2020年高考数学(文)一轮复习专题6.1 数列的概念与简单表示法(练)(原卷版)

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2020届高考数学总复习第六章数列6_1数列的概念与简单表示法课件文新人教A版

【答案】 21
7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－3n＋2，则{an}的通项公式为________．
【解析】当 n＝1 时，a1＝S1＝12－3×1＋2＝0；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋2－[(n－1)2－3(n－1)＋ 2]＝2n－4.显然当 n＝1 时，不满足上式，所以 an＝02，n－n＝4，1，n≥2.
角度3 形如an＋1＝Aan＋B，求an 【例6】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求它的一个通项公式为an.
【解析】设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋t＝2(an ＋t)，即 an＋1＝2an＋t，解得 t＝3.
故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2. 所以{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列． ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
【答案】 an＝02， n－n＝ 4，1， n≥2
8．已知数列{an}的通项公式为 an＝－3n2＋15n－18，则数列 {an}的最大项为________．
【解析】由题意得 an＝－3n－522＋34，∴当 n＝2 或 3 时， an 取得最大值 0.
【答案】 0
考点一由数列的前 n 项求数列的通项公式【例 1】 (1)已知数列{an}的前 4 项为 2，5，8，11，则数列 {an}的一个通项公式是__________． (2)已知数列{an}的前 4 项为－12，53，－35，1107，则数列{an} 的一个通项公式是________．
数列{an}的第 5 项是32.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】

