3不等式的性质证明和基本不等式

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不等式的基本性质与基本不等式

不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优化问题，例如在资源分配、生产计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最大值和最小值，例如在求函数的极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广泛应用，例如在分析市场供需、投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是重要的解题工具之一，例如在解决代数不等式、代数方程等问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也是重要的解题工具之一，例如在解决几何不等式、几何证明等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等式也有着广泛的应用，例如在解决组合不等式、组合计数等问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构，它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问题，例如求解不等式、证明不等式、比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数学分析、线性代数、概率论等领域。

常用不等式及其证明方法

常用不等式及其证明方法不等式作为数学中重要的概念，广泛应用在数学推理、优化问题以及各个领域的研究中。

在本文中，我们将介绍一些常用的不等式及其证明方法，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、基本不等式1. 平均不等式平均不等式是最基本的不等式之一。

对于任意非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，其算术平均和几何平均的大小关系如下：\[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot\ldots \cdot a_n} \]2. 柯西-施瓦兹不等式柯西-施瓦兹不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，其平方和满足以下不等式：\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \]3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式用于描述非负随机变量的概率分布。

对于非负随机变量$X$和任意大于$0$的实数$a$，其概率满足以下不等式：\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a} \]二、常用不等式1. 幂平均不等式幂平均不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和实数$p$，定义$p$次幂平均如下：\[ M_p = \left(\frac{a_1^p + a_2^p + \ldots +a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \]当$p > q$时，有$M_p \geq M_q$。

2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中常用的不等式之一，用于度量随机变量偏离其期望值的程度。

不等式的基本性质与基本不等式

详细描述
综合法是通过已知的不等式推导出待证明的不等式的方法。它通常用于证明一些较为复杂的不等式，例如平方和、立方和等。通过利用已知的不等式和数学性质，我们可以推导出待证明的不等式，从而证明其正确性。
分析法
总结词
通过分析不等式的结构来证明不等式。
详细描述
分析法是通过分析不等式的结构来证明不等式的方法。它通常用于证明一些较为复杂的不等式，例如高次幂的和、积等。通过分析不等式的结构，我们可以找到其内在的规律和性质，从而证明不等式的正确性。
数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳法
通过数学归纳法证明不等式的正确性。
03
基本不等式的应用
在数学解题中的应用
01
02
03
简化计算
基本不等式可以用来化简复杂的数学表达式，从而简化计算过程。
解决最值问题
基本不等式可以用来求解函数的最值，例如求函数在某个区间的最小值或最大值。
证明不等式
基本不等式是证明一些数学不等式的有力工具，例如AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式等。
对于任意概率分布P，有$sum P_i^2 leq 1$。
柯西-施瓦茨不等式
对于任意实数向量x和y，有$(sum x_i^2)(sum y_i^2) geq (sum x_iy_i)^2$。
基本不等式的证明方法
代数法
通过代数变换和推导，证明不等式的正确性。
几何法
通过几何图形和直观理解，证明不等式的正确性。
通过观察几何图形，可以直观地理解不等式的意义和性质，从而找到解决问题的线索。
参数法
参数法是一种将参数引入不等式中，通过参数的变化来研究不等式的性质和解法的方法。

初中数学不等式的基本性质证明

不等式的性质•不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变,基本性质：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式,不等号方向不变基本性质：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式,不等号方向改变•1、不等式的基本性质:不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

即如果a>b，那么a±c>b±c。

不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。

不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。

2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。

3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。

•不等式的性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。

3不等式的性质证明和基本不等式

3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：

Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a

( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (

b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2

且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2

且可推广：

a,b,c R ,
a b c 3

3
abc 仅当 a b c 0时取等号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd

不等式的基本性质和证明的基本方法

证明方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。如果a>b，则a+c>b+c。如果a>b且c>0，则ac>bc。任何数都大于负数，小于正数。如果a=b，则b=a。

