根据其它数学模型建立状态空间模型
2018线性系统理论课件03-第1章(2)由系统机理和框图建立状态空间模型
3. 一阶微分惯性环节 其传递函数为 G(s) Y (s) s b 1 b a
n1 r 0
s nr 1
f
(r)
(0)
（1.2.6）
式中 f (r) (0) 是 r 阶导数 dr f (t) 在 t 0 时的值。 dt r
特别地，如果 f (t) 及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则有
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
（1.2.7）
1.2.2.3 积分性质
试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为
输出的状态空间模型。
+
Ra
ia
La
u
M
J, f
f
-
图1-4 电枢控制的直流电动机原理图
解 ：设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。
按照图1-4所描述的电动机系统，可以写出如下主 回路电压方程和轴转动动力学方程
u
Raia
La
dia dt
J
0
Ce La
1
La
0 1 x 0 u
0
f
0
J
y [0 1 0]x
1.2由系统框图建立状态空间描述
首先复习补充有关积分变换的知识。 拉氏变换的定义 拉氏变换的微分性质 拉氏变换的积分性质
1.2.1拉普拉斯变换的定义
本次课主要内容
1.2由系统框图建立状态空间描述 1.3由系统机理建立状态空间描述
为了讲解问题方便，我们先讲1.3 的内容，然后再介绍1.2的内容。 下面先复习上节课的主要内容。
matlab tf、ss、和zpk的控制系统建模实验心得
matlab tf、ss、和zpk的控制系统建模实验心得1. 引言1.1 概述控制系统建模是设计和分析工程系统的重要步骤之一。
在这个过程中，我们需要选择适当的数学模型来描述系统的行为，并使其与实际物理现象相匹配。
MATLAB作为一个功能强大的工具，提供了多种方法来进行控制系统建模，其中包括传递函数模型(TF)、状态空间模型(SS)和零极点增益模型(ZPK)。
本文旨在总结和分享我在使用MATLAB中的TF、SS和ZPK进行控制系统建模实验中的经验和心得。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开讨论：- 第二部分将介绍在MATLAB中使用TF进行控制系统建模时的一些重要事项，包括理解传递函数模型以及如何建立该模型。
- 第三部分将介绍使用SS进行控制系统建模时所需注意的事项，包括理解状态空间模型和建立该模型的步骤。
- 第四部分将介绍使用ZPK进行控制系统建模时需要注意的事项，包括理解零极点增益模型和如何建立该模型。
最后，在第五部分中，将对TF、SS和ZPK三种建模方法进行比较，并总结心得体会，并对未来的研究方向进行展望。
1.3 目的本文的目的是帮助读者更好地理解和掌握MATLAB中TF、SS和ZPK建模方法，以便能够准确描述和分析控制系统的行为。
通过分享我的实验心得，我希望能够给读者提供一些在实际应用中使用这些模型时的指导和启示。
让我们开始吧！2. MATLAB中的TF模型建模实验心得2.1 理解传递函数模型在MATLAB中，传递函数（Transfer Function）是一种常用的控制系统建模方法。
它用于描述输入和输出之间的关系，并包含了系统的动态特性。
在进行TF 模型建模时，我们首先需要理解传递函数的含义和作用。
传递函数是指将系统的频率响应与拉普拉斯变换联系起来的函数表达式。
通过分子多项式和分母多项式的比值来表示系统，并使用频率域表达，可以方便地分析系统性能、稳定性以及设计控制器等。
2.2 建立传递函数模型的步骤在MATLAB中，建立传递函数模型可以遵循以下步骤：步骤1：确定系统的数学模型。
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
6 11 6 6
y [1 0 0]x
微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1
其系统结构图如下所示
u 6
x3 x3 x2
x1
y 1
-6 -11 2 -6
微分方程中包含输入量的导数项(1/11)
2. 微分方程中包含输入量的导数项
➢ 由不含输入量导数项和
➢ 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。
本节关键问题:
关键喔!
