初等数论讲义--61页(好)
初等数论(知识讲座)
初等数论初等数论从外表意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是电脑科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差异，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：〔ⅰ〕对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素〔或后继〕；〔ⅱ〕有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；〔ⅲ〕N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：〔第二种数学归纳法〕设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论
第一章 整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节 数的整除性定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a 。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1 下面的结论成立： (ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ； (ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数； (ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
定义2 若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2 任何大于1的整数a 都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
初等数论(闵嗣鹤版课件
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
(i)若在r1, , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
初等数论第一章课件
(i)m是任一正整数，则
(am, bm) (a, b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a, b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1, a2 , , an是任意n个正整数，令 (a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3, , (dn1, an ) dn.
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例
当a 5, b 2时，可有
5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1;
或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0, b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac
定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3 若a1 , a2, , an都是m的倍数，q1, q2, , qn 是任意n个整数，则a1q1 a2q2 anqn是m的倍数
3、带余数除法
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b () 成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
[a1, a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3, ,[mn1, an ] mn. 于是我们有
定理5 a1, a2, , an是n个正整数，则 [a1, a2 , , an ] mn.
初中数论讲义
通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与 分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用．
关于奇数和偶数，有下面的简单性质：
（1）奇数 ≠ 偶数．
（2）偶数的个位上是 0、2、4、6、8；奇数的个位上是 1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （ 4）奇 数 个 奇 数 的 和 是 奇 数 ；偶 数 个 奇 数 的 和 是 偶 数 ；偶 数 跟 奇 数 的 和 是 奇 数 ； 任意多个偶数的和是偶数． （5）除 2 外所有的正偶数均为合数； （6）相邻偶数的最大公约数为 2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．
证明 先证 n 为偶数，若不然，由 a1a2 Lan−1an = n 知， a1, a2 ,L, an−1, an 全为奇数，
其和必为奇数，与其和为 0（偶数），故 n 必为偶数．（ a1, a2 ,L, an−1, an 中至少有 1 个偶数）
再证 n 为 4 的倍数，若不然，由 n 为偶数知， a1, a2 ,L, an−1, an 恰有一个为偶数，其余 n −1 个数全为奇数，奇数个奇数之和必为奇数，加上一个偶数，总和为奇数，与 a1, a2 ,L, an−1, an 之和为 0 矛盾，所以， n 为 4 的倍数， 4 | n ．（ a1, a2 ,L, an−1, an 中至少有
