分式不等式的解法

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分式不等式的解法及应用

分式不等式是一种常见的数学问题，其解法涉及到分式的运算和不

等式的求解。在解决分式不等式问题时，我们需要运用一些特定的方

法和技巧，以确定不等式的解集。本文将介绍分式不等式的解法及其

应用。

一、分式不等式的解法

1. 消去分母法

当分式不等式的分母不为0时，可以通过消去分母来求解。消去分

母的关键是要找到一个合适的公因式，将不等式转化为一个一次不等式。具体步骤如下：

（1）当分式不等式中只含有一个分式时，可以将其分母相乘，合

并为一个分子，然后化简为一个一次不等式进行求解。

（2）当分式不等式中含有多个分式时，可以通过求最小公倍数，

将分式表示为等值的形式，然后化简为一个一次不等式进行求解。

2. 分别讨论法

当分式不等式无法通过消去分母进行求解时，可以采用分别讨论法。具体步骤如下：

（1）首先判断分式不等式的两边是否有相等的情况，若有，则将

相等的情况加入到解集中。

（2）然后讨论分式不等式两边的正负情况，分别列出符号相同和

符号相反的情况，求解每种情况下的不等式。

3. 图像法

图像法是一种直观的分式不等式求解方法，通过绘制函数图像，可

以直观地确定不等式解集的范围。具体步骤如下：

（1）将不等式转化为等式，并求解其等式的解集。

（2）根据不等式的符号确定解集的范围，绘制函数的图像。

（3）根据图像判断解集的具体范围，得出分式不等式的解集。

二、分式不等式的应用

分式不等式作为一种常见的数学问题，广泛应用于各个领域。以下

是一些分式不等式应用的实际例子。

1. 经济领域

在经济领域，分式不等式可以用于解决生产规模、销售价格等问题。例如，在生产规模不变的情况下，利润与生产成本的关系可以用分式

分式不等式的求解步骤

分式不等式的知识点在高中数学中经常会遇到。下面是由编辑为大家整理的“分式不等式的解法步骤”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

分式不等式

与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式解法

可以用同解原理去分母，解分式不等式;如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)，则f(x)g(x)>0,或f(x)g(x)<0。然后因式分解找零点，用穿针引线法。

分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;令分子、分母等于0，并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式的解法有哪些

很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做，以下是由编辑为大家整理的“分式不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

分式不等式的解法

对于第一类解法如下：

(1)令分子、分母等于0，并求出解;

(2)画数轴在数轴上找出解的位置;

(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

对于第二类解法如下：

(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;

(2)令分子、分母等于0，并求出解;

(3)画数轴在数轴上找出解的位置;

(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过

拓展阅读：如何学好数学

一、数学运算

运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，(3+3)2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能

分式不等式的解法

练习册：P18 习题2.3 A组 1~3； B组 1
①移项、整理、变形，化未知数系数为正； ②利用商与积的符号相同，转化为解整式不等式； ③求解整式不等式。
2）一般地，分式不等式分为三类：
1Baidu Nhomakorabea判断下列不等式组中，哪些解集相同。
2）把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组）
3）解下列分式不等式：
1、分式不等式的概念 2、分式不等式的解法
其他不等式的解法（1）
—分式不等式的解法
格致中学蔡青
1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程
2、分式方程的解法： 1)去分母转化为整式方程 2)解整式方程 3)验根
1、分式不等式定义：分母中含有未知数的不等式
主要研究形如
的不等式
研究：改变：
2、分式不等式的解法：
1）基本思路：把未知的问题转化成我们熟悉的问题。

分式不等式解法

分式不等式是一个非常重要的数学概念，也是高中数学学习的重要内容之一。本文将详细介绍分式不等式的解法，包括分式不等式的基本定义、求解分式不等式的步骤、常见的分式不等式类型及其解法等。

一、分式不等式的基本定义

分式不等式是由分式式子构成的不等式，其形式如下：

$\\frac{f(x)}{g(x)} < a$

其中，$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别为分式中的分子和分母，$a$ 为常数。

注意：这里假设 $g(x) \

eq 0$，否则分式无定义。

二、求解分式不等式的步骤

1. 将不等式两边乘上分母 $g(x)$。

2. 化简不等式左边的分式。

3. 将化简后的不等式左边与常数 $a$ 比较大小。

4. 根据不等式的性质确定不等式符号的方向，得到最终的解集。

三、常见的分式不等式类型及其解法

1. 一次分式不等式

一次分式不等式是指分子和分母都是一次函数的分式不等式，如：$\\frac{x-1}{2x+1}>1$

解法：

将不等式两边乘上分母 $2x+1$，得到：

$x-1>2x+1$

移项化简得到：

$x<-2$

解集为 $(-\\infty,-2)$。

2. 二次分式不等式

二次分式不等式是指分子和（或）分母含有二次项的分式不等式，如：$\\frac{x^2+x-2}{x^2+2x+1}<0$

解法：

将不等式化简得到：

$\\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)^2}<0$

根据零点的性质，可以将数轴分为以下几段：

$x<-2,-2<x<-1,x>1$

解分式不等式的一般步骤

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。

分式不等式详细解法

分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式分为两类：左边为分式，右面为0的形式和左边为分式，右面不为0的形式。

对于第一类解法：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

对于第二类解法：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式解法公式

例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。

首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。

$$\frac{3}{x-4} = 0$$

因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。

接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。根

据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。

因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。

$$x>4$$

所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。

例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。

首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相

对稳定的。因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。

以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：

-当$x+1<0$时，不等式成立。

-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。

-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。

对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：

-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。

-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。

-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。

综上所述，我们可以得出以下解集：

$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

分式不等式及其解法

专题讲解分式不等式及其解法

资料编号:20190725

分式不等式的概念

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.

