性质与判定和谐搭配

专题讲座
性质与判定和谐搭配
□ 山东 房延华
平行四边形的判定与性质在解题中往往相互依存，互为条件，在解题中将两者进行有机结合能发挥巨大的威力．
例1 如图1，在□ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边三角形ADE 和等边三角形BCF ，连接BE ，DF ．求证∠DEB ＝∠DFB ． 分析：欲判定∠DEB ＝∠DFB ，可通过判定四边形BEDF 是平行
四边形来实现.由平行四边形和等边三角形的性质易得DE ＝BF ，从而只需再判定DF ＝BE ，通过判定△DCF ≌△BAE 来说明． 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以CD ＝AB ，AD ＝CB ，
∠DAB ＝∠BCD ．
又因为△ADE 和△CBF 都是等边三角形，所以DE ＝BF ，AE ＝CF ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°． 因为∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ，所以∠DCF ＝∠BAE ．
所以△DCF ≌△BAE ，所以DF ＝BE ．所以四边形BEDF 是平行四边形．所以∠DEB ＝∠DFB ． 例2 如图2，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE
＝CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN ．图中除□ABCD
外还有平行四边形吗？若有，请指出，并说明你的理由．
分析：猜想四边形BMDN 是平行四边形，欲证四边形BMDN 是平行四边形，
先由已知易知BM ∥DN ，再由△AEM ≌△CFN 推出BM ＝DN 即可．
解：四边形BMDN 是平行四边形．
理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，AB =DC ．
所以BM ∥DN ，∠E =∠F ，∠DAB =∠BCD ．所以∠EAM =∠FCN ． 又因为AE =CF ，所以△AEM ≌△CFN ．所以AM =CN ．
由AB-AM=DC-CN ，即BM=DN ，所以四边形BMDN 是平行四边形．
例3 如图3，在□ABCD 中，点E ，F 在BD 上，且BF ＝
DE ，延长AE 交BC 的延长线于点G ，延长CF 交DA 的延长线于
点H ．求证：四边形AGCH 是平行四边形.
分析：欲判定四边形AGCH 是平行四边形，由已知可得AD
∥BC ，即AH ∥CG ，只需再判定HC ∥AG ，即判定∠AEB ＝∠CFD ，
可由△ABE ≌△CDF 推出． 证明：因为BF ＝DE ，所以BF ＋FE ＝DE ＋FE ，即BE ＝DF ．
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ＝CD ，AB ∥CD .所以∠ABD ＝∠CDB ． 所以△ABE ≌△CDF .所以∠AEB ＝∠CFD .所以HC ∥AG ．
又因为AD ∥BC ，即AH ∥CG ，所以四边形AGCH 为平行四边形．
图2 图
3 图1 _ D _ E _ F _ A _ B _ C。