与其质量成正比，其中c为光速。
02
能量与质量的等价性
质能方程揭示了能量与质量的等价性，即能量可以转化为质量，质量也
可以转化为能量。
03
核反应中的质量亏损与能量释放
在核反应中，反应前后的质量差乘以光速的平方即为释放的能量。
广义相对论简介
01
等效原理
在局部区域内，无法 区分均匀引力场和加 速参照系中的物理效 应。
感谢观看
02
时空弯曲
物质的存在会导致时 空的弯曲，物体的运 动轨迹受弯曲时空的 影响。
03
引力波
加速运动的物体会辐 射引力波，引力波是 时空弯曲中的涟漪效 应。
04
黑洞与宇宙学
广义相对论预言了黑 洞的存在，并为宇宙 学提供了理论框架。
06
现代物理力学进展与应用
Chapter
非线性物理力学概述
01
非线性物理力学的基本概念与 原理
应用场景
解释飞机升力、喷雾器原理、虹吸现象等。
注意事项
仅适用于不可压缩、无粘性的理想流体，且流动必须是定常的。
黏性现象与斯托克斯定律
01
黏性现象
流体内部由于分子间相互作用而 产生的内摩擦力，表现为流动阻 力。
高中物理奥林匹克竞赛——经典力学(共30张PPT)
例1-4 如某质点作直线运动，运动方程为 x 2t. t 2 求①质点在
0 2秒内走的路程。②质点何时到达位置坐标的最大值？
解：（1）由v dx 2 2t
dt
得 S
2
vdt
2
2 2t dt
1
(2 2t)dt
2
(2 2t)dt
0
两边求导
ds r d
dt dt
即线速度与角速度的关系为：v r 两边再求导 dv r d
得切向加速度与角加速度的关系为a r
dt
而法向加速度an
v2 r
dt r 2
质点作匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式 为：
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述, 可把平 面圆周运动转化为一维运动形式，从而把问题简化.
C. 瞬时速度
v
lim
t 0
r t
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi vy
j vzk
大小：v v dr dr ds
矢量
dt dt dt
方向沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线方向指向前方。
D. 瞬时速率
v lim s ds t0 t dt
sin tj)
dt
速度、加速度也可以用其在x、y方向上的分量来表示
二、自然坐标系下的描述
自然坐标系：以动点为坐标原点，以动点所在轨道处的切线和 法线为坐标轴（切向指向前进方向，法向指向曲率中心），、n 为切、法向的单位矢量。
质点在半径为R的圆周上作匀速圆周运动，
运动力学质点与刚体的运动问题
运动力学质点与刚体的运动问题运动力学是研究物体运动的力学分支，主要涉及质点和刚体的运动问题。
质点指的是不具有形状和大小，仅有质量的物体，而刚体则是保持形状不变，在运动过程中各部分的相对位置保持不变的物体。
本文将从质点和刚体分别入手，探讨其中的运动问题。
一、质点的运动问题质点运动问题是运动力学的基础，通过对质点的位移、速度和加速度的研究，可以深入理解物体在运动过程中所受到的力和作用。
以下将介绍质点运动的基本概念和相关公式。
1. 位移位移是指物体从初始位置到最终位置所经过的路径长度和方向变化。
在一维直线运动中，位移通常用$x$表示，其计算公式为：\[x = x_f - x_i\]其中$x_f$表示最终位置，$x_i$表示初始位置。
2. 速度速度是指物体单位时间内所走过的位移。
平均速度可以通过位移除以时间来计算：\[v_{\text{avg}} = \frac{x}{t}\]而瞬时速度则是在某一时刻的瞬时位移除以瞬时时间：\[v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\]其中$\Delta x$表示瞬时位移，$\Delta t$表示瞬时时间。
3. 加速度加速度是指单位时间内速度的变化量。
平均加速度可以通过速度差除以时间来计算：\[a_{\text{avg}} = \frac{v - v_0}{t}\]而瞬时加速度则是在某一时刻的瞬时速度变化率：\[a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}\]其中$\Delta v$表示瞬时速度的变化量，$\Delta t$表示瞬时时间。
4. 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了质点在外力作用下的加速度与所受力的关系。
定律表述如下：\[F = ma\]其中$F$为作用于物体的合外力，$m$为物体的质量，$a$为物体的加速度。
二、刚体的运动问题刚体运动问题相较于质点更为复杂，由于刚体的形状和大小在运动过程中保持不变，因此需要考虑到刚体的旋转和平移运动。
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2 9.8
534
动量
与
角动量
动量与角动量
（角动量定理 角动量守恒定律）
一、 力矩
M rF
M = F r sin φ
二、 质点的 角动量 L r mv r P
L= r P sinφ = r mv sinφ
