基本不等式002
第9讲 基本不等式
第9讲基本不等式【知识点梳理】1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a R ≥∈≥≥∈（2）基本不等式：如果,ab R +∈，则2a b+≥(当且仅当“a b =”时取“”).特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）.（3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(421)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【例2】已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【题型专练】1.若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．902.已知二次函数()22f x ax x c =++（R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【例2】已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【例3】已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【例4】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【例5】当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【题型专练】1.已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．122.若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．23.已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．524.已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.5.设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．6．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b ++，则3a b +的最小值为___________.题型三常规凑配法【例1】已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【例2】函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【例4】设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）（A ）2（B ）4（C ）（D ）5【例5】若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【题型专练】1.函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．32.若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52C ．3D ．3+3.若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.题型四换元法【例1】函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【例2】函数2y =___________.题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【题型专练】1.若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-的最大值为___________.2.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．13.已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值为．A ．3B ．C ．1+D ．2【题型专练】1.若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．2.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．3.若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________4.若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x yy x +++的最小值是__________．题型七齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例1】已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y xy+++的最小值为．【例2】若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 【题型专练】1.已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-最小值为（）A B ．53C ．72+D 2.已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.3.已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______．4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A ．3-B ．1+C 1-D ．1+题型八和、积、平方和的转化若出现c nab b a m =++)(，其中a 、b 、m 、n 、c *∈R 因为4)(22b a ab ab b a +≤⇒≥+，可以转化为c nab ab m ≤+2或c b a nb a m ≥+++4)()(2，从而求出b a +及ab 的取值范围．若出现求nb ma +取值范围，先将式子c nab b a m =++)(因式分解成为z y b x a =++))((形式，再用基本不等式求出nb ma +最值．【例1】设0a >，0b >，24a b ab ++=，则()A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8【例2】设,1,0,0ab b a b a =++>>求b a 23+最小值．【例3】设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是．【题型专练】1．已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．2.已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．