➢ 如何选择状态变量
➢ 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为
➢ 类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法 亦适用于对微分方程建立状态空间模型。
线性定常微分方程
对线性定常系统 拉氏变换
传递函数
建立状态空间模型方法
第一章第三节方法
第一章第四节方法
由传递函数建立状态空间模型(3/6)
实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。
上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 ➢ 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 可以看到。
微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)
状态空间模型
若表示为
f ( x, x ) x
则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们 为相变量。 称 x和 x
如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动 状态就完全被确定了。
作为平面的直角坐标轴，则系统在 若采用x和 x 每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变 化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该 轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。
y(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
x1 ( t ) a11 a12 x1 b1 u( t ) x2 ( t ) a21 a22 x2 b2 y( t ) c c x1 1 2 x 2
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
定义：由系统的n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状 态空间。 引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量 形式表示出来，称为状态矢量。 记为：
x1 ( t ) x (t ) x( t ) 2 xn ( t ) n1
但因
uc1+uc2+uc3=0
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
计算机控制系统数学模型介绍
计算机控制系统数学模型介绍引言计算机控制系统是一种通过计算机技术实现对各种物理过程进行控制的系统。
数学模型是描述和分析计算机控制系统行为的重要工具，通过建立数学模型可以帮助我们理解和优化系统的性能。
本文将介绍计算机控制系统数学模型的基本概念和常见的数学建模方法，以帮助读者对计算机控制系统的数学模型有更深入的理解。
系统模型在建立计算机控制系统的数学模型之前，我们首先需要了解系统模型的概念。
系统模型是对实际系统行为进行简化和抽象的描述，它可以帮助我们理解系统的运行原理和行为特性。
在计算机控制系统中，常见的系统模型包括连续时间模型和离散时间模型。
连续时间模型是描述系统在连续时间范围内的行为。
在连续时间模型中，系统的状态会随着时间的变化而连续变化。
常见的连续时间模型包括微分方程和传递函数。
微分方程是描述系统状态随时间变化的数学方程，它可以用来描述系统的动态行为。
常见的微分方程模型包括一阶微分方程、二阶微分方程等。
传递函数是描述输入和输出之间关系的函数，它可以将输入信号转换为输出信号。
传递函数通常可以通过对系统进行实验测量获得，或者通过对系统进行建模和参数估计得到。
离散时间模型是描述系统在离散时间范围内的行为。
在离散时间模型中，系统的状态只能在特定的时刻发生变化。
常见的离散时间模型包括差分方程和状态空间模型。
差分方程是描述系统状态随时间变化的差分方程，它可以理解为离散时间下的微分方程。
差分方程可以通过观测系统的离散时间响应来建立，或者通过对连续时间模型进行采样和离散化得到。
状态空间模型是对离散时间系统行为进行描述的数学模型。
在状态空间模型中，系统的状态可以用一组状态变量表示，并且可以通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
建立数学模型的方法在实际应用中，建立计算机控制系统的数学模型通常包括以下几个步骤：1.确定系统的输入和输出：首先要确定系统的输入和输出信号，这有助于理解系统的工作原理和行为特性。
