双曲线定义与方程推导1

|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
1. 什么叫做椭圆？
音 乐
于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为：
首
页
x2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首
页常数=2a
F1
o
3上页.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
下 页
即 小
结
(x+c)2 + y2 -
(x-c)2 + y2 = +_ 2a
结
束4.化简.
M
F2 x
(x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a
动 画
音
乐
2
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
下
页
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结
等于常数 的点的轨迹 是什么呢？
结
束
模型显示
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与 两定点F1、F2 (|F1F2|=2c) 的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹.
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画
页
上 动点M的轨迹不存在.
页
下 页
3）若常数a=0,轨迹是什么?
小 结
线段F1F2的垂直平分线
结 束
4）当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？
双曲线
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
动 段F如1F何2的求中这点优为美原的点曲建线立的直方角程？
y
画
音 坐标系
2乐.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动
画
音 乐
习题2 .3 (1)
页
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
讨论：
1）当a=c时，动点M的轨迹是什么？
动
画 音
动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，
乐 方向指向F1F2外侧的两条射线．
首 2）当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
首 页
１，２，5, 6
上
页
下 页
小 结
结 束
动 画
音 乐
首 页
上
页
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹
下 页
建议：（1）可以进行理论研究；
（2）可以利用电脑研究；
小 结
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究；
结
（4）合作探究、相互学习、相互交流。
束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y
M
F2
x
y2 a2
x2 b2
1
确定F1 焦 点F(位0, ±置c：)
首
椭圆看分母大小
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
页 （差的绝对值）
小
结
结 上面 两条合起来叫做双曲线
束
另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_
结 束
上
双曲看系数正负
页 练习：写出以下椭圆的焦点坐标
下
页 小
1, x2 y2 1 2, x2 y2 1 F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双
动 画
曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等
? 想一想
动
画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
y
M
首 页
上 页
y2 x2 a2 b2 1
F2
x
下
页
F1
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
图象
首 页
上 页
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
9 16
动
例2，如果方程
x2
y2
1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
上 求焦点坐标。
页
下 变式2 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
页
求焦点坐标。
小
结 3 求过经两点 3， 4
结 束
2 ， 94，5的双曲线
的标准方程.
动 画
• 例3，证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
音
乐 与双曲线x2-15y2=15的焦点相
同
首 • 变式:上题的椭圆与双曲线的一个
页
上 页
交点为P，求|PF1|
下 页
备选题：求与双曲线 x2 y2 1 共焦点，
小
16 4
结
结 且过点( 3 2 , 2 ) 的双曲线方程。
束
小结回顾
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音
∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F|
乐
∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首 页
同理可得： |MF2|-|MF1|=2a
上 页
由①②可得：
下 | |MF1|-|MF2| | = 2a
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y 2
y
M
F1 o
x
F2
首 页
上 cx a 2 a (x c)2 y 2
页
下
页 小
(c2 a2 )x2 a2 y 2 a2 (c2 a2 )
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
结
结 束
叫做双曲线的标准方程