2020版高考(文)新增分大一轮：第6章 6.1 数列的概念与简单表示法

§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N ＋递减数列a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n ，n≥2.概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N＋，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．(×)(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N＋，都有a n＝S n－S n－1.(×)题组二教材改编2．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝.答案21解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝.答案5n－4题组三易错自纠4．已知a n＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．答案(－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是．答案30解析a n ＝－n 2＋11n ＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案，n ＝1，n －1，n ≥2，n ∈N ＋解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，a 1＝2不满足上式．故a n ，n ＝1，1＝2不满足上式.n －1，n ≥2，n ∈N ＋.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1，7，－13，19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1).(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．(4)各项符号特征等．(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．跟踪训练1(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝.答案(－1)n1n (n ＋1)解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝.答案2n ＋1n 2＋1解析数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二由a n 与S n 的关系求通项公式例2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝.答案4n －5解析a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝.答案－63解析∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{a n}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴S n＝a1(1－q n)1－q＝－1×(1－2n)1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.(3)已知数列{a n}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝2n，则a n＝.答案＝1，n≥2解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得na n＝2n－2n－1＝2n－1，∴a n＝2n－1 n.显然当n＝1时不满足上式，∴a n＝1，n≥2.思维升华已知S n求a n的常用方法是利用a n1，n＝1，n－S n－1，n≥2，一定要检验a1的情况．跟踪训练2(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋1，则a n＝.答案，n＝1，×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an，n＝1，×3n－1，n≥2.(2)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，则a n＝.答案1 3n解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n 3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .(3)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝.答案(－2)n－1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.题型三由数列的递推关系求通项公式例3设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝.答案n 2＋n ＋22解析由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22.引申探究1．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n ”，如何求解？解∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n .2．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a n ＋3”，如何求解？解设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故a n ＋1＋3＝2(a n＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝5，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以5为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝5×2n －1，故a n ＝5×2n －1－3.3．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a na n ＋2”，如何求解？解∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝2，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝2，则1a 1＝12，是以12为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2.∴a n ＝2n.4．若将本例条件换为“a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ”，如何求解？解∵a n ＋1＋a n ＝2n ，∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2.即数列{a n }的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n 为偶数时，a 2＝1，故a n ＝a 2＋n －1.当n 为奇数时，∵a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶数)，故a n ＝n .综上所述，a n ，n 为奇数，－1，n 为偶数，n ∈N ＋.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列．(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列．(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝.答案3×2n －1－2解析由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝.答案4－1n解析原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n ，经验证a 1，a 2也符合．题型四数列的性质命题点1数列的单调性例4已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是()A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案B解析a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2数列的周期性例5(2019·包头质检)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n 1－3a n，则S 2020＝.答案0解析∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S 2020＝S 3×673＋1＝a 1＝0.命题点3数列的最值例6已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，则nS n 的最小值为()A ．－3B ．－5C ．－6D ．－9答案D解析由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2，a m ＋1＝3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1，∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2，则a n ＝n －3，S n ＝n (n －5)2，nS n ＝n 2(n －5)2.设f (x )＝x 2(x －5)2，x >0，f ′(x )＝32x 2－5x ，x >0，∴f (x )的极小值点为x ＝103，∵n ∈N +，且f (3)＝－9，f (4)＝－8，∴f (n )min ＝－9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练4(1)(2018·葫芦岛模拟)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2020的值为()A ．2B ．－3C ．－12 D.13答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13a 5＝1＋a 41－a 4＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，故a 2020＝a 505×4＝a 4＝13.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N ＋)，则数列{na n }中数值最小的项是()A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案B解析∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n ∈N ＋)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N +，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的()A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项答案C解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }是递增数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵“a n >0”⇒“数列{S n }是递增数列”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件．如数列{a n }为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n >0”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件．∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件．3．(2018·锦州质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于()A ．255B ．256C ．510D ．511答案C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×(1－28)1－2＝29－2＝512－2＝510.4．(2018·呼和浩特模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n6项和为()A.215B.415C.511D.1011答案A解析数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，S n －1＝n 2－1，两式作差得到a n ＝2n ＋1(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以a n ＝2n ＋1，1a n ·a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝裂项求和得到S 6－15＋…＝215，故选A.5．在数列{a n }中，a 1＝2，an ＋1n ＋1＝ann ＋a n 等于()A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n答案C解析由题意得a n ＋1n ＋1－a n n＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln1＝ln n ，a nn＝2＋ln n ，∴a n ＝(ln n ＋2)n ，故选C.6．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于()A ．2n －1B ．n 2C.(n ＋1)2n 2 D.n 2(n －1)2答案D解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝.答案85解析借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝.答案，n ＝1，n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n －5，n ≥2.9．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝.答案－1n解析∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝.答案2n 2－n ＋2解析由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n ＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N ＋)．11．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2，经检验n ＝1时，也满足上式．综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．解(1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n 2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．13．(2018·抚顺模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2019等于()A ．－22019－1B ．32019－6－72－103答案A解析由题意可得，3S n ＝2a n －3n ，3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝－2a n －3，a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1)，结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3，a 1＋1＝－2，则数列{a n ＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，据此有a 2019＋1＝(－2)×(－2)2018＝－22019，∴a 2019＝－22019－1.故选A.14．(2018·赤峰模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N ＋)，若对任意n ∈N ＋，a n <a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是()D ．(3，5)答案D解析∵S n ＋S n －1＝4n 2，S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2，∴当n ≥2时，S n ＋1－S n －1＝8n ＋4，即a n ＋1＋a n ＝8n ＋4，即a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12，故a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)，由a 1＝a 知a 2＋2a 1＝4×22＝16，∴a 2＝16－2a 1＝16－2a ，a 3＋2S 2＝4×32＝36，∴a 3＝36－2S 2＝36－2(16－a )＝4＋2a ，a 4＝24－2a ；若对任意n ∈N +，a n <a n ＋1恒成立，只需使a1<a2<a3<a4，即a<16－2a<4＋2a<24－2a，解得3<a<5，故选D.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝15，且满足a n＋12n－3＝a n2n－5＋1，已知n，m∈N＋，n>m，则S n－S m的最小值为()A．－494B．－498C．－14D．－28答案C解析因为a n＋12n－3＝a n2n－5＋1，且a12－5＝15－3＝－5，5为首项、1为公差的等差数列，则a n2n－5＝－5＋(n－1)＝n－6，即a n＝(2n－5)(n－6)，令a n≤0，得52≤n≤6，又∵n∈N＋，∴n＝3,4,5,6，则S n－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a n的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14.16．已知数列{a n}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设S n是数列{a n}的前n n项和为T n，若不等式λ≤T n对任意的n∈N+恒成立，求实数λ的最大值．解∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8，a1a4＝a2a3，∴a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根，且a1<a4.解方程x2－9x＋8＝0，得a1＝1，a4＝8，∴q3＝a4a1＝81＝8，解得q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2n－1.∴S n＝a1(1－q n)1－q＝1×(1－2n)1－2＝2n－1，令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1∴T n ≥T 1＝23，∵λ≤T n ，且对一切n ∈N ＋成立，∴λ≤23，∴实数λ的最大值是23.。

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
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— 20 —
命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
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，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法、图象法和 9 解析法．
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— 8—
常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.

2020版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示讲义(含解析)

