四 微分中值定理与泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
微分中值定理与导数的应用 - 4.3 泰勒公式
(0 1)
f ( k ) ( x ) ( 1) k 1 已知
因此可得
( k 1)! (1 x ) k
( k 1, 2,)
x 2 x3 ( 1) n1 x n ln(1 x ) x Rn ( x ) 2 3 n
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(0) 1 ( k 1, 2,)
f
x
(k )
( x) e ,
x
2
f
(k )
x x3 xn R ( x) e 1 x n ! n 2! 3!
其中 麦克劳林公式
f (0) 2 f ( n ) (0) n f (0) f (0) x x x n! 2!
f (0) 2 f (0) n f (0) f (0) x x x n! 2!
(0 1)
类似可得
x2 x4 x2m cos x 1 R2 m 1 ( x ) ( 1) m 2! 4! (2m) !
其中
R2 m 1 ( x )
麦克劳林公式
(0 1)
π) f ( x ) sin( x k 2 k 2m (k ) π 0, ( m 1, 2,) f (0) sin k 2 ( 1) m1 , k 2 m 1
(k )
x3 x5 ( 1) m1 x 2 m 1 R ( x ) sin x x 2m (2m 1) ! 3! 5! mx m 1 sin( cos(22x )π) 2 m 1 R2 m ( x ) ( 1) 其中 (0 1) x (2m 1) ! 麦克劳林公式 (n)
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式中值定理是微积分中的一个基本定理，它主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
拉格朗日中值定理是最基本的中值定理，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
换句话说，函数在开区间内的平均变化率等于其中一点的瞬时变化率。
柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不等于零，那么在(a,b)内存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理在多元函数中的扩展，它给出了函数f(x)和g(x)在区间内的变化率之间的关系。
罗尔中值定理是对拉格朗日中值定理的另一种形式，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明了如果在区间的两个端点处函数取相同的值，并且函数在区间内可导，那么在区间内存在一个点，该点处的导数为零。
泰勒公式是微积分中的另一个重要公式，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便地进行近似计算。
泰勒公式的基本形式如下：设函数f(x)在点a处具有n+1阶连续导数，那么对于a附近的任意x，函数f(x)可以表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是剩余项，是一个无穷小量。
第四章 微分中值定理与泰勒公式1-4
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或 或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实 数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,
中值定理及泰勒公式
证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1
2
2
3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 证明不等式
x
tan
x
x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
高等数学高职高专教材第九版
高等数学高职高专教材第九版第一章极限与连续性1.1 集合的表示与性质集合的概念是数学中重要且基础的概念之一。
集合是由一些确定的事物组成的整体，通常用大写字母A、B、C等表示。
集合中的元素则用小写字母a、b、c等表示。
集合中的元素可以是任意事物，可以是数字、字母、符号、几何图形等。
1.2 极限的定义与性质极限是数学中用来研究函数性质的重要概念。
对于一个函数f(x)，当自变量x趋近于某个数a时，如果函数值f(x)也趋近于一个确定的数L，那么称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的定义可以用ε-δ语言表示，也可以用数列收敛的概念表示。
1.3 极限的运算极限具有一些重要的运算性质。
例如，当两个函数的极限存在时，它们的和、差、积、商的极限也存在，并且有相应的性质和定理可以应用。
在进行极限运算时，我们需要注意一些常见的极限形式，如0/0型、无穷/无穷型、1^∞型等。
1.4 无穷小与无穷大在研究极限时，我们经常会遇到无穷小和无穷大的概念。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于无穷大的函数。
无穷小和无穷大具有一些重要的性质和运算规则。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是研究函数变化率的重要工具。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数是函数在这一点的切线斜率，记作f'(x)。
导数有一些重要的性质，如可加性、可乘性、导数与函数的凹凸性等。
2.2 基本导数公式在计算导数时，有一些基本的导数公式可以帮助我们简化计算。
这些基本公式包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等。
通过掌握这些基本公式，我们可以有效地计算各种函数的导数。
2.3 高阶导数与高阶微分在导数的概念中，还有一个重要的概念是高阶导数。
高阶导数指的是对函数的导数再求导数。
同样地，高阶导数也有一些基本公式和性质。
高阶微分是导数的进一步推广，它表示对函数的微分再进行微分。
第四章 微积分中值定理与泰勒公式
第四章 微积分中值定理与证明4.1 微分中值定理与证明一 基本结论 1．连续性定理：定理1（零点定理） 若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b ⋅<，则(,)a b ξ∃∈，使得 ()0f ξ=。
定理2（最值定理） 若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==． 其中,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值．定理3（介值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，则存在最小值和最大值分别是,m M ，对 于任意的[,]C m M ∀∈，都存在[,]a b ξ∃∈使得()f C ξ=．更一般的结论：若()f x 在[,]a b 上连续，对1x ∀，2[,]x a b ∈，（假设12()()f x f x <），则12[(),()]C f x f x ∀∈，都存在12(,)x x ξ∈，使得()f C ξ=。