14 个差的和 S 的奇偶性与 14 个相应数之和的和 S / 的奇偶性相同，由于图中的每一个数 a 与
2 个或 4 个圈中的数相加，对 S / 的贡献为 2a 或 4a ，从而 S / 为偶数，这与 S 为奇数矛盾，
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
初等数论
第一章 整除理论§1.1 整数与自然数及整除的基本性质整数集},3,2,1,0,1,2,3,{ ---=Z ，整数中的四则运算我们已在中小学学习过，需要注意的是，任何下有界的非空整数集总含有它的最小元，这一性质也称为最小整数原理.同样地，一个上有界的非空整数集总含有它的最大元，自然数即是正整数，全体自然数集用N 表示.定义1.1.1 设0,,≠∈a Z b a ,如Z d ∈∃使得b ad =，则称a 整除b ，记为b a ，这里a 称为b 的约数或因数(或因子),b 称为a 的倍数.如果a 不能整除b ,则记为b a |/.例如3|1010|312|924|6,15|536|126|3///--，，，，，等等。
值得注意的是，由于Z a ∈∀，有00=⋅a ,若,0≠a 则0|a ,所以0被任何整数整除.定理1.1.1 (i ) .||||b a b a b a b a ⇔-⇔-⇔(ii )(传递性) c a c b b a ||,|⇒.(iii ) 若b d a d |,|,则by ax d Z y x +∈∀|,,有.(iv ) bn an b a n ||,0⇔≠∀(v ) b a a b b a ±=则若,|,|.(vi ) b a b b a ≤≠则且若,0,|.证明 仅证(iii ).因为,,|,|2,1Z d d b d a d ∈∃故使得a dd =1,b dd =2,⇒∀)(,,2121y d x d d y dd x dd by ax Z y x +=+=+∈有,而Z y d x d ∈+21,故by ax d +|.证毕.在此定理中的(iii )显然有如下推广:定理1.1.2 若Z x m i a d i i ∈∀=则),,,2,1(| ,有∑=mi i i x a d 1|.例1 证明 若2|n, 3|n, 则6|n.证明 由于2|n,得n=2k(Z k ∈),由条件知3|2n,又由定理1.1.1中(iv )与(ii )可得3|3k,所以由定理1.1.1(iii )知3|(3k-2k),即3|k,再由定理1.1.1(iv )知k ⨯⨯2|32,即6|n.证毕.定理1.1.3 设b a ,是两个整数,其中0>b ,则存在两个唯一得整数r q 和,使得r bq a +=, b r <≤0 (1)成立证明 考虑数列,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---那么a 必在上述序列的某两之间,或是其中某一项,即存在一个整数q 使得b q a qb )1(+<≤ 成立.令.0,b r r qb a <≤=-则有故有(1)成立.再证唯一性.设11,r q 是满足(1)的另一对整数,因为r bq r q b +=+111,于是r r q q b -=-11)(.所以r r q q b -=-11.由于1r r 与都是小于b 的非负整数.故上式右边小于b ,如果q q ≠1,则上式左边b ≥,这不可能,故必q q =1.由此及上式知r r =1.证毕.定义1.1.2 我们把(1)式中q 叫做a 被b 除得出的不完全商,r 叫做a 被b 除所得到的余数.也叫做非负最小剩余.常记作r a b =><.以后总假定除数0>b 以及因数为正.在不致引起混淆的情况下,b a ><中的b 常略去不写.显然有如下结论:定理1.1.4 对于整数0,,,21>b b a a 其中,有(i ) 〉〉〈+〉〈〈=〉+〈2121a a a a .(ii ) 〉〉〈-〉〈〈=〉-〈2121a a a a .(iii ) 〉〉〉〈〈〈=〉〈2121,a a a a .证明 仅证(i )与(iii ).(ii )读者自证.设〉〈+=111a bq a ,〉〈+=222a bq a . 〉〉〈+〉〈〈+=〉〈+〉〈21321a a bq a a .于是〉〉〈+〉〈〈+++=〉〈+〉〈++=+21321212121)()(a a q q q b a a q q b a a .所以由定理1.1.3知(i )成立.又设 〉〈+=2121,a a bq a a ,于是))((221121〉〈+〉〈+=a bd a bd a a〉〉〈〈+-〉〈+〉〈+=21122121)(a a q a d a d d bd b从而 〉〉〉〈〈〈=〉〉〈〈2121,a a a a ,由定义知〉〉〉〈〈〈=〉〉〉〈〈〈=〉〈212121,a a a a a a由此(iii )得证.§2 最大公因数与辗转相除法定义1.2.1 设n a a a ,,,21 是n 个不全为零的整数.若整数d 是它们之中每一个因数,那么d 就叫做n a a a ,,,21 的一个公因数(或称为公约数).整数n a a a ,,,21 的公因数中最大的一个叫做最大公因数(或称为最大公约数),记作(n a a a ,,,21 ),若(n a a a ,,,21 )=1,我们称n a a a ,,,21 互素.注: n(n>1)个整数的公因数必有限.由最大公因数的定义知(n a a a ,,,21 )=),,,(21n a a a .而一组不全为零的整数的最大公因数等于它们当中全体不为零的整数的最大公因数,所以只须讨论全体正整数的最大公因数.首先将介绍辗转相除法求最大公因数.定理1.2.1 设c b a ,,是任意三个不全为零的整数,且c bq a +=,其中q 是整数,则),(),(c b b a =.证明 b d a d |,|∀,则由定理1.1.1知c d bq a d |).(|即-+,由d 的任意性知c b a |),(,故),(),(c b b a ≤.