2.收集系统数据：通过实验或者测量的方式，收集系统的输入和输出数据，这有助于了解系统的性能和行为。
mpcc模型预测控制原理
mpcc模型预测控制原理MPCC模型预测控制原理概述模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)是一种基于模型的控制策略，广泛应用于工业过程控制、机器人控制、交通流量控制等领域。
MPCC模型预测控制是MPC的一种改进形式，通过引入约束条件来优化系统的控制性能。
本文将介绍MPCC模型预测控制的原理、优势以及应用领域。
一、MPCC模型预测控制原理MPCC模型预测控制的基本原理是通过建立系统的数学模型，预测未来一段时间内的系统行为，并根据优化目标函数和约束条件确定最优控制输入。
其主要步骤包括以下几个方面：1. 建立系统模型：根据实际系统的特性，建立数学模型，通常采用离散时间状态空间模型或差分方程模型。
模型的准确性对于MPCC 的控制性能至关重要。
2. 预测未来状态：根据系统模型，使用当前状态和控制输入，预测未来一段时间内系统的状态。
这可以通过迭代计算系统模型的状态转移方程来实现。
3. 优化控制输入：通过优化目标函数和约束条件来确定最优控制输入。
目标函数通常包括系统的性能指标，如控制偏差的最小化、能耗的最小化等。
约束条件可以包括系统状态的约束、输入变量的约束等。
4. 执行控制输入：根据优化结果，执行最优控制输入。
在实际应用中，由于存在执行延迟和测量误差等因素，通常需要进行反馈校正，以实现精确的控制。
二、MPCC模型预测控制的优势MPCC模型预测控制相比传统的控制方法具有以下几个优势：1. 多变量控制能力：MPCC模型预测控制可以处理多变量系统，并考虑变量之间的相互影响，从而实现更精确的控制。
这在工业过程控制等领域尤为重要。
2. 鲁棒性：MPCC模型预测控制可以通过引入约束条件来确保系统在不确定性和扰动的情况下仍能保持稳定性。
这使得MPCC对于工业系统的鲁棒性要求更高。
3. 非线性控制能力：MPCC模型预测控制可以处理非线性系统，并通过在线优化来实现对非线性系统的精确控制。
这在机器人控制等领域尤为重要。
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
matlab状态空间方程
MATLAB状态空间方程引言状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型。
在控制系统、信号处理和通信系统等领域中，状态空间模型被广泛应用。
MATLAB是一种功能强大的数值计算和科学工程软件，提供了用于建立和分析状态空间方程的工具。
本文将介绍MATLAB 中状态空间方程的基本概念、建模方法和应用案例。
什么是状态空间方程状态空间方程是一种将系统的状态和输入表示为向量形式的数学模型。
它由一组一阶微分方程组成，描述系统的动态行为。
状态空间方程可以用矩阵形式表示，其中状态向量、输入向量和输出向量分别由状态方程和输出方程联系起来。
状态空间方程的基本概念状态空间方程由两个基本方程组成：状态方程和输出方程。
状态方程描述系统的状态演化规律，输出方程描述系统的输出与状态和输入的关系。
状态方程状态方程可以用一阶微分方程的形式表示：dx/dt = Ax + Bu其中，x是状态向量，t是时间，A是状态矩阵，B是输入矩阵，u是输入向量。
输出方程输出方程可以用线性方程的形式表示：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
MATLAB中的状态空间方程建模方法MATLAB提供了多种方法用于建立和分析状态空间方程。
下面介绍几种常用的建模方法。
传递函数转换方法MATLAB提供了tf2ss函数，可以将传递函数转换为状态空间方程。
使用该函数需要输入传递函数的分子多项式和分母多项式。
系统标识工具箱MATLAB的系统标识工具箱提供了一套用于系统建模和参数估计的工具。
通过该工具箱，可以基于实验数据或频域响应数据建立状态空间模型。
手动建模方法对于简单的系统，也可以通过手动建立状态空间方程。
根据系统的物理特性和动态行为，将系统的状态和输入表示为向量形式，然后利用线性代数的方法建立状态方程和输出方程。
状态空间方程的应用案例状态空间方程在控制系统、信号处理和通信系统等领域中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的应用案例。
控制系统设计状态空间方程可以用于设计控制系统。
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
x&(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
例 线性时变系统
x& A(t) x B(t)u
y
C (t
)
x
D(t
)u
x1
x
x2 ...
