随即微积分与普通微积分联系

随即微积分与普通微积分

1. 随机微积分（Stochastic Calculus）是干什么的？

一言以蔽之，给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变量做微积分那样，

对随机变量做微积分。

知道了这一点，我们很多时候都可以把普通微积分的思维方式，对应到随机微积分上。比如，有些概念，一开始如果我们不理解这个概念起的作用是什么，就可以想想在普通微积分里面跟这个概念相对应的概念

的作用。

2. 随即微积分的理论框架,是怎么样建立起来的？

一言以蔽之，依样画葫芦。这里的“样”，说的是普通微积分。在普通微积分里面，最基本的理论基础，是“收敛”（convergence）和“极限”（limit）的概念。所有其他的概念，都是基于这两个基本概念的。对于随机微积分，在我们建立了现代的概率论体系（基于实分析和测度论）之后，同样的我们就像当初发展普通微积分那样，先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量。比以前的普通的变量，要复杂得多，相应的建立起来的“收敛”和“极限”的概念，也要复杂得多。

事实上，随机微积分的“收敛”不止一种，相应的“极限”也就不止一种。用的比较多的收敛概念，是convergence with probability 1 (almost surely) 和mean-square convergence。

另一个需要新建立的东西，是积分变量。在普通微积分里面，积分变量就是一般的实变量，也就是被积函数（integrand）的因变量，基本上不需要我们做什么文章。而随即微积分的积分变量，是布朗运动。

在数学上严格的定义和构造布朗运动，是需要一点功夫的。

这个过程，是构建随机微积分的的过程中的基本的一环。

“收敛”，“极限”和“积分变量”都定义好了之后，我们就可以依样画葫芦，像普通微积分里面的定义那

样，去定义接下来的一系列概念。

3. 既然是依样画葫芦，那么跟普通微积分的区别是什么？

最基本的区别，在于现在的积分变量是布朗运动。它是时间的一个函数，但是却有一个特殊的性质：布朗运动处处连续但是处处不可导。正是这个特殊的性质，使得随即微积分跟普通微积分不同。在普通微积分里面，我们其实已经接触了用“基本变量的函数”来作为积分变量的情况，比如g(x)是x的函数，我可以用g作为积分变量进行积分：\int_{g=g(a)}^{g=g(b)} f(g) dg如果g(x)是一个可导的函数,这就是我们在普通微积分中已经解决了的问题，因为dg =g'dx，所以上式可以写成\int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx。但是对于布朗运动W来说，dW/dt不存在。正因为这个“微分”不存在，导致在普通微积分里面可以直接进行的上述微分运算，在随即微积分里面不能直接进行。比如，在普通微积分里面，有基本的微积分公式

d (ln x)' = 1/x

因而

dx/x = d(ln x).

但在随机微积分里面，则不能对dW/W 进行这样的计算。dX/X =/= d(ln X)，因为ln(X)是不可导的。

这就需要我们建立新的基本运算规则。

４. 随即微积分的基本运算规则是什么？

在普通微积分里面，首先我们定义了牛顿-莱布尼兹公式

f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx

然后我们定义了一系列基本的运算法则，比如

d(x+y) = dx + dy;

d(xy) = x*dy + y*dx

和基本微积分公式，比如

(x^2)' = 2x；

\int exp(x)dx = exp(x)。

然后我们实际进行微积分运算的时候，主要是把要计算的微分或者积分，按照运算法则分解成这些基本的微积分公式，然后把他们用这些基本的微积分公式套进去进行计算。在随机微积分里面，我们做相同的事情。

导致随即微积分和普通微积分在操作上的区别的，就是最基本跟牛顿-莱布尼兹公式相对应的新的微积分公式。普通微积分的牛顿-莱布尼兹公式，是由分区间近似求和，然后取极限得到。在随即微积分里面，我们可以用相同的方法来定义积分。但是这个近似的取法不同，会导致计算的结果不同。

目前最有实用意义的近似取法，是有日本数学家Ito提出的。那就是，在计算某个小区间的对整个积分的贡献的时候，用这个区别的左边界的函数值，来代替整个区间的函数值。（Note：在定义普通微积分的时候，我们用的是该区间上任意一点。之所以可以使用该区间上任何一点，是因为函数的可导性。而这里，函数不可导，所以不能像普通微积分那样，用任意一点的函数值来代替）用这种近似方法，我们可以得到如下基本公式（跟普通微积分里面的牛顿-莱布尼兹公式相对应），Ito公式：

f(W(t)) - f(W(0)) = \int_0^t f'(W(u)) dW(u) + 1/2\int_0^t f''(W(u)) du

等式右边的第二项，是让随机微积分在实际操作上区别于普通微积分的所谓Ito项。

有了Ito公式之后，就可以计算一些基本的常用的微积分公式，比如对于

f(x)=ln(x), f' = 1/x, f'' = -1/x^2，

所以

ln(W(t)) - ln(W(0)) = \int_0^t (1/W(u)) dW(u) + 1/2 \int_0^t (-1/W(u)^2) du 接下来的步骤，就跟普通微积分几乎一模一样。运用运算法则将复杂的微积分，分解成基本的微积分，然后套用基本公式。

实际的随机微积分，一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量布朗运动W(t)。

注意碰到跟t有关的部分，就用普通微积分的法则，碰到跟W(t)有关的部分，就用随机微积分的法则。

５. 关于随机微分方程

如果你学到随机微分方程了，那么你会遇上随机微积分里面最大的joke。那就是，虽然人们经常把随机“微分”方程挂在嘴上，但实际上人们处理的统统都是随机积分方程。

比如最著名的描述股票运动的方程（其解是Geometric Brownian Motion），我们通常看到下面的形式：

dS = \mu S dt + \sigma S dW*x

这个貌似微分方程的东西，其实并不是微分方程。原因很简单，S是处处不可导的，