2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导， 则0()0f x '=．定理2 （罗尔定理） 若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ∃∈， 使得()0f ξ'=．定理3（拉格朗日定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-．定理4（柯西定理） 若()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则 (,)a b ξ∃∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设()f x 在0x 的某个邻域内0()U x 具有1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有 ()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!n n nn fx ff x f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+，其中ξ在x 和0x 之间，常常把ξ表示为00()x x x θ+-，01θ<<．麦克劳林公式：设()f x 在0的某个邻域内(0)U 具有1n +阶导数，则(0)x U ∀∈，有()(1)1(0)()()(0)(0)...!(1)!n n nn fff x f f x x xn n ξ++'=+++++，其中ξ在0和x 之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定 理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二 基本方法题型1 方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1 证明：当230a b -<时，实系数方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．证明 令32()f x x ax bx c =+++，则2()32f x x ax b '=++，由于230a b -<，于是2()320f x x ax b '=++>，即()f x 单调递增的．由于lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞所以()y f x =与x 轴有且仅有一个交点．即方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．例2 证明：方程1ln 0ex x +=只有一个实根．证明 设1()ln e f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =．显然在10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，于是()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减少；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，于是()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调增加，而10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以方程1ln 0e x x +=只有一个实根．例3 讨论方程33x x c -=中的常数c ，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解 令3()3f x x x c =--，则2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±．于是在(,1)-∞-上，()f x 单调增加，在(1,1)-上，()f x 单调减少；在(1,)∞上，()f x 单调增加。
四微分中值定理与泰勒公式
四微分中值定理与泰勒公式一、四微分中值定理若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可微，并且在a 和b处的导数存在，则存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]=f'(a)(b-a)+(1/2)f''(a)(b-a)^2+(1/6)f'''(a)(b-a)^3+(1/24)f''''(a)(b-a)^4其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a)和f''''(a)分别是a处的一至四阶导数。
四微分中值定理是一个推广的中值定理，它表示函数在其中一区间上的增量可以用函数及其导数的其中一种组合表示。
这个定理的一个重要应用是近似计算函数的值，特别是当函数的导数容易求出时，可以通过多次求导来逼近函数的值。
二、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近的展开近似。
对于函数f(x)在点a 处具有n+1阶连续导数的情况，泰勒公式表述如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+⋯+(1/n!)f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)其中，R_n(x)是带有拉格朗日余项的公式，形式为R_n(x)=(1/(n+1)!)[f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)]其中，c是a和x之间的其中一点。
泰勒公式表示了函数在其中一点附近的多项式展开式，其中的余项由高阶导数决定。
当x足够接近a时，高阶导数的贡献逐渐变小，此时可以截断展开式，用有限项的多项式来近似计算函数的值。
泰勒公式的应用非常广泛，可以用于各种函数近似计算和数值分析问题。
特别地，当取n=0时，泰勒公式变为函数的一阶线性近似，即线性逼近。
总结起来，四微分中值定理和泰勒公式都是微积分中的重要定理，用于近似计算函数的值和研究函数的性质。
泰勒公式
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(k )
x3 x5 x 2 m1 sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
x x e e 1 x x n1 2! n! ( n 1)!
x
2
n
x
(0 1).
x2 xn x 由公式可知 e 1 x 2! n!
估计误差 (设 x 0)
ex ex Rn ( x ) x n 1 x n1 (0 1). ( n 1)! ( n 1)! 1 1 取x 1, e 1 1 2! n! 3 e 其误差 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1，介于x与x0之间. ( n 1)!
2 f (1) f ( x ) f (1) f (1)( x 1) ( x 1) 2! (4)
f
(1)
4!
( x 1)
4
5 f ( 5 ) ( ) ( x 1) 5!