三、角动量定理
t
t0
Md t dL
os
t
i
2R
sin t
j
dt 2r
yv
加速度的大小
a
a
2 x
a
2 y
2R
R
r
o
x
习2.22 ( P114 )
在与速率成正比的阻力的影响下，一个质点具有加 速度a ，其大小为 - 0. 2 v 。求需多长时间才能使质 点的速率减小到原来的一半。
解：
依题意 a dv 0.2v dt
速度
v
dr
R sinti
R costj
dt
例1.1 (P22)
解：
（2）位置矢量
速度
v
r
drR sinti
R sintj
R costj
dt
v 加速度
a
v
2 x
v
dv
2 y
R
2R c
2. 匀加速运动 a c
则速度 v v0 at
或
vx v0x axt v y v0y a yt
运动方程
r
r0
v0t
1 2
at
2
或
x
x0
v0xt
1 2
axt2
y
y0
v0yt
1 2
ayt2
受力分析与解题方法步骤
一、物体受力分析
二、解题方法步骤 1. 选“对象”，画示力图； 2. 选坐标系，列方程； 直线运动——选加速度或运动方向为坐标轴正方向； 曲线运动——选切向和法向为两坐标轴正方向；
V
若圆周半径为 r ，则当小球速率
为V 时，其对圆心O的角动量
r
L= rmV ——瞬时关系
3. 若一质量为m 的小球作匀速直线
运动，则小球对任一固定点的角
o
动量矢量保持不变。
r
—— 例3.15 （P160） L r mv r P
m
d
φV
φ1
L= r P sinφ = r mv sinφ = d mV
此质元所受的拉力 dF (dm) 2r s 2rdr
故旋翼根部所受拉力 F dF L s 2rdr 0
解得 F 1 s 2L2 1 m 2L 方向指向根部。
2
2
故
F mg
m 2L / 2
mg
2L
2g
(2 400 / 60)2
——不要用不定积分方法求解。
习2.25 ( P115 )
直升机每片旋翼长5 . 97m ， 旋翼以400r/min 的转速旋转
dr
时，求其根部所受拉力是其 重力的几倍？（旋翼按宽度
0r
Br
一定、厚薄均匀的薄片计）
解：
设旋翼材料密度为 ，截面积为S。沿棒长取r 轴，在
棒上任取d r 距o为r ，则d r 的质量 dm sdr
斜面运动——选斜面及其法向为两坐标轴正方向； 3. 解方程，整理结果；
先符号运算，再数字运算；最后对解进行讨论。
习1.10 (P48)
一质点在 x y 平面上运动，运动函数为x = 2t , y = 4t2-8 。
（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；
（2）求 t1=1s 和 t2=2s 时质点的位置、速度和加速度。 解：
故有 dv 0.2dt v
即 dt 5 dv
v
两边积分得
t
dt 5
v0 / 2 dv
0
v v0
解得
t
5
d v0 / 2
v0
ln
v=
-5
lnv
v0 v0
/2=
5
ln2
=
3.47(s)
注意：（1） v = v0 + a t —— 概念错误！ （2）t + t0 = - 5 ( ln v + c )
质点与 刚 体 力 学
（习题课）
主讲：左武魁
运动方程
与
运动参量
运动方程与运动参量
一、若已运知动运方动程方为程求r运动rt参 量
——依次求导
或 则速度为
r
v
xt
i
dr
yt j zt k
d
x
i
d
y
j
dz
k
dt dt dt dt
加速度为
a
dv
L
L0
或 M
Md t dL
dt
ro m
φV
（积分式）
（微分式）
四、角动量守恒定律 当 M = 0 时 L= 恒矢量
练习1 ——运动质点的角动量
1. 运动质点的角动 量的定义 L r mv r P
L= r P sinφ = r mv sinφ
ro
m φV
2. 若一质量为m 的小球作圆周运动，
求：（1）质点的运动规道；
r
Ro
x
（2）任一时刻质点的位 矢、速度和加速度。
解：
（1）规道方程 x2 y2 R2 sin2 t R2 cos2 t R2
（2）位故矢知规r道为x一i 半 y径j 为 RR的co圆s，t即i 质R点s作in 圆t周j 运动。
其中 r x2 y2 R
d
2
r
dt dt2
或
d2x d2 y d2z a dt2 i dt2 j dt2 k
运动方程与运动参量
二、已知 a 及起始条件求运动方程
1. 变加速运动 a c
则速度
t
v v0 0 adt
t
运动方程
r
r0
vdt
0
(1) 在运动方程中消去t ,可得轨道方程为 y = x2 - 8
(2)
轨因道r曲线2t为i 一(4抛t 2物 8线)。j
y
v d r / dt 2i 8tj a d v / dt 8 j
故 知 t r1 2i
=14sj时，v1
2i
8
j
故 知 t = 2s 时，
r1 4i 8 j v2 2i 16 j
a1 8 j (-2.8,0) a2 8 j
x o (2.8,0)
(0,-8)
各量单位均为同际单位制单位。
例1.1 (P22) 已知质点在xy 平面内运动，
y v
运 动 函 数 为 x = Rcos t， y = Rsin t, R和为常量。
习3.25 (P174)
534
动量
与
角动量
动量与角动量
（角动量定理 角动量守恒定律）
一、 力矩
M rF
