12.2全等三角形的判定ASA
12.2三角形全等的判定(3)ASA、AAS说课稿-2022-2023学年人教版八年级上册数学
12.2 三角形全等的判定（3）ASA、AAS说课稿-2022-2023学年人教版八年级上册数学引言《2022-2023学年人教版八年级上册数学》中的第12章是关于三角形的全等的判定的内容，本节课主要介绍了ASA（角边角）和AAS（角角边）两种判定全等的方法。
通过本节课的学习，学生可以了解到三角形全等的几个重要判定方法，提高他们的逻辑思维能力和证明能力。
学情分析在初中数学课程中，全等三角形的判定是非常重要的一部分内容。
在之前的学习中，学生已经学习了SSS、SAS两种判定全等的方法。
本节课主要引入了ASA和AAS这两种新的判定方法，增加了学生的全等三角形判定技巧。
在此之前，学生已经学习过三角形的基本性质、相似三角形的判定和性质等相关内容，为学习本课内容打下了坚实的基础。
在学习ASA和AAS这两种判定方法之前，学生已经学习了角的概念、角的类型和性质等内容。
学生已经具备了对角的认识和理解，并能够运用角的基本知识解决问题。
本节课的学习将进一步拓展学生对角和三角形的认识，培养他们的证明思维和逻辑思维能力。
教学目标•知识目标：了解ASA和AAS这两种判定全等的方法，掌握其应用技巧。
•能力目标：运用ASA和AAS的判定方法解决实际问题，提高证明能力和逻辑思维能力。
•情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习的积极态度，培养合作意识和团队精神。
教学重点和难点教学重点•ASA和AAS这两种判定全等的方法的介绍和运用。
•正确理解全等三角形的定义和性质，掌握判定方法的使用技巧。
教学难点•判定问题的证明过程，培养学生的证明能力和逻辑思维能力。
教学过程导入新课1.教师出示两个相似三角形，让学生观察并找出它们的相似性质。
2.引导学生回顾之前学习的相似三角形的判定方法，并复习相似三角形的定义和性质。
提出问题1.教师出示一个例子，让学生观察并思考两个全等三角形的条件。
2.引导学生思考如何判定两个三角形全等。
引入ASA的判定方法1.明确学习目标：学习ASA的判定方法，了解其原理和条件。
全等三角形判定二(ASA,AAS)
12.2 全等三角形判定二（ASA ，AAS ）全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.注意：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .题型1：用ASA 判定三角形全等1.已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D＝∠B．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CBD B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的【变式1-1】如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．【答案】证明：在△ABE和△ACD中，∵∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【解析】【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可．【变式1-2】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求证：△ABC≌△AED．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EADAB=AE∠B=∠AED∴△ABC≌△AED(ASA)【解析】【分析】由∠1=∠2，证明∠BAC=∠EAD,再结合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角边角公理可得结论．全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）题型2：用AAS 判定三角形全等2.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B ECB=DE Ð=ÐìïÐ=Ðíïî∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【变式2-1】如图，在△ABC 和△CDE 中，点B 、D 、C 在同一直线上，已知∠ACB=∠E ，AC=CE ，AB ∥DE ，求证：△ABC ≌△CDE ．【答案】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠EDC ，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠EDC ∠ACB =∠E AC =CE，∴△ABC≌△CDE (AAS )．【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE 即可。
12.2.3三角形全等的判定(3)(ASA、AAS)
A
D
C
E
F
在△ABC与△DEF中 ∠A= ∠D AB=DE ∠B= ∠E ∴△ABC≌△DEF（ASA）
已知如图，B、F、C、E在 一条直 例1：
线上，FB＝CE，AB∥DE， AC ∥DFAB ， ＝DE 求证：
A
B
C F D
E
探究：在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF, △ABC与△DEF全等吗？能利用角 边角（ASA）证明你的结论吗？
即证明角角边（AAS）是不是判定方法
A
D
B
C
E
F
A
D
B
C
E
F
已知∠A=∠D，∠B=∠E， BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠E 又∵∠C＝180°－∠A－∠B， ∠F＝180°－∠D－∠E 两角和它们其中 ∴∠C＝∠F 一角的对边对应 在△ABC和△DEF中 ∠B＝∠E BC＝EF ∠C＝∠F
12.2 三角形全等的判定(3) (ASA 、AAS)
1. 边边边公理内容：
三边对应相等的两个三角形全等 _________________________________________
_____________________________ 简称“边边边”或“SSS” 2. 边角边公理内容： _________________________________________ 有两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等 _________________
相等的两个三角 形全等. （简写为“角角 ∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言
BADຫໍສະໝຸດ CEF在△ABC与△DEF中
人教版八年级数学上册12.2 三角形全等的判定(ASA.AAS)课件
答：带1去，因为有两角且夹边 相等的两个三角形全等.