反之,c d b d |,|∀,由定理1.1.1知a d |,由d 的任意性知a c b |),(,于是),(),(b a c b ≤.综上),(),(c b b a =.证毕.设0,0>>b a ,由定理1.1.3(带余数除法)则有11r bq a +=, )|(01a b b r /<<221r q r b +=, )|(0112b r r r /<<3321r q r r +=, )|(01223r r r r /<<(1) n n n n r q r r +=--12, )|(0211---/<<n n n n r r r r 11+-=n n n q r r , )|(1-/n n r r 由于余数)1(n i r i ≤≤是正整数且逐次减小,所以经有限步后必有一个余数为零.即01=+n r .由(1)及定理1.2.1则得下述结论: 定理1.2.2 若任给整数0,0>>b a ,则n r b a =),(. 证明 由定理1.2.1得),(),(),(),(),0(2111b a r r r r r r r r n n n n n n n n ======---+ . 证毕.定理1.2.3 设0,0>>b a ,对于如上辗转相除法(1).有 n k r b U a V k k k k ,,2,1,)1(1 =-=-- (2) 这里⎩⎨⎧+===+===----211021110,1,1,,1k k k k k k k k V V q V V V U U q U q U U (3) 证明 可用数学归纳法来证明.由(1) 11r bq a +=,可写成 11111)1(r b U a V --=-. 由b q q a q r r b q a q r q r b )1()(1222212221+-=-+-=+=得,即21222)1(r b U a V --=-. 所以当2,1==k k 定理成立.下证由1+k k 到也成立.由于 111-k +++=k k k r r q r , )()1()()1(111121b U a V q b U a V r k k k k k k k k -----=-+---+ 所以)()1(1111b U a V q b U a V r k k k k k k k -+-=-+--+ b U a V b U U q a V V q k k k k k k k k 111111)()(++-+-+-=+-+=证毕.例1.2.1 求(299,247) 解.013339,1339152,39524247,522471299+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=故 13)247,299(=由定理1.2.3即得如下推论: 推论1.2.1 若Z y x d b a ∈=,,),(则有使得 d by ax =+.证明 令k k k k U y V x )1(,)1(1-=-=-则有 d r by ax k ==+. 证毕.由例1.2.1知 13,3,247,299====k r n b a .由上面的等式 333b b U a V =-.而1,4,1321===q q q ,由(3)可得6,533==U V ,即1324762995=⨯-⨯. 所以d by ax y x =+-==有6,5.推论1.2.2b a 与的因数是),(b a 的因数. 证明 b a ,∀的公因数d ',则.|,|.|,|d d by ax d b d a d '+'''即所以证毕.定理1.2.4 设),(),(,1),(c b c ab c a ==则. 证明 设1),(,,,),(1111====c b d c c d b b d c b 且则(否则,若1),(11>c b ;反证d 不是b a 与的最大公因数),于是),(),(),(1111c ab d d c d ab c ab ==. 再证若.1),(11=c ab .|,|.1),(111c d ab d d c ab ''>'=则若d '无大于1的因子整除1b .则a d |',又c c |'.c d c d |,|1''于是.所以1),(>'≥d c a .此与1),(11=c b 矛盾.总之,.1),(11=c ab 于是d c ab d c ab ==),(),(11.证毕.推论1.2.3 设b c ab c c a |,|,1),(则=. 证明 因为.|,),(),(b c c c b c ab 即==证毕.。
初等数论第四章课件
解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7, , -1, 0,1,7,直接代入检验知x 6,3是解，
所以同余式有两个解： x 6(mod15), x 3(mod15)
注：①同余式x x 0(mod p)有p个解
p
（由Fermat小定理可得）
②同余式f ( x) ms( x) 0(mod m)与（2）等价 特别地，一个同余式中系数为模的倍数的项去掉 后，同余式的解不变。
qd k x =x0 m d m x0 mq k d m x0 k (mod m)，k 0,1, 2,, d 1 d
（3）
m 但x0 k , k 0,1, 2, , d 1是对模m两两不同余的，故 d （1）有d 个解，即（3）
例2
求解18x 30(mod 42)
一般地用数学归纳法不难证明同余方程
a1 x1 ak xk b(mod m)有解的充要条件为d b , d (a1 , , ak , m), 此时有m k 1d 个解
第二节
孙子定理
我国古代的《孙子算经》里有问题如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”. 这是一个求解同余式组的问题，《孙子算经》 已给出了求解方法，即为下面的孙子定理:
例3、求解9 x 21(mod30)
解： (9,30) 3 21， 同余式有3个解
将同余式化为9x 30 y 21 或3x 10 y 7
上述不定方程有一组解为x 1, y 1
则同余式的3个解为：x 1,9,19(mod30)
