鲁棒控制系统

2 3 4 5






注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多 项式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。
考虑下图所示的闭环系统 u G(s) k 其中
N (s) G ( s, r ) , N (s) D ( s, r )
我们称(1)为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该 研究所有可能的参数组合，这是个无穷检验问题。 前苏联数学家 Kharitonov于1978年给出了关于判断区 间多项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不 确定系统的鲁棒性分析奠定了基础。
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
G ( s, r )
4
s 2s 2s 1
3 2
s r3 s r2 s r1 s 1
3 2
r1 4，, r2 [ 3, 4 ], r3 [ 2 , 3 ] 5
取k＝1，此时闭环传递函数的分母为
s r3 s r2 s r1 s 1 s 2 s 2 s 1 s p 3 s p 2 s p 1 s 2
M dv
v
M
0
1 M M
0
1
0 2 0 2,
i 为给定常数
那么实际的被控对象就可以描述为
（ M 0＋ M ) dv dt ( 0 )v f , M 1 , 2
如果用f 到v的传递函数来描述，则有
4 3 2 3 2 4 3 2
其中
p 1 [ 2 , 3 ], p 2 [ 5 , 6 ], p 3 [ 3, 4 ]
此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式 稳定
F1 ( s ) 2 3 s 5 s 3 s s 2 3 4 F2 ( s ) 2 3 s 6 s 3 s s 2 3 4 F3 ( s ) 2 2 s 5 s 4 s s 2 3 4 F4 ( s ) 2 2 s 6 s 4 s s

2


u ( j ) d
G (s)

sup [ G ( j )]
R
闭环系统鲁棒稳定性分析
加性不确定性 考虑下图所示系统
(s) G(s)
u k (s) K G(s) y
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1
定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当

1
x ( A E F ) x Bu , u Kx
即为设计K使得A+BK＋EF稳定，也即
F ( sI A BK )
1
E

1
实 验
Furuta摆实验
三自由度直升机系统
分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导 可得
G B ( j ) G B ( j ) 1 G K ( j )
而传递函数
1 P0 ( j ) K ( j ) G K ( j )
1 1 P0 ( s ) K ( s )
S (s)
体现了开环特性的相对偏差 G K G K 到闭环频率特性 G B G B 的增益，因此，如果我们在设计控制器K时， 能够使S的增益足够小，即
对于反馈系统
w r e k (s) K u P(s) y
其中K(s)为控制器，w为干扰信号，r为参考输入，u 为控制输入，e为控制误差信号，y为输出信号。系统 的开环和闭环频率特性为
G K ( j ) P ( j ) K ( j ), G B P ( j ) K ( j ) 1 P ( j ) K ( j )
鲁棒性(Robustness)
所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性 能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成 立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系 统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性 能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系 统具有鲁棒性能。
系统的不确定性
参数不确定性，如二阶系统：
i ri s , ri ri , ri
y

m
qi s , D ( s, r )
i
i0

n


i0
闭环传递函数为
G CL ( s , r ) G ( s, r ) 1 kG ( s , r )
Gcl(s)的分母为 D ( s , r ) kN ( s )
例：
R
1
* () 表示最大奇异值，即 ( A ) { max ( A A )} 2 , 其中
A 为 A 的共轭转置阵，
*
max 为最大特征值。
H控制问题即为对于给定的 > 0，设计控制器K 使得闭环系统稳定且满足
S (s)