题型九多选题【例1】已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m =B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C 的最大值为m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为2【例2】已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（）A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．112a b+≥【例3】设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（）A ．()()0.51,,L a b L a b ≤B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤【例4】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【题型专练】1.（多选题）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a ba b+≥+D ．22a b a b+≥+2．（多选题）设1,1a b >>，且()1ab a b -+=，那么（）A ．+a b 有最小值)21+B ．+a b 有最大值)21+C ．ab 有最大值3+D ．ab 有最小值3+。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式知识点探究导语：基本不等式作为数学中的一个重要知识点，广泛应用于数学中的各个领域。
掌握基本不等式的性质和运用方法，对于学生提高数学素养具有重要意义。
本文将就基本不等式的定义、证明、应用以及一些特殊情况进行介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一. 基本不等式的定义基本不等式是指对于一般的实数x和y，有以下不等式成立：1. 数字不等式：若x > y，则有 x+a > y+a，其中a为任意实数。
2. 绝对值不等式：若x > a，则有 |x| > |a|，其中a为任意实数。
二. 基本不等式的证明基本不等式的证明可通过数学归纳法进行。
以数字不等式为例，我们可以将其分为两个步骤进行证明：1. 首先证明当a > 0时，x > y推出x+a > y+a。
根据a > 0，可知存在实数b，使得a = b^2。
将x、y分别加上b^2，得到 (x + b^2) - (y +b^2) > 0，即(x - y) + b^2 > 0。
由于b^2 > 0，因此(x - y) + b^2 > 0，即x + b^2 > y + b^2，即x+a > y+a。
2. 其次证明当a < 0时，x > y推出x+a > y+a。
与前一步骤相似，我们令a = -b^2，b为任意实数。
同样可以得到 (x - y) + (-b^2) > 0，即 (x + (-b^2)) - (y + (-b^2)) > 0，即x + (- b^2) > y + (- b^2)，即x+a > y+a。
三. 基本不等式的应用基本不等式在数学中有广泛的应用，尤其在代数和不等式解题中常被使用。
以下列举几个典型的应用情况：1. 求绝对值不等式的解集：通过运用绝对值不等式可以求解关于绝对值的不等式，例如 |2x + 1| > 3，可以转化为2x + 1 > 3或2x + 1 < -3的形式，然后求出解集即可。
2.2基本不等式
2.2基本不等式【知识清单】1.重要不等式对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.2.基本不等式（1）.定义：如果a >0，b >0，则ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）．常用变形①ab ，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②a ＋b ≥2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（3）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正或者负.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.3.基本不等式的两种应用已知a ，b 都是正数，(1)如果积ab 是定值P ，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ；(2)如果和a ＋b 是定值S ，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值14S 2．【常见题型】一．利用基本不等式求最小值（直接型）1.若x ＞0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值2.函数420y x x x的最小值为__________．3.已知2nm ，则22m n 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二．利用基本不等式求最大值1.已知0,0,42a b a b ，则ab 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．22.已知52x ，求)(x x 52 的最大值___________3.设x >0,则133y x x的最大值为（）Ａ．3Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．－14.已知0x ，则1x x的最大值为（）A ．2B ．12C ．2D ．12三．构造基本不等式求最值1.若2a ，则162a a 的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．22.函数 2230x x f x x x 的最大值为________.3.已知1x ，则函数241x x y x的最小值是______．4.函数224xy x x 的值域是__________．四．对“1”的利用1.已知正数,x y 满足1x y ,则14x y的最小值是___________.2.若x ,y 是正数，且141x y，则xy 有（）Ａ．最大值16Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16Ｄ．最大值1163.已知0a ，0b ，2a b ，则14y a b的最小值是（）A ．72B ．4C ．92D ．54.已知x ，*R y ，x ＋2y ＝1，则12x y的最小值（）A ．8B ．9C ．10D ．11五．不等式的大小关系1.若x >0,y >0,且x +y 4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x yB ．111x yC 2D ．11xy2.a ,b 是正数，则2,2a baba b三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b aba b 22a b aba bＣ．22ab a ba b Ｄ．22ab a ba b3.设a ,b ,c (0,), 且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c六．应用题中的运用求最值1.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件2.