1 23
课堂练习
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形
课堂练习
1.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
A
求证：AB=AD.
12
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知）
∠ B=∠D（已证）
B
D
AC=AC （公共边）
∴ △ABC≌△ADC (AAS)，
C
∴AB=AD.
课堂练习
分类 探讨
ASA
两角及其夹边分别相等; 两角及其中一角的对边分别
相等
两角和它们的夹边分别相等 的两个三角形全等
应用
利用“ASA”解决实际问题
课堂总结
三角 形全 等的 判定
AAS
两角和其中一组角的对边分别相 等的两个三角形全等
对比 探究
对比“ASA”和“AAS”的区别 和联系
应用
利用“AAS”解决实际问题
∠B=∠FCE， 在△ACB和△FEC中， BC=CE，
∠ACB=∠FEC， ∴△ACB≌△FEC（ASA）. ∴ AC=EF. ∵BC=2cm，EF=5cm, ∴ AE=3cm.
A
E
D
F
CB
作业布置
1.作业本《2.2三角形全等的判定（ASA.AAS）》。
谢谢
“角角边”或“AAS”.
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
12.2 全等三角形的判定：角边角(ASA)说课稿 2022-2023学年人教版八年级数学上册
12.2 全等三角形的判定：角边角 (ASA) 说课稿一、教材分析1. 教材内容本说课稿基于《2022-2023学年人教版八年级数学上册》第12章第2节的内容，讲解了全等三角形判断的另一种方法——角边角 (ASA) 判定。
2. 教材地位全等三角形是初中数学中重要的基础内容之一，通过学习全等三角形，可以培养学生观察和推理能力，提高解题能力。
3. 教学目标•理解角边角 (ASA) 判定的基本原理和条件。
•能够运用角边角 (ASA) 判定准确地判断两个三角形是否全等。
•培养学生推理和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
4. 教学重点和难点•教学重点：角边角 (ASA) 判定的原理和条件的理解和运用。
•教学难点：通过实例演示，让学生掌握角边角 (ASA) 判定的正确使用方法。
二、教学过程1. 导入新知通过提问，复习前几节学习的全等三角形的判定方法。
•提问1：全等三角形有哪些判定方法？•提问2：通过什么判定两个三角形的角度是否相等？2. 学习新知2.1 角边角 (ASA) 判定的原理通过解析教材中的例题，让学生理解角边角 (ASA) 判定的原理。
例1：已知三角形ABC和三角形DEF，且∠A=∠D，∠C=∠F，AB=DE。
怎样判断它们全等？解析：根据已知条件可以得知∠A=∠D，∠C=∠F，AB=DE，这三个条件正好满足角边角 (ASA) 判定的条件，因此可以判断三角形ABC全等于三角形DEF。
2.2 角边角 (ASA) 判定的条件角边角 (ASA) 判定的条件是：若两个三角形的一个角等于另一个三角形的对应角，两个边分别相等或比例相等，则这两个三角形全等。
通过教材中的例题进行讲解，并给出具体的三角形判定方法。
例2：如何利用角边角 (ASA) 判定判断两个三角形全等？解析：对角边角 (ASA) 判定来说，需要满足三个条件：一个角等于另一个角，两个边分别相等或比例相等。
首先，我们要找到两个角相等；其次，我们要找到两个边分别相等或比例相等。
12.2 第3课时 三角形全等的判定(ASA,AAS)
先在AB的垂线BF上取两点C，D，使
CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上(如图12－2－29所 示)，可以说明△EDC≌△ABC，从而 图12－2－29 ( B ) D．边边角
可得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定 △EDC≌△ABC最恰当的理由是 A．边角边 B．角边角 C．边边边
[2015· 温州]如图12－2－26，点 C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC
异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
(1)求证：AB＝DC； (2)若AB＝CF，∠B＝30°，求
图12－2－26
∠D的度数．
数学
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(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C，
∵AE＝DF，∠A＝∠D，
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类型之一
利用“ASA”或“AAS”证明两个三角形全等
如图12－2－25，已知D是AC
上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝
∠DAE.求证：BC＝AE. 【解析】根据两直线平行，内错 图12－2－25
角相等求出∠CAB＝∠EDA，然后利用“角边角”证明△ABC和 △DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明．
( D )
D．两条边和一条边所对的角对应相等
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2．如图12－2－27所示，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙 三个三角形中和△ABC全等的图形是 ( B )
图12－2－27 A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
12.2 三角形全等的判定 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
17．如图，把一个三角板(AB＝BC，∠ABC＝90°)放入一个“U”形
槽中，使三角板的三个顶点A，B，C分别在槽的两壁及底边上滑
动，已知∠D＝∠E＝90°. (1)在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结 论； (2)若AD＝a，EC＝b，求槽底DE的宽度．
解：(1)AD＝BE.证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBE＝ 90°.∵∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠CBE.又∵∠D＝
璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
C)
11．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，点 O 是原点， 点 A 的坐标为(1， 3)，则点 C 的坐标为( A．(－ 3，1) B．(－1， 3) C．( 3，1) D．(－ 3，－1)
A
)
12．如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，若BC＝4，△AOB的周长 14 为10，则△DCB的周长为______.
