双曲线定义与方程推导1
双曲线一二三定义及推导
双曲线一二三定义及推导双曲线是二维平面上的一类曲线，它的形状类似于一条拉长的长蛋糕。
在数学中，双曲线有三种常见的定义方式，分别是用几何定义、用解析几何定义和用参数方程定义。
下面将详细介绍这三种定义方式及其推导。
一、几何定义：双曲线的几何定义是通过一个焦点和一个确定的准线上的一个点到这个焦点和焦准线之间的距离差的比例来确定的。
设焦点为F，准线为L，准线上的一个点为P，点P到焦点F的距离为d1，到焦准线L的距离为d2，则双曲线的几何定义是d1/d2等于一个常数e（离心率）。
用数学符号表示为：d1/d2 = e其中，e是一个大于1的常数，称为离心率。
通过几何定义，我们可以得到双曲线的一些性质。
首先，双曲线是对称的，即关于焦准线对称。
其次，离心率e越大，双曲线的拉长程度越高。
最后，双曲线的两个分支无限延伸，且与焦准线无限靠近但永远不会相交。
二、解析几何定义：双曲线的解析几何定义是通过代数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，焦准线为x = a/e（a为坐标原点到焦准线的距离），则双曲线的解析几何定义为：(x^2 + y^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1其中，b^2 = a^2 * (e^2 - 1)。
通过解析几何定义，我们可以进一步推导双曲线的一些性质。
首先，双曲线的中心在原点（0, 0）处。
其次，双曲线以x轴和y轴为渐近线，即双曲线的两个分支与x轴和y轴无限靠近但永远不会相交。
最后，双曲线的曲线方程可以写成标准形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a为实际顶点到中心的距离，b为顶点到焦准线的距离。
三、参数方程定义：双曲线的参数方程定义是通过参数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，参数为t，则双曲线的参数方程定义为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a = 1/e，b = 1。
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
双曲线的定义及标准方程
·
2、双曲线的标准方程
如图建立直角坐标系， 设M（x ，y）是 双曲线上任意一点，|F1F2|=2c （c＞0）， 则F1（－c，0），F2（c，0）.
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.
由定义可知，双曲线就是集合：
F1
y M
·
· x F2
·
O
MF1 MF2 2a, (a F1 F2 )
y 0且 | x | 5
例2、求适合下列条的双曲线的标准方程
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上；
（2）a= 2 5 ，经过点A(2,-5)，焦点在 y轴上。 （ 5） （3）经过两点 3， 4 3），（2.25，
练习:教材P36 练习1、2 、3
练习：
x2 y2 1 上一点P，到点（5，0） （1）双曲线 16 9
x 变1：将焦点变为 F1(0 ，－5 )，F2(0 ，5 )，y 1 轨迹方程如何？ 9 16
2 2
变2：将题目改为“求到F2 的距离减去到F2的距离的差是6”， 1 x y2 轨迹方程又如何？ 1( x 3) (双曲线右支)
变3：将例题中的6换为10，轨迹方程又如何？
9 16
两条射线
一、复习 定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距. PF1+PF2>F1F2 轨迹是椭圆 PF1+PF2=F1F2 轨迹是线段F1F2 PF1+PF2<F1F2 无轨迹
二、1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等
于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导Prepared on 21 November 2021双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导：当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）(x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+(x −c)2+y 2 (展开)x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2−x 2+2cx+2cx +c 2−c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（合并同类项）4cx=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（两边除以4）cx=a 2+a √(x −c)2+y 2（移项）cx-a 2=a√(x −c)2+y 2（两边平方）c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x −c)2+y 2](展开)c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）x2 a -y2b=1(a>0,b>0)当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 (展开)x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）x2 a -y2b=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们学习和理解双曲线的基础，下面我们将对双曲线的定义及标准方程进行详细的介绍。
首先，让我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的形状类似于两条相交的直线。
双曲线有两个分支，分别向无穷远处延伸，因此双曲线是无界曲线。
双曲线的两个分支在无穷远处趋近于两条平行的渐近线，这也是双曲线与其他曲线的明显区别之一。
接下来，我们来看一下双曲线的标准方程。
双曲线有两种标准方程，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴的情况。
当双曲线的横轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为横轴上的半轴长和纵轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$x$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$x$轴的两侧。
当双曲线的纵轴为对称轴时，它的标准方程为，$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，同样，$a$和$b$分别为纵轴上的半轴长和横轴上的半轴长。
这种双曲线的图像是沿着$y$轴打开或收缩的，两个分支分别位于$y$轴的两侧。
双曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和特点。
通过标准方程，我们可以确定双曲线的几何特征，如焦点、渐近线等重要信息。
总之，双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理学等领域有着广泛的应用。
双曲线的定义及标准方程是我们理解和研究双曲线的基础，通过学习双曲线的定义及标准方程，我们可以更好地掌握双曲线的性质和特点，为进一步深入学习和应用双曲线打下坚实的基础。
