空间直线与平面

一对一vip辅导讲义

求证：a 、b 、c 相交于一点或互相平行

分析：两种情况（1）交线相交（2）交线不相交

证明：（1）设a ∩b ＝P 则P ∈a ， P ∈b ∵α∩β＝a ，β∩γ＝b ∴P ∈α，P ∈β，P ∈γ

∵p ∈α ∩β而α∩γ ＝c

∴p ∈c ∴a.b.c 相交于一点P （2）若a.b.c 不相交，在α内必有a ∥c

同理 b ∥c ∴a ∥b ∥c

练习2. 在正方体AC 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1B 的中点，求

（1）AM 和CN 所成角的大小； （2）AM 和BD 1所成角的大小。 （3）AM 和BD 所成角的大小；

D 1 C 1 G A 1 B 1 M

N

D C

A Q P B

练习3. 如图正方体1111D C B A ABCD -中： （1）与对角线AC 1成异面的直线的棱有多少条？

（2）与AB 成异面直线的棱有多少条？ （3）与BD 成异面直线的棱有多少条？

（4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？

练习4、 正方体1111D C B A ABCD 棱长为a ，对角线C A 1长为a 3。

① 异面直线1BA 与1CC 所成的角。 ② 异面直线BC 与1AA 的距离。 ③ 异面直线B A 1与C B 1所成的角。 ④ 异面直线B A 1与1AC 所成的角。

⑤ M 、N 为11C D 、11B C 中点，MN 与AC 所成角。 ⑥ H 为BC 中点，H C 1与B D 1所成角。

练习5、 四面体ABCD ，棱长均为a （正四面体）

① 求异面直线AD 、BC 的距离。 ② 求AC 、BD 所成的角。

③ E 、F 为BC 、AD 中点，求AE 、CF 所成角。

练习6、 P 为ABC ∆所在平面外一点，E 为PA 中点，且AC BE ⊥，AC PC ⊥，a PA =，b PC =（b a >）。求异面直线BE 、PC 的距离。

练习6、 正方体1AC 中，E 、F 为AB 、B B 1中点，求E A 1、F C 1所成的角。

【随堂练习及课后作业】

1、 已知E ，F ，G ，H 是空间的四个点 。 命题甲：点E ，F ，G ，H 不共面 ； 命题乙：点E ，F ，G ，H 中任何三点不共线 。那么甲是乙成立的( )条件。

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 非充分非必要 2、 a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 的关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能

3、分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）

A. 平行或相交

B. 相交或异面

C. 平行或异面

D. 均有可能 4、 a 、b 为异面直线，α⊂a ，β⊂b ，l =⋂βα，则有（ ）

A. a 、b 同时与l 相交

B. l 至少与a 、b 中一条相交

C. l 至多与a 、b 中一条相交

D. l 与a 、b 中一条平行，一条相交

5、 AB 、CD 分别是两条异面上线段，M 、N 分别是它的中点，则有（ ）

A.

)(2

1

BD AC MN +=

B. )(2

1BD AC MN +<

C. )(2

1BD AC MN +>

D. MN 与)(2

1BD AC +无法比较

6、 若a 、b 为异面直线，直线c//a ，则c 与b 的位置关系是（ ）

A. 相交

B. 异面

C. 平行

D. 异面或相交 7、 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个

8、 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，所有各面的对角线能与AB 1成60°角的异面直线的条数有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 5条 D. 6条 9、 在空间四点中，三点共线是四点共面的（ ）

A. 充分必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分非必要条件

D. 既非充分又非必要条件 10、 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 异面

11、 如图所示，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（ ）

12、 在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 与HG 交于点M ，则（ ）

A. M 一定在直线AC 上

B. M 一定在直线BD 上

C. M 可能在AC 上，也可能在BD 上

D. M 不在AC 上，也不在BD 上 13、 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： （1）AB 与CD 所在直线垂直；（2）CD 与EF 所在直线平行；

（3）AB 与MN 所在直线成60°角； （4）MN 与EF 所在直线异面。 其中正确命题的序号是（ ）

（二）填空题

1、21//l l ，a 、b 与1l 、2l 均垂直，则a 、b 的关系为_____________________

2、已知异面直线a 、b 成︒60角，P 为空间一点，则过P 且与a 、b 所成角均为︒60的直线有_________条

3、空间直线b a ,满足（1）与a 异面；（2）与a 成︒45角；（3）与a 距离为10cm ；则这样的b 有_________条

4、空间四边形ABCD 棱长为a ，对角线也为a ，E 为AD 中点，AB 与CE 所成角为__________________

5、若a 、b 、l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是π

3

，l a l b 与、与所成的角都是α，则α的取值范

围是 6、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的中点，则EF 与BG 所成角的余弦值为_______ (三) 解答题

1、 已知：四边形ABCD 中，AB//CD ，AB 、BC 、DC 、AD （或其延长线）分别与平面α相交于E 、F 、G 、H 四点，求证：E 、F 、G 、H 四点共线。

2、 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点。求证：EF 和AD 为异面直线。

3、 △ABC 是边长为2的正三角形，在△ABC 所在平面外有一点P ，P

B P

C ==72，PA =3

2

，延长BP 至D ，使B

D =7，

E 是BC 的中点，求AE 和CD 所成角的大小。