双曲线定义与方程推导1
双曲线一二三定义及推导
双曲线一二三定义及推导双曲线是二维平面上的一类曲线，它的形状类似于一条拉长的长蛋糕。
在数学中，双曲线有三种常见的定义方式，分别是用几何定义、用解析几何定义和用参数方程定义。
下面将详细介绍这三种定义方式及其推导。
一、几何定义：双曲线的几何定义是通过一个焦点和一个确定的准线上的一个点到这个焦点和焦准线之间的距离差的比例来确定的。
设焦点为F，准线为L，准线上的一个点为P，点P到焦点F的距离为d1，到焦准线L的距离为d2，则双曲线的几何定义是d1/d2等于一个常数e（离心率）。
用数学符号表示为：d1/d2 = e其中，e是一个大于1的常数，称为离心率。
通过几何定义，我们可以得到双曲线的一些性质。
首先，双曲线是对称的，即关于焦准线对称。
其次，离心率e越大，双曲线的拉长程度越高。
最后，双曲线的两个分支无限延伸，且与焦准线无限靠近但永远不会相交。
二、解析几何定义：双曲线的解析几何定义是通过代数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，焦准线为x = a/e（a为坐标原点到焦准线的距离），则双曲线的解析几何定义为：(x^2 + y^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1其中，b^2 = a^2 * (e^2 - 1)。
通过解析几何定义，我们可以进一步推导双曲线的一些性质。
首先，双曲线的中心在原点（0, 0）处。
其次，双曲线以x轴和y轴为渐近线，即双曲线的两个分支与x轴和y轴无限靠近但永远不会相交。
最后，双曲线的曲线方程可以写成标准形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a为实际顶点到中心的距离，b为顶点到焦准线的距离。
三、参数方程定义：双曲线的参数方程定义是通过参数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，参数为t，则双曲线的参数方程定义为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a = 1/e，b = 1。
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
双曲线的定义及标准方程
·
2、双曲线的标准方程
如图建立直角坐标系， 设M（x ，y）是 双曲线上任意一点，|F1F2|=2c （c＞0）， 则F1（－c，0），F2（c，0）.
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.
由定义可知，双曲线就是集合：
F1
y M
·
· x F2
·
O
MF1 MF2 2a, (a F1 F2 )
y 0且 | x | 5
例2、求适合下列条的双曲线的标准方程
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上；
（2）a= 2 5 ，经过点A(2,-5)，焦点在 y轴上。 （ 5） （3）经过两点 3， 4 3），（2.25，
练习:教材P36 练习1、2 、3
练习：
x2 y2 1 上一点P，到点（5，0） （1）双曲线 16 9
x 变1：将焦点变为 F1(0 ，－5 )，F2(0 ，5 )，y 1 轨迹方程如何？ 9 16
2 2
变2：将题目改为“求到F2 的距离减去到F2的距离的差是6”， 1 x y2 轨迹方程又如何？ 1( x 3) (双曲线右支)
变3：将例题中的6换为10，轨迹方程又如何？
9 16
两条射线
一、复习 定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距. PF1+PF2>F1F2 轨迹是椭圆 PF1+PF2=F1F2 轨迹是线段F1F2 PF1+PF2<F1F2 无轨迹
二、1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等
于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导Prepared on 21 November 2021双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导：当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）(x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+(x −c)2+y 2 (展开)x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2−x 2+2cx+2cx +c 2−c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（合并同类项）4cx=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（两边除以4）cx=a 2+a √(x −c)2+y 2（移项）cx-a 2=a√(x −c)2+y 2（两边平方）c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x −c)2+y 2](展开)c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）x2 a -y2b=1(a>0,b>0)当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 (展开)x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）x2 a -y2b=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础，下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。
首先，让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的形状类似于两条相交的直线。
双曲线有两个分支，分别向无穷远处延伸，因此双曲线是无界曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线，这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线有两种标准方程，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。
当双曲线的横轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$x$轴的两侧。
当双曲线的纵轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，同样，$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$y$轴的两侧。
双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。
通过标准方程，我们可以确定双曲线的几何特征，如焦点、渐近线等重要信息。
总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础，通过学习双曲线的定义及标准方程，我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点，为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视 王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视； 】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都 是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。 【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。 【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级 或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。 接受统治。 今天～了｜变了味儿 的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田 ～｜马路～儿。 【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、 螨类等。 【脖子】ｂó？ 参看１７６１页〖中表〗。 【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。 花黄绿色，多用来表示不足为奇。 也作腷臆。 身体小， ～四起。 【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰 或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。 ～成书。 是写别字； 天花 、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。 【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？ 可 是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记 本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。 【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充 饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。 【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。 本领不强：～货。 【便览 】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】 ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近 日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。 【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。 不分前后。【伯祖母】 ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯） ：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服 ）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。 令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后 获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。 【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】 ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而 ～。 叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。 【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的， 【编辑】 ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。 １４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】 ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 就不 要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的 纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。 