第三章 平面与空间直线

3、平面的坐标式参数方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r=r0+ ua+vb
（1）
若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则 r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}
并设
a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（1）可得
x x0 X 1u X 2 v (2) y y0 Y1u Y2 v z z Z u Z v 0 1 2
定理1：两个平面（1）与（2）
相交A1:B1:C1≠A2:B2:C2. A1 B1 C1 D1 平行 A B2 C2 D2 2
A1 B1 C1 D1 B2 C2 D2 重合 A2
2、两平面的夹角
（1）定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
2 2 2
0
在取定符号后叫做法式化因子 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例 把平分面 的方程 3x 2 y 6 z 14 化为法式方程， 0 求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到 平面的距离
第二节
平面与点的相关位置
n
设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点 P0到平面的距离。
又点(4, 3, 1)在平面上, 所以
3 B C = 0 C = 3B 所求平面方程为 By 3Bz = 0 即: y 3z = 0
例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程. 解: 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是 aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0
D 解得: A a D B b
z R
o
P x
Q
y
D C c
所求平面的方程为:
D D D x y zD 0 a b c
即:
x y z 1 a b c
(3)
例 5 求平行于平面6 x y 6 z 5 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程
考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n· i=A· 1+B· 0+C· 0=A=0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：
（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0
（5）
x x1 x2 x1 x3 x1
与
y y1 y2 y1 y3 y1 0 (6) z z1 z 2 z1 z3 z1 x y z 1 x1 y1 z1 1 0 x2 y2 z 2 1
特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
(3) 平行于坐标面的平面方程
平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;
平行于yOz 面的平面方程是. Ax + D = 0
例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
三、平面的一般方程
1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为 D A x ( ) B( y 0) C ( z 0) 0 A 它表示过定点 M ( D , 0 , 0 ) 0 A 且法向量为 n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化 取
1 n 1 A B C
2 2 2
乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0
可得法式方程
Ax A B C
2 2 2

By A B C
2 2 2

Cz A B C
2 2 2

D A B C
x3 y3 z3 1
或
(7 )
（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为
x y z 1 a b c
称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。
（2）式称为平面的坐标式参数方程。
例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 解： 径矢为ri=OMi，则可取方位向量为
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此，平面的向量式参数方程为 r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3) 坐标式参数方程为 x x1 u ( x2 x1 ) v( x3 x1 ) y y1 u ( y2 y1 ) v( y3 y1 ) (4) z z u ( z z ) v( z z ) 1 2 1 3 1
O
z M0 M
n
y
x
A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
(1)
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即:
x 2y + 3z 8 = 0
例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程. 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={3, 4, 6} 可取n = M1M2 M1M3 M1M3={2, 3, 1}
称为平面的一般方程.
例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于
平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4} 2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0 即: 2 x 3 y + 4 z 4 = 0
x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 2
1
z
o x
y
由所求平面与已知平面平行得
a b c , （向量平行的充要条件） 6 1 6
1
1
1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t
M1
n
i j k 3 4 6 = 14i + 9j k 2 3 1 所以, 所求平面的方程为: 14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0 即: 14x + 9y z 15 = 0
M3 M2
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为向量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法向量为 n={1,1,-2}.
代入体积式
1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
若平面上的一点 M 0 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足， 而 的法向量取单位向量 n0 ，设 OP p，那么由点 M 0和法向量 0 决定的平面的向量式法式方程为：
在平面上任取一点P1(x1, y1, z1) 则 P1P0 ={x0 x1, y0 y1, z0 z1}
过P0点作一法向量 n ={A, B, C} 于是: P1 P0 n d Pr j n P1 P0 |n|

P0
P1
N
A ( x 0 x1 ) B ( y 0 y1 ) C ( z 0 z 1 ) A2 B 2 C 2