13．如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在一条直线上，AE
＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：AD＝BC.
解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF， 即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∵∠B＝∠D，∠A＝∠C，AF＝ CE，∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴AD＝BC
八年级上册数学（人教版）
第十二章
第3课时
全等三角形
12．2 三角形全等的判定
用“ASA”或“AAS”判定三角形全 等
知识点1：用“ASA”判定两个三角形全等
1．如图①，已知△ABC的边和角，则图②中，甲、乙、丙三个三角 形和△ABC全等的是( A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
12.2三角形全等的判定(ASA、AAS)说课稿 2022-2023学年人教版八年级上册 数学
12.2 三角形全等的判定 (ASA、AAS) 说课稿一、教材分析本课是人教版八年级上册数学教材中的第12章《平面坐标系中的图形》中的第2节，主要讲解ASA（角边角）和AAS（角角边）两种三角形全等的判定方法。
该课内容涵盖了三角形的概念、角的概念和性质等基础知识，是学生理解和掌握三角形全等的判定方法的重要环节。
本节课的教学目标是： 1. 掌握ASA和AAS两种判定全等的方法； 2. 能够应用ASA和AAS判定方法解决实际问题； 3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点和难点本节课的教学重点是掌握ASA和AAS两种判定全等的方法，以及能够应用这两种方法解决实际的问题。
教学难点在于帮助学生理解ASA和AAS判定方法的本质和原理，并培养学生的逻辑思维和推理能力。
三、教学过程3.1 导入新课引导学生回顾前几节课所学的内容，复习三角形的概念和角的概念，以及相关的性质。
通过简单的问题引导学生思考，激起他们的学习兴趣。
3.2 引入ASA全等判定方法通过一个图示介绍ASA全等判定方法的基本思路：当两个三角形的某一对对应角度相等，且它们的两边也一一对应相等时，可以判定这两个三角形全等。
然后，通过展示一个例子，引导学生根据ASA全等判定方法来判定两个三角形是否全等，并给出详细的推理过程。
3.3 引入AAS全等判定方法类似地，通过一个图示介绍AAS全等判定方法的基本思路：当两个三角形的两个对应角度和一个对应边相等时，可以判定这两个三角形全等。
然后，通过展示一个例子，引导学生根据AAS全等判定方法来判定两个三角形是否全等，并给出详细的推理过程。
3.4 练习与巩固在解决一些练习题之前，教师可以给学生提供一个思考问题，让学生思考如何利用ASA和AAS判定方法证明两个三角形全等。
然后，教师引导学生通过具体的题目来练习应用ASA和AAS判定方法。
在练习中，可以逐步增加难度，引导学生灵活运用判定方法，并加深对全等概念和性质的理解。
人教版八年级数学上册优秀教学案例：12.2全等三角形的判定—ASA
案例中运用问题导向的教学方法，引导学生主动探究全等三角形的ASA判定方法。通过设计具有启发性的问题，激发学生的思维，促使学生在解决问题的过程中，掌握全等三角形的判定方法及其应用。
3. 小组合作的互动交流
本案例强调小组合作学习，让学生在小组内讨论、交流，共同探究全等三角形的判定方法。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及批判性思维。
3. 通过故事引入，如讲述古希腊数学家欧几里得的几何故事，让学生了解全等三角形的历史背景，增强学生对数学文化的认识。
（二）问题导向
在教学过程中，我将设计以下问题引导学生思考：
1. 什么是全等三角形？全等三角形有哪些判定方法？
2. ASA判定方法是什么？如何运用ASA判定方法证明两个三角形全等？
3. 在实际生活中，如何运用全等三角形的ASA判定方法解决问题？
4. 培养学生的团队合作意识，让学生学会倾听、尊重他人，形成良好的人际关系。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握全等三角形的ASA判定，我将创设以下教学情景：
1. 利用多媒体展示生活中全等三角形的实例，如建筑物的平面图、拼图游戏等，引导学生关注全等三角形在现实生活中的应用。
2. 创设有趣的几何画板动画，让学生观察并思考：在什么条件下，两个三角形可以完全重合？激发学生的探究欲望。
4. 定期进行学习反馈，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 教学开始时，通过多媒体展示一组生活中的全等三角形图片，如等腰三角形的对称装饰、建筑物的三角结构等，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同特点？
2. 邀请学生分享观察结果，教师总结并引出全等三角形的概念。
12.2 三角形全等的判定(第三课时ASA、AAS)(解析版)
八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS（解析版）学习目标：1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明老师对你说：知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点3 判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.注意：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA ） 【例1-1】如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC.求证：AC =DF ．【答案】见解析【分析】由AD=BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠E AB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF (ASA)，∴AC =DF ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例1-2】在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，过点C 作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，接EF 、CF ，则下列结论错误的是（ ）A．