建造一个容积为18m 3,深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.3.某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价 f x ，问泳池的长为多少米时，可使总造价 f x 最低，并求出泳池的最低造价．【巩固练习】1.已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．2.函数y 的最大值为.3.若0n ，则9n n的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．84.a>0,b>0,ba tb a 11,12求的最小值5.若x ,y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x的值恒为正，对吗？答.6.若a、b R ，1)( b a ab ，则b a 的最小值是（）A.222 B.25 C.222 D.227.已知0x ，0y ，且211x y，若2x y m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．,9 B ． 7, C ． 9, D ． ,7 8.已知正数a ,b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab的最小值.。
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式ppt课件
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
(最新整理)基本不等式
(完整)基本不等式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)基本不等式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)基本不等式的全部内容。
2a b +≤一2a b+≤（1)重要不等式222(,)a b ab a b R +≥∈一般地，对于任意实数,a b ,都有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。
注:①取等的条件是a b =,若果,a b 不能相等，则222a b ab +≥中的等号不能成立。
②重要不等式可变形为222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，2222()()a b a b +≥+.例：已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=，则a 的最大值是_____。
3（2(,)2a ba b R ++≤∈ 基本不等式公式:如果0,0a b >>，那么2a b+，当且仅当a b =时，等号成立。
其中2a b+叫做正数,a b 的算术平均数叫做正数,a b 的几何平均数。
注：①基本不等式成立的条件是：0,0a b >>。
②基本不等式可变形为:a b +≥,2()2a b ab +≤. 例1 若0,0a b >>2112a b a b+≥≥≥+.例2 下列说法正确的是(）.A 函数2y x x=+的最小值为.B 函数2sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为.C 函数2y x x=+的最小值为.D 函数2lg lg y x x=+的最小值为 练习1下列不等式：①12x x+≥;②12x x+≥；③若01a b <<<,log log 2a b b a +≤-，④若01a b <<<，则log log 2a b b a +≥。
基本不等式
eg2.已知：ab 0,求证 b a 2，并指明等号 ab
成立条件
扩：1)去除条件ab>0
2)ab
0,求
b a
a b
的取值范围
可运用基本不等式求代数式的取值范围
Eg3.运用基本不等式证明：周长相等的矩 形中，正方形的面积最大
二.基本不等式的应用
1.证明不等式 eg1.求证：对于a, b, c R,有a2 b2 c2 ab
三等：利用基本不等式求最值要注意等号 取到的x的取值是否在定义域内
正数是前提，定值是基础，相等是保证， 三者缺一不可
eg2.求下列各式的最值
1）x>0,求x+ 1 的最小值 2x
2）x<0,求3x+
1 x
的最大值
3)a,b R,a b=1,求a+b的取值范围
4）x>4,求x+ 1 的最小值 x-4
eg3.1）x
R,求
x2
3x 2x
2
的取值范围
2）x
R,求
x x2
的取值范围 1
2）当x 3,求 2x2 的最小值 x3
练习：1）x ，1 ,求 x2 4x 1的最大值
x1 2）x 0,求 2x2 x 1的最小值
2x 1 3) x2 2 的最小值
x2 1
eg4.已知a,b R+ ,a b 1 1)求a b的最大值 2）求 1 1的最小值
eg2.修一个一边靠墙的矩形花园，栅栏长为12米 要使得场地面积最大，求矩形的边长
eg3.两个旅客从同一地点出发，沿同一方向走 到同一个目的地，旅客甲先用一半时间以速度 a行走，再用一半时间以速度b行走；旅客乙有 一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走 （a b)问哪个旅客先到达目的地？
不等式基本不等式课件
柯西不等式
01
柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它给出了两个向量的内积和它
们的模之间的关系。
02 03
形式化表述
对于任意的向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，有 $mathbf{a} cdot mathbf{b} leq sqrt{(sum a_i^2)(sum b_i^2)}$。
在物理领域的应用
力学
在力学中，基本不等式可 以用来解决与力矩、扭矩 和弹性形变有关的问题。
热力学
在热力学中，基本不等式 可以用来研究热量转移、 热能和机械能之间的转换 等。
电磁学
在电磁学中，基本不等式 可以用来解决与电流、电 压和电阻有关的问题。
在工程领域的应用
结构设计
在工程结构设计中，基本不等式可以用来确定结 构的稳定性、刚度和强度等参数。
详细描述
不等式是用数学符号表示两个量之间大小关系的表达式。在数学中，我们使用 “<”、“>”、“≤”和“≥”符号来表示不等关系。例如，如果 a < b，则表 示 a 和 b 之间存在一个不等关系，即 a 小于 b。
不等式的性质
总结词
不等式具有传递性、可加性和可乘性等基本性质。
详细描述
不等式的性质是数学中研究不等关系的基础。其中，传递性是最重要的性质之一 ，即如果 a < b 且 b < c，则 a < c。此外，不等式还具有可加性和可乘性，即 如果 a < b，则 a + c < b + c 和 a × c < b × c（当 c > 0）。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
![基本不等式完整版(非常全面)[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9348b628cd1755270722192e453610661ed95ab5.png)
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
2012届数学人教A版4-5教案002基本不等式