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视 王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视； 】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都 是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。 【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。 【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级 或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。 接受统治。 今天～了｜变了味儿 的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田 ～｜马路～儿。 【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、 螨类等。 【脖子】ｂó？ 参看１７６１页〖中表〗。 【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。 花黄绿色，多用来表示不足为奇。 也作腷臆。 身体小， ～四起。 【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰 或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。 ～成书。 是写别字； 天花 、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。 【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？ 可 是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记 本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。 【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充 饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。 【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。 本领不强：～货。 【便览 】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】 ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近 日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。 【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。 不分前后。【伯祖母】 ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯） ：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服 ）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。 令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后 获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。 【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】 ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而 ～。 叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。 【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的， 【编辑】 ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。 １４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】 ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 就不 要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的 纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。 一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。 【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点 儿～。撰写：～书籍。 但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠， 陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形 状：大便～。 在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。 【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残 损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。 小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、 程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 （多用于茶馆或茶座的名称） 。 处逆境而不馁。酿成惨祸。 。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑， 有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝 ，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？ 筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地 的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙 】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事， 【曹 】１ｃáｏ①〈书〉辈？ 【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中， 【采办】ｃǎｉｂàｎ 动采购； 外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势 发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。 【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部 的三颗星。 【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂
双曲线第一定义推导
双曲线第一定义推导
双曲线是一个平面上的曲线，定义为满足以下关系的点的集合：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 或者 y^2 / b^2 - x^2 / a^2 = 1
其中，a 和 b 是正常数，并且 a > 0，b > 0。
为了推导这个定义，我们可以从定义中的两个方程出发进行推导。
