初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理和平行四边形)

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勾股定理—八年级培优班讲义

知识点扩充：A BCa b c弦股勾1、勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2、满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做___________.（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：____________________________________________________.3. 判断直角三角形的方法：4、直角三角形的其他性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于_________________.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么________________________.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么________________________.5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段例题精讲类型一、三角形三边关系例题1、已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 ______三角形.例题2、在∆ABC 中，若a 2=（b+c ）（b-c ），则∆ABC 是_____三角形，且∠ __= ︒90例题3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

变式：已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 ____________.勾股定理总复习讲义类型二、实际应用1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图1），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，求梯子底端将向左滑动多少米？如图2，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离_____1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图3，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.yx= B. yx> C. yx< D. 不能确定图1 图2 图3变式训练：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为______米.2. 爬行距离最短问题：1、.如图4，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是______ cm.2、如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是________ 分米.3. 如图6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）A. a3B. ()a21+ C. a3 D.a5BAQNMP图4 图5 图6特殊三角形三边关系训练1、小明和爸爸妈妈五一登香山，他们从地面开始，沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是_______米。

初二数学复习讲义——-勾股定理

２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
（1）已知，．求的长
（2）已知，，求的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在中，，，，于，＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

北师大版八年级下册寒假衔接专题讲义第6章平行四边形（共两份打包 pdf 无答案）

第六章：平行四边形第1讲：平行四边形的性质与判定一．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□”表示．如右图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”．（字母顺序须按顺时针或逆时针的顺序书写）二．平行四边形的性质1．边的性质：对边平行且相等．如下图：AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC．2．角的性质：平行四边形的对角相等．如下图：∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD3．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：OA=OC，OB=OD.三．平行四边形的判定1．与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2．与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．即：OA=OC，OB=OD．题模一：平行四边形的性质例1.1.1（1）在平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，-1），C（-m，-n），则点D的坐标是．（2）□ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为8cm，则△DEO 的周长是．（3）在□ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25□ABCD的周长等于．例1.1.2如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于．例1.1.3如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．题模二：平行四边形的判定例1.2.1已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB//CD；②AO=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC（1）从以上5个条件中任意选出2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号来表示）例1.2.2如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG//AB交线段AD于点G，连接BG、EF．求证：四边形BGFE是平行四边形．例1.2.3如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF是平行四边形．随练1.1如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相较于点E 、F ，若AB =4，BC =5，OE =1.5，那么四边形EFCD 的周长为（）A ．16B ．14C ．12C ．10随练1.2如图，在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是（）AB C D EFA ．23B ．3 C.33+D ．623+随练1.3四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组随练1.4如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为．随练1.5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是．随练1.6如图，平行四边形ABCD中，E为BC中点，过点E作AB的垂线交AB于点G，交DC的延长线于点H，连接DG．若BC=10，∠GDA=45°，DG=82，求CH的长及平行四边形ABCD的周长．随练1.7已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．随练1.8如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．1（成外直升）如图,在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的是．1∠DCF=12∠BCD，②EF=CF，③S△BEC=2S△CEF，④∠DFE=3∠AEF.2（自编）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作AF垂直直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为．3（直升模拟）三角形ABC如图在空间直角坐标系所示，在坐标系中再找一点D，使ABCD为平行四边形，则D的坐标为．4（成外）如图平行四边行ABCD绕A点逆时针旋转30°，得到平行四边形A′B′C′D′，点B′与B是对应点，点C′与C是对应点，D′与D是对应点，B′恰好落在BC边上，则∠C=___．5（直升模拟）如图，已知三角形ABC中，M为AB边上的中点，D是MC延长线上一点，满足∠ACM=∠BDM．（1）求证AC=BD．的值．（2）若∠CMB=60°,求ABCD6（直升模拟）如图，正方形ABCD的变长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．7（实外）如图正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA.下列结论：①△ABE≌△ADF，②CE=CF，③∠AEB=75°，④BE+DF=EF，⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正确的是___(只填写序号)．8（实外）如图,六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC−EF=ED−AB=AF−CD>0，试判断该六边形的各角是否相等?若相等，请说明理由．9（成外直升）点P是平行四边形ABCD内一点，S△PAB=7，S△PAD=4，则S△PAC=．10（自编）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE=12∠ADO、②EG=EF、③GF平分∠AGE、④EF⊥GE.则正确的为．11（成外半期）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）FCEF的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．作业1如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．2S1=S2作业2下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个作业3在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为．作业4在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（4，0），C（3，3），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是．作业5如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边三角形△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G（点G在点A、E之间），连接CE、CF、EF，则以下四个结论中，正确的有．①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△CEF是等边三角形；④CG⊥AE作业6如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．（1）求证：BE=D F；（2）求证：AF∥CE．作业8如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，点G为BD的中点，连接CG、BE、CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ABGD的形状，并说明理由；（2）求证：BE=CD，BE⊥CD作业9如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，BM垂直直线AC于点M，DN垂直直线AC于点N．（1）线段OM、ON有什么样的数量关系？直接写出结论；（2）若直线AC绕点A旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM、ON有什么样的数量关系？请给予证明。

