江苏省南京市2020-2021学年第一学期高二期中数学模拟试卷

18．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 P . （1）若点 P 的横坐标为- 3 ，求 cos 2 sin cos 的值 .
5
（2）若将 OP 绕点 O 逆时针旋转 ，得到角 (即 )，
4
4
若 tan 1 ，求 tan 的值.
2
19．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P x, y 为动点，已知点 A 2, 0 ， B 2, 0 ，直线
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．设 m ， n 是不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若 m ， n ，则 m // n ；
②若 m ， n ， m // n ，则 / / ；
③若 ， ，则 / / ．
④若 / / ， / / ， m ，则 m ；其中正确命题的序号是（ ▲ ）
1 于 C 、 D 两点， S1 、 S2 分别是△PAB 、 PCD 的面积，
求
S1 S2
的最小值.
22．（16 分）已知圆 C 的圆心在直线 3x y 0 上，与 x 轴正半轴相切，且被直线 l ： x y 0 截得
的弦长为 2 7 .
（1）求圆 C （2）设点 A
的方程；
在圆 C 上运动，点
A．①③
B．②③
C．③④
D．①④
4．已知双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1（a
0 ， b 0 ），过 C 的右焦点 F
作垂直于渐近线的直线 l 交两
渐近线于 A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若
AF BF
5 13
，则双曲线
C
的离心率为（
▲
）
13
A．
12
B． 13 3
C． 13 5
D． 13
知点 M 1，0 ，直线 l： x 2 ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小
1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ） A．点 P 的轨迹曲线是一条线段
B．点 P 的轨迹与直线 l ' ： x 1 是没有交会的轨迹 ( 即两个轨迹没有交点 ) C． y 2x 6 不是“最远距离直线” D． y 1 x 1 是“最远距离直线”
x 13相切，则直线 l 的方程为（ ▲ ）
A． y 2 2x 8 2 或 y 2 2x 8 2 B． y 4x 16 或 y 4x 16
C． y 2x 8 或 y 2x 8
D． y x 4 或 y x 4
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二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行，最终卫星在点 P 第三次变轨进
入以 F 为圆心的圆形轨道 III 绕月飞行，若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴长，则下列式子正确的是
（▲）
A． a1 c1 a2 c2
2
20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） h 1 ．
21．（1）定点坐标为 1, 0 ，证明见解析；（2） 4 .
3
22．（1） x 12 y 32 9 ；（2）① x 52 y 52 1 ， 是圆；②存在，
D
49 10
,
49 10
.
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的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．
15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262-190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的
科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面
内与两定点距离的比为常数 k（ k 0 且 k 1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有 ABC ， AC 6 ， sin C 2sin A ，则当 ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ .
2
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinB=sinA+2sinC．则 B=
▲.
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14．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 7 ，SA与圆锥底面所成角为 45°，若 SAB 8
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB 10．BC 11．ABC 12．BCD
2 13．
3
14． 40 2π
参考答案
15． 5 1
16． x2 4y
2 2
17．答案不唯一，见解析
18．（1） 1 （2） 1
5
3
19．（1） x2 y2 1 y 0 ；（2） x y 1 0 或 x y 1 0 ．
B 7, 6
，且点
M
满足
AM
2MB
，记点
M
的轨迹为
.
①求 的方程，并说明 是什么图形； PO
②试探究：在直线 l 上是否存在定点 T (异于原点 O )，使得对于 上任意一点 P ，都有 PT 为一常 数，若存在，求出所有满足条件的点 T 的坐标，若不存在，说明理由.
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PA 与 PB 的斜率之积为定值 1 ． 2
（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（2）若 F 1, 0 ，过点 F 的直线 l 交轨迹 E 于 M 、 N 两点，以 MN 为对角线的正方形的第三个顶
点恰在 y 轴上，求直线 l 的方程．
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20．（14 分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ADE - BCF 和一个正四棱锥 P ABCD 组合 而成， AD AF ， AE AD 2 ． （Ⅰ）证明：平面 PAD 平面 ABFE ； （Ⅱ）求正四棱锥 P ABCD 的高 h ，使得二面角
17．（10 分）在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，并且 b2 c2 a2 bc .已知 ▲ ，计算 ABC 的面积.请① a 7 ，② b 2 ，③ sin C 2sin B 这三个条件中任选两个，
将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.
5．已知直线 xy a 0(a 0) 与圆 x2 y2 4 交于不同的两点 A, B, O 是坐标原点，且有 | OA OB || AB | ，那么 a 的取值范围是（ ▲ ）
A． ( 2, )
B． (2, )
C．[2, 2 2)
D．[ 2, 2 2)
6．在菱形 ABCD 中， AB 4,A 60 ，将 △ABD 沿对角线 BD 折起使得二面角 A BD C 的
南京市 2020～2021 学年度第一学期期中调研模拟卷
高二数学
2020.10
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
1．已知 P(cos , sin ) ， Q(cos , sin ) ，则 | PQ | 的最大值为（ ▲ ）
A． 2
B．2
C．4
D． 2 2
2．若△ABC 中， sin( A B) sin( A B) sin 2 C ，则此三角形的形状是（ ▲ ）
大小为 60°，则折叠后所得四面体 ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ）
A． 2 13
B． 13
C． 4 3
D． 39
3 7．已 知点
G
是
ABC
3
的重心，
AG
AB
3 AC(,
R)
，若Biblioteka Baidu
A
3 120
，
AB
AC
2
，则
AG 的最小值是（ ▲ ）
A． 3 3
B． 2 2
2
C．
3
3
D．
4
8．过抛物线 y2 16x 焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆与直线
9．已知 sin 2 ，且 cos 0 ，则（ ▲ ） 3
A． tan 0
B． tan2 4 9
C． sin2 cos2
D． sin 2 0
10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进
入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在点 P 第二次变轨
16．已知抛物线 C : x2 2 py p 0 的焦点为 F ，直线 l : y kx b k 0 与抛物线 C 交于 A ，B 两点，且 AF BF 6 ，线段 AB 的垂直平分线过点 M 0, 4 ，则抛物线 C 的方程是
▲ ；若直线 l 过点 F ，则 k ▲ .
四、解答题（本大题共 6 小题，共 78 分）
B． a1 c1 a2 c2
C． c1a2 a1c2
D．
c1 a1
c2 a2
11．如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，△CDE 是正三角形，M 为
线段 DE 的中点，点 N 为底面 ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A．若 BC DE ，则平面 CDE 平面 ABCD
B．若 BC DE ，则直线 EA 与平面 ABCD 所成的角的
正弦值为 6 4
C．若直线 BM 和 EN 异面，则点 N 不可能为底面 ABCD
的中心
D．若平面 CDE 平面 ABCD ，且点 N 为底面 ABCD 的 中心，则 BM EN
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交 会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已
C AF P 的余弦值是 2 2 ． 3
21．（14 分）已知点 P 是抛物线 C1 : y2 4x 的准线上任意一点，过点 P 作抛物线 C1 的两条切线 PA 、 PB ，其中 A 、 B 为切点. （1）证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线
AB
交椭圆 C2
:
x2 4
y2 3