利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①; ②≥0; ③; ④≤0. 0)()(>x g x f )()(x g x f 0)()(<x g x f )

()(x g x f 分式不等式的解法

解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.

解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.

各标准形式的分式不等式的解法为:

（1）与不等式组或同解,与不等式同解; 0)()(>x g x f ⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f ⎩

⎨⎧<<0)(0)(x g x f 0)()(>⋅x g x f （2）≥0与不等式组同解; )()(x g x f ⎩

⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f （3）与不等式组或同解,与不等式同解; 0)()(<x g x f ⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f ⎩

⎨⎧><0)(0)(x g x f 0)()(<⋅x g x f （4）

≤0与不等式组. )()(x g x f ⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.

例1. 解不等式

. 012<-+x

x 解:原不等式可化为:,它的同解不等式为: 012>-+x x ()()012>-+x x 解之得:或

分式不等式的解法

分式不等式是一种含有分式的不等式，其解的求解方法与普通的不等式有所不同。本文将介绍两种常见的分式不等式的解法：基本不等式法和区间法。

一、基本不等式法

基本不等式法是分式不等式的常用解法之一，适用于形如

$\frac{A}{B} \geq 0$或$\frac{A}{B} \leq 0$的分式不等式。其中，A 和B分别表示多项式。

步骤如下：

1. 将分式不等式化为标准形式：将分式中的分子和分母用括号括起来，并将不等号方向保持不变。

2. 对分子和分母进行因式分解。

3. 找出分母因式为0的值，这些值构成分式不等式的解。

4. 将分母为0的值所对应的点作为分式的分界点，将实数轴分成若干个区间。

5. 在每个区间上确定分式的正负号，判断每个区间上是否满足不等式的条件。

6. 将满足不等式条件的区间合并，得到分式不等式的解集。

举例说明：

假设有一个分式不等式：$\frac{x-1}{x+2} \geq 2$

首先将其化为标准形式，得到：$\frac{x-1}{x+2} -2 \geq 0$

然后对分子和分母进行因式分解，得到：$\frac{(x-1)-2(x+2)}{x+2} \geq 0$

化简得：$\frac{x-1-2x-4}{x+2} \geq 0$

继续化简得：$\frac{-x-5}{x+2} \geq 0$

找出分母为0的值，得到：$x=-2$

根据$x=-2$将实数轴分成三个区间：$(-∞, -2), (-2, -5), (-5, +∞)$

接下来在每个区间上判断分式的正负号：

分式不等式的解法

一不等式的解法

1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）

利用绝对值的定义：（零点分段法）

利用绝对值的几何意义：表示到原点的距离

公式法：,与

型的不等式的解法.

2 整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；

2）分解因式；

3）标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）；

4）穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)；

一元二次不等式解法步骤：

1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)；

2）首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）

3 分式不等式的解法

1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，

2）转化为整式不等式（组）

4 指数、对数不等式的解法

①当时

②当时

二．练习

1. 不等式的解集是

2. 不等式的解集是

3. 不等式的解集是

4. 不等式的解集是

5. 不等式的解集是

6. 不等式的解集是

7. 不等式的解集是 8. 不等式的解集是

9. 不等式的解集是 10. 不等式的解集是

11. 不等式的解集是 12. 不等式的解集是

13. 不等式的解集是 14. 不等式的解集是

15. 不等式的解集是 16. 不等式的解集是

17. 不等式的解集是 18. 不等式的解集是

19. 不等式的解集是 20. 不等式的解集是

答案

1. 2. (-2，3)

3. 4.

5. 6.

7.8. (1，2)

9.10.