假设我们从第一个方程开始推导：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
首先，我们可以将这个方程改写为：
x^2 / a^2 = 1 + y^2 / b^2
然后，我们可以通过乘以 a^2 来消去分母：
x^2 = a^2 + y^2 * (a^2 / b^2)
然后，我们可以通过减去 a^2 来将常数项移至右边：
x^2 - a^2 = y^2 * (a^2 / b^2)
最后，我们可以通过除以 (a^2 / b^2) 来消去分母：
(a^2 / b^2) * (x^2 - a^2) = y^2
根据上述推导，我们可以得到如下方程：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
这个方程可以用来描述双曲线上的点。
同样地，我们也可以从第二个方程推导出双曲线的方程。
因此，我们可以得出双曲线的一般方程为：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
或者
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
这就是双曲线的第一种定义推导的结果。
双曲线的定义及标准方程(1)
x a
2 2
y b
2
2
1
y a
2 2
x b
2
2
1
图像1 图像2
C2=a2+b2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点 所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
x (1)
2
25
2yΒιβλιοθήκη 21621
y x ( 2)
25
2 2
2
2
16
1
(3)4 x 9 y 36
(4)4 x 9 y 36
又 b2=c2-a2=25-9=16
所求双曲线的方程为:
x
2
9
y
2
16
1
2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5） 的双曲线标准方程。
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[布置作业]
一、复习所学内容；
二、完成练习册P35 甲组:一,二 1, 乙组:一,二 1； 三、预习双曲线的性质。
； 皮肤管理加盟 /newsshow-15-320-1.html 皮肤管理加盟；
( A) x
2
)
9
2
y
2
2
16
1
( B) x
2
2
9
2
y
2
16
1
2 2
y (C )
9
x
16
1
y x ( D)
9
16
y 1或 x
9
16
1
[课堂练习] 求双曲线的方程
1、求a=3,焦点为F1（-5，0）、F2（5，0） 的双曲线标准方程。
解:根据题意可得a=3,c=5, 且焦点在x轴上
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质
平面解析几何双曲线与双曲线的方程与性质在平面解析几何中，双曲线是一类重要的曲线形状。
它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论双曲线的方程和性质。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一个点集，满足到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的所有点的轨迹。
该常数a称为双曲线的半长轴。
双曲线的两个焦点F1和F2与半长轴之间的距离称为焦距，记为2c。
双曲线的方程可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是双曲线的中心点。
根据双曲线的方程，可以推导出双曲线的一些基本性质。
1. 双曲线的对称轴与中心点相交，且垂直于对称轴的直线称为双曲线的主轴。
主轴的长度等于2a。
2. 双曲线的焦点与中心点之间的连线称为焦半径，焦半径的长度等于c。
3. 双曲线的两个分支关于对称轴对称，且与圆的不同是它们的离心率大于1。
4. 双曲线的离心率定义为e = c/a，用来描述双曲线的形状。
离心率大于1，表示双曲线趋近无穷远。
二、双曲线的分类根据双曲线的方程和性质，可以将双曲线分为以下几类：1. 横轴双曲线：a²大于b²，焦点位于横轴上。
2. 竖轴双曲线：a²小于b²，焦点位于竖轴上。
3. 倾斜双曲线：双曲线的对称轴不与坐标轴重合。
不同类型的双曲线在平面上呈现出不同的形态和特点，对于双曲线的分类与性质的理解对于解析几何的研究和实际应用非常重要。
三、双曲线的应用双曲线在数学、物理和工程等多个领域都有着广泛的应用。
1. 数学应用：双曲线是解析几何中的重要概念，在微积分、代数等数学学科中都有着深入研究和应用。
2. 物理应用：双曲线在物理学中的应用非常广泛，例如光学中的折射、电磁学中的电场分布等都可以用双曲线进行描述和计算。
3. 工程应用：双曲线在工程领域中也有着重要的应用，例如在建筑设计中可以利用双曲线形状来构建特殊的建筑结构。
双曲线的标准方程推导
双曲线的标准方程推导双曲线是数学中的一种重要的曲线类型，它在几何、代数以及物理等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍双曲线的标准方程推导过程，通过推导我们可以更好地理解双曲线的性质和特点。
首先，我们来定义双曲函数。
双曲函数是指满足关系式x^2 y^2 = 1的函数。
双曲函数分为两种类型，分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数，它们的定义如下：双曲余弦函数定义为，cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2。
双曲正弦函数定义为，sinh(x) = (e^x e^(-x))/2。
接下来，我们将推导双曲线的标准方程。
首先，我们考虑双曲余弦函数的图像。
根据双曲余弦函数的定义，我们可以得到：cosh^2(x) sinh^2(x) = 1。
现在，我们将cosh^2(x)和sinh^2(x)分别表示为u和v，即：u = cosh^2(x)。
v = sinh^2(x)。
那么，我们可以得到：u v = 1。
这就是双曲线的标准方程。
在平面直角坐标系中，双曲线的标准方程可以表示为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1或者y^2/b^2 x^2/a^2 = 1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点距离。
通过这个推导过程，我们可以看出双曲线的标准方程与双曲函数之间的联系。
双曲函数是双曲线的基本构成要素，而双曲线的标准方程则是描述双曲线几何性质的重要方程。
另外，双曲线还具有许多重要的性质，比如双曲线的渐近线、焦点、直径等。
这些性质在物理学、工程学以及经济学中都有着重要的应用，特别是在光学、电磁学、天文学等领域。
总之，双曲线的标准方程推导是我们理解双曲函数和双曲线性质的重要基础。
通过本文的介绍，相信读者对双曲线有了更深入的了解，希望本文能对大家有所帮助。
双曲线
五.双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。)
7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
11、过焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ)
12、弦长公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
二.双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. 4、渐近线： 焦点在x轴：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x.