三次基本不等式

三次基本不等式三次基本不等式是一个数学定理，它指出了三个实数的平方和与它们的积之间的关系。

它可以表示为：对于任意三个实数a，b，c，都有：（a + b + c）^3 ≥ a^3 + b^3 + c^3这个不等式通常被称为三次基本不等式，或者平方和不等式。

它是一个非常重要的数学定理，在很多领域都有广泛的应用，包括数学、物理、工程和统计学等。

三次基本不等式的一个重要应用是用来证明其他数学定理，例如平方和不等式和奇数平方不等式。

它也被用来解决实际问题，例如估算物体的质量和力的大小等。

三次基本不等式的证明有许多方法，其中一种常用的方法是通过二次基本不等式证明。

三次基本不等式还有许多变体，例如平方和不等式和奇数平方不等式。

举个例子，假设我们有三个数字a=3，b=4，c=5，那么根据三次基本不等式，我们可以得到：（3 + 4 + 5）^3 ≥ 3^3 + 4^3 + 5^3即：（12）^3 ≥ 3^3 + 4^3 + 5^3即：1728≥216 + 64 + 125即：1728≥405所以这个不等式成立。

我们也可以用另一种方法来证明这个不等式，即通过二次基本不等式。

我们知道，对于任意两个实数a，b，都有a^2 + b^2 ≥ 2*ab。

那么我们可以将这个不等式应用到三次基本不等式中：（a + b + c）^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2由于（a + b + c）^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2*（ab + bc + ac），所以我们可以得到：2*（AB + BC + AC）≥ 0即（ab + bc + ac）≥ 0这个不等式可以通过较简单的方法证明，所以我们可以证明三次基本不等式。

以上就是三次基本不等式的一个简单例子，希望能帮助你理解这个定理的意义。

再举个例子，假设我们有三个实数a=2，b=3，c=4，那么根据三次基本不等式，我们可以得到：（2 + 3 + 4）^3 ≥ 2^3 + 3^3 + 4^3即：（9）^3 ≥ 2^3 + 3^3 + 4^3即：729≥8 + 27 + 64即：729≥99所以这个不等式成立。

不等式的性质、证明、基本不等式

不等式的基本性质【高考回顾】不等式的性质在高考试题中往往不单独命题，而是以其它知识为载体进行考查，但它仍是高考的主要内容。

考查的方式有：①判断有关不等命题是否正确；②判断不等式中条件与结论之间充分条件、必要条件的关系；③比较数或式的大小。

题型多为选择题或填空题，属容易题。

【知识框图】【典型例题】例１、意图：本题组主要考查运用不等式的性质判断命题的真假方法：依据不等式的性质推理（1）设R b a ∈,，若0>-b a ，则下列不等式中正确的是（） A ．0>-a b B. 033<+b a C. 0>+a b D. 022<-b a（2）若0a b <<，下列不等式中不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a >- C a b > D ．22a b >例2、意图：本题组主要考查运用不等式的性质判断两个命题的充分条件与必要条件的关系方法：依据不等式的性质推理（1）设,x y R ∈，命题A ：22x y >⎧⎨>⎩是命题B ：44x y xy +>⎧⎨>⎩的条件（2）有三个条件：①ac 2>bc 2；②c a ＞cb；③a 2>b 2，其中能分别成为a b >的充分条件的有个。

例3、意图：本题组主要考查运用不等式的性质求式的取值范围方法：依据不等式的性质运算（1）设6084a <<，2833b <<，求a b +.（2）已知2()f x ax c =-， 4 (1)1(2)5f f -≤≤-≤≤.求(3)f 的取值范围.例(1)，当x ∈R +，n ∈*N 时，比较A 与B 的大小；(2)|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.例5、意图：本题组主要考查不等式性质与其它知识的综合应用（1）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，110a b =>，330a b =>，13a a ≠,试比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小。

最全经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c ＞b+c③、a ＞b ，，那么ac ＞bc ；a ＞b ，，那么ac ＜bc④、a ＞b ＞0，那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件）⑥、 a ＞b ＞0 那么（条件）2、基本不等式定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。