∠DCF＝1∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF2C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF【答案】D【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝1∠BCD，故此选项A正确；2设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°−x，∴∠EFC＝180°−2x，∴∠EFD＝90°−x＋180°−2x＝270°−3x，∵∠AEF＝90°−x，∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF ＝FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF FDAFE DFM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴EF ＝MF ，∠AEF ＝∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°，∴∠AEC ＝∠ECD ＝90°，∵EF ＝MF ，∴CF ＝MF ，即CF ＝EF ，故选项C 正确；∵EF ＝MF ，∴S △EFC ＝S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC ＝2S △CE F 错误；故选项D 不成立；故选D【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF是解题关键．【例1-3】如图，点C 在线段BD 上，在ABC V 和DEC V 中，A D AB DE B E Ð=Ð=Ð=Ð，，．求证：AC DC =．证明见解析【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC V 和DEC V 中，A D AB DEB E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABC DEC ≌V V ∴AC DC =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS ）【例2-1】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE ．求证：△ABC≌△ADE ．【答案】证明见解析【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE =∠B ，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC =∠DAE ，最后利用AAS 即可得证．【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△ABC≌△ADE(AAS)．【点评】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．【例2-2】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．【详解】解：△ADC与△CEB全等理由如下：根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD=90°,又∵∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ADC与△CEB中，(1)求证：△BDF≌(2)若AD=5，CE=【答案】(1)见解析(2)10知识点3 判定方法的选择【例3-1】如图，AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 经过点E ．求证：CE =DE ．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AF =AC ，连接EF ，通过证明△ACE≌△AFE 和△BEF≌ΔBED ，然后根据全等三角形的性质分析求证．【详解】证明：在AB 上截取AF =AC ，连接EF ．∵AE ，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA ，∴∠CAE =∠FAE,∠EBF =∠EBD ．∵AC∥BD ，∴∠C +∠D =180°，在△ACE 和△AFE 中AC =AF ∠CAE =∠FAE AE =AE，∴△ACE≌△AFE ，∴∠C =∠AFE,CE =EF ，∵∠AFE +∠EFB =180°,∠C +∠D =180°，∴∠EFB =∠D ，在△BEF 和△BED 中∠EFB =∠D ∠EBF =∠EBD BE =BE，∴△BEF≌ΔBED ，∴EF =ED ，∴CE =DE ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．【例3-2】如图，在ABC V 中60A Ð=°，BE 、CF 是ABC V 的角平分线，且BE 、CF 相交于点O ．求证：OF OE =．【分析】先根据三角形内角和定理得到120ABC ACB Ð+Ð=°，再利用角平分线的定义以及三角形内角和得到BOC Ð的度数；在BC 上截取BG BF =，先证明()SAS BOF BOG V V ≌得到BOF BOG Ð=Ð，OF OG =，再得到COE COG Ð=Ð，接着证明()ASA COG COE V V ≌得到OG OE =，然后利用等线段代换得到结论．解：∵180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，60A Ð=°，∴120ABC ACB Ð+Ð=° ，∵BE ，CF 均为ABC V 的角平分线，∴12OBC ABC Ð=Ð，12OCB ACB ÐÐ＝，∴()1602ABC ACB OBC OCB Ð+Ð=°ÐÐ＋＝，∴()180120BOC OBC OCB Ð=°-Ð+Ð=°．