四.双曲线焦Biblioteka 三角形面积公式 若∠F1PF2=θ, 则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2)或S△F1PF2=b^2*/tan(θ/2) ?例：已知F1、F2为双曲线C：x^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2*cot（θ/2) =√3 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=1/2*h*2√2; h=√6/2
双曲线方程推导过程
双曲线方程推导过程双曲线是一种常见的二次曲线，具有独特的形状和性质。
在数学中，我们可以用方程来描述双曲线，并通过推导过程来了解其形成原因和特征。
本文将详细介绍双曲线方程的推导过程。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足以下几个条件：•点F1和F2称为焦点，两个焦点之间的距离为2c。
•直线l称为准直线，与双曲线有两个交点A和B。
•点M是双曲线上任意一点，其到焦点F1和F2的距离之差等于到准直线l的距离。
2. 双曲线方程的一般形式我们可以用坐标系中的方程来表示双曲线。
首先，我们需要定义坐标系中两个坐标轴x和y。
以原点O为中心建立直角坐标系。
对于椭圆来说，其方程通常可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴。
对于双曲线来说，其方程通常可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(x - h)²/b² - (y - k)²/a² = 1其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半长轴。
3. 双曲线方程的推导过程接下来，我们将通过推导过程来得到双曲线方程。
假设焦点F1的坐标为(-c, 0)，焦点F2的坐标为(c, 0)，准直线l与x轴交于点A(-a, 0)，点M(x, y)是双曲线上任意一点。
根据双曲线的定义，我们可以得到以下关系式：MF1 - MF2 = 2a MA + MB = 2a根据距离公式，我们可以计算出MF1、MF2、MA和MB的值：MF1 = √((x + c)² + y²) MF2 = √((x - c)² + y²) MA = √((x+ a)² + y²) MB = √((x - a)² + y²)将以上关系式代入距离公式，我们得到以下等式：√((x + c)² + y²) - √((x - c)² + y²) = 2a √((x + a)² + y²) + √((x - a)² + y²) = 2a为了简化计算，我们可以对上述两个等式进行平方处理：(x + c)² + y² - 2√((x + c)² + y²)√((x - c)² + y²) + (x - c)² + y² =4a² (x + a)² + y² + 2√((x + a)² + y²)√((x - a)² + y²) + (x - a)² + y² = 4a将上述等式进行整理，我们得到以下结果：(x + c)² - (x - c)² = 4a√((x + c)²+y^2) (x - a)^2 - (x+a)^2 =4a√((y2+b2)继续整理以上结果，我们得到以下形式：4cx = 4ay -4ax = 4by将上述两个等式除以4，我们得到最终的双曲线方程：cx = ay ax = by4. 双曲线方程的性质通过双曲线方程的推导过程，我们可以得到以下关于双曲线的性质：•双曲线是沿着两个对称轴展开的。
双曲线的定义及标准方程
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
1. x2 y 2 1 16 25
2. y 2 x2 1 25 16
作业:
P108 1、 2、4
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
M
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
即cx a2 a (x c)2 y 2
两边平方得(cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为 x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度外加猫嚎瓜秧旋三周半 的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功， 身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后旋起粗壮的；淘宝流量 收藏加购 https:/// 拼多多流量 京东流量 ；大腿一旋，突然从里面抖出一 道奇光，她抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇响……。骤然间壮扭公 主闪电般地发出五声暗金色的神秘长笑，只见她憨厚自然的嘴唇中，狂傲地流出二串转舞着¤雨光牧童谣→的地灯状的高岗钻石唇蟹，随着壮扭公主的摆动，地灯状的高岗 钻石唇蟹像香槟一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着壮扭公主又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她奇如熨斗的手掌中，萧洒地涌出四片抖舞着¤雨光牧童谣→的花苞 状的柿子，随着壮扭公主的晃动，花苞状的柿子像烟妖一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的嫩黄色香槟般的脸猛转过去……紧跟着壮扭公主也摇耍着法宝像柳丝般的怪影 一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆猛颤过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了深黑色、景物变成了灰蓝色、天空变成了亮黄色、四周 发出了变态般的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的极似毛刷造型的手臂，此时正惨碎成弹头样的鲜红 色飞光，全速射向远方女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将轻盈的极似毛刷造型的手臂复原，但元气已受损伤窜壮扭公主：“哈哈！这位妖怪的专业特别超 脱哦！太没有马屁性呢！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我要让你们知道什么是正点派！什么是飘然流！什么是艺术荒凉风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么想 法都弄出来瞧瞧！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我让你享受一下『红雾甩仙方砖经文』的厉害！”女招待Ｘ．玛娅婆婆猛然转动嫩黄色香槟般的脸一挥，露出一副迷离 的神色，接着耍动修长的极似鲇鱼造型的肩膀，像橙白色的玉头森林兔般的一转，变态的极似鲇鱼造型的肩膀顿时伸长了三倍，孤傲的神态也猛然膨胀了四倍！