新初二年级暑假衔接数学讲义

1 / 59225400 A225400B256112 C144400D第一讲勾股定理［情景引入］【知识要点】1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：222c b a =+2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。

【典型习题】例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

=A S =B S =C S =D S例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2.8米9.6米例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。

CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E 建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？例 7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。

现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。

初二竞赛班辅导资料

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

初二数学勾股定理及平行四边形

勾股定理及其逆定理一、知识要点1.掌握直角三角形的性质。

如图，直角ΔA BC的性质（1）勾股定理:∠C=90°，则有c2=a2+b2另外还有:（2）∠C=90°，则有∠A+∠B=90°,（3）∠C=90°，则有c>a, c>b。

（4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。

如图：∠C=90°且∠A=30°，则有BC=AB (或者AB=2BC)2.掌握勾股定理的逆定理：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。

即在ΔA BC中，若a2+b2=c2，则ΔABC为直角三角形。

其中c是三角形中最长的边。

3.注意事项:(1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。

(2) 理解勾股定理的一些变式c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c)(3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

例题：如图4，水池中离岸边D点1.5m的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好在D点。

求：水的深度A C。

平行四边形和梯形一、几种特殊的平行四边形以上内容都能够通过图形自己观察出来，只要在研究时注重研究和记忆，就不至于混淆。

菱形的面积公式：S=(其中ab是菱形的两条对角线的长)（对角线将菱形分成的四个直角三角形，它们的面积和等于菱形的面积，由此很容易推出上面的公式。

初二数学复习讲义——-勾股定理汇编

①已知直角三角形的任意边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
价格便宜些□服务热情周到□店面装饰有个性□商品新颖多样□
据上述部分的分析可见，我校学生就达4000多人。附近还有两所学校，和一些居民楼。随着生活水平的逐渐提高，家长给孩子的零用钱也越来越多，人们对美的要求也越来越高，特别是大学生。他们总希望自己的无论是衣服还是首饰都希望与众不同，能穿出自己的个性。但在我们美丽的校园里缺少自己的个性和琳琅满目的饰品，所以我们的小饰品店存在的竞争力主要是南桥或是市区的。这给我们小组的创业项目提供了一个很好的市场机会。
例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
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我们长期呆在校园里，没有工作收入一直都是靠父母生活，在资金方面会表现的比较棘手。不过，对我们的小店来说还好，因为我们不需要太多的投资。
功能性手工艺品。不同的玉石具有不同的功效，比如石榴石可以促进血液循环，改善风湿和关节炎；白水晶则可以增强记忆力；茶晶能够帮助镇定情绪，缓解失眠、头昏等症状。顾客可以根据自己的需要和喜好自行搭配，每一件都独一无二、与众不同。

初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理和平行四边形).doc

初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理和平行四边形) 【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E 在CD的同侧，若AB=，则BE=．
【例2】8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为()A．13B．19C．25D．169 【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数．【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．求证：（1）；(2)；(3)以、、为边的三角形，是直角三角形．
【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
【例6】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF 的值为．
【例7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：
GF∥AC．
【例8】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．。

初二数学培训讲义第6讲勾股定理

第六讲勾股定理一、主要知识点回顾1．如图1，如果直角三角形的两直角边长分别是____、____，斜边长是____，那么三边满足______________的关系。

※勾股定理在直角三角形中，_____________的平方和等于______边的平方。

2．在计算中遇到的数组：3，4，5或 5，12，13或8，15，17等等这些满足勾股定理的一组数字叫做勾股数，它们的倍数也是勾股数。

如3，4，5的2倍是， 3倍是_____________也是勾股数。

34．如图2，如果三角形的三边长分别是BC =9AC =12，，AB =15，那么三边满足____________________的关系。

则这个三角形是_________________，其中________90=︒。

5．（1）命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是____________________________，这两个命题称为互逆命题，两个命题均为命题（填“真”或“假”），因此这两个互逆命题成为互逆________。