在BC 上截取BG BF =，如图所示：∵OB 平分ABC Ð，∴ABO CBO Ð=Ð，∵在BOF V 和BOG △中BF BG FBO GBO BO BO =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BOF BOG V V ≌，∴BOF BOG Ð=Ð，OF OG =，∵120BOC Ð=°，∴60BOF COE Ð=Ð=°，∴60BOG Ð=°，∴1206060COG Ð=°-°=°，∴COE COG Ð=Ð，∵OC 平分ACB Ð，∴ACO BCO Ð=Ð，∵在COG V 和COE V 中GCO ECO CO COGOC EOC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA COG COE V V ≌，∴OG OE =，∴OF OE =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．能力强化提升训练1.如图，线段AB 与CF 交于点E ，点D 为CF 上一点，连接AD 、AF 、BC ，已知AD BC =，12Ð=Ð．(1) 请添加一个条件________使ADF BCE V V ≌，并说明理由．(2) 在（1）的条件下请探究AE 与BE 的数量关系，并说明理由．(1)DF CE =，理由见分析；(2)AE BE =，理由见分析．【分析】（1）利用SAS 判定定理，添加DF CE =即可判断；（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．（1）解：添加条件：DF CE =，理由如下：∵AD BC =，12Ð=Ð，DF CE =，∴()SAS ADF BCE ≌△△；（2）解：AE BE =，理由如下：∵ADF BCE V V ≌，∴F CEB =∠∠，AF BE=∵CEB AEF Ð=Ð，∴F AEF Ð=Ð，∴AE AF =，∴AE BE =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2 .如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，BE 、CD 交于点O ，求证：OB ＝OC ．【分析】证△ABE ≌△ACD ，推出∠B =∠C ，AD =AE ，求出BD =CE ，证△BDO ≌△CEO ，根据全等三角形的性质推出即可．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°，在△ABE 和△ACD 中A A AEB ADC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴∠B ＝∠C ，AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CE ，在△BDO 和△CEO 中DOB EOC B CBD CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BDO ≌△CEO （AAS ），∴OB ＝OC ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．3 .(1)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作直线DE ，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ，求证：△ADC≌△CEB ；(2)如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作直线CE ，AD ⊥CE 于D ，BE ⊥CE 于E ，AD =2.5cm ，DE =1.7cm ，求BE 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系中，A (−1,0)，C (1,3)，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，求点B 坐标．【答案】(1)证明见解析(2)0.8cm (3)4，1【分析】（1）由题意知∠D =∠E =90°，由∠ACD +∠BCE =180°−∠ACB =90°，∠ACD +∠CAD =180°−∠D =90°，可得∠CAD =∠BCE ，进而结论得证；（2）同理（1）证明△ADC≌△CEB (AAS)，则BE =CD ，CE =AD =2.5cm ，根据BE =CD =CE−DE 计算求解BE 的值即可；（3）如图3，过点C 作平行于x 轴的直线DE ，过A 作AD ⊥DE 于D ，过B 作BE ⊥DE 于E ，由（1）可得△ACD≌△CBE ，则CE =AD =3，BE =CD =2，进而可求B 点坐标．【详解】（1）证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠D =∠E =90°，∵∠ACD +∠BCE =180°−∠ACB =90°，∠ACD +∠CAD =180°−∠D =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵∠D =∠E ∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC≌△CEB (AAS)；（2）解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠E =90°，∵∠ACD +∠CAD =180°−∠ADC =90°，∠ACD +∠BCE =180°−∠E =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵∠ADC =∠E ∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC≌△CEB (AAS)，∴BE =CD ，CE =AD =2.5cm ，∴BE =CD =CE−DE =0.8cm ，∴BE 的长为0.8cm ；（3）解：如图3，过点C 作平行于x 轴的直线DE ，过A 作AD ⊥DE 于D ，过B 作BE ⊥DE 于E ，由（1）可得△ACD≌△CBE ，∴CE =AD =3，BE =CD =2，∴B 4，1．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．堂堂清一、选择题（每小题4分，共32分）1．如图，,,AB BF ED BF CD CB ^^=，判定△EDC≌△ABC 的理由是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．