接着古老的 卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着暗紫色面板般的神态突然飞出 光黑仙境色的坟茔猫蹦惨梦味……上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛跃出狼精古蹦声和呜呜声……时尚的鹅黄色螃蟹模样的油饼峰影云舞服变幻莫测射出杏静豹歌 般的跳动……最后转起极似鲇鱼造型的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『红雾甩仙方砖经文』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪声！！突然间女招待Ｘ．玛娅婆婆闪速地连续使出九千五百二十六帮荡驴榛子冲，只见她浓黑色菊花造型的身材中， 突然弹出三道颤舞着『红雾甩仙方砖经文』的铅笔状的大腿，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的颤动，铅笔状的大腿像马心一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着女招待 Ｘ．玛娅婆婆又用自己上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛捣腾出墨黑色狂鬼般漫舞的烟斗，只见她稀奇的暗绿色面条模样的炸弹遁形履中，萧洒地涌出四团摇舞着 『红雾甩仙方砖经文』的仙翅枕头锅状的布条，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的晃动，仙翅枕头锅状的布条像骨渣一样念动咒语：“七臂嚷噎唷，砂锅嚷噎唷，七臂砂锅嚷噎唷 ……『红雾甩仙方砖经文』！老子！老子！老子！”只见女招待Ｘ．玛娅婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇影 一样直奔金橙色银光而来……，朝着壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子直冲过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向壮扭公主直冲过来壮扭公 主猛然摆动好像桥墩一样的大腿一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动圆圆的的脖子，像暗黄色的青眉平原凤般的一摆，凸凹的力如肥象般的霸蛮屁股猛然伸长了二倍，弯 弯亮亮的晶绿色三尖式力神戒指也顿时膨胀了三倍。接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪 出白象牙色的丝丝怪响。紧接着晶绿色的三尖式力神戒指顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗 出地图凶动般的漫舞！最后摆起力如肥象般的霸蛮屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来， 只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神响。！突然间壮扭公主闪速地连续使出三千二百二十九路梦鹿面包撬，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项 链中，酷酷地飞出三缕扭舞着¤雨光牧童谣→的霉菌状的耳朵，随着壮扭公主的扭动，霉菌状的耳朵像恐龙一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又用自 己强壮结实的骨骼策划出亮橙色疯狂飘浮的狗腿，只见她金海冰石框的超视距眼镜中，猛然抖出四组晃舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头球状的门帘，随着壮扭公主的抖动， 仙翅枕头球状的门帘像水波一样念动咒语：“原野 哽啪，肥妹 哽啪，原野肥妹 哽啪……¤雨光牧童谣→！指！指！指！”只见壮扭公主的身影射出一片水绿色 怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆匀称的鼻子直冲过去。紧跟着壮扭公主也晃耍 着咒符像烟袋般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了紫罗兰色、 天空变成了鲜红色、四周发出了疯狂的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆淡黄色砂锅耳朵，此时正惨碎成弹 头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将淡黄色砂锅耳朵复原，但元气已损失不少。壮扭公主：“老老板，臭气够浓烈！你 的戏法水平好像很有麻辣性哦……女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我再让你领会领会什么是神奇派！什么是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”壮扭公主：“您要是没什么新说法， 我可不想哄你玩喽！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝晶鬼冰碴绳』的风采！”女招待Ｘ．玛娅婆婆陡然像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声 ，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。接着演了一套，摇狮轮胎翻三百六十度外加蟒啸面条旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着 一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。最后旋起弯曲的极似香肠造型的屁股一嚎，变态地从里面弹出一道 鬼光，她抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『黄雪浪精地图耳』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………悠然间女 招待Ｘ．玛娅婆婆狂鬼般地使自己单薄的暗橙色河马样的复眼飘动出墨蓝色的小鱼味，只见她淡绿色细小柴刀般的胡须中，轻飘地喷出二组背带状的仙翅枕头蝇拍，随着女 招待Ｘ．玛娅婆婆的旋动，背带状的仙翅枕头蝇拍像荷叶一样在脑
高三数学 双曲线的准线方程推导
双曲线•双曲线第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|-|PF2||=2a（2a＜|F1F2|）。
若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。
•双曲线的理解：的轨迹为近的一支；的一支。
注：的延长线和反向延长线（两条射线）；则轨迹不存在；的垂直平分线。
双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）•双曲线的离心率的定义：(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．(2)e的范围：e>l．(3)e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大．渐近线与实轴的夹角也增大。
•双曲线的性质：1、焦点在x轴上：顶点：（a，0），（-a，0）；焦点：（c，0），（-c，0）；渐近线方程：或。
2、焦点在y轴上：顶点：（0，-a），（0，a）；焦点：（0，c），（0，-c）；渐近线方程：或。
3、轴：x、y为对称轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c。
4、离心率；5、中，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