[
x1
x2
... xn ]T
xn
u1
y1
u2 系统内部状态 y2
…
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型自动控制是一种通过控制器、执行器和传感器等组件来改变系统特性以实现预期目标的过程。
自动控制原理的数学模型是描述该过程的数学方程组，用于定量地分析和设计控制系统。
实际上，自动控制原理的数学模型可以通过一些基本的物理规律和方程来构建。
下面将介绍几种常见的自动控制原理的数学模型。
1.线性系统模型线性系统是指系统的输出与输入之间的关系是线性的。
在自动控制领域中，线性系统模型是最常见和基础的数学模型。
线性系统的数学模型可以通过常微分方程或差分方程来描述。
常见的线性系统模型有传递函数模型、差分方程模型和状态空间模型等。
传递函数模型是一种常见的线性系统模型，将系统的输入和输出之间的关系表示为一个分子多项式与一个分母多项式的比值。
传递函数模型可以通过系统的拉普拉斯变换或者离散时间系统的Z变换得到。
2.非线性系统模型除了线性系统以外，许多现实中的控制系统是非线性的。
非线性系统的数学模型可以通过非线性方程组来描述。
非线性系统的模型可能难以分析和求解，因为非线性方程组通常没有解析解。
3.离散系统模型离散系统是指系统的输入和输出是在离散时间上进行的。
离散系统的数学模型可以通过差分方程来描述。
差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具，可以通过差分方程求解得到系统的时间响应。
4.状态空间模型状态空间模型是一种描述线性动态系统的数学模型。
状态空间模型将系统的状态用向量表示，以描述系统在不同时间点的状态和状态之间的相互关系。
状态空间模型适用于揭示系统的内部细节和进行控制系统设计。
为了应用自动控制原理的数学模型，需要进行系统的建模和参数辨识。
系统的建模是根据系统的特性和运行规律，建立数学模型的过程。
参数辨识是根据实际测量数据和实验结果，确定数学模型中的参数值的过程。
总结起来，自动控制原理的数学模型是用于描述控制系统的数学方程组，常见的数学模型包括线性系统模型、非线性系统模型、离散系统模型和状态空间模型等。
建立和辨识数学模型是应用自动控制原理的重要步骤，可以通过物理规律和系统运行数据等来完成。
状态空间模型
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
在MATLAB中使用状态空间模型进行设计
在MATLAB中使用状态空间模型进行设计MATLAB是一种功能强大的计算机工具，可以用于各种科学计算、数据可视化和算法开发等任务。
在控制系统设计中，MATLAB也是一个重要的工具，可以用来建立和分析控制系统模型。
其中，状态空间模型是一种常用的表示方法，可以描述系统的动态行为和状态变化。
状态空间模型是一种数学模型，用一组微分方程描述系统的动态行为。
它通过将系统内部的状态变量以及输入和输出变量进行关联，来描述系统的演化过程。
状态空间模型可以用矩阵形式表示，这种表示方法直观而且方便进行计算。
在MATLAB中，可以使用StateSpace类来构建状态空间模型。
StateSpace类可以接受系统的系数矩阵作为输入，然后根据这些系数矩阵构建一个状态空间模型对象。
这个对象可以用来进行模型分析、设计和模拟等操作。
下面我们将介绍一些常用的MATLAB函数和命令，帮助读者了解如何在MATLAB中使用状态空间模型进行设计。
首先，我们可以使用`ss`函数来创建一个状态空间模型对象。
这个函数可以接受系统的系数矩阵作为输入，然后返回一个StateSpace对象。
例如，我们可以使用如下命令创建一个二阶系统的状态空间模型：```matlabA = [0 1; -1 -1];B = [0; 1];C = [1 0];D = 0;sys = ss(A, B, C, D);```在上述代码中，矩阵A、B、C和D分别表示系统的状态方程、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。
通过使用`ss`函数，我们可以将这些矩阵传递给StateSpace对象，并得到一个表示系统的状态空间模型对象sys。
接下来，我们可以使用MATLAB提供的函数和方法来对状态空间模型进行各种操作。
例如，我们可以使用`tf`函数将状态空间模型转换为传输函数模型。
传输函数模型是一种常用的控制系统表示方法，可以用来分析系统的频率响应和稳定性等特性。
下面是一个将状态空间模型转换为传输函数模型的示例代码：```matlabtf_sys = tf(sys);```在上述代码中，我们使用`tf`函数将状态空间模型sys转换为传输函数模型tf_sys。
现代控制工程第2章状态空间数学模型
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
1
0
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