定理2（基本不等式）如果a ，b>0，那么当且仅当a=b 时，等号成立。

即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

结论：已知x, y 都是正数。

（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：a b b a <⇔>c a c b b a >⇒>>,R c b a ∈>,0>c 0<c 0>>d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2a b+≥214s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当时，等号成立。

即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：当且仅当a 时，等号成立。

任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间的距离。

不等式及其性质(基础)知识讲解

不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5．【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。

3、不等式基本性质

第2章不等式【教材解读】用不等式表示的不等关系是数学中的一种基本数量关系．本章内容包括不等式的性质、不等式的解法，两个基本不等式及其应用．不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据．在不等式的解法中，重点是解一元二次不等式，其它不等式一般都是通过等价变换化为一元一次或一元二次不等式（组）来解．本章的重点内容是不等式的性质和一元二次不等式的解法．难点是用不等式解决实际应用问题．不等式是高考必考的热点内容，往往与函数等其它知识相结合，主要考查学生分析问题、解决问题的能力与综合运用知识及逻辑推理能力．在复习中，我们必须注意以下几个方面：1．掌握不等式的性质，会对这些性质进行证明；会应用不等式的性质判断大小或证明简单的不等式．掌握比较法、综合法和分析法的基本思想．2．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，能熟练地解一元二次不等式，会对含有字母参数的一元二次不等式问题进行讨论．3．对分式不等式、含有绝对值的不等式和其它不等式，会运用转化的方法化为一元一次或一元二次不等式（组），但在复习中要注意控制这类不等式的难度．4．理解基本不等式，掌握它们的证明方法，会应用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的实际问题，要注意基本不等式的应用条件．5．在应用不等式解决函数、方程等方面的问题时，关键要将问题转化、化归为不等式问题，在转化和化归时，尤其要注意等价性，即注意在转化过程中一些变量的范围和式的等价变形．6．不等式的应用常见于解决实际问题，这时，要通过阅读充分理解背景材料，寻找材料中量与量之间的内在联系，抽象出材料中的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学关系式，从而建立起最佳数学模型，然后用不等式知识解决问题．7．函数、不等式、方程密不可分，它们之间既相互联系，也可以相互转化．因此，要加强不等式、函数、方程三部分知识的综合训练．8．要加强分类讨论思想的训练，如遇到含参数的问题，注意对参数进行分类讨论，在讨论的过程中，要合理分类，做到不重不漏．【知识结构】【教案样例】不等式的性质解不等式基本不等式一元二次不等式其它不等式不等式应用问题不等式的证明1．不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的性质并能加以证明，会用不等式性质判断大小关系． 2．会用比较法比较两个代数式的大小或证明简单的不等式．3．会用综合法证明简单的不等式．掌握综合法和分析法的基本思路及其表达．【教学重点】1．应用不等式的性质判断大小关系． 2．用比较法比较大小和证明不等式．【教学难点】用不等式的性质判断大小关系．【教学过程】一．知识整理1．不等式的性质．性质1 如果b a >，c b >，那么c a >．性质2 如果b a >，那么c b c a +>+．性质3 如果b a >，0>c ，那么bc ac >；如果b a >，0<c ，那么bc ac <．推论1 如果b a >，d c >，那么d b c a +>+．推论2 如果0>>b a ，那么nn b a >（*N n ∈）推论3 如果0>>b a ，那么n n b a >．2．用比较法判断或证明大小关系的依据．0>-b a b a >⇔；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0．二．例题解析【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】给出下列命题，①若b a >，且d c =，则22bd ac >；②若b a <，则33b a <；③若0<；④若0>>b a ，0>>dc ，则dbc a >；⑤若0<ab ；②bda c >；③ad bc >．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成_____________个正确命题．并加以证明．【解答】答案：3．证明如下：（1）若0>ab ，bda c >，在第二个不等式两边同乘以ab 得ad bc >．（2）若b d a c >，ad bc >，由条件知0≠ab ，假设0<ab ，在bda c >两边同乘以ab 得ad bc <，与ad bc >矛盾．（3）若0>ab ，ad bc >，在ad bc >两边同除以ab ，得bda c >．所以所得三个命题都是正确的．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】设a 、R b ∈，比较222c b a ++与24614a b c -+-的大小．