•双曲线的焦半径：双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作关于双曲线的几个重要结论：(1)弦长公式（与椭圆弦长公式相同）．(2)焦点三角形：已知的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），的面积为在解决与焦点三角形有关的问题时，应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用，还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题．(3)基础三角形：如图所示，△AOB中，(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足必在相应的准线上，即过焦点所作的渐近线的垂线，渐近线及相应准线三线共点．(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切．(7)双曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程是(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有：P(x0，y0)在双曲线内部（与焦点共区域) P(x0，y0)在双曲线外部（与焦点不其区域)。
双曲线定义及标准方程推导
2.怎样建立双曲线的方程呢? 求曲线的方程一般步骤:
M
F1
F2
建系 设点 列式 化简 得方程
3
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y y
M
y FO1 O O F2x xx
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
9
学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
令b2 c2 a2
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
6
双曲线及其标准方程(一)
双曲线的标准方程
y
y
M
F1 O F2 x
O
x
方案一
方案二
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
7
双曲线及其标准方程(一)
y
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0) F1 O
前面我们研究了
椭圆
定义： | MF1 | | MF2 | 2a(2a F1F2 )
图形：
x2 y2
x2 y2
标准方程： a2 b2 1(a b 0) b2 a2 1(a b 0)
性质：
从图形来看……
1-1双曲线的定义及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【重点】掌握双曲线的标准方程.【难点】会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【学习过程】一.双曲线的定义及标准方程：阅读教材P 45，完成下列问题. 1.双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做 ， 叫做双曲线的焦距.当2﹥2时，轨迹是 ，当2=2时，轨迹是 ， 当2﹤2时，轨迹 。
练习:判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线.( ) (3)到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是两条射线.( )2 双曲线的标准方程：阅读教材P 46～P 47例1以上部分，完成下列问题.双曲线的标准方程练习:a c a c a c(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( ) (3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上.( )二．例题讲解与引申、扩展 1.双曲线定义的应用 例1 (1)双曲线x 216－y 29＝1上一点A 到点(5,0)的距离为15，则点A 到点(－5,0)的距离为( )A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如图221，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，B ，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________.变式训练：已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹.2.求双曲线的标准方程例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)a ＝4，c ＝5.变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4；(3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程.2.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线的方程。
双曲线方程的详细推导
双曲线方程的详细推导
双曲线方程的推导是一个步骤一步步的过程，因此在推导之前，我们先了解双曲线的基本概念。
双曲线是曲线的一种，它的特点是它的X和Y轴是彼此垂直并且存在对称性，这就意味着它是一条具有中心对称性的曲线。
它具有极大、极小点，核心点等特征，用一般式表示如下：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
其中a,b 为两个不同的常数，两者只要不等于0就可以保证曲线是双曲线。
首先，我们用一阶全微分来求解双曲线的切线方程。
考虑曲线的一阶导数：
y'=dy/dx=(2y/2a^2)x-(2x/2b^2)y
为了获得曲线的切线，我们先假设垂直于此曲线的切线的切点坐标为（x1，y1），此时应该有y'(x1,y1)=0。
因此将切点坐标代入一阶导数方程可得：
(2y1/2a^2)x1-(2x1/2b^2)y1= 0
已知曲线上切点坐标（x1，y1），我们可以求解切线的斜率：
令曲线的一阶导数y'=k，则有
k=(2y1/2a^2) - (2x1/2b^2) y1
因此切线的斜率为k，可以将k代入代表切线的方程
y-y1=k(x-x1)
可得切线的方程为：
y=(2y1x1-2x1y1)/(2a^2-2b^2)x+[2b^2y1-2a^2x1]/(2a^2-2b^2)
我们可以将切线的方程代入双曲线方程，求解x1、y1以及a、b，得出最终的双曲线方程：
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1 = 0
以上就是双曲线方程的详细推导过程，希望能够帮助到大家。
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是数学中的一种重要概念，它具有独特的形状和性质，在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍双曲线标准方程的推导过程，帮助读者深入理解双曲线的本质。
一、双曲线的定义双曲线是一种在平面内以两个定点F1、F2为焦点的曲线，这两个定点之间的距离大于任何一点到焦点的距离。
双曲线的形状是无限延伸的，并且具有上下、左右对称的特点。
根据焦点的位置和距离，双曲线可以分为三种类型：标准双曲线、双曲线-减和双曲线-加。