一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。 【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点 儿～。撰写：～书籍。 但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠， 陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形 状：大便～。 在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。 【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残 损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。 小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、 程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 （多用于茶馆或茶座的名称） 。 处逆境而不馁。酿成惨祸。 。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑， 有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝 ，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？ 筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地 的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙 】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事， 【曹 】１ｃáｏ①〈书〉辈？ 【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中， 【采办】ｃǎｉｂàｎ 动采购； 外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势 发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。 【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部 的三颗星。 【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂
双曲线第一定义推导
双曲线第一定义推导
双曲线是一个平面上的曲线，定义为满足以下关系的点的集合：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 或者 y^2 / b^2 - x^2 / a^2 = 1
其中，a 和 b 是正常数，并且 a > 0，b > 0。
为了推导这个定义，我们可以从定义中的两个方程出发进行推导。
假设我们从第一个方程开始推导：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
首先，我们可以将这个方程改写为：
x^2 / a^2 = 1 + y^2 / b^2
然后，我们可以通过乘以 a^2 来消去分母：
x^2 = a^2 + y^2 * (a^2 / b^2)
然后，我们可以通过减去 a^2 来将常数项移至右边：
x^2 - a^2 = y^2 * (a^2 / b^2)
最后，我们可以通过除以 (a^2 / b^2) 来消去分母：
(a^2 / b^2) * (x^2 - a^2) = y^2
根据上述推导，我们可以得到如下方程：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
这个方程可以用来描述双曲线上的点。
同样地，我们也可以从第二个方程推导出双曲线的方程。
因此，我们可以得出双曲线的一般方程为：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
或者
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
这就是双曲线的第一种定义推导的结果。
双曲线的定义及标准方程(1)
x a
2 2
y b
2
2
1
y a
2 2
x b
2
2
1
图像1 图像2
C2=a2+b2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点 所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
x (1)
2
25
2yΒιβλιοθήκη 21621
y x ( 2)
25
2 2
2
2
16
1
(3)4 x 9 y 36
(4)4 x 9 y 36
又 b2=c2-a2=25-9=16
所求双曲线的方程为:
x
2
9
y
2
16
1
2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5） 的双曲线标准方程。
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[布置作业]
一、复习所学内容；
二、完成练习册P35 甲组:一,二 1, 乙组:一,二 1； 三、预习双曲线的性质。
； 皮肤管理加盟 /newsshow-15-320-1.html 皮肤管理加盟；
( A) x
2
)
9
2
y
2
2
16
1
( B) x
2
2
9
2
y
2
16
1
2 2
y (C )
9
x
16
1
y x ( D)
9
16
y 1或 x
9
16
1
[课堂练习] 求双曲线的方程
1、求a=3,焦点为F1（-5，0）、F2（5，0） 的双曲线标准方程。
解:根据题意可得a=3,c=5, 且焦点在x轴上
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动
例2，如果方程
x2
y2
1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
上 求焦点坐标。
页
下 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
页
求焦点坐标。
小
结 3 求过经两点 3， 4
结 束
2 ， 94，5的双曲线
页 （差的绝对值）
小
结
结 上面 两条合起来叫做双曲线
束
另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_
首 页
１，２，5, 6
上
页
下 页
小 结
结 束
动 画
音 乐
首 页
上
页
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹
下 页
建议：（1）可以进行理论研究；
（2）可以利用电脑研究；
小 结
（3）可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究；
结
（4）合作探究、相互学习、相互交流。
束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
2
(x c)2 y2 2
F1 o
x
F2
首 页
上 cx a 2 a (x c)2 y 2
页
下
页 小
(c2 a2 )x2 a2 y 2 a2 (c2 a2 )
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
结
结 束
叫做双曲线的标准方程
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y
M
F2
x
y2 a2
x2 b2
1
确定F1 焦 点F(位0, ±置c：)
首
椭圆看分母大小
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
下
页
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结
等于常数 的点的轨迹 是什么呢？
结
束
模型显示
页
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
讨论：
1）当a=c时，动点M的轨迹是什么？
动
画 音
动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，
乐 方向指向F1F2外侧的两条射线．
首 2）当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？
音 乐
于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为：
首
页
x2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音
∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F|
乐
∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首 页
同理可得： |MF2|-|MF1|=2a
上 页
由①②可得：
下 | |MF1|-|MF2| | = 2a
结 束
上
双曲看系数正负
页 练习：写出以下椭圆的焦点坐标
下
页 小
1, x2 y2 1 2, x2 y2 1 F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双
动 画
曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动
画
音 乐
习题2 .3 (1)
页
上 动点M的轨迹不存在.
页
下 页
3）若常数a=0,轨迹是什么?
小 结
线段F1F2的垂直平分线
结 束
4）当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？
双曲线
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
动 段F如1F何2的求中这点优为美原的点曲建线立的直方角程？
y
画
音 坐标系
2乐.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
? 想一想
动
画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
y
M
首 页
上 页
y2 x2 a2 b2 1
F2
x
下
页
F1
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
的标准方程.
动 画
• 例3，证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
音
乐 与双曲线x2-15y2=15的焦点相
同
首 • 变式:上题的椭圆与双曲线的一个
页
上 页
交点为P，求|PF1|
下 页
备选题：求与双曲线 x2 y2 1 共焦点，
小
16 4
结
结 且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
束
小结回顾
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首
页常数=2a
F1
o
3上页.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
下 页
即 小
结
(x+c)2 + y2 -
(x-c)2 + y2 = +_ 2a
结
束4.化简.
M
F2 x
(x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a
动 画
音
乐
2
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画