实数系基本定理等价性的完全互证

存在收敛的子列{xnk } , 设其极限为ξ . 于是 ∀ε > 0, ∃K , ∀k ≥ K ,| xnk − ξ |< ε
3
由于{xn}也是单调递增数列, ξ 必为{xnk } 的上界, 于是对上述的 ε , 当 n > nK ,
| xn − ξ |= ξ − xn < ξ − xnK < ε , 这说明 xn → ξ (n → ∞) .
我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: (1) 确界存在定理(pp.12): 上（下）有界的非空数集必存在唯一上（下）确界. (2) 递增（减）有界数列必有极限(pp.34).
(3) 闭区间套定理(pp.41): 设 I1, I2 ,L In ,L 是一串有界闭区间, I1 ⊃ I2 ⊃ L ⊃ In ⊃ L, 且 In 的长度
分析: 这个技巧在于取能被有限覆盖的闭区间右端点的上确界, 证明此上确界就是整个区间的右端点.
证明: 设{Oα }为闭区间[a,b] 的开覆盖. 定义 A = {x | [a, x]能被有限覆盖，x ∈[a, b]} . 由于 a ∈ A ,
可知 A 是有界非空集, 由确界存在定理, 知 β = sup A 存在. 显然 β ≤ b , 若 β < b , 设 β ∈ Oα0 , 则闭有
盖, 记为 I1 ; 同样将 I1 等分后至少有一个半区间也不存在有限开覆盖, 记为 I2 ; …这样得到一闭区间套
I1 ⊃ I2 ⊃ L ⊃ In ⊃ L, | In |→ 0 , 每个 In 都不存在有限开覆盖.
∞
I 设 In = {ξ} , 由于 ξ ∈[a, b] , 必 ∃Oξ , 使得 ξ ∈ Oξ . 由于 | In |→ 0 , 故 n 充分大时, In ⊂ Oξ , 这与 In n=1
| xn − ξ |≤| xn − xnk0 | + | xnk0 − ξ |< 2ε , 这说明 xn → ξ (n → ∞) z (3) ⇒ (6) pp.308
分析: 用闭区间套定理反证. 取不存在开覆盖的半区间构成闭区间套, 由此易得矛盾.
证明: 反证法. 假设[a,b] 不存在有限开覆盖, 则将[a,b] 等分后至少有一个半区间也不存在有限开覆
∞
I | In |→ 0 , 称{In} 为闭区间套. 则闭区间套{In} 的交 In 必不空且为单点集. n=1
(4) Bolzano-Weierstrass 定理(pp.44): 有界数列必有收敛子列.
(5) Cauchy 收敛准则(pp.299): 数列{xn}收敛 ⇔ {xn}是基本数列.
(6) 有限开覆盖定理(pp.308): 若开区间族{Oα } 覆盖了有界闭区间 [a, b] , 则从{Oα } 中必可挑出有限
(3)
(4)
(5)
pp.308
(6)
图 1. 教材[1]中完成的基本定理之间的证明.
我们首先回顾一下教材中给出的证明过程[1].
z (1) ⇒ (2) pp.34
分析: 单调有界数列必收敛, 事实上就是收敛到其确界. 有了这个理解后, 就很容易利用确界存在定 理(1)来证明(2)了: 只要将确界找到, 证明此确界就是数列极限即可.
分析: 按二等分取闭区间, 每个闭区间含有数列的无穷多项. 由闭区间套定理套住的唯一点就是某个 子列的极限.
证明: 设{xn} 是有界数列, 则存在闭区间 I1 使得 ∀xn ∈ I1 . 将 I1 等分为左右两个闭区间, 则至少有一
个半区间包含 {xn} 中的无穷多项, 取为 I2 . 同样的办法将等分后取出 I3 , …最终得到一闭区间套
z (3) ⇒ (1) pp.47
分析: 按二等分取闭区间, 使每个闭区间含有数集的确界. 由闭区间套定理套住的唯一点就是数集的 确界.
证明: 只证上确界的情况. 假设非空集合 A 有上界 M , 取 a1 ∈ A, b1 = M , 则 a1 ≤ b1 . 记 I1 = [a1, b1] .