无法确定【答案】A【解析】解：∵,AB BF ED BF ^^，∴90ABC EDC Ð=Ð=°，∵ACB Ð和ECD Ð为对顶角，∴Ð=ÐACB ECD ，又∵CD CB =，∴()EDC ABC ASA ≌△△．故选：A ．2 .王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）A ．10cmB ．14cmC ．20cmD ．6cm【答案】C 【解析】解：∵AC BC =，90ACB Ð=°，AD DE ^，BE DE ^，∴90ADC CEB Ð=Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，90ACD DAC Ð+Ð=°，∴BCE DAC Ð=Ð，∵在ADC D 和CEB D 中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ADC CEB AAS D D ≌；∴6cm EC AD ==，14cm DC BE ==，∴20(cm)DE DC CE =+=，故选：C ．3 .如图，AC 与DB 交于点O ，下列条件不能证明ABC DCB D @D 的是( )A ．AB DC =，AC DB=B ．A D Ð=Ð，ABC DCB Ð=ÐC ．BO CO =，A DÐ=ÐD ．AB DC =，ACB DBCÐ=Ð【解析】解：A ．在ABC D 和DCB D中，Q AB DC AC BD BC BC =ìï=íï=î，()ABC DCB SSS \D @D ，故A 选项不合题意；B ．在ABCD 和DCB D 中，Q A D ABC DCB BC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DCB AAS \D @D ，故B 选项不合题意；C ．BO CO =Q ，ACB DBC \Ð=Ð，在ABC D 和DCB D 中，Q A D ABC DBC BC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DCB AAS \D @D ，故C 选项不合题意；D ．AB DC =Q ，ACB DBC Ð=Ð，不能证明ABC DCB D @D ，故D 选项符合题意；故选：D ．4 .如图，ADC ADB Ð=Ð，添加一个条件，仍不能说明ABD ACD D @D 的是( )A ．AB AC =B ．BAD CAD Ð=ÐC ．B C Ð=ÐD ．BD CD=【解析】解：A 、添加AB AC =，利用SSA 不能判定ABD ACD D @D ，故此选项符合题意；B 、添加BAD CAD Ð=Ð，利用ASA 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；C 、添加B C Ð=Ð，利用AAS 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；D 、添加BD CD =，可利用SAS 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；故选：A ．5 .如图，测量河两岸相对的两点A ，B 的距离时，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD BC =，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明EDC ABC @△△，从而得到ED AB =，则测得ED 的长就是两点A ，B 的距离，判定EDC ABC @△△的依据是（ ）A ．“SSS ”B ．“ASA ”C ．“HL ”D ．“SAS ”【答案】B 【解析】解：根据题意得AB ⊥BC ，DE ⊥CD ，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵CD=BC ，∠ACB=∠ECD ，∴根据“ASA”可判断△EDC ≌△ABC ．故选：B ．6. 如图，在ABC V 中，D 是AB 的中点，//,//DE BC DF AC ，若20AE =，则DF 的值为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C 【解析】解：∵D 是AB 的中点，∴AD DB =，∵//,//DE BC DF AC ，∴,B ADE BDF A Ð=ÐÐ=Ð，∴△ADE≌△DBF (ASA )，∴20DF AE ==．故选：C ．7 .如图，经过平行四边形ABCD 的对角线AC 中点的直线分别交边CB ，AD 的延长线于E ，F ，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】C 【解析】：Q 四边形ABCD 为平行四边形，EF 经过AC 的中点，AB CD \=，AD BC =，AO CO =，AOE COF Ð=Ð，F E Ð=Ð，又AOF COE Ð=Ð，AOE COF Ð=Ð，BAF DCE Ð=Ð，()\D @D AOH COG ASA ，()D @D AOF COE ASA ，()FDG EBH ASA D @D ，()ABC CDA SSS D @D ，()D @D AFH CEG ASA ．故图中的全等三角形共有5对．故选:C8 .如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE 是中线，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，过点C 作CD ⊥BC 交BF的延长线于点D ．下列结论：①BE ＝CE ；②AE ＝BD ；③∠BAE ＝∠CBD ；④∠EAC ＝∠BAE ；⑤BC ＝2CD ．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】解：①∵AE 是中线，∴BE ＝CE ，故①正确；②∵DC ⊥BC ，BF ⊥AE ，∴∠DBC+∠D ＝∠DBC+∠BEA ＝90°．∴∠D ＝∠BEA ．∵∠DCB ＝∠ABE ＝90°，在△DBC 与△ABE 中，90DCB EBA D AEB BC AB ÐаìïÐÐíïî＝＝＝＝ ，∴△BCD ≌△ABE （AAS ）．∴BD ＝AE ，故②正确；③∵△BCD ≌△ABE ，∴∠BAE ＝∠CBD ；故③正确；④∵AE 是中线，∴∠EAC≠∠BAE ，故④错误；⑤∵△BCD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∵BC ＝2BE ，∴BC ＝2CD ，故⑤正确．∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：C ．二、填空题（每小题4分，共20分）9 .已知，如图，D A Ð=Ð，//EF BC ，添加一个条件： (AC DF AB DE ==或)BC EF = ，使得ABC DEF D @D．【解析】解：//EF BC Q ，ACB DFE \Ð=Ð，又D A Ð=ÐQ ，\添加条件AC DF =，可以使得()ABC DEF ASA D @D ，添加条件AB DE =，可以使得()ABC DEF AAS D @D ，添加条件BC EF =，可以使得()ABC DEF AAS D @D ，故答案为：(AC DF AB DE ==或)BC EF =．10 .如图，已知ABC D 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，DE ，180C AED Ð+Ð=°，请你添加一个条件，使BDE BDC D @D ，你所添加的条件是 CBD EBD Ð=Ð （只填一个条件即可）．【解析】解：添加的条件是：CBD EBD Ð=Ð，理由是：180C AED Ð+Ð=°Q ，180DEB AED Ð+Ð=°，C DEB \Ð=Ð，在BDE D 和BDC D 中EBD CBD DEB CBD BD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BDE BDC AAS \D @D ，故答案为：CBD EBD Ð=Ð．11 .如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，分别过点B 、C 作经过点A 的直线的垂线段BD 、CE，若6BD =厘米，8CE =厘米，则DE 的长为______．【答案】14厘米【解析】解：90BAC Ð=°Q 90DAB EAC \Ð+Ð=°,BD DE CE DE ^^Q 90DAB DBA \Ð+Ð=°DBA EAC\Ð=Ð在Rt △ADB 与Rt △CEA 中90ADB CEA DBA EAC AB AC Ð==°ìïÐ=Ðíï=î∴Rt △ADB ≅Rt △CEA(AAS),DB AE DA EC\==8614DE DA AE EC DB \=+=+=+=故答案为：14厘米．12 .如图，为了测量B 点到河对面的目标A 之间的距离，在B 点同侧选择了一点C ，测得∠ABC ＝65°，∠ACB ＝35°，然后在M 处立了标杆，使∠MBC ＝65°，∠MCB ＝35°，得到△MBC ≌△ABC ，所以测得MB 的长就是A ，B 两点间的距离，这里得到△MBC ≌△ABC 的依据是 ______．【答案】ASA【解析】解：在△ABC 和△MBC 中，ABC MBC BC BC ACB MCB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△MBC ≌△ABC （ASA ），故答案为：ASA ．13 .如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°，AC ＝4，AD ＝6，AB ∥CD ，E 是CD 上一点，BE 交AD 于点F ，若AB ＝DE ，则图中阴影部分的面积为 _____．【答案】12【解析】解：//AB CD Q ，BAD D \Ð=Ð，在BAF D 和EDF D 中，BFA EFD BAD D AB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BAF EDF AAS \D @D ，BAF EDF S S D D \=，\图中阴影部分面积11461222BAF ACD ACEF S S S AC AD D D =+==××=´´=四边形，故答案为：12．三、解答题（共6小题，48分）14 .（8分）点B 、F 、C 、E 在直线l 上（F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，//AB DE ，A D Ð=Ð，AB DE =．（1）试说明△ABC 与△DEF 全等；（2）若10m BE =，3m BF =，求FC 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）4m ．【解析】（1）//AB DE Q ，∴ABC DEB Ð=Ð，在△ABC 和△DEF 中，A D AB DE ABC DEB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）∵△ABC ≌△DEF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，即BF=CE ，∵10m BE =，3m BF =，∴FC=EF-BF-CE=10-3-3=4m ．15 .（8分）如图，已知BC ＝EF ，AC ∥DF ，∠A ＝∠D ．求证：△ACB ≌△DFE．【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ACB与△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（AAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF ＝∠CDF，即可证明△ABF≌△CDF（ASA）．【解答】解：还有△ABF≌△CDF，理由如下：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，在△ABF和△CDF中，∴△ABF≌△CDF（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，从而得出DE＝BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．【解答】证明：在△DEC和△BEC中∵，∴△DEC≌△BEC（ASA）．∴DE＝BE．∵∠3＝∠4，∴∠DEA＝∠BEA．∵DE＝BE，AE＝AE，在△ABE和△ADE中∵，∴△ABE≌△ADE（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18 .