（2）而“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”它们也是互逆命题，但是前者为真命题，而后者是_____命题，因此这两个命题不能成为互逆定理。

※归纳：互逆命题_________是互逆定理；互逆定理_________是互逆命题。

（“一定”或“不一定”)二、感悟与实践例题1：在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b 。

. （1）已知724a b ==，，求c ；（2）若c ，4b =，求a 。

图1AB图2变式练习1-1：直角三角形有一直角边长是3，斜边长为5，则它的面积为（）。

A ．12B ．6C ．15D ．无法确定变式练习1-2：已知a ＝3，b ＝4，若a ，b ，c 能组成直角三角形，则c 的值为（）。

A ．5 BC ．5D ．5或6例题2：如图3，已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求得四边形ABCD 的面积。

初二数学复习讲义——-勾股定理

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如； ; ; 等
③用含字母的代数为正整数)
( , 为正整数)
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线（通常作垂线）,构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足 ,那么这个三角形是直角三角形,其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以，，为三边的三角形是直角三角形;若，时,以， , 为三边的三角形是钝角三角形；若，时,以 , ，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中 , ，及只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以 , , 为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中， , , 为正整数时，称， , 为一组勾股数
８..勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

(最新整理)初二数学--勾股定理讲义(经典)

初二数学--勾股定理讲义(经典)
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第一章勾股定理
【知识点归纳】
123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理
2、求直角三角形周长、面积等问题
3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状
3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题
勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理
（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有2
22c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(2）结论:
①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(3)勾股定理的验证。

第3课勾股定理(1)

第3课勾股定理一、知识方法1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理是平面几何最重要的定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的作用，它沟通了代数和几何，将几何证明转化为代数计算，是一种重要的数学方法.逆定理常用于证明三角形是直角三角形.利用勾股定理的逆定理，可以用来判断三角形的形状：△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,(1)若222c a b<+，则∠C是锐角；(2)若222c a b>+，则∠C是钝角.3、勾股数：满足方程222a b c+=的正整数a、b、c叫做勾股数.二、勾股定理的应用例1、如图，“十”字形纸片由5个大小相同的正方形构成，将它剪3刀，拼成一个正方形.例2、已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）c+h＞a+b；（2）试判断以c+h，a+b，h为边能否构成三角形？其形状如何？试说明理由.例3、(1)△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2;(2)△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，求证：AB2-AD2=DB·DC.BD例4、边长为整数的直角三角形称为整边直角三角形，说明在整边直角三角形中必有一条边的长度是3的倍数.例5、有人将《九章算术》中的一道古题编成诗歌形式：城外一扇矩形门，有人扛竿去量应.横着量之四尺余，立着量之两尺剩.对角又复比一比，斜竿恰好端抵尽.此门宽高各几何？还有竹竿有几尺？例6、设a、b为任意正数，a＞b，求证：边长分别为2ab、a2-b2、a2+b2的三角形为直角三角形.例7、如图，已知AB=3，BC=AD=DCABC=90°，求∠DAB的度数.若把△ADC沿AC翻折得△AEC，则∠EAB等于多少度？D AC例8、设P是正三角形ABC内一点，且PA=5,PB=4,PC=3,求此正三角形的边长.例9、△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上的任意两点，求证：2222AD BE AB DE+=+.A E三、练习1、如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于（） (A) 810(B) 108 (C) 10 (D)82、在△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长是（）．（A ）14 （B ）4 （C ）14或4 （D ）以上都有可能3、下列各组数据,不能构成直角三角形的三边是 ( )A 、3，4 ，5B 、13，12，5C 、3，5，6D 、41，40 ，94、已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 95、等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别是____，____，____.6、已知一直角三角形的斜边长10，周长是24，则这个三角形的面积是________.7、在等腰△ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.8、ABC ∆中，AB=17，AC=10，BC=21，求ABC ∆的面积S.AB C E F A B C9、直角三角形的两条直角边长为3和4,三角形内有一点到各边距离相等,那么这个距离为多少?10、已知111,,,BB PP AA B A ∠=∠均垂直于20,16,17,11111===BB PP AA B A ,1211=B A ,则AP+PB是多少?11、将下图剪3刀,拼成一个大正方形(图中小方格均为正方形,三角形均为等腰直角三角形)12、如图,长方形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上任意一点,PE ⊥AC,PF ⊥BD,则PE+PF 是多少?。