令 c = a1 + b1 2
个开区间 Oα1 , Oα2 ,L, Oαn 同样覆盖了[a, b] : [a, b] ⊂ Oα1 U Oα2 ULU Oαn .
在证明之前, 我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么, 只要概念清楚了, 并且理解其方 法, 证明并不难.
定理(1)~(5)属于同一类型, 它们都指出, 在某一条件下, 便有某种“点”存在, 这种点分别是确界（点） (定理(1)), 极限点(定理(2)(5)), 公共点(定理(3)), 子列的极限点(定理(4)). 定理(6)是属于另一种类型, 它是 前 5 个定理的逆否形式.
证明: 设 In = [an , bn ], an ≤ bn , 由 In+1 ⊂ In 可知 an ≤ an+1, bn+1 ≤ bn , 由此可见 an ↑ 且 an ≤ b1 , bn ↓
且 bn
≥ a1 ,
因此 ξ
=
lim
n→∞
an
,
η
=
lim
n→∞
bn
都存在,
并且ξ 为{an}的上确界,
η 为{bn} 的下确界.
,
若 c 为 A 的上界,
则 取 a2 = a1, b2 = c ,
否 则 取 a2 = c, b2 = b1 ,
显 然 都 有 a2 ≤ b2 ,
且
A I [a2 , b2 ] ≠ φ .记 I2 = [a2 , b2 ] . 以此类推, 得到闭区间套 I1 ⊃ I2 ⊃ L ⊃ In ⊃ L, | In |→ 0 , 每个 In 与
证明: 不妨设数列{xn}单调递增. 由于{xn}有界, 由(1)知它的确界存在且有限, 设为 β .
由 上 确 界 定 义 , β 是 {xn} 的 上 界 , 即 ∀n ∈ N, xn ≤ β ; 且 ∀ε > 0 , β − ε 不 是 上 界 , 即 ∃N , 使 得
xN > β − ε .
实数系基本定理等价性的完全互证
刘利刚
（浙江大学数学系, 浙江 杭州 310027）
摘要: 本文综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法, 并归纳了各种证明方法的规律, 旨 在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系; 连续性; 等价; 极限
实数系基本定理是数学分析中重要组成部分, 是分析引论中极限理论的基础, 也称为实数系的连续性 定理. 能够反映实数连续性的定理很多, 它们是彼此等价的. 现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进 行一次循环证明就验证了它们的等价性[1, 2]. 虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同, 但每一次循 环证明看起来都似乎没有关联, 并没有综合归纳其中的方法技巧. 这么多相互独立的证明使得不少学生都 感到数学分析中这部分内容太抽象, 难以理解. 因而当遇到一个教材中没有给出的 2 个定理之间的等价性 证明时就无从下手. 为此, 在讲述这些定理的时候, 我们把这些定理的相互证明详细地整理出来, 并且归 纳给出了这些定理的完全互证方法与规律, 使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从.
因为
∞
I | In |= bn
− an
→0,
故η
=
lim
n→∞
an
+ lni→m∞(bn
− an ) = ξ
,
这说明 ξ
=η ∈In ,
从而.
至此已证明 In
n=1
非空.
∞
∞
I I 再由 In ⊂ In 及| In |→ 0 可知集合 In 至多包含一点.
n=1
n=1
z (3) ⇒ (4) pp.44
4
Step 2. 然后把[a1, b1]二等分, 证明至少有一个子区间里具有性质 P , 记这个子区间为[a2 , b2 ] ;
Step 3. 不断重复这一步骤, 于是得到一个区间列{[an , bn ]}, 它满足条件:
(i) [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1], n = 1,2,L
∞
I A 的交非空. 由闭区间套定理, 存在唯一的 ξ , In = {ξ}. 由于 bn → ξ , , 且 ∀η < ξ , ∃Ik , ak > η , 而 n=1
Ik I A ≠ φ , 必 ∃x ∈ A, ∋ x ≥ ak , 从而 x ≥ η , 即η 不是 A 的上界. 由此得知ξ 为 A 的上确界. z (1) ⇒ (6) pp.309
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2. 闭区间套定理与其他定理互证的方法
用闭区间套定理证明问题时, 关键是要构造一个满足一定条件的区间套序列, 然后由区间套定理套出 一个公共点, 这个点往往就是满足问题要求的点. 在构造闭区间套序列时, 常采用二等分法, 其过程一般 为:
Step 1. 先考虑一个区间[a1, b1] , 使它具有某种性质 P ;
(ii)
lni→m∞(bn
是直接利用闭区间套定理, 而是来证明 an 和 bn 收敛性即可.