【解答】解：0)3()2()1()14642(222222≥-+++-=-+--++c b a ca b a c b a ，当且仅当1=a 且2-=b 且3=c 时等号成立．所以，当1=a 且2-=b 且3=c 时，222c b a ++=14642-+-ca b a ；当1≠a 或2-≠b 或3≠c 时，222c b a ++>14642-+-ca b a ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】已知a 、+∈R b ，*N n ∈，求证：n n n n ab b a b a +≥+++11．证明：))(()()()(11n n n n n n n n b a b a b a b b a a ab b a b a --=---=+-+++，因为a 、+∈R b ，*N n ∈，所以当b a >时，n n b a >；当b a =时，nn b a =；当b a <时，nn b a <，即只要b a ≠总有0))((>--n n b a b a ．所以n n n n ab b a b a +≥+++11（当且仅当b a =时等号成立）．【属性】高三，不等式，大小关系的判断，证明题，难，逻辑思维【题目】设1a ，2a ，1b ，R b ∈2，证明不等式2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．将此不等式进行推广（只要写出推广后的不等式，不必证明）．【解答】证明：因为0)()())((212212221122212221≥-=+-++b a b a b a b a b b a a ，所以 2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．推广：设1a ，2a ，…，n a ，1b ，2b ，…，R b n ∈，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ．三．课堂反馈【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】下列命题中，真命题的序号是_________________．①若b a >，则22bc ac >；②若22cb c a >，则b a >；③若0>>b a ，0>>d c ，则d bc a >；④不等式b a >与不等式ba 22>等价．【解答】答案：②④【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，运算已知x 、R y ∈，比较22y x +与524--y x 的大小．【解答】解：0)1()2()524(2222≥++-=---+y x y x y x ，所以52422--≥+y x y x （当2=x 且1-=y 时等号成立）．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】设x 、R y ∈，求证：y x xy y x ++≥++122．【解答】证法一：0])1()1()[(21)(122222≥-+-+-=++-++y x y x y x xy y x ．证法二：因为x 、R y ∈，所以xy y x 222≥+，x x 212≥+，y y 212≥+，将这三个不等式相加得，y x xy y x 22222222++≥++，即y x xy y x ++≥++122．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知11<<-a ，比较a -1与a+11的大小．【解答】解：aa a a +-=+--11112，因为11<<-a ，所以01>+a ，02≤-a ，所以a a +≤-111（当且仅当0=a 时等号成立）．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知m 是实常数，解关于x 的不等式x m mx 242+<+．【解答】解：原不等式可化为4)2(2-<-m x m ．所以，当2=m 时，原不等式解集为空集；当2>m时，原不等式解集为{}2+>m x x ；当2<m 时，原不等式解集为{}2+<m x x ．四．课堂小结1．在应用不等式的性质进行不等式的推导、证明时，一是要注意不等式性质成立的条件．二是要防止由思维定势造成的错误——将等式性质迁移到不等式．2．用比较法判断或证明大小关系的基本步骤．（1）作差；（2）变形（因式分解或配方）；（3）判断符号．在比较两个正数的大小时，也可以用作商后与1比较的办法．如已知0>>b a ，比较b a ba 与abb a 的大小．可用1>⎪⎭⎫⎝⎛=-ba ab b a b a b a b a ．五．课后作业【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】若01<<<-βα，则βα-的取值范围是______________．【解答】答案：)0,1(-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】能由条件y x <推得的结论序号有_____________．①y x y x ->+；②xy x >2；③0))((≥-+y x y x ；④x y y x -<-；⑤y x 32<【解答】答案：④【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】设1>a ，01<<-b ，将a 、a -、b 、b -、ab -按照从小到大的次序用“<”号排列起来为__________________________．【解答】答案：a ab b b a <-<-<<-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】“d b c a +>+”是“b a >且d c >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：B【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】设a 、b 是非零实数，若b a <，则下列不等式中成立的是（）A ．