M = F r sin φ
二、 质点的 角动量 L r mv r P
L= r P sinφ = r mv sinφ
三、角动量定理
t
t0
Md t dL
os
t
i
2R
sin t
j
dt 2r
yv
加速度的大小
a
a
2 x
a
2 y
2R
R
r
o
x
习2.22 ( P114 )
在与速率成正比的阻力的影响下，一个质点具有加 速度a ，其大小为 - 0. 2 v 。求需多长时间才能使质 点的速率减小到原来的一半。
解：
依题意 a dv 0.2v dt
速度
v
dr
R sinti
R costj
dt
例1.1 (P22)
解：
（2）位置矢量
速度
v
r
drR sinti
R sintj
R costj
dt
v 加速度
a
v
2 x
v
dv
2 y
R
2R c
2. 匀加速运动 a c
则速度 v v0 at
或
vx v0x axt v y v0y a yt
运动方程
r
r0
v0t
1 2
at
2
或
x
x0
v0xt
1 2
axt2
y
y0
v0yt
1 2
ayt2
受力分析与解题方法步骤
一、物体受力分析
二、解题方法步骤 1. 选“对象”，画示力图； 2. 选坐标系，列方程； 直线运动——选加速度或运动方向为坐标轴正方向； 曲线运动——选切向和法向为两坐标轴正方向；
V
若圆周半径为 r ，则当小球速率
为V 时，其对圆心O的角动量
r
L= rmV ——瞬时关系
3. 若一质量为m 的小球作匀速直线
运动，则小球对任一固定点的角
o
动量矢量保持不变。
r
—— 例3.15 （P160） L r mv r P
m
d
φV
φ1
L= r P sinφ = r mv sinφ = d mV
此质元所受的拉力 dF (dm) 2r s 2rdr
故旋翼根部所受拉力 F dF L s 2rdr 0
解得 F 1 s 2L2 1 m 2L 方向指向根部。
2
2
故
F mg
m 2L / 2
mg
2L
2g
(2 400 / 60)2
——不要用不定积分方法求解。
习2.25 ( P115 )
直升机每片旋翼长5 . 97m ， 旋翼以400r/min 的转速旋转
dr
时，求其根部所受拉力是其 重力的几倍？（旋翼按宽度
0r
Br
一定、厚薄均匀的薄片计）
解：
设旋翼材料密度为 ，截面积为S。沿棒长取r 轴，在
棒上任取d r 距o为r ，则d r 的质量 dm sdr
斜面运动——选斜面及其法向为两坐标轴正方向； 3. 解方程，整理结果；
先符号运算，再数字运算；最后对解进行讨论。
习1.10 (P48)
一质点在 x y 平面上运动，运动函数为x = 2t , y = 4t2-8 。
（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；
（2）求 t1=1s 和 t2=2s 时质点的位置、速度和加速度。 解：
故有 dv 0.2dt v
即 dt 5 dv
v
两边积分得
t
dt 5
v0 / 2 dv
0
v v0
解得
t
5
d v0 / 2
v0
ln
v=
-5
lnv
v0 v0
/2=
5
ln2
=
3.47(s)
注意：（1） v = v0 + a t —— 概念错误！ （2）t + t0 = - 5 ( ln v + c )
质点与 刚 体 力 学
（习题课）
主讲：左武魁
运动方程
与
运动参量
运动方程与运动参量
一、若已运知动运方动程方为程求r运动rt参 量
——依次求导
或 则速度为
r
v
xt
i
dr
yt j zt k
d
x
i
d
y
j
dz
k
dt dt dt dt
加速度为
a
dv
L
L0
或 M
Md t dL
dt
ro m
φV
（积分式）
（微分式）
四、角动量守恒定律 当 M = 0 时 L= 恒矢量
练习1 ——运动质点的角动量
1. 运动质点的角动 量的定义 L r mv r P
L= r P sinφ = r mv sinφ
ro
m φV
2. 若一质量为m 的小球作圆周运动，
求：（1）质点的运动规道；
r
Ro
x
（2）任一时刻质点的位 矢、速度和加速度。
解：
（1）规道方程 x2 y2 R2 sin2 t R2 cos2 t R2
（2）位故矢知规r道为x一i 半 y径j 为 RR的co圆s，t即i 质R点s作in 圆t周j 运动。
其中 r x2 y2 R
d
2
r
dt dt2
或
d2x d2 y d2z a dt2 i dt2 j dt2 k
运动方程与运动参量
二、已知 a 及起始条件求运动方程
1. 变加速运动 a c
则速度
t
v v0 0 adt
t
运动方程
r
r0
vdt
0
(1) 在运动方程中消去t ,可得轨道方程为 y = x2 - 8
(2)
轨因道r曲线2t为i 一(4抛t 2物 8线)。j
y
v d r / dt 2i 8tj a d v / dt 8 j
故 知 t r1 2i
=14sj时，v1
2i
8
j
故 知 t = 2s 时，
r1 4i 8 j v2 2i 16 j
a1 8 j (-2.8,0) a2 8 j
x o (2.8,0)
(0,-8)
各量单位均为同际单位制单位。
例1.1 (P22) 已知质点在xy 平面内运动，
y v
运 动 函 数 为 x = Rcos t， y = Rsin t, R和为常量。
习3.25 (P174)