注：由ax b(mod m) 或my b(mod m)，
第三四节高次同余式一质数模的同余式其中是质数1定理同余式与一个次数不超过的质数模同余式等价xqxrx利用带余除法及费马小定理可得出结论埃菲尔铁塔的整个塔体结构高耸上窄下宽给人以平衡稳定的美感
初等数论
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的正整数 使得他们中的任意三个的和都是质数？证明你的结论。
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的 正整数使得他们中的任意三个的和都是质数？证明 你的结论。 特殊化猜想：1 3 7 9 一般化证明：假设存在5个符合题意的正整数。考 虑他们除以3的余数，设余数为0,1,2的分别为 a b c 个则 （1）若a b c均不为0则一定存在三个数，他们的余 数分别为0 1 2 取这三个数他们的和为3的倍数，不 是质数 （1）若a,b,c中有零，则根据抽屉原理至少有三个 数，他们的余数相同，这三个数的和为3的倍数一 定不是质数。综上最多能找到4个
2 设m=x1 x2 x3 x4 x5 , c4 6 这5个数中有两个相等；
不妨设x1
x2
x3
a 44, 45, 46, 47 a 46, m 57 x1 13, x2 12, x3 x5 11, x4 10
m x1 44 m x 45 2 x4则 m x3 46 则4m 182 a m x 47 4 m x5 a
初等数论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有 整数的整除理论、同余理论、连分数理论和 某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就 是用初等朴素的方法去研究数论。 在自主招生考试中所考察的内容包括：整数， 有理数，实数 整除，同余理论，多项式， 韦达定理，高斯函数等。 特点：形式简单所用知识不多但是富有灵巧 性不易下手
2014数学竞赛河南预赛7（高斯函数）
n n n 符号 x 表示不超过x的最大整数，n是正整数则 ( ) 3 6 n 1 2
初等数论
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
初等数论知识点
初等数论知识点数论是一门数学分支，主要研究整数（和实数）的性质和相互关系，以及它们的数学结构。
在数论中，初等数论是一门基础学科。
它主要探讨正整数的基本性质、算术运算规则、因数分解、最大公约数和最小公倍数等知识点的理论和应用。
本文将对初等数论的常见知识点进行详细介绍。
一、质数与合数任何一个大于1的自然数，如果它的因数除了1和它本身外，再没有其他因数，那么称这个数是质数。
否则，这个数就是合数。
例如，2、3、5、7、11、13等等，都是质数。
而4、6、8、9、10等等，都是合数。
在初等数论中，质数是一个非常重要的概念。
以下是一些质数的基本性质和定理：（1）2是最小的质数，它是唯一的偶质数。
（2）除2以外的任何偶数都是合数。
（3）如果一个整数p>1不能被2到√p之间的任何整数整除，那么它一定是质数。
（4）如果一个数是质数，则它不能表示成两个较小的正整数相乘。
（5）如果p是质数，且a、b是任意两个整数，那么a^p-b^p可以因式分解成(a-b)和另外一个整数的积。
（6）费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且p不整除a，那么a^(p-1)除以p的余数为1。
以上定理在证明和应用上都非常重要，其中费马小定理还有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。
二、因数分解因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解成2^3 * 3，而30可以分解成2 * 3 * 5。
因数分解在初等数论和高等数学中都是非常常见的操作，因为它在求解最大公约数、最小公倍数等问题时非常关键。
以下是一些因数分解的常见方法和技巧：（1）试除法：从小到大枚举质数，依次判断是否为该数的因数，如果是，则将该因数除掉，继续枚举，直到该数变成1为止。
（2）质因数分解法：先将一个数的因子分解成若干个质数的乘积，然后将质数按照大小递增的顺序尝试分解该数，最终得到因子分解式。
（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，得到商和余数，然后用余数去除已经得到的商，继续得到商和余数，重复上述操作，直到余数为0为止。
初等数论
第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
初等数论讲义
3.2 原根的判别准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 二次剩余和勒让德符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Fermat数与Mersenne数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 同余式
13
第三讲 周期问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 麦比乌斯函数和Euler函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Dirichlet乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1 同余的概念及基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
第十四讲 不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56