第一节数列的概念与简单表示突破点一数列的通项公式抓牢双基自学回扣［基本知识］1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，_ 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).2.数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式.3.数列的递推公式如果已知数列｛a n｝的第1项(或前几项)，且任何一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n=f(a n—1)(或a n=f (a n—1, a n—2)等)，那么这个式子叫做数列｛a n｝的递推公式.4. S与a n的关系S, n= 1,已知数列｛a n｝的前n项和为则a n=C 这个关系式对任意数列均成8 1, n>2,立.［基本能力］一、判断题(对的打“，”，错的打“x”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( )1(3)若已知数列｛an｝的递推公式为an+1 = -——且a2=1,则可以写出数列｛&｝的任何2a n —1一项.( )(4)如果数列｛a n｝的前n项和为S,则对？nC N,都有a n+1 = S+1 —S.( )答案：(1) X (2) V (3) V (4) X二、填空题11.数列｛a n｝中，a=2,且a n+1 = 2ai- 1,则a5的值为1 1 . . 一1 一 . .解析：由& = 2, a n+1 = 2a n—1,得a2 = 2a1- 1 = 1 - 1 = 0, a3=~a2- 1 = 0-1 = - 1, a4- 7答案：-4n1 + a2 , n 为偶数，12,数列｛ a n ｝定义如下：a 1=1,当n>2时）a n=- 1若a n = 4,I 尸，n 为奇数， L a n — 1则n 的值为31 2 」 , , 1 1a 3 = a 7= -= -, a 8=1+a 4=4, a 9=-=所以 n= 9.2 a 63 a 8 4答案：93 .数列｛a n ｝的通项公式 a n=T -------- == ^/n +\n + 1解析：a n=.——1——『= ------- [ --- I n ■+1即 - p- = J n + 1 -J n ,n /n + 1 + n ]n n jm- 1 + y/n n jm 1 -yj n••.q iO —3=y i0—小，・•・回一3是该数列的第9项.答案：94.已知S 是数列｛a n ｝的前n 项和，且&= n 2+ 1,则数列｛ a n ｝的通项公式是2 n=1, ■=2n —1, n>2研透高考,潦化提能［全析考法］考法一利用an 与3的关系求通项 •S 1, n= 1,数列｛a n ｝的前n 项和&与通项a n 的关系为a n= ”通过纽带：a n = SS n-S n 1, n>2,-S n 1（n>2）,根据题目已知条件，消掉a n 或S n,再利用特殊形式（累乘或累加）或通过构造成等差数列或者等比数列求解.［例1］（1）（2019 ・化州模拟）已知S n 为数列｛a n ｝的前n 项和,且log 2（S n+1） = n+1, 则数列｛ a n ｝的通项公式为 .（2）（2019 •广州测试）已知数列｛曰｝的各项均为正数，S 为其前n 项和，且对任意nCN,=2a3 -1 = — 2— 1 = 一 3 … 1 d2 a 5= 2a 4 — 13-1 =-4解析：困为1a 1 - 1 , 以 a 2— 1 + a 1 — 2 , a 3 一 — a 2 1… c 1 1 … ,a 4 — 1 + a 2 — 3, a 5 —— , a 6 — 1 + 2a 3,则历一3是此数列的第项.答案：a n =均有an, S,芯成等差数列，则an=.［解析］（1）由log 2（S n+ 1） =n+1,得S n+ 1 = 2n+1,当 n = 1 时，a ［=S = 3；当 n>2 时，a n= S —S —1=2 ,3, n= 1, 所以数列｛ a n ｝的通项公式为a n=<2n 值？(2)「a n, a 2成等差数列，2S=a n+a 2.2当 n = 1 时，2s = 2a 1 = a 1 + a 1. 又 a 1>0, •= a= 1.22当 n > 2 时,2a n = 2( S n — S1-1) =a n+a n — a n -1 — a n-1, • • (a n — a n- 1) — (a n+ a n- 1) = 0.--- (a n+ a n 1)( a n —a n 1)— (a n+ a n 1)= 0,「•(a n+a n-1)( a n —an-1-1) = 0,- a n + a n i >0, • • a n — a n-i = 1,［方法技巧］已知S 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1=S 求出a;(2)用n-1替换S 中的n 得到一个新的关系，利用a n=$—1(n>2)便可求出当n>2 时a n 的表达式； (3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n>2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n>2两段来写.考法二利用递推关系求通项［例2］ (1)在数列｛a n ｝中，a 1=2, a n+1=a n+3n+ 2,求数列｛a n ｝的通项公式.n — 1(2)在数列｛a n ｝中,a 1=1' a = ka n -1(廿2)，求数列⑹的通项公式-(3)在数列｛a n ｝中a = 1, a n+1 = 3a n+2,求数列｛a n ｝的通项公式.2 a n⑷已知数列｛a n ｝中，a 1f an+1="'求数列⑶的通项公式.［解］(1)因为 a n+1 —a n=3n+2, 所以 a n — a n-1 = 3n — 1( n> 2),，、」 ................ n 3n+l ,、~所以 a n= (a n —a n-1) + (a n-1 — a n-2) + …+ (a 2—a 1)+a 1= 2 ( n>2).一 1当 n = 1 时，a 1=2= 2X(3X1+ 1),符合上式,.••{a n }是以1为首项,*.1为公差的等差数列,［答案］(1) a n=<；2 , n=1,(2) n所以 a n=3n 2+2.…n — 1 , 一、(2)因为 a n= n a n i ( n>2),n —2所以 a n- 1 = a n- 2n-112 n-1 a i 11由累乘法可得 a n = a 1 - 2 - 3 .... n = —= -(n>2).又 a 1=1符合上式，.. a n=n . ,__, ,__ ~ .、，a n +1 + 1..... (3)因为 a n+1 = 3a n+ 2,所以 a n+1 + 1 = 3(a n+1),所以 .=3,所以数列｛a n+1｝为等a n 1比数列，公比 q=3,又 a 1+1=2,所以 a n+1=2 Tn —,所以 a n=2 • 3n-一1.--- a n+1= a n+2，a 1=1.1— = - + 1,即工一2=1,又d= 1,则工=1, a n+1 a n 2 a n+1 a n 2 a 1是以1为首项，2为公差的等差数列. )『(「Dx 2=2 + 2,• •a n = n ：2-^(n^ Nj .1.