21
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
线性系统的建模与控制
线性系统的建模与控制一、引言线性系统的建模与控制是控制工程领域中的重要研究方向之一。
线性系统具有简单、稳定和易于分析等优点，因此被广泛应用于各个领域，如电力系统、机械工程和化学工程等。
本文将探讨线性系统的建模方法和控制策略。
二、线性系统建模方法线性系统的建模是在实际系统和数学模型之间建立映射关系，以便对系统进行分析和设计。
常见的线性系统建模方法有状态空间模型和传递函数模型。
1. 状态空间模型状态空间模型是通过描述系统的状态和状态转移方程来建模的。
在状态空间模型中，系统的行为由一组一阶微分方程表示。
具体而言，状态空间模型可以表示为：$x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)$$y(t) = Cx(t) + Du(t)$其中，$x(t)$ 是系统的状态向量，$u(t)$ 是输入信号，$y(t)$ 是输出信号，$A$、$B$、$C$ 和 $D$ 是矩阵参数。
2. 传递函数模型传递函数模型是通过描述系统的输入和输出之间的关系来建模的。
传递函数是输入信号与输出信号的 Laplace 变换的比值。
传递函数模型可以表示为：$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$其中，$G(s)$ 是系统的传递函数，$Y(s)$ 是输出信号的 Laplace 变换，$U(s)$ 是输入信号的 Laplace 变换。
三、线性系统的控制策略线性系统的控制旨在调节系统的输入信号以改变系统的输出。
常见的线性系统控制策略包括比例控制、积分控制和微分控制。
1. 比例控制比例控制根据系统输出与参考输入的差异进行调节。
比例控制器的输出信号与输入信号成比例。
比例控制器可以通过调节比例增益来改变系统的响应速度和稳定性。
2. 积分控制积分控制根据系统输出与参考输入的累积值进行调节。
积分控制器的输出信号与输入信号的积分值成比例。
积分控制器可以消除系统的稳态误差，提高系统的精度和稳定性。
3. 微分控制微分控制根据系统输出的变化率进行调节。
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x&1 x2
......
x&n 1
xn
x&n a1xn ... an x1 bu
y 1 0 0 0 x
其中x [x1, x2, , xn]T, u [u], y [y].
微分方程: y(n) a1y(n-1) … any bu 状态变量: x1 y, x2 y(1), …, xn y(n-.1)
.
微分方程中包含输入量的导数项(10/10)
上述实现状 态空间模型 的模拟结构 图如右图所 示
u
n xn
n-1
xn
xn1 … x2
1 x1
-a1
…
-an-1
0
x1 y
0 1 0 0 1
0
0
1
0
2
x x u
0
0
0
1
n1
an an1 an2 a1 n
-an
……
n1 bn1 a1n2 … an1 0
则有
x n a1xna2xn1an1x2anx1
a1n1ua2n2uan11uan0ubnu
a1xn a2xn1an1x2 anx1
[bn a1 n1a2 n2an11an0]u
n
.
微分方程中包含输入量的导数项(8/10)
➢ i (i 0,1,…,n)满足:
.
微分方程: y(n)+a1y(n-1)+…+any = b0u(n)+…+bnu
状态变量：
微分方程中包含输入量的导数项(9/10)
x1 y 0u x2 y 1u 0u x3 y 2u 1u 0u
xn y (n1) n1u n2u 0u (n1)
➢ 待定系数:
1 0
a1
1
d b0 a0
ai
ai a0
bi
bi
b0ai a0
.
由传递函数建立状态空间模型(4/5)
➢ 本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的 状态空间模型(A,B,C,D)
上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D; ➢ 严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的 (A,B,C), ✓即
.
由传递函数建立状态空间模型(2/5)
实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数. ➢ 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真 有理传递函数.
本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动 态行为的如下传递函数 G (s)a b0 0s sn n a b1 1s sn n 1 1 ...... b an n (a00)
.