22b a a ，2>b ，试比较ab 与b a +的大小．【解答】解：1)1)(1()(---=+-b a b a ab ，由已知2>a ，2>b ，所以11>-a ，11>-b ，所以1)1)(1(>--b a ，即0)(>+-b a ab ．于是b a ab +>．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】已知||||b a b a m -++=，则以下不等式恒成立的是（）A ．||2a m ≤B ．||2b m ≤C ．||2a m ≥D ．|)||(|2b a m +≥【解答】答案：C ．利用||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】设bx ax x f +=2)(满足2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，求)2(-f 的取值范围．【解答】解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则b m n a n m b a )()(24-++=-，所以⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ，所以)1()1(3)2(f f f +-=-，又因为2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，即]10,5[)2(∈-f ．【题目资源】【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】若a 、R b ∈，则“0<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】在下列命题中，真命题是（）A ．若b a >，则c b c a ->-B ．若b a >，则cb c a > C ．若bc ac >，则b a > D ．若b a >，则22bc ac >【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】已知a ，b ，c ，d 为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：D【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】正数a 、b 、c 满足c b d a +=+||||c b d a -<-，则（）A ．bc ad =B ．bc ad <C ．bc ad >D ．ad 与bc 的大小不确定【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若b a >，则下列不等式中正确的是________________．①22b a >；②1<a b ；③0)lg(>-b a ；④ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121；⑤x b x a lg lg >（0>x ）⑥22bx ax >（R x ∈）；⑦xx b a 22⋅>⋅（R x ∈）；⑧ba 11<．【解答】答案：④⑦【属性】高三，不等式，大小判断，选择题，易，逻辑思维【题目】若0>>b a ，0>m ，则下列不等式中成立的是（）A ．m a m b a b ++>B ．m b m a b a -->C ．m a m b a b ++<D ．mb m a b a --<【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若02<+x x ，则2x ，x ，2x -，x -从小到大的排列是___________________．【解答】答案：x ，2x -，2x ，x -【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，逻辑思维【题目】已知a 、b 、+∈R c 且c b <，比较ab 与bc ac +的大小．【解答】解：bc b c a ab bc ac +-=-+)(，因为a 、b 、+∈R c 且c b <，所以0)(>-b c a ，0>bc ，所以0>-+ab bc ac ，即bc ac ab +<．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】适当地添加条件，使下列各命题成为真命题：（1）若b a >，则bc ac ≤；（2）若b a >，d c >，则bd ac >；（3）若b a >，则ba 11<；（4）若44b a >，则b a >．【解答】答案：（1）0≤c ．（2）0>a ，0>d 或0>b ，0>c 或0≥b ，0≥d ．（3）0<a 或0>b ．（4）0>a ．（本题答案不唯一）【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】若0<c ，则下列各式成立的是（）A ．cc 3> B ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>31 C ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛<313 D ．cc ⎪⎭⎫ ⎝⎛>313【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】如果01<<<-b a ，则有（）A ．2211b a b a <<x 时，3x 与12+-x x 的大小关系为_________________________．【解答】答案：123+->x x x ．