例3 将f ( x) 1 3x 5 x 2 x 化为含
2 3
f ( 1 ) f ( x ) f ( 1 ) f ( 1 )( x 1 ) ( x 1) 2 解 2! (4) ( 1 ) f f ( ) 3 ( x 1) ( x 1) 4 3! 4!
微分中值定理
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第一节
第三章
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
本章将讨论导数的更多应用， 需要先介绍一些理论基础： 微分中值定理
v拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内
可导 那么在(a b)内至少有一点 使得 f(b)f(a)f ()(ba)
•有限增量公式
f(xx)f(x)f (xqx)x (0<q <1)
yf (xqx)x (0<q <1)
注： dyf (x)x是函数增量y的近似表达式
1.费马引理
y f (x)
且 f (x0 ) 存在,若 x U (x0 ) 有 f (x) f (x0 ) , ( f (x) f (x0 ))
y f (x1) 0
f (x2 ) 0
极大值
极小值
（ ）（ ）
O
x1
x2
x
证: 设
则
负的 y
f(x0)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0) 0 ,
ba
作辅助函数
( x)
f((x))
f
(b) f (a) ba
x
显然 , (x) 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点 思路(a:,利b),用使逆b向a(思) 维0找, 即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
微分中值定理与泰勒公式内容要点
微分中值定理与泰勒公式内容要点微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述函数在一些区间内的平均变化率与一些点处的瞬时变化率之间的关系。
泰勒公式是函数在一些点附近的局部展开式，它可以用来近似计算函数的值。
下面将详细介绍微分中值定理和泰勒公式的内容要点。
一、微分中值定理微分中值定理是由法国数学家Cauchy于1821年提出，并由德国数学家Rolle于1691年和法国数学家Lagrange于1797年分别独立给出证明。
微分中值定理主要有三个不同的版本：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的最简单形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的端点a和b处可导，并且在这两个端点处的函数值相等（f(a)=f(b)），那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数为零。
罗尔中值定理可以应用于证明其他定理，例如求函数零点的存在性、证明最大值和最小值的存在性等。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最常用形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数等于函数在区间两端点连线上的斜率。
拉格朗日中值定理可以应用于证明平均值定理、证明函数的单调性、证明函数的增减性等。
3.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的一般形式。
它表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
换句话说，在一定条件下，函数在区间内至少存在一点处的导数之比等于函数在区间两端点连线上函数值之差的比值。
高等数学 第四章 第4节 泰勒公式(中央财经大学)
微分带皮亚诺余项的
泰勒公式
带拉格朗日余项的拉格朗日中值定理泰勒公式
还有带其它余项的
泰勒公式
带皮亚诺余项的马克劳林公式
带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生0
x x x −=∆
带拉格朗日余项的马克劳林公式
带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, )(U , )( U )( 00x x x x f ∈∀则内可微在设满足拉格朗日中值上或在 )( ] ,[ ] ,[ 00x f x x x x 定理条件)
)(()()(00x x f x f x f −′+=ξ
. 0))(( , 00→−′→x x f x x ξ时则
记 , ))(()( 00x x f x R −′=ξ)
()()(00x R x f x f +=称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
解
解
解
解
解
R
)
(2x
解
解。
微分中值定理与泰勒公式
微分中值定理与泰勒公式微分中值定理是微积分中的一项重要定理，它建立了导数与函数平均变化率之间的关系。
而泰勒公式则使我们能够通过已知函数的某一点处的导数值，来逼近该点附近的函数值。
在本文中，我们将介绍微分中值定理和泰勒公式的基本原理和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理的基本思想都是利用导数的中间值性质，揭示了函数在某个区间内的特殊性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理描述了函数在一个闭区间内，存在一个点，使得该点的切线斜率等于函数在该区间上的平均变化率。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是证明函数的单调性和判定函数的极值。
通过证明函数在某一区间内的导数的符号，可以判断函数在该区间上的单调性和极值点的存在与否。
2. 柯西中值定理柯西中值定理描述了两个函数在一个闭区间内，满足一定条件时，它们的导数在该区间上至少有一个相等的点。
具体而言，若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理在解决一些函数方程的问题时起到了重要的作用。
通过构造辅助函数，将原方程转化为柯西中值定理的形式，然后利用中值定理的性质解方程。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理描述了在一个闭区间内，如果函数在两个端点处的函数值相等，那么在该区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
泰勒公式
1第三节泰勒(Taylor)公式问题的提出 泰勒中值定理简单应用2一、问题的提出例如 取x 0=0, 当x 很小时, x e x+≈1 , xx ≈+)1ln(（如下图）在微分中我们讲过，当很小时，||x Δ),(x o dy y Δ+=Δ即,)(x x f y Δ′≈Δ令：则,0x x x −=Δ),)((')()(000x x x f x f x f −+≈误差为.|)(|0x x o −上式表明函数f (x )在x 0的附近可用一个线性函数来近似。
且当很小时，误差||0x x −,)()()()(001x x f x f x f x R Δ′−−=也很小。