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统 的状态空间模型,分别讨论由
不含输入量导数项和 含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型.
本节关键问题: 如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
.
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
➢ 上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微 分方程解的存在性和唯一性的条件不成立.
➢ 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量.
.
微分方程中包含输入量的导数项(3/10)
为避免状态方程中显式地出现输入的导数,通常, ➢ 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: ✓ 使状态方程中不显含输入u的各阶导数 ➢ 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面只介绍一 种
0 00 b0
0
0
1
b1
a2
a1
1
0
2
b2
an an1 an2 1 n bn
状态方程:
0 1 0 0 1
0
0
1
0
2
x x u
0
0
0 1
n1
an an1 an2 a1 n
输出方程:
y x 1 0 u [ 1 0 0 0 ] x 0 u
0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11
……
a20
n1 bn1 a1n2 … an1 0 n bn a1n1 … an1 1 an 0
xi 满足:
x1 x 2 1u x2 x 3 2 u
xn 1 x n n 1u
x n a 1 x n a 2 x n 1 a n 1 x 2 a n x 1 n u
y x 1 0 u [ 1 0 0 0 ] x 0 u
.
由传递函数建立状态空间模型(1/5)
2.3.2 由传递函数建立状态空间模型
下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的 状态空间模型 ➢ 关键问题: 1. 如何选择状态变量 2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
由于传递函数与线性常系数常微分方程有直接的对应关系, 故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方 法同样适用于将传递函数模型变换为状态空间模型. ➢ 类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方 法亦适用于对微分方程建立状态空间模型.
bn u bn1 u
n1 u
b2 u(n2)
u(n2)
2
b1 u(n1) b0 u(n)
1 u(n1) 0 u(n)
n
0
0
0
0
.
微分方程中包含输入量的导数项(7/10)
➢ 若待定系数i(i 0,1,…,n)满足如下关系式 0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20
x& Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量
.
微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)
由微分方程理论知, 若初始时刻t0的初值y(t0), y’(t0), …,
y(n1)(t0)已知, 则对给定的输入u(t), 微分方程(2.1)有唯一解, 也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定.
x&1 x2
......
x&n 1
xn
x&n a1xn ... an x1 bu
和输出方程
y x1
.
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
将上述状态方程和输出方程写 成矩阵形式有
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
x x u
0
0
0
1
0
a n a n 1 a n 2 a1 b
2. 微分方程中包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为
y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu
➢ 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
x& Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 2
y [1 0 0]x
.
微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)
其系统结构图如下所示
u 6
x3 x3
x2
x1
y 1
-6 -11 2 -6
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 2
y [1 0 0]x
.
微分方程中包含输入量的导数项(1/10)
.
微分方程中包含输入量的导数项(2/10)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t) y(t), x2(t) y’(t), …, xn(t) y(n-1)(t)
则可得如下状态方程 x x & & 1 n x 2a1xn. .....x & a nn 1 x1 xb n0u(n)...bnu
➢ 因此,选择状态变量如下 x1(t) y(t), x2(t) y’(t), …, xn(t) y(n-1)(t)
可完全刻划系统的动态特性 ➢ 取输出 y 及其各阶导数为状态变量,物理意义明确,易于
接受
.
微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)
将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 状态方程
.
微分方程中包含输入量的导数项(4/10)
根据上述原则,选择状态变量如下
x1 y 0u x2 y1u 0u x3 y2u 1u0u
xn
y(n1)
n1u n2u
u(n1)
0
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。对各式两边求导数得到:
x1 y0ux2 1u
x2 y1u0u x3 2u
xn1 y(n1) n2un3u 0u(n1) xn n1u xn y(n) n1un2u 0u(n)
上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后 一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个 n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵.
.
微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
xn xn
-a1
xn-1 … x2
u
a2 (xn1 n2 u n3 u 0 u(n2) )
an1(x2 1 u 0 u)
an (x1 0 u)
x1 y 0u
bn
x2 y1u 0u
u bn1 u b2 u(n2) b1 u(n1) b0 u(n)