［考法一］已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且a 1=1, S n="2,则a 2 019=()A. 2 018B. 2 019C. 4 036D. 4 038n + ］ a n na n-1a n a n- 1 解析：选B 由题意知n>2时，a1 = Sn-Sn 1 = ——7一一工一，化为一=一2 2n n-1, 1a 2= -a i .a i i=1 ，an=n .贝Ua 2 019=2 019.故选 B.1一. S+1 3 ............................ 解析：选B 3=2an+1=23+1 —2S? 3S=2S+1? k = 故数列｛3｝为等比数列，公比S n 23.［考法二］已知在数列｛d ｝中，a n+1 = nn^a n ( n C N *),且日=4,则数列｛a n ｝的通项公式解析：由na n+1n 皿 a 2 1 a 3 2a n+1= ------- -a n,得 ----- = ---- 故—=二，一 =:n+2 a n n + 2 d 3 a 2 4a n n-1(n>2),以上a n 1 2 式子累乘信，01=3 4 n-3 n-27 'n-1 n n- 1 n+ 1 n n+1 .因为a1= 4,所以a n=T 』(n>2).因为a 1=4满足上式，所以 a n =8 nn+14.［考法二］已知数列｛a n ｝满足 d= 2, a n-a n 1= n (n>2, n€ N),则 a n=解析：由题意可知， a 2- a 1 = 2, a 3—a 2=3,…，a n -a n 1 = n( n>2), 以上式子累加得， a n —a ［ = 2+ 3+…+ n . 因为 a1 = 2,所以 an=2+(2 + 3+…+ n) = 2+n-1 2 + n n 2+n+2----- 2 ------ = -2( n > 2) •因为所以 a 1 = 2满足上式,n 2+ n+2 a n=.2―n 2+ n+2 答案：一2 一突破点二数列的性质抓牢双基•自学回扣分类标准满足条件［基本知识］数列的分类 a n a n —1 n n-12.［考法一］已知数列｛a n ｝的前n 项和为3, a 1=1, S=2a n+1,则S=(口 3~，是2,又S=1,所以［基本能力］1.已知数列｛a n ｝的通项公式是a n=；r —那么这个数列是 _________________ （填递增或递减）.3 n 1答案：递增2 .设a n=- 3n 2+ 15n-18,则数列｛a n ｝中的最大项的值是 .答案：03 .已知数列｛a n ｝的通项公式为a n=（n + 2） 7- n,则当a n 取得最大值时，n 等于 ________8答案：5或6研透高考*深化提能［全析考法］考法一［例1］数列的单调性已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =n '1）,则数列｛a n ｝中的最大项为（3A.- B . 64 c 而125 口 243［解析］法一：（作差比较法）an +i-an=（n+1）（2 i n+1-n1）=2f^-当 n <2 时，a n+1 —a n >0,即 a n+1>a n ；当 n = 2 时，a n+1 — a n = 0,即 a n+1 =a n ；当 n >2 时，a n+1 — a n <0,即 a n+1<a n .所以 a «a 2=a 3, a 3>a 4>a 5> - >a n,所以数列｛a n ｝中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2x法二：(作商比较法)a n + 1 a n+ 1 a n+ 1令一>1,解得n<2；令——=1,解得n=2；令——<1,解得n>2. a n a n a n又a n>0,故a1<a2=a3, a3>a4>a5> - > a n,所以数列｛a n｝中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2x .故选A.［答案］A［方法技巧］求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f(x)当xC N*时所对应的一列函数值，根据f (x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项.a n > a n- 1(2)通过通项公式a研究数列的单调性，利用((n>2)确定最大项，利用［a n > an+ 1an< a n —1 ,((n>2)确定最小项.anW a n + 1(3)比较法：a n+ 1①育有a n+1 — a n = f (n + 1) —f ( n)>0( 或a n>0 时,a >1 ) 5则a n+1 >a n,即数列｛a n｝递增数列，所以数列｛a n｝的最小项为a1 = f(1)；②若有a n+1 —a n = f (n+1) —f ( n)<0( 或a n>0 时，a n^<1 ),则a n+1<a n,即数列｛a n｝是递减数列，所以数列｛a n｝的最大项为a1 = f(1).考法二数列的周期性•数列的周期性与函数的周期性相类似. 求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律.确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题.［例2］ (2019 •广西南宁二中、柳州高中联考 )已知数列2 008,2 009,1 , -2 008,…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 018项之和S2 018 = .［解析］由题意可知a n+1=a n+a n+2, a1=2 008, a2= 2 009, a3=1, a，=—2 008 ,a5= —2 009, a6=—1, a7=2 008, a8= 2 009,…，，a n+6=a n,即数列｛a n｝是以 6 为周期的数列,又a + & + a3 + a4 + a5 + a6 = 0 > S2 018 = 336( a〔 + & + a?+ a4 + st + a6) + ( a 〔 + a2)=4 017.［答案］4 017［方法技巧］周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和.［集训冲关］1.［考法—-］若数列｛a nj 中，a i = 2, a：2=3,a ni+1 = a n—a n i( n—2),则a2 019 =( )A. 1B. - 2C. 3D. — 3解析：A 因为a n=a n-1 —a n-2( n >3),所1以a n+1 = a n —a n—1 =( a n—1 —a n 2) —a n-1 = - a n 2,所以an+3=—an,所以an+6=—an+3=an,所以｛an｝是以6为周期的周期数列.因为 2 019 =336x6+ 3,所以a2 019 = a3= a- a〔= 3— 2=1.故选A.n +12.［考法一］已知数列｛a｝满足a n = 3^516(n e N),则数列｛a n｝的最小项是第项.一_ ____ n+1 ... . ，… ,一、…~ n+1 ,, 斛析：因为a n= --------- -,所以数列｛a n｝的取小项必为a n<0,即:; ------ -<0,3 n— 16<0,从3n — 16 3n — 16而n<16.又nC N*,所以当n=5时，a n的值最小.3答案：5。