八年级数学下册课后补习班辅导平行四边形讲学案苏科版

八年级数学下册课后补习班辅导平行四边形讲学案苏科版【本讲教育信息】一、教学内容：平行四边形[目标]1、以中心对称为主线，研究平行四边形及其性质2、探索四边形是平行四边形的条件的过程3、运用中心对称的性质得三角形全等二、重点、难点：1、探索四边形是平行四边形的条件，分两个层次：通过操作和合情推理发现结论；说明理由。

2、平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活运用。

三、知识要点：1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形注意：①四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。

因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质②比较两种特殊的四边形③把点B 关于O点的对称点记为点D，就得到下图中四边形ABCD。

这个图形中的ΔCDA可以看成是ΔABC绕点O旋转180得到的。

因此，四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示，如图就是平行四边形ABCD ，记作“ABCD3、平行四边形的性质①平行四边形对边相等。

因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD=BC推论：夹在两条平行线间的平行线段相等注意：必须有两个平行，即夹两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不可，如下图中的几种情况都不可以推出EF=GH②平行四边形的对角相等。

因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD③平行四边形的对角线互相平分。

因为平行四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD总结：平行四边形的性质：①关于边的：对边平行；对边相等②关于角的：对角相等；邻角互补4、平行四边形的判定判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判定4：两组对边分别相等的四边形是平行四边形5、平行四边形相关应用（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题如：求有关角的度数、线段的长度、说明角相等或互补、说明线段相等等（2）判别四边形是平行四边形（3）综合运用平行四边形的性质和判别四边形是平行四边形的条件：①先判别四边形是平行四边形，再运用平行四边形的性质解决某些问题②先运用平行四边形的性质得出一些结论，再运用这些性质判别四边形是平行四边形注意：平行四边形的性质与判别四边形是平行四边形的条件这两者的区别，防止混淆。

八年级下册勾股定理专题讲义

八年级下册勾股定理专题讲义1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：cbaHG F EDCB A4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简得证：222a b c +=方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，化简得证：222a b c +=方法三：a bcc baE D CBA1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证：222a b c +=３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形,当考察对象不是直角三角形时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a②可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即：222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13等③用含字母的代数式表示：若a ，b ，c 为勾股数，则k a ，k b ，k c 也可构成直角三角形（k ＞0）题型一：直接考查勾股定理例１.在△ABC 中，90C ∠=︒.⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长． ⑵已知17AB =，15AC =．求BC 的长．分析：直接应用勾股定理222a b c +=练习１.在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为．练习2.边长为a 的正三角形的面积为．练习3.一长方体盒子长，宽，高分别是4米，3米，12米，盒内可放的棍子最长为．练习4.一只蚂蚁从长为4 cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_________cm ．中考链接：（2008昆明，14，3分）如图，有一个圆柱，高为16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是_________cm .（π取3） A B（2012昆明，20，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D处与C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米，求荷塘宽BD 为多少米？(结果保留根号)运算技巧总结：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在△ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝．⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为．⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为．分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来中考链接：（2011昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则AD=（2008昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB= 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则DB 的值为_________第9题图E D CBA题型三：实际问题中应用勾股定理例4.如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m．AB CDE分析：根据题意建立数学模型，如图8AB=m，2CD=m，8BC=m，过点D作DE AB⊥，垂足为E，则6AE=m，8DE=m练习1.如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．练习2.一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距海里．练习3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度为米．练习4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为________．A D E练习5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草．练习6.如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？题型四：折叠类问题（解决折叠问题的关键是寻找图中相等的线段）例5.已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A.6B.8C.10D.12练习1.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？• A BE FD中考链接：（2012昆明，22改编，4分）如图，把矩形ABCD 沿直线MN 折叠，D 点与B 点重合，连接BM 、DN. 若AB=2，AD=6，求MD 的长．（2014昆明，14改编，3分）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EF=cm ．（2015昆明，22改编，4分）如图，AH 是圆的直径，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．若CD=10，EB=5，求圆的直径．第14题图Q H GFE DCBA6.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边．①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形．②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边．7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：D CB A ADB CDCAB题型五：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为直角三角形．① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =练习1.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？练习题型六：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例7.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =．D CBA练习1.如图,已知:∆ABC 中,CD ⊥AB 于D, AC=4, BC=3, BD=59 (1) 求CD 的长;(2) 求AD 的长;(3) 求AB 的长;(4) 求证：∆ABC 是直角三角形．。

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