基本不等式备课人：闵党生 授课班级： 累计课时数：2 授课时间：知识目标：1.掌握重要不等式，基本不等式概念及几何意义2.掌握基本不等式的变形式，并能灵活运用能力目标：培养逻辑思维和推理能力，运用知识的能力 情感目标：培养学生科学的世界观教学过程：一、引入 我们已经学过重要不等式ab b a 222≥+（,a b R ∈），为了方便同学们学习，下面将它以定理的形式给出，并给出证明.二、新课 定理1（重要不等式）如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+ ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+指出定理适用范围：,a b R ∈,强调取“=”的条件a b =.几何解释：定理2（基本不等式）如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 几何解释：以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD ’⊥AB 则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD ba =≥+2.典型例题：证明：略点评：一般地，从基本不等式可以得到下面结论：对两个正实数,x y ，如果它们的和S 是定值，则当且仅当x y =时，它们的积取得最大值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当x y =时，它们的和S 取得最小值.变式训练3. (11年天津理2)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A备用变式训练1.(11年上海理15)若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +> B ．a b +≥．11a b +>．2b a a b +≥ 答案：D备用变式训练2.已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值 解：y x +y xb x ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)(2)(2b a yxb x ay b a +=⋅++≥ 当且仅当y xb x ay =即bay x=时2min )()(b a y x +=+解答：略点评：本小题主要考查不等式的性质应用和基本不等式求最值问题. 变式训练4.（11年湖北17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）分析：本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（满分12分） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a . 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 备用变式训练3.(11年湖南理10)设R y x ∈,，且0≠xy ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222411y x y x的最小值为 .答案：9解析：由R y x ∈,，且0≠xy 可知：0,0,02222>∴>>y x y x，则9451451441411222222222222=+=⋅+≥+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x y x y x y x y x （当且仅当222214yx y x =时，取到等号）.故填9三、小结掌握基本不等式的推导过程及其证明过程，几何意义.基本不等式在应用题中的应用，最值的求取. 四、作业教材P 10的5-10题 备选资料及训练题：1、重要的结论：已知x ，y 都是正数，则：(1).如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2； (2).如果和x+y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值241S . 2.若+∈=+R b a b a ,,1 求证225)1()1(22≥+++b b a a 证：由幂平均不等式：2)11()1()1(222b b a a b b a a +++≥+++ 2252)23(2)3(2)1(222=+≥++=++++=b a a b b b a a b a 3.( 11年浙江理16)设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .解析：224431x y xy xy ++-=，222233251(2)2(2)()(2)2228x y x y xy x y x y +=+-⋅≥+-⋅=+2x y ∴+≤，故2x y +.4.若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值.解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x∵14<<-x ∴0)1(>--x0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x . 5.设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值 解：∵0>x ∴)221(21222y x y x +⋅=+又2321)2()221(2222=++=++y x y x ∴423)2321(212=⋅≤+y x 即423)1(max 2=+y x6.设1a ，2a ，3a ，…，n a 为正数，证明：nn a a a nna a a 1112121+++≥+++ . 7.若+∈R y x ,，设2),(22y x y x Q +=2),(y x y x A +=xy y x G =),(yx y x H 1+=12),( 求证：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥加权平均；算术平均；几何平均；调和平均的关系问题证：∵2442)2(22222222yx y x y x xy y x y x +=+++≤++=+ ∴2222yx y x +≥+即：),(),(y x A y x Q ≥（俗称幂平均不等式）. 由平均不等式),(),(y x G y x A ≥),(222),(y x G xy xyxyy x xy y x H ==≤+=即：),(),(y x H y x G ≥综上所述：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥ 考点一：利用均值不等式求最值1．已知x 、y 均是正数，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为( )A ．9B ．18C ．6D ．20解析：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，(x ＋y )(8x ＋2y )＝8＋2＋(8y x ＋2xy)≥10＋28y x ·2xy＝18. 当且仅当⎩⎨⎧8y x ＝2x y 8x ＋2y＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝6时取等号．答案：B2．