证明: (5) ⇒ (1): 证明{an}, {bn} 为 Cauchy 基本数列, 得知它们都收敛.
(2) ⇒ (1): 由{an}, {bn} 为单调有界数列得知它们收敛.
(4) ⇒ (1): 由{an}, {bn} 为有界数列, 得知它们存在收敛子列, 然后再利用单调性得出它们都收敛（即利 用(4) ⇒ (2)的方法 ）.
1. 教材中的证明
教材[1]中完成的证明如图一所示. 另外, 教材中给出练习的有:
(4) ⇒ (2) pp.45 (3) ⇒ (1) pp.47 (1) ⇒ (6) pp.309 (6) ⇒ (1) pp.309 (5) ⇒ (1) pp.309
1
pp.34
pp.41
pp.44
pp.299
(1)
(2)
不存在有限开覆盖矛盾.
现在给出教材中给出的习题的证明.
z (4) ⇒ (2) pp.45
分析: 由有界性知数列有收敛子列, 由单调性可知数列收敛到此子列的极限.
证明: 不妨设数列{xn}单调递增. 由于{xn}有上界, 下界即为 x1 , 由 Bolzano-Weierstrass 定理, {xn}
[β , β '] ⊂ Oα0 , 且 β '< b , 可知[a, β '] 也能被有限覆盖, 从而 β '∈ A , 这与 β = sup A 矛盾. z (5) ⇒ (1) pp.309
分析: 事实上, 由(5),(2),(4)证明(1)的思路是一样的, 类似于由(3)证(1)的方法, 构造闭区间套, 然后不
I1 ⊃ I2 ⊃ L ⊃ In ⊃ L, | In |→ 0 , 每个 In 中包含{xn}中的无穷多项.
2
∞
I 根据闭区间套定理, 存在唯一点 In = {ξ} . 下面构造收敛到 ξ 的子列: 任取 xn1 ∈ I1 , 由于 I2 包含{xn} n=1
中的无穷多项, 故必能在 I2 取出 n1 项以后的项 n2 , 即 xn2 ∈ I2 , n2 > n1 . 类似地, ∃xn3 ∈ I3 , n3 > n2 , … 最后得到一子列{xnk } , xnk ∈ Ik , 从
由于{xn}单调递增, 所以 ∀n > N , β ≥ xn ≥ xN > β − ε , 即| xn − β |< ε .
由极限定义可知,
lim
n→∞
xn
=
β
,
即 {xn } 收敛.
z (2) ⇒ (3) pp.41
分析: 由于闭区间套的每个区间的左端点单调递增有上界, 右端点单调递减有下界, 即可得它们都收 敛, 然后利用闭区间套的长度趋向零证明这两个极限相等, 为所有闭区间的公共点, 并且唯一性也易得证.
| ξ − xnk |≤| In |→ 0 (k → ∞) 得 xnk → ξ (k → ∞) . {xnk } 就是要找的子列. z (4) ⇒ (5) pp.299
分析: 首先易知 Cauchy 数列有界, 从而存在收敛子列, 再证明此收敛子列的极限就是原数列的极限.
证明: 易知 Cauchy 基本数列有界, 由 Bolzano-Weierstrass 定理, {xn}存在收敛的子列{xnk } , 设其极限 为ξ . 由{xn}是 Cauchy 基本数列, 故 ∀ε > 0, ∃N0 ,∀n ≥ N0 ,| xn − xN0 |< ε ; 由 xnk → ξ (k → ∞) , 对于上述的 ε , ∃K ,∀k ≥ K ,| xnk − ξ |< ε ; 取 N = max(nk +1, N0 +1) , 当 n > N 时, 取 k0 > K 使得 nk0 > N ,