导数中的恒成立和存在性问题

导数中的恒成立和存在性问题

技巧传播

1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ⇒>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇒≤；

2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ⇒>；()a f x ≤能成立max ()a f x ⇒≤；

3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ⇔>的解集为R

()()a f x M M a f x C M >⎧⇔⎨≤⎩在上恒成立在上恒成立； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =，

若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =；

4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥；

5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤；

6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥；

7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤；

8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方；

9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；