0)1)(1()1()()1(22323>+-=-+-=+--x x x x x x x x ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】已知0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小．【解答】解：])())[(())(())((2222222y x y x y x y x y x y x y x +-+-=+---+)(2y x xy --=，因为0<<y x ，所以0<-y x ，0>xy ，所以0))(())((2222>+---+y x y x y x y x ，即))(())((2222y x y x y x y x +->-+．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，中，运算【题目】对于对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若b a >，则22bc ac >；②若22bc ac >，则b a >；③若0<>；④若0>>>b a c ，则b c b a c a ->-；⑤若b a >，ba 11>，则0>a ，0可得02>c ；③正确，因为由b a <，0)(2>-=-b a a ab a ，0)(2>-=-b a b b ab ；④正确，因为由0>>>b a c 得0>-a c ，0>-b c ，0>-b a ，b c b a c a ---0))(()(>---=b c a c b a c ；⑤正确，因为由b a >，b a 11>得0<-a b 且011>-=-aba b b a ，所以0<ab ，所以0>a ，0<b ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，逻辑思维【题目】已知函数x x x f +=3)(，1x ，2x ，R x ∈3且021<+x x ，032<+x x ，013<+x x ，那么)()()(321x f x f x f ++的值（）A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．不能确定符号【解答】答案：B ．由已知，)(x f 为奇函数且在R 上是增函数，由021<+x x 得21x x -<，所以)()(21x f x f -<，即0)()(21<+x f x f ，同理0)()(32<+x f x f ，0)()(13<+x f x f ，因此0)()()(321<++x f x f x f ，故选B ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，难，逻辑思维【题目】若直线1=+bya x 经过点)sin ,(cos ααM ，则（）A ．122≤+b aB ．122≥+b a C ．11122≤+b a D ．11122≥+ba【解答】答案：D ．由已知，1sin cos =+ba αα，)sin(cos sin 22ϕααα++=+=b a b a ab ，所以2222b a b a +≤，两边同除以22b a 得11122≥+ba ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】若1≥a ，试比较a a P -+=1和1--=a a Q 的大小．【解答】解：1111)1()1(-+-++=----+=-a a aa a a a a Q P0)1)(1(11<-++++--=a a a a a a ，所以Q P <．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】已知0>a 且1≠a ，10<<x ，用作商法比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a =的大小．【解答】解：|)1(log ||)1(log ||)1(log |)1(x x x x a a -=+-+，因为10<<x ，所以11>+x ，1102<-<x ，0)1(log 2)1(<-+x x ，所以1)1(log 111log )1(log |)1(log |2)1(2)1()1(>--=+--=--=-+++x xx x x x x x ，所以|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】已知c ax x f -=2)(且1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的取值范围．【解答】解：由已知14-≤-≤-c a ，541≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(，令)4()(9c a n c a m c a -+-=-，则⎩⎨⎧=+=+194n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3835n m ，所以]20,1[)3(-∈f ．【属性】高三，不等式，判断大小，解答题，难，逻辑思维【题目】已知R m ∈，1>>b a ，1)(-=x mxx f ，试比较)(a f 与)(b f 的大小．【解答】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(x m x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(a m a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(b m b f ．由1>>b a 得011>->-b a ，所以111111-+<-+b a ．所以，当0>m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f <；当0=m 时，)()(b f a f =；当0<m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f >．。