2020届高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念和表示法教师用书(PDF,含解析)

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对应学生用书起始页码Ｐ１０５
{ａｎ＝
Ｓ１（ｎ＝１），Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥２）．
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ．
３．数列的一般性质
由于数列可以看作一个关于ｎ（ｎ∈Ｎ∗ ）的函数，因此它具备
０２命题特点一般考查一道小题和一道解答题，约占２０分，考查对数列概念的理解，对等差、等比数列的定义与性质的理解和运用，考查函
数与方程的思想，分类与转化的思想，以及运算能力等．等差、等比数列的定义及其性质和数列前ｎ项和的问题是本章节高考考查的重点，同时利用累加法求通项，利用错位相减法或裂项相消法等求前ｎ项和也是考查的重点．放缩法证明不等式在近几年高考中出现的频率较高．
数学运算
数学运算逻辑推理数学运算逻辑推理
公式法
数学运算
公式法
公式法放缩法
数学运算
数学运算逻辑推理
命题规律与趋势
０１考查内容高考对数列的考查以基础题为主，主要有三部分内容：（１）等差、等比数列的概念和性质；（２）由递推关系求通项；（３）数列求和；（４）简单的数列放缩与不等式结合；（５）数学归纳法在数列中的应数列问题
等差数列的有关概念
中
等差数列的判断
及运算
数列的概念和表示数列的前ｎ项和Ｓｎ与
易
方法
ａｎ的关系
难
数列的综合应用
数列与不等式的综合应用
易
数列求和
数列的通项及前ｎ项和

2020届高三文科数学一轮复习课件6.1 数列的概念与简单表示法

2
(3)×.因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆动数列,所以(3)错误. (4)√.由数列前n项和的定义可知,当n∈N*,都有an+1=Sn+1 -Sn,所以(4)正确.
2.已知数列{an}: 1 , 1 , 1 , 1 ,…,则数列的一
1 2 23 3 4 45
个通项公式为________.
【解析】根据题意:OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,所以
a
2 n
=
a2 n－1
+1(n≥2)且
a12
=1,所以
{a
2 n
}
是以1为首项,1为公差
的等差数列,所以
a
2 n
=n,an=
n.
答案: n
2
取其前六项得:2,0,-2,0,2,0不满足条件.
2.(必修五P67A组T2改编)
数列{an}的前几项为
1 2
,3,
11 ,8, 21 …,则此数列的通项可能是 ( )
2
2
A.a n

5n－4 2
6n－5 C.an 2
B.a n

3n－2 2
10n－9 D.an 2
【解析】选A.数列为 1 , 6 ,11,16 , 21 …,其分母为2,分子
【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号
加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的
一个通项公式an=(-1)n
1. n(n 1)
答案:an=(-1)n
1 n(n 1)
3.已知数列的通项为an=
n 3n
1 16
(n∈N*),则数列{an}的
最小项是第________项.