H理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个 可描述集
S ( j ) , 为充分小正数
那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。 传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等 于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益 就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义
S (s)
Βιβλιοθήκη Baidu
sup [ S ( j )]
• 加性不确定性： • 乘性不确定性：
G (s, ) G0 (s) (s) G ( s , ) ( I ( s )) G 0 ( s )
一个例子
设汽车质量为M,路面摩擦系数为 ，汽车的力学模型如 下图所示： v f M 其运动方程为： dt v f 如果考虑到汽车的质量M随车载负荷发生变化， 且也随 路面状况不同而变化，则方程的系数就具有一定的不确 定性，即，无法得到M和的精确值。假设M和的取值 范围给定如下：
P1 ( s ) a 0 a 1 s a 2 s a 3 s a 4 s a 5 s 2 3 4 5 P2 ( s ) a 0 a 1 s a 2 s a 3 s a 4 s a 5 s 2 3 4 5 P3 ( s ) a 0 a 1 s a 2 s a 3 s a 4 s a 5 s 2 3 4 5 P4 ( s ) a 0 a 1 s a 2 s a 3 s a 4 s a 5 s
2 3 4
H控制理论
H控制理论提出的背景
现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际 应用并不成功。主要原因是忽略了对象的不确定性，并 对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。 加拿大学者Zames在1981年提出了著名的H控制思 想，考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于 属于一个有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭 环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递 函数的H范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增 益，所以用表示上述影响的传递函数的H范数作为目标 函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干 扰对系统期望输出的影响最小。
G (s) (M
0
1 M )s 0
1 M 0s 0
G0 (s) (s)
其中
G0 (s) (s) , Ms ( M 0 s 0 ) [( M 0 M ) s ( 0 )]
可以找到适当的界函数W ( j ), 有 ( j )
L 2 w (t ) |



w ( t ) dt
2
0

L2中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰w L2对 系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量， 求控制器K使得满足
z
2 2

2
w 2 , w L2
sup
w0
2
(1)
z为输出信号。定义
T zw ( j )
W ( j )
鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的 控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综 合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定 性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性 综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设 计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 主要的鲁棒控制理论有： Kharitonov区间理论； H控制理论； 结构奇异值理论(理论)； 等。
在前面各章中，我们总是假设已经知道了受控对象的 模型，但由于实际中存在种种不确定因素，如：

参数变化； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入；
等等，所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系 统的不精确的表示。鲁棒系统设计的目标就是要在模 型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能 保持预期的性能。如果模型的变化和模型的不精确不 影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们 称它为鲁棒控制系统。
K ( s )( I G ( s ) K ( s ))
1
1
闭环系统鲁棒稳定性分析
乘性不确定性 考虑下图所示系统
(s) G(s)
u k (s) K G(s) y
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1
定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
( I G ( s ) K ( s ))
1
G (s)K (s)

1
时域模型的鲁棒性
考虑系统
x ( A A) x
其中 A E F ，为任意满足 T I 的实矩阵，E,F为 已知矩阵。 T 定理：对任意的， I ，A+EF 稳定当且仅当
控制
F ( sI A )
1
E
系统的鲁棒控制问题
G (s) 1 s as 1
2
, a [a , a ]


可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 动态不确定性 也称未建模动态 ( s ) ，我们通常并不知道它的结构、 阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：
( j ) W ( j ) , R , W ( j )为确定函数

z w
2 2
其中Tzw(s)为由w至z的闭环传递函数，则(1)等价于
T zw ( j )
求使最小的控制器K就是H最优设计问题。


传递函数的H范数
对于系统的传递函数G (s),若其在右半平面无极点，定义 下面的范数为H范数
G (s)

sup 1

Gu u
2
2
,
2
其中 定理：
u
2
如果P(s)具有误差 P ( s ) P0 ( s ) P ( s ) ，那么相应地开环 和闭环频率特性也具有误差
G K ( j ) G K ( j ) G K 0 ( j ) G B ( j ) G B ( j ) G B 0 ( j )
其中
G K 0 ( j ) P0 ( j ) K ( j ), G B 0 P0 ( j ) K ( j ) 1 P0 ( j ) K ( j )
Kharitonov定理
具有不确定参数的系统
假设系统的特征多项式为
f ( s ) a n s a n 1 s
n n 1
a1 s a 0

(1)
其系数满足
a i a i a i , i 0 ,1, , n , 0 [ a i , a i ]