不等式及其性质与解法

（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。

热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。

（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ）（2）如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ）（3）如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ）（4）如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ）（5）如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ）（6）如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ）（7）若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。

[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。

A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是（ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3，－2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。

06 不等式的三条基本性质

名师精编优秀教案
不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。

不等式的性质与证明方法

不等式的性质与证明方法不等式在数学中占据着重要的地位，它们描述了数值之间的相对大小关系。

不等式的性质和证明方法是数学研究中的重要组成部分。

本文将讨论不等式的性质和证明方法，为读者提供更深入的了解和应用。

首先，我们来介绍不等式的基本性质。

不等式可以分为两种类型：一元不等式和多元不等式。

一元不等式仅涉及一个未知数，例如x > 0；而多元不等式涉及多个未知数，例如x + y > 1。

对于一元不等式，我们需要关注不等式的符号和解集。

不等式的符号可以是“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）或“≥”（大于等于）。

解集是满足不等式的所有实数的集合。

对于多元不等式，我们需要考虑不等式的解集和图像。

解集是满足不等式的所有有序数对（x，y）的集合。

图像是在坐标平面上表示不等式解集的图形，可以是线段、曲线或区域。

在证明不等式时，我们可以使用数学归纳法、反证法、数学推理和代数运算等方法。

以下是几种常见的证明方法：1. 数学归纳法：适用于证明某个不等式对于所有正整数成立。

首先证明不等式对于初始条件成立，通常是n = 1。

然后假设当n = k时不等式成立，证明当n = k + 1时不等式也成立。

通过这种方式可以推导出不等式对于所有正整数成立。

2. 反证法：假设不等式不成立，推导出矛盾的结论。

例如，假设x > y，但是通过推导可以得出y > x的结论，这与原假设矛盾。

因此，原不等式成立。

3. 数学推理：利用已知的数学定理和性质进行推理。

例如，利用实数的性质，可以证明两个不等式之间的关系。

如果已知x > y且y > z，则可以得出x > z的结论。

4. 代数运算：通过代数运算将不等式转化为等式或其他已知不等式。

例如，可以通过加减、乘除等运算将复杂的不等式简化为简单的形式，然后再进行推导和证明。

除了以上常见的证明方法，还可以利用不等式的性质进行推导和证明。

例如，加法性、乘法性和分段性等性质可以帮助我们在证明过程中进行推理和推导。

不等式的基本性质

如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明：因为所以即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc．证明：因为 ac－bc＝(a－b)c，又由 a＞b，即 a－b＞0，所以当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc；所以当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．

三元基本不等式公式四个证明

三元基本不等式公式四个证明（1）乘积不等式如果a,b,c都是非负实数（a,b,c>=0），那么a x b ≤ c x a。

因为如果c=0，则右边的乘积为0，因此显然有上述不等式成立。

如果c>0，将a乘以c，可以得到c x a，此时c x a比a x b大，即两边不等式有a x b ≤ c x a成立。

（2）欧拉不等式如果a,b,c均为实数（a,b,c∈R）,那么a + b ≥ 2√ab。

因为将a,b和a+b两两取平方可得：a2 + b2 + 2ab ≥ (a + b)2，从中可以算出（a + b）2 − 2ab ≥ 0，化简可得a + b ≥ 2√ab。

（3）赌博不等式如果a,b,c都是非负实数（a,b,c>=0），那么a/b+b/c+c/a≥3。

因为分别把a,b,c三者都分母相等，即把a / b写成cb / c2、b / c写成ca / c2 以及c / a写成ba / b2，将其联立可得cb / c2 + ca / c2 + ba / b2 ≥ 3，乘以bc消去c2,b2以及a2,可得a/b+b/c+c/a≥3。

（4）傅立叶不等式如果a,b,c都是实数（a,b,c∈R），那么|a - b| ≤ |a - c| + |b - c|。

因为|a - b|2 = |a - c|2 + |b - c|2 + 2 · |a - c| · |b - c|，可将其变为|a - b|2 - |a - c|2 - |b - c|2 ≥ 2 · |a -c| · |b - c|，求平方根两边可得|a - b| ≤ |a - c| + |b - c|。

不等式的性质与基本不等式

投资组合优化
在金融领域，利用不等式性质可以优化投资组合，使得风险和收益达到最佳平衡。
资源分配问题
在生产或项目管理中，通过应用不等式性质，可以合理分配资源，提高效率。
信号处理与通信
在信号传输过程中，由于受到噪声干扰，可以利用不等式性质对信号进行优化处理，提高通信质量。
06
总结与展望
总结不等式的性质与基本不等式的主要内容
算术-几何平均不等式
对于任意非负实数a和b，有 (a+b)/2 ≥ √(ab)。这个不等式表明算术平均值总是大于或等于几何平均值。
柯西不等式
对于任意实数a_i和b_i （i=1,2,...,n），有(∑a_i^2 * ∑b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2。这个不等式在数学分析和线性代数中有广泛应用。
性质的应用
解决不等式问题
利用不等式的性质可以解决各种不等式问题，如比较大小、求解未知数等。
解决最优化问题
不等式的性质在解决最优化问题中也有广泛应用，如最大值、最小值、最优解等。
证明不等式
利用不等式的性质可以证明一些数学命题和不等式。
03
基本不等式
常见基本不等式
算术平均数-几何平均数不等式
详细描述
综合法是通过综合已知的不等式性质和基本不等式来证明不等式的一种方法。它通常用于证明一些较为复杂的不等式，如平方和与平方差的关系等。通过综合已知的不等式性质和基本不等式，我们可以推导出新的不等式，从而证明其正确性。
05
实例分析
代数实例
代数不等式
例如，对于任意实数a和b，有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。这个不等式表明两个数的平方和总是大于或等于它们的两倍乘积。