2020届高三理数一轮讲义：6.1-数列的概念及简单表示法(含答案)

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12， a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案 D3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57B.61C.62D.63解析由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A5.(2019·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cos n ＋12πD.cos n ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D6.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 ∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，则a 4＝S 4－S 3＝32.∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案 12考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________.解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n . 答案 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理. 【训练1】写出下列各数列的一个通项公式： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5，55，555，5 555，….解 (1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1），n ∈N *.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1). 考点二由a n 与S n 的关系求通项易错警示【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝12n ，n ≥2 (2)－63规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出a n ＝2n (n ∈N *).【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三由数列的递推关系求通项易错警示【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n ，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *).(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2).所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1.(3)由a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)A (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3 规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.易错警示本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1，则a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1 ＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .(2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).答案 (1)2n －1＋n (2)2n （n －1）2(3)2n ＋1考点四数列的性质【例4】 (1)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060(2)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第 2 019项为________.解析 (1)令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.(2)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35， ∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.答案 (1)C (2)25规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练4】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 020＝a 2＝0.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n . 又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)0 (2)(－3，＋∞)[思维升华]1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为a n ＋1－a n ＝f (n )型，则采用累加法；若为a n ＋1a n ＝f (n )型，则采用累乘法. [易错防范]1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数. (2)数列的通项公式不一定唯一. (3)注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.2.数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥a n －1且a n ≥a n ＋1；若a n 最小，则a n ≤a n －1且a n ≤a n ＋1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1 C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.答案 C2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12解析由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14B.5C.45D.54解析在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45. 答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D5.(2019·成都诊断)已知f (x )＝⎩⎨⎧（2a －1）x ＋4（x ≤1），a x （x >1），数列{a n }(n ∈N *)满足a n＝f (n )，且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.(1，3)D.(3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2>2a －1＋4，解得a >3，则a 的取值范围是(3，＋∞). 答案 D 二、填空题6.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项. 解析令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 所以a 10＝0.08. 答案 107.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥28.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.解析由题意得a n ＋1n ＋1－a n n ＝ln(n ＋1)－ln n ，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).∴a 22－a 11＝ln 2－ln 1，a 33－a 22＝ln 3－ln 2，…， a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).累加得a n n －a 11＝ln n ，∴a nn ＝2＋ln n (n ≥2)，又a 1＝2适合，故a n ＝2n ＋n ln n . 答案 2n ＋n ln n 三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n＋a n2，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( ) A.98项B.97项C.96项D.95项解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 018得1≤n ≤97，又n ∈N *，故此数列共有97项. 答案 B12.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.解析假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n≥（n ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n≥（n ＋3）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 答案 4或513.(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝(－1)n ·a n －12n ，记b n ＝8a 2·2n －1，若对任意的n ∈N *，总有λb n －1>0成立，则实数λ的取值范围为________.解析令n ＝1，得a 1＝－14；令n ＝3，可得a 2＋2a 3＝18；令n ＝4，可得a 2＋a 3＝316，故a 2＝14，即b n ＝8a 2·2n －1＝2n . 由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立，得λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n对任意的n ∈N *恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≤12，所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).。

2020届高三文理科数学一轮复习《数列的概念与简单表示》专题汇编(学生版)

《数列的概念与简单表示》专题一、相关知识点1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的分类如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 5．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．S n 与a n 关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式注意：对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)2．现有这么一列数：2，32，54，78，( )，1332，1764，…，按照规律，( )中的数应为( )A ．916B ．1116C ．12D ．11183．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项4．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.5．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，－34，78，－1516，3132，…；(3)3,33,333,3 333，…； (4)－1,1，－2,2，－3,3….6．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1 B ．(－1)n n ＋1C.(－1)n n D ．(－1)n －1n7．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 0248．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，则a4的值为() A．31B．30 C．15 D．6310．已知数列{a n}的前n项和S n＝2－2n＋1，则a3＝() A．－1 B．－2 C．－4 D．－811．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是________．12．数列{a n}是正项数列，且a1＋a2＋a3＋…＋a n＝n2＋n，则a1＋a22＋…＋a nn＝________.13．数列{a n}的通项公式a n＝1n＋n＋1，则10－3是此数列的第________项．题型二利用a n与S n的关系求通项已知S n求a n的3步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式．(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．类型一：已知S n求a n1．设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1，则S6 a6＝3．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．4．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为_________5．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝____________.6．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝类型二：由S n 与a n 的关系，求a n ，S n1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D ．⎝⎛⎭⎫12n －13．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n－4(n∈N＋)，则a n＝()A．2n＋1B．2n C．2n－1D．2n－24．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.题型三由数列的递推关系求通项公式1．典型的递推数列及处理方法2（1）叠加法：已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n，即a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.（2）叠乘法：已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n，即a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1.（3）化为等比数列：已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k } （4）化为等差数列：形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解类型一形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则数列{a n }的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝(n －1)2C ．a n ＝(n －1)3D ．a n ＝(n －1)42．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝____________.3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式．考法2 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 22．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则列{a n }的通项公式a n ＝___________3．已知在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝________类型三形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .1．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．2．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3；求数列{a n }的通项公式．类型四形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C，求a n .1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．题型四数列的性质类型一数列的单调性求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时，a n ＋1a n >1 )，则a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时，a n ＋1a n <1 )，则a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是________(填递增或递减)．2．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，923．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －2，n <4，(6－a )n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)4．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________．6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫23n ，则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23 C.6481 D ．1252437．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.考法二数列的周期性 1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝2．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.3．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________.4．若数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 019＝。