(2010·成都检测)下列结论正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：A 错误，若0＜x ＜1，则lg x ＜0，∴lg x ＋1lg x≥2不成立．C 错误，x ＋1x的最小值是2，当且仅当x ＝1时成立．D 错误，当x ＝2时，取到最大值．答案：B3．(2010·江西联考)函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵x ＜2，∴2－x ＞0.∴f (x )＝(2－x )2＋12－x ＝(2－x )＋12－x≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”．答案：C考点二：利用的值不等式证明不等式4．(2010·重庆调研)当a ＞b ＞c 时，不等式1a －b ＋1b －c ≥ma －c恒成立，则m 的最大值为________．解析：令x ＝a －b ，y ＝b －c ，则x ＞0，y ＞0，且a －c ＝x ＋y ，∴只要m ≤(x ＋y )(1x ＋1y)．∵(x ＋y )(1x ＋1y )≥2xy ·21xy＝4，∴m ≤4.∴m 的最大值为4.答案：45．求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．证明：∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2，2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2，又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ， ∴2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2(ab 2c ＋abc 2＋a 2bc )，即a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥ab 2c ＋abc 2＋a 2bc ＝abc (a ＋b ＋c )． 6．证明下列不等式：(1)a ，b ，c ∈R ＋，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .(2)a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．证明：(1)由不等式的对称性可知：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·ca b＝2c同理bc a ＋ab c ≥2b ac b ＋abc ≥2a 将上式同向不等式相加，得bc a ＋ca b ＋bc a ＋ab c ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c (2)由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式x 2＋y 2≥2xy 及变形不等式：x 2＋y 22≥(x ＋y 2)2(x ，y ∈R )．故可运用它们进行证明．∵a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |≥22(a ＋b )．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．考点三：利用均值不等式解决实际问题7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为________吨．解析：设一年的总运费与总存储费之和为y ，则y 与每次购买量x 间的函数关系式：y ＝400x ·4＋4x ≥2400x ·4·4x ＝160.当且仅当400x ·4＝4x 时取等号，∴x 2＝400，又x ＞0，∴x ＝20(吨)．答案：208．学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最多？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x (1 500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付费用最少．(2)y ＝1x [1500x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1 462(x ≥20)．函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451，而1451＜1521，故食堂可接受粮店的优惠条件. 未用完的题目1.若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b ∈R ＋)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析：直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴点(1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab ≥3＋2 2. 答案：D。
基本不等式(解析版)
基本不等式(解析版)基本不等式(解析版)基本不等式是数学中一类重要的不等式，它们在解决数学问题时起着重要的作用。
本文将介绍基本不等式的概念、性质以及应用。
让我们一起来深入了解基本不等式。
一、基本不等式概述基本不等式是指在一定条件下，对于给定的变量之间的关系，能够推导出的一类不等式。
基本不等式包括等号和不等号，通过不等式的比较可以得到更多有关变量之间的信息。
二、基本不等式性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这种性质使得我们可以通过基本不等式的传递性，推导出更复杂的不等式关系。
2. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本不等式的加减性质使得我们可以对不等式进行加减运算，得到新的不等式。
3. 乘除性：如果a>b且c>0，则ac>bc；若c<0，则ac<bc。
这使得我们可以通过乘除性质，对不等式进行乘除运算，并保持不等式的方向性。
三、基本不等式的应用1. 在证明问题中的应用：基本不等式常常被用于数学证明中，通过推导出合适的不等式进行逻辑推理，达到证明某个数学问题的目的。
2. 在优化问题中的应用：有时候我们需要找到一个使得某个函数取得最大或最小值的变量取值，而基本不等式能够帮助我们找到最优解的取值范围。
3. 在数列极限证明中的应用：数列极限证明中经常会用到基本不等式，通过合适的运算和不等式的推导，可以证明数列的极限存在或者不存在。
四、基本不等式的例子例子1：已知a>0，b>0，证明ab≥2√(ab)。
解析：由于a>0，b>0，我们可以对两边同时平方，得到a^2b^2≥4ab。
进一步化简得ab≥2√(ab)，这就是我们所要证明的不等式。
例子2：证明对于任意实数x，有x^2+x+1>0。
解析：我们尝试使用求根公式来解这个问题。
根据一元二次方程的求根公式，当判别式Δ=b^2-4ac小于0时，方程无实根。
基本不等式优秀课件
倒置不等式是什么？
倒置不等式是指改变不等式符号后所得到的不等式。它可以帮助我们在解决问题时更灵活地应用和推导 基本不等式。
利用倒置不等式的场景案例
倒置不等式可以应用于经济学中的供求分析、物理学中的力学问题以及概率统计中的风险分析等各种实 际场景。
如何证明基本不等式?