3xy +=1oxey =oxy =)1ln(x y +=4进一步的问题是：1) 线性近似的误差R 1(x)，如何估计？2)线性近似的理论依据是Δy ≈dy ，几何上意味着在用切线代替曲线，即“以直代曲”，显然精度不够，如何改进能提高局部近似的精度？下面来解决这两个问题。
.0lim ,)]()(21[)(02001=α−α+′′=→x x x x x f x R 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)])(()([)()(:0001x x x f x f x f x R −′+−=记误差1）),)(()()(000x x x f x f x f −′+≈误差为.|)(|0x x o −5200000))((21))(()()(x x x f x x x f x f x f −′′+−′+≈3020)]()(!31[x x x f −α+′′′=]))((21))(()([)()(2000002x x x f x x x f x f x f x R −′′+−′+−=误差300200000))((!31))((21))(()()(x x x f x x x f x x x f x f x f −′′′+−′′+−′+≈因此]))((!31))((21))(()([)()(3002000003x x x f x x x f x x x f x f x f x R −′′′+−′′+−′+−=误差4030)]()(!41[x x x f −α+′′′=2) 提高多项式的次数来改进精度6由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数f (x )的近似程度越好。
泰勒公式
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
因为 Rn ( x) f ( x) Tn ( x)
R( k n
)
(
x)
f
(
k
)
(
x
)
T( n
k
)
(
x
)
所以
在近似计 算中的应用
Rn( x0 ) Rn ( x0 ) Rn(n)( x0 ) 0,
这也就是说, Tn( x) 是逼近 f ( x) 的最佳 n 次多项式.
在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式
变为
f ( x) f (0) f '(0) x L f (n) (0) xn o( xn )
1!
n!
n f (k)(0) xk o( xn ).
k0 k!
f
(98 ) (0)
98! 249 49!
,
f (99)(0) 0.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
例3
求
1 x
在点
x
1的泰勒公式.
解 利用 1 1 x x2 L xn o( xn ). 1 x
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§3 泰勒公式
多项式函数是最 简单的函数.用多项式来 逼近一般的函数是近似计 算的重要内容,也是数学 的研究课题之一.
一、带有佩亚诺型余项 的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开
区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.
证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,
所以存在ξ∈ (0, 1), 使F(ξ) = 0. 假设存在ξ1, ξ2∈ (0, 1), 不妨假设ξ2 < ξ1, 满足f(ξ1) = ξ1, f(ξ2) = ξ2. 于是ξ1－ξ2 = f(ξ1)－f(ξ2) = . (ξ2 < η <
ξ1). 所以, 矛盾.
二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0,
1)内存在一个ξ, 使.
证明: , 其中ξ1满足.
由罗尔定理, 存在ξ, 满足0 < ξ < ξ1, 且.
三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x),
证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使.
证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满足. 所以
.所以存在ξ, 满足1 < ξ < ξ1, 且.
四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)
内存在一个ξ, 使.
证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理
, ξ∈ (0, x)
所以, 即
五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ∈ (a, b), 使
证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理
六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个ξ∈(a,
b), 使
证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ∈(a, b), 使
七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ∈(0,
1), 使
证明: (, 二边积分可得, 所以
)
令. 由f(0) = f(1) = 0知存在η∈ (0, 1), . 所以
F(η) = F(1) = 0, 所以存在ξ∈ (η, 1), . 立即可得
八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 使
证明: 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 满足
九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个ξ∈ (x1, x2)或(x2, x1), 使
证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 满足
立即可得.
十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0,
试证: 至少存在一个ξ∈ (a, b), 使
证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ∈(a, b), 使
,
于是.
十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个ξ∈(a, b), 使
证明: ∀x, t∈ [a, b], 有
取t =, 分别取x = b, x = a, 得到
二式相加, 得
所以存在ξ∈ (a, b), 使得
十二. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在ξ、η∈ (a, b), 使得
证明: 对于在[a, b]上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在η, 使得
所以在(a, b)内存在ξ, 使得
即是。