分式不等式的解法

一、新课：

例1、（1）()()303202

x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？（2）

()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：

（1）()()

()()00f x f x g x g x >⇔⋅> （2）()()()()()000

f x

g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：数轴标根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”

（2）移项通分，不等号右侧化为“0”

（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式

（4）数轴标根。

例2、解不等式：22320712x x x x -+≤-+-

解略

点评：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。

例3、解不等式：22911

721

x x x x -+≥-+

点评：1、不能随便去分母

2、移项通分，必须保证右侧为“0”

3、注意重根问题

例4、解不等式：22560(0)32x x x x +-≥≤-+

点评：1、不能随便约去因式

2、重根空实心，以分母为准

例5、解不等式：

2121332

x x x x ++>--

点评：不等式左右不能随便乘除因式。

例6、解不等式：

22331x

x x

练习：解不等式：

1、

≥

（首相系数化为正，空实心）

2、21

（移项通分，右侧化为0）

分式不等式的解法

分式不等式的解法
分式不等式的解法：一般步骤
f ( x) 1. 0 f ( x) g ( x) 0 g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 g ( x)
f ( x) g ( x) 0 f ( x) 2. 0 g ( x) g ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) g ( x) 0
x 5 (1) 0ຫໍສະໝຸດ Baidux3
5 x ( 2) 4 0 1 x 2
x 1 解：原不等式 1 0 1 2x 3x 2 0 1 2x
(3x 2)(1 2x) 0
(3x 2)(2 x 1) 0
1 2 解得 x 2 3 1 原不等式的解集为 x x 2
2 3
练习：解下列不等式.

例1 解不等式
x3 0 x7
解：原不等式等价于（x 3） ( x 7) 0
原不等式的解集为 x x 7或x 3
x3 变式： 0 x7
解得x 7, 或x 3
x x 7或x 3 原不等式的解集为
x 1 1 例2 解不等式 1 2x

专题二、分式不等式的解法

〔一〕分式不等式：

型如：

0)()(>x x f ϕ或0)

()

(

的不等式称为分式不等式。〔2〕归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

〔1〕

0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ〔3〕0)()(0)

()(<⋅⇔

〔2〕

⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ 〔4〕⎩⎨

⎧≠≤⋅⇔≤0

)(0)()(0)()

(x x x f x x f ϕϕϕ 〔3〕小结分式不等式的解法步骤：

〔1〕移项通分，不等式右侧化为"0〞，左侧为一分式〔2〕转化为等价的整式不等式

〔3〕因式分解，解整式不等式〔注意因式分解后，一次项前系数为正〕〔1〕分式不等式的解法：

解关于*的不等式

>-+x x

方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：

⎩⎨

⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+0

230

1x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：

≥-+x x

等价转化为：⎩

⎨

⎧≠-≥-+0230

)23)(1(x x x

比拟不等式

0231<-+x x 及02

≤-+x x 的解集。

〔不等式的变形，强调等价转化，分母不为零〕练一练：解关于*的不等式例1、解关于*的不等式：

≥+-x x 解：

023

≥-+-x x 即，

≥+--x x 03

≤++x x 〔保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正〕

等价变形为：⎩

⎨

⎧≠+≤++030

)3)(8(x x x

∴原不等式的解集为[)3,8--

例2、解关于*不等式

<+++x x x 方法一：322

分式不等式的解法

练习：
1.解不等式 x2 2x 0 . 3 x
2.解不等式 x2 2x 3 x . x 1
3.解不等式 a(x 1) 1 （ a 为常数）. x2
作者：曹亚云 Email：cyy82@vip.qq.com 更多资源：zxczrj.com

0
(x 2)(x2 x 1) 0 (x 3)(x 1)
因为 x2 x 1 0 恒成立，所以原不等式等价于 (x 2)(x 3)(x 1) 0 ，所以原
不等式的解集为 (1, 2) (3, ) .
【解析 2】Mathematica 法 In[1]:= Reduce [��3��+2+2��2��−��−��22 < ��, ��] Out[1]= −1 < �� < 2||�� > 3
【例
2】解不等式
x2 2x 2 3 2x x2

x
.
【解析
1】
x2 2x wenku.baidu.com 3 2x x2

x

x2 2x 2 3 2x x2

x

0

x2
2x 2 (3x 2x2 3 2x x2

x3 )

分式不等式的解法

都是等价变换！求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！
例1：解不等式：
x −1 ≤1 2x +1
wenku.baidu.com
练一练： 7x + 3 >5 1. 2 x +1
x + 3 ≥ 0 2. 3 − 2 x
x−a <0 的不等式: 例2：解关于的不等式：解关于x的不等式 2 x−a
(a ∈ R )
练一练：
练习：解关于的不等式的不等式: 练习：解关于x的不等式
a−x >0 1+ x
a ( x − 1) 解关于x的不等式例3:解关于的不等式：解关于的不等式： > 1( a ≠ 1) x − 2
练一练：
练习：解关于的不等式的不等式: 练习：解关于x的不等式
ax >1 x−2
分式不等式的解法
解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“ ” 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤” 等价转化 ”
分式不等式的解法：分式不等式的解法：
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 ⇔ 或 g( x ) g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) 或 < 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) < 0 ⇔ g( x ) g( x ) < 0 g( x ) > 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≥0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) > 0 g( x ) < 0 f ( x ) ⋅ g( x ) ≤ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0 f ( x) ≤0⇔ ⇔ 或 g( x ) g( x ) ≠ 0 g( x ) < 0 g( x ) > 0

高中分式不等式解法

高中分式不等式解法：

分式不等式解法为：可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g（x）>0,或f（x）g（x）<0。然后因式分解找零点，用穿针引线法。

分式不等式解法

分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上

依次穿过。