证明基本不等式的方法有很多，其中一种常用的方法是使用数学归纳法。通 过逐步推导和分析，可以证明基本不等式的正确性。
基本不等式与平均数不等式的 关系
基本不等式和平均数不等式密切相关。平均数不等式提供了将等式推广为不 等式的方法，并通过均值的概念推导出了很多重要的不等式。
极值原理与基本不等式
基本不等式优秀课件
通过本课件，我们将深入了解基本不等式及其广泛的应用。探索不同领域中 如何利用基本不等式解决实际问题，并了解基本不等式的重要性和应用价值。
什么是基本不等式？
基本不等式是数学中的重要概念，用于描述数值之间的大小关系。它提供了 一种有力的工具，可以证明和推导出其他重要不等式。
基本不等式的定义和内容
极值原理是基本不等式的一个重要分支，它用于解决极限问题和最优化问题。 极值原理通过基本不等式将极值和不等式联系起来，提供了一种有力的工具。
基本不等式在概率统计中的应 用
基本不等式在概率统计中有广泛的应用，可以用于描述随机变量的分布、测 量误差和评估可靠性等问题。
基本不等式解决实际问题的步 骤
通过以下步骤，我们可以利用基本不等式解决实际问题：1. 理解问题要求；2. 利用倒置不等式进行变形；3. 使用基本不等式推导出结论。
拓展性质：黑尔德不等式
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式
基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取“=”）（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”）2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”）3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(当且仅当b a =时取“=”） （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b ab a ab +≤+≤ (当且仅当b a =时取“=”）（5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ (当且仅当b a =时取“=”）题型一：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型二：凑项求最值1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型三：利用不等式求最值1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
《基本不等式》课件
01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 2 页
数学 科学案 序号 4-5 002 高二 年级 6 班 教师 王德鸿 学生
§1.1.2基本不等式（1） 姓名 ☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; 2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：
1. 不等式的基本性质：
10
. 对称性：b a >⇔ ；
20. 传递性：⇒>>c b b a ,
；
30
. 同加性：⇒>b a ；
推论：同加性：⇒>>d c b a , ；
30
. 同乘性：⇒>>0,
c b a ，⇒<>0,c b a ；
推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,
0 ；
推论4：可倒性：⇒>>0b a . 2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)． ☻建构新知：
1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22
2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
证明: ∵222
2()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.
∴22
2a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈,
那么
2
a b
+≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
20. 如何证明基本不等式?
30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?
40
. 怎样用语言表述基本不等式?
☆案例学习：
例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）
①22b a b a ab +≤+，②，2
222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式训练：设,a R ∈b ，求证：(1) 2
22
22a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
;
(2) 222a b c ab bc ac ++≥++．
例2、 (1) 设.1
1120,0的最小值，求
且y
x y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________.
变式训练： 若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围
例3、已知0＜x ＜3
4，求x(4-3x)的最大值；
变式训练：求函数29()12f x x x
=+-（1
(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．
阅读课本例3、例4
第 2 页 共 2 页
课后作业
1、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
5 2、已知a ＞0,b ＞0，
a 1+b
3
=1，则a+2b 的最小值为( ) A.7+26 B.23 C.7+23
D.14
3、设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.
b
a
a b +≥2 B.a 2+b 2
≥2ab
C.
b
a
a b 2
2+
≥a+b D.b
a
11
+≥2+
b
a +2
4、已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd
b a 2
+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4 5、x+3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) A.7 B.339 C.1+22 D.5
6、若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
7、在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A.y=x+
x
4
B.y=x
x lg 1lg +
C.y=1
1122++
+x x D.y=x 2-2x+3
8、已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )
A.3
1
B.2
1
C.4
3
D.32
9、若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1
的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+22
10、函数221()1
x x f x x ++=
+的值域为 ．
11、（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y
9
=1,求x+y 的最小值；
（2）已知x ＜45,求函数y=4x-2+5
41
-x 的最大值；
12、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四
周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
13、甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元.
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？。