双曲线的定义及标准方程
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双曲线的定义及标准方程
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对 值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线. 这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集 合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常 数且a>0，c>0： (1)若 a<c 时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为 两条射线 ； (3)若a>c 时，则集合P为空集.
规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是 判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而 根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝ 2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦
解析 (1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆 C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2| －|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据 双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同
的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4，0).由 双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋ |PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当 A，P，E 三点共线时， (|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为 9.
答案 (1)x2－y82＝1(x≤－1) (2)9
共轭双曲线是以已知双曲线的 虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲 线，也可以看做把原方程中的正 负号交换了位置后 得到的新方程。
x2 y2 1 a2 b2
的共轭双曲线为y2 b2Fra bibliotekx2 a2
1
等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心 率为e＝__2__，渐近线方程为__y_＝_±__x__.
考点二 双曲线的标准方程的求法
【例 2】 (1)过双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作
x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦
点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，
则双曲线 C 的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( )
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
(2)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，
若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对
值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( )
A.4x22－3y22＝1
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12 ＝1
D.1y12 －1x12 ＝1
3
3
【答案】 (1)x42－y2＝1 (2)A
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. (2)已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4， 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5，0)， 设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a＝4，b＝3. 故曲线 C2 的标准方程为4x22－3y22＝1. 答案 (1)C (2)A
共渐近线系双曲线方程
跟踪训练 1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，
且渐近线方程为 y＝±21x，则该双曲线的标准方程为________．
(2)(2016·河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2＋(y
－2)2＝1 相切的双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
性 渐近线
质 离心率
y＝±bax
c e＝ a
y＝±abx ，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
共轭双曲线
知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对 值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线. 这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集 合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常 数且a>0，c>0： (1)若 a<c 时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为 两条射线 ； (3)若a>c 时，则集合P为空集.
规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是 判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而 根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝ 2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦
解析 (1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆 C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2| －|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据 双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同
的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4，0).由 双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋ |PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当 A，P，E 三点共线时， (|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为 9.
答案 (1)x2－y82＝1(x≤－1) (2)9
共轭双曲线是以已知双曲线的 虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲 线，也可以看做把原方程中的正 负号交换了位置后 得到的新方程。
x2 y2 1 a2 b2
的共轭双曲线为y2 b2Fra bibliotekx2 a2
1
等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心 率为e＝__2__，渐近线方程为__y_＝_±__x__.
考点二 双曲线的标准方程的求法
【例 2】 (1)过双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作
x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦
点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，
则双曲线 C 的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos ∠F1PF2＝( )
1
3
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4
A.4
B.5
C.4
D.5
(2)设椭圆 C1 的离心率为153，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，
若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对
值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( )
A.4x22－3y22＝1
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12 ＝1
D.1y12 －1x12 ＝1
3
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【答案】 (1)x42－y2＝1 (2)A
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. (2)已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4， 由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5，0)，F2(5，0)， 设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8＜10＝|F1F2|. 由双曲线的定义知曲线 C2 为双曲线且 a＝4，b＝3. 故曲线 C2 的标准方程为4x22－3y22＝1. 答案 (1)C (2)A
共渐近线系双曲线方程
跟踪训练 1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，
且渐近线方程为 y＝±21x，则该双曲线的标准方程为________．
(2)(2016·河南郑州二模)经过点(2，1)，且渐近线与圆 x2＋(y
－2)2＝1 相切的双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
性 渐近线
质 离心率
y＝±bax
c e＝ a
y＝±abx ，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
共轭双曲线