2020版高考数学一轮复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法教案(理)(含解析)新人教A版

第1讲数列的概念与简单表示法基础知识整合1．数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的□02项． 2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与□10序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516B.158C.34D.38答案 C解析由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.故选C.2．(2019·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 14n －13，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12 B.14 C.18 D.116答案 A 解析 ∵S n ＝a 14n －13，a 4＝32，∴S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.选A.3．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116 B.259 C.2516D.3115答案 A解析当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故选A.4．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 8＝( )A ．－1B ．1 C.12 D ．2答案 A解析因为a 1＝2，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝11－2＝－1，a 3＝11－－1＝12，a 4＝11－12＝2，所以{a n }是周期数列，周期是3，所以a 8＝a 2＝－1.5．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫192，32 解析由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎪⎫192，32.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，则数列a n ＝________. 答案 3－1n解析由题意，得a n ＋1－a n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n . 核心考向突破考向一利用a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案－63解析根据S n ＝2a n ＋1，可得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，所以数列{a n }是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S 6＝－1－261－2＝－63.触类旁通S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．即时训练 1.(2019·宁夏模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案－1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.2．(2018·石家庄质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.答案 1 121 解析解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n－12，所以S 5＝121. 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3，又a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＋2＝2S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝3，又a 2a 1＝3，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝3n，∴S n ＝3n－12，∴S 5＝121.考向二由递推关系求数列的通项公式例2 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)； (4)a 1＝－2，a n ＋1＝3a n ＋6(n ∈N *)．解 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n . (3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.(4)∵a n ＋1＝3a n ＋6，∴a n ＋1＋3＝3(a n ＋3)，又a 1＝－2，∴a 1＋3＝1，∴{a n ＋3}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＋3＝3n －1，∴a n ＝3n －1－3.触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . 2已知a 1且a na n －1＝f n ，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．4形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋CA ，B ，C 为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练 3.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则14是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项答案 B解析由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝1a n ＋12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即a n ＝2n ＋1，由2n ＋1＝14，解得n ＝7.故选B.4．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则数列a n ＝________. 答案 2n－1解析由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.5．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，则数列a n ＝________. 答案 2n (n ＋1)(n ∈N *)解析由递推关系得a n ＋1a n ＝n ＋2n，又a 1＝4， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×42×31×4 ＝n ＋1×n2×1×4＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．考向三数列的性质角度1 数列的单调性例3 (2019·吉林模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ，即λ<2n ＋12对任意的n ∈N *都成立，于是λ<32.由λ<1可推得λ<32，但反过来，则λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．故选A.角度2 数列的周期性例4 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝( )A ．20152B ．－20152C ．20172D ．－20172答案 B解析 ∵a 1＝1，a 2＝－11＋1＝－12，a 3＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1－2＋1＝1，…，∴数列{a n }的周期为3，∴S 2018＝S 2016＋a 2017＋a 2018＝672×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＋1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20152. 角度3 数列的最值例5 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n ＝________.答案 5或6解析当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥n ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6.触类旁通(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想1：根据递推公式，写出数列的前n 项直到出现周期情况后，利用a n ＋T ＝a n 写出周期(n ＋T )－n ＝T .思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现a n ＋T ＝a n ，即得周期T ＝(n ＋T )－n . (2)判断数列的单调性的两种方法即时训练 6.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2019＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3答案 D解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，∴a n ＋4＝a n ，又a 1a 2a 3a 4＝1，∴a 1·a 2·a 3·…·a 2019＝(a 1a 2a 3a 4)504×a 1a 2a 3＝1×2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3.故选D.7．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ·n ＋10a ，n ≤6，a n －7，n >6(n ∈N *)，若对任意的n ∈N *，均有a n >a n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 答案 D解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，61－3a ＋10a >a 7－7，解得13<a <58.故选D.8．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．。