不等式的基本性质与基本不等式

不等式的基本性质与基本不等式郭浴琼目标：掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题．重难点：不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明．一、知识要点1、比较两数大小的基本方法（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=（2）作商法若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b=⇔= 2、不等式的基本性质性质1：a b b a >⇔<（对称性）性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）性质3：若a b >，则a c b c +>+性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+结论2：若0a b >>，则n n a b >()*n N ∈ 结论3：若0a b >>，则()*,1n n a b n N n >∈> 3、基本不等式（均值不等式）对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 二、例题精讲例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞cb ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >bd ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（） A. a b -b a - C. a b +，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为．例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是．例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab b a ≥+2；（2）ab b a 222-≥+；（3）ab b a ≥+22；（4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ；（6） 2≥+ab b a （7）222)(2b a b a +≥+）（例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是，最小值是（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y+的最小值为（3）若01,x <<则491y x x=+-的最小值为（4）若+∈R x ，则x x 212+有最值，且值为（5）若13,3a a a >+-有最值，是，此时a = （6）若1x <，则2231x x x -+-有最值，值为例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则21a b +的最大值是（2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（）A 、a b +有最小值)12(2+B 、a b +有最大值2)12(+C 、ab 有最大值12+D 、ab 有最小值)12(2+例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）三、课堂练习1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y的取值范围是． 2、若()2f x a x c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是． 3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是．4、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为． 5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦成立的x 的取值范围是．四、课后作业一、填空题1、已知,22ππαπβπ<<<<，则αβ-的取值范围是，2βα-的取值范围是．2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成个正确命题．3、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为．4、已知0a b >>，2c a b=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得．5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于．6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．二、选择题7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A 、2B 、4C 、6D 、8 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（）A 、[)9,+∞B 、[)6,+∞C 、(]0,9D 、()0,69、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（）A 、22a b -时，求2311x x y x -+=+的最小值； 11、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()22lg lg lg lg xy x y a ≤+⋅对一切满足1,1x y >>的实数恒成立．12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．。

3不等式的性质与证明

∴5≤4a-2b≤10
[例3]设为实数，求证：a2+b2+ab+1>a+b 2 2
a b ab 1 .a b 证明：（方法一） 1 2 2a 2b 2 2 2ab 2a 2b 2 1 2 2 2 a 1 b 1 a b 2
2 2 2

2
∴y>0 ∴a2+b2+1+ab-a-b>0 ∴a2+b2+ab+1>a+b
[例4]设0<a1≤a2≤a3≤…≤an，记
a1 a 2 a n An 求证：An-1≤An(n≥2) n
证明：An An1 1 n 1a1 a2 an na1 a2 an1 nn 1 ∵0<a1≤a2≤a3≤…≤an ∴an-a1≥0,an-a2≥0…an-an-1≥0
a a b a a b b c c b c c ∵a、b、c互不相等不妨设a>b>c>0，则
a b a c b c ba c a c b a b a c b c
a b
a b
1
,
a c
a c
1
2．本讲难点；不等式的证明方法
3．剖析：不等式的证明是本讲的难点，突破难点的关键是观察不等式的特点，从已知条件入手，结合所证的结论来寻求证题的途径。
[典型例题解析] [例1]对于实数，判断下列命题的真假： ⑴若a>b，则ac>bc（假） ⑵若a>b，则ac2>bc2（假） ⑶若ac2>bc2，则a>b（真）
a1 a 2 a n a1 a 2 a n 1 n n 1