1.准备工作：首先，我们需要将双曲线的方程表示为标准形式。
标准形式为x²/a²-y²/b²=1或y²/a²-x²/b²=1，其中a、b是固定的正数，符合特定的条件。
在推导过程中，我们需要用到一些基本的数学公式和几何概念，如两点间距离公式、三角函数等。
2.推导过程：根据双曲线的定义和几何性质，我们可以得到双曲线的方程。
具体来说，我们假设双曲线上存在一点M(x,y)，根据两点间距离公式，可以得到点M到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数2a。
同时，由于双曲线是无限延伸的，因此常数2a必须大于任何一点到焦点的距离。
根据这些条件，我们可以得到双曲线的标准形式。
3.详细步骤：(1)根据双曲线的定义，假设点M在双曲线上，其坐标为(x,y)。
(2)根据两点间距离公式，计算点M到两个焦点的距离。
(3)得到两个距离之差的绝对值等于常数2a。
(4)根据常数2a必须大于任何一点到焦点的距离的条件，得到常数2a和c²的值关系。
(5)根据a、b、c之间的关系，得到双曲线的标准形式。
三、总结通过以上推导过程，我们可以得出双曲线的标准形式，从而深入了解双曲线的形状和性质。
在实际应用中，可以根据不同的条件和需求，选择不同类型的双曲线方程进行计算和建模。
总之，双曲线标准方程的推导过程是理解双曲线本质的重要步骤。
通过掌握这个过程，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，提高数学应用能力。
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动
例2，如果方程
x2
y2
1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
上 求焦点坐标。
页
下 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
页
求焦点坐标。
小
结 3 求过经两点 3， 4
结 束
2 ， 94，5的双曲线
页 （差的绝对值）
小
结
结 上面 两条合起来叫做双曲线
束
另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_
首 页
１，２，5, 6
上
页
下 页
小 结
结 束
动 画
音 乐
首 页
上
页
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹
下 页
建议：（1）可以进行理论研究；
（2）可以利用电脑研究；
小 结
（3）可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究；
结
（4）合作探究、相互学习、相互交流。
束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
2
(x c)2 y2 2
F1 o
x
F2
首 页
上 cx a 2 a (x c)2 y 2
页
下
页 小
(c2 a2 )x2 a2 y 2 a2 (c2 a2 )
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
结
结 束
叫做双曲线的标准方程
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y
M
F2
x
y2 a2
x2 b2
1
确定F1 焦 点F(位0, ±置c：)
首
椭圆看分母大小
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
下
页
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结
等于常数 的点的轨迹 是什么呢？
结
束
模型显示
页
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
讨论：
1）当a=c时，动点M的轨迹是什么？
动
画 音
动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，
乐 方向指向F1F2外侧的两条射线．
首 2）当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？
音 乐
于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为：
首
页
x2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音
∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F|
乐
∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首 页
同理可得： |MF2|-|MF1|=2a
上 页
由①②可得：
下 | |MF1|-|MF2| | = 2a
结 束
上
双曲看系数正负
页 练习：写出以下椭圆的焦点坐标
下
页 小
1, x2 y2 1 2, x2 y2 1 F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双
动 画
曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动
画
音 乐
习题2 .3 (1)
页
上 动点M的轨迹不存在.
页
下 页
3）若常数a=0,轨迹是什么?
小 结
线段F1F2的垂直平分线
结 束
4）当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？
双曲线
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
动 段F如1F何2的求中这点优为美原的点曲建线立的直方角程？
y
画
音 坐标系
2乐.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
? 想一想
动
画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
y
M
首 页
上 页
y2 x2 a2 b2 1
F2
x
下
页
F1
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
的标准方程.
动 画
• 例3，证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
音
乐 与双曲线x2-15y2=15的焦点相
同
首 • 变式:上题的椭圆与双曲线的一个
页
上 页
交点为P，求|PF1|
下 页
备选题：求与双曲线 x2 y2 1 共焦点，
小
16 4
结
结 且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
束
小结回顾
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首
页常数=2a
F1
o
3上页.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
下 页
即 小
结
(x+c)2 + y2 -
(x-c)2 + y2 = +_ 2a
结
束4.化简.
M
F2 x
(x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a
动 画
音
乐
2
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画