高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间递增数列a n ＋1>a n其中的大小关系递减数列 a n ＋1<a n n ∈N *常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)．则a 2 022＝________.答案－1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2 022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，3)解析由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1. 化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2(n ∈N *) 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2，n ∈N *.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________．答案 9或10解析要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10，又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案－2n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列，即1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．题型二由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0，又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2(n ＋1)n，又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n ，a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，……a 3a 2＝22，a 2a 1＝2， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．思维升华解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2， ∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列，且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴a n n ＝n ＋28n－1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293，故选C.思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1；当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1；当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2；当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1；当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1；当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列，所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项．答案 6或7解析 a n ＋1a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n ≤6，即当n ≤6时，a n ＋1≥a n ，当n >6时，a n ＋1<a n ，∴a 6或a 7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n∈N*，a n≠0，则a1a2a3＝8，∴a3＝8a1a2＝4，由a n a n＋1a n＋2＝8，得a n＋1a n＋2a n＋3＝8，∴a n a n＋1a n＋2＝a n＋1a n＋2a n＋3，∴a n＋3＝a n，∵2 021＝3×673＋2，因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≤a 4，a 5≤a 6，即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a ≥－40，a ≤0. 故选B.5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列答案 ABD解析对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确；对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．答案 5解析因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2，n ∈N *. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058，由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中，令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8，因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，①所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1，即n 2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8 ＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于( ) A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164. 故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2，两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0，即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3；当n ≥3时，b n ＋1－b n >0，即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…，所以数列{b n}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.。

2020年高考数学(文)一轮复习专题6.1 数列的概念与简单表示法(讲)(解析版)

专题6.1 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识点一数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式a n＝f(n)来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ，n ＝1， S n －S n －1 ，n ≥2.考点一由数列的前几项求通项公式【典例1】（福建省厦门一中2019届模拟）写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….【解析】 (1)各项式减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．【方法技巧】由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n 项和第n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．【变式1】（安徽省合肥一中2019届模拟）已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋－n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式。

2020版高考数学大一轮复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表达法课件文

已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2＋n，则 an＝________．解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝ 4n－1.当 n＝1 时，a1＝S1＝3＝4×1－1. 所以 an＝4n－1. 答案：4n－1
由数列的前几项求数列的通项公式
[典例引领]
【答案】
(1)C
2n＋1 (2) n2＋1
由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用 (－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理．
第六章数列
知识点数列的概念和简单表示法
等差数列
考纲下载了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．了解数列是自变量为正整数的一类函数. 理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．了解等差数列与一次函数的关系.
(教材习题改编)下列图形的点数构成数列{an}，则 a8 等于 ()
A．17 C．25
B．22 D．28
解析：选 B．法一：由题图知，a1＝1，a2＝4，a3＝7，从第 2 个图开始，每一图的点数比它的上一图多 3，则有 a8＝a7＋3＝ a6＋3＋3＝a5＋3＋3＋3＝a4＋3＋3＋3＋3＝a3＋3＋3＋3＋3＋3 ＝7＋5×3＝22. 法二：由 a1＝1，a2＝4，a3＝7，…，知{an}的一个通项公式为 an＝3n－2，所以 a8＝3×8－2＝22，故选 B．

2020版高三数学(文科)一轮复习课件：第六章 26 数列的概念与简单表示法

2.(2018 福建厦门六中模拟)数列12，－14，18，－116，…的一个通项
公式可能是( )
A．(－1)n21n
B．(－1)n21n
C．(－1)n－121n
D．(－1)n－121n
【答案】D
【解析】由已知数列12，－14，18，－116，…，可得数列各项的绝对值是一个以12为首项，12为公比的等比数列，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1 来控制各项的符号，故数列12，－ 14，18，－116，…的一个通项公式为(－1)n－121n.故选 D.
4．(教材习题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an＝________.
【答案】5n－4
5．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 an＝________.
2，n＝1，【答案】
2n－1，n≥2. 【解析】当 n＝1 时，a1＝S1＝2，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故 an＝22， n－n＝ 1，1， n≥2.
由 an 与 Sn 的关系求通项公式
1．(2018 大庆一中期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn
＝2an＋1，则 Sn＝( )
A．2n－1
C．32n 【答案】B
B．32n－1 D．2n1－1
【解析】由 an＋1＝Sn＋1－Sn，得12Sn＝Sn＋1－Sn，即 Sn＋1＝32Sn(n≥1)，又 S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为 1，公比为32的等比数列．所以 Sn＝32n－1.故选 B.
B．2n－1＋1
C．2n－1
D．2(n－1)
【答案】A