（8分）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证∶DE=DF ；（2）若∠BDE=55°，求∠BAC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）110゜【解析】（1）：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD=90°，∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，在△BED 与△CFD 中BED CFD B CBD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BED≌△CFD （AAS ），∴DE=DF ；（2解：∵55,,BDE DE AB Ð=°^∴∠C=∠B=35°，∴∠BAC=1803535110.°-°-°=°19 .（8分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，如图1所示，BC 边在直线l 上，若Rt △ABC 绕点C 沿顺时针方向旋转α，过点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1) 当0＜α＜90°时，证明：△ACD ≌△CBE ，并探究线段AD 、BE 和DE 的数量关系并说明理由；(2) 当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD 、BE 和DE 的数量关系（直接写出结果）．【答案】(1)DE =AD +BE ，理由见分析；(2)AD =DE +BE【分析】（1）由“AAS”可证△BCE ≌△CAD ，可得BE =CD ，AD =CE ，可得结论；（2）由“AAS”可证△BCE ≌△CAD ，可得BE =CD ，AD =CE ，可得结论．（1）解：DE =AD +BE ，理由如下：证明：∵BE ⊥ED ，AD ⊥DE ，∴∠BEC =∠ADC =90°=∠ACB ，∴∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠DAC ，∴∠DAC =∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC BEC DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD =BE ，AD =CE ，∴DE =AD +BE ；（2）解： AD =DE +BE ，理由如下：如图，∵BE ⊥ED ，AD ⊥DE ，∴∠BEC =∠ADC =90°=∠ACB ，∴∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠DAC ，∴∠DAC =∠BCE ，在△BCE 和△CAD 中，BEC ADC BCE DAC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∴AD=DE+BE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.拓展培优*冲刺满分1 .如图，∠BCD=90°，BC=DC，直线PQ经过点D．设∠PDC=α（45°<α<135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC________∠PDC（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形；理由见解析；（3）45°<α<90°．【分析】（1）由四边形ABCD的内角和与邻补角的性质证明∠EDC=∠ABC，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：∠ACE=∠BCD=90°，证明∠ECD=∠BCA，再证明△ECD≌△ACB，从而可得结论；（3）当∠PDC=∠ABC=α=90°时，△ABC的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，△ABC的外心在其外部，从而可得到答案．【详解】解：（1）∵AB⊥AD，∠DCB=90°，∴∠CDA+∠ABC=360°−90°−90°=180°，∵∠CDA+∠CDE=180°，∴∠EDC=∠ABC.故答案为：=．（2）△ACE是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：∠ACE=∠BCD=90°，∴∠ECD+∠DCA=90°=∠DCA+∠BCA，∴∠ECD=∠BCA，在△ECD与△ACB中，{∠ECD=∠BCA CD=CB∠EDC=∠ABC∴△ECD≌△ACB(ASA)∴EC=AC，又∵∠ACE=90°∴△ACE是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．2 .在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)AD=BE+DE(3)BE=AD+DE【分析】（1）①用AAS证明△ADC≌△CEB即可；②根据全等三角形的性质，得出AD=CE，BE=CD，进而得出DE=BE+CD；（2）先证明△ACD≌△CBE(AAS)，可得AD=CE，BE=CD，进而得出AD=CD+DE=BE+DE；（3）先证明△ACD≌△CBE(AAS)，可得AD=CE，BE=CD，进而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE．【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，BE=CD，∴DE=DC+CE=BE+AD．（2）解：AD=BE+DE．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，BE=CD，∴AD=CD+DE=BE+DE．（3）解：BE=AD+DE．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，BE=CD，∴BE=CD=CE+DE=AD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明△ACD≌△CBE．3. 如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．。
12.2.1全等三角形的判定(SSS,SAS,ASA,AAS)20160724
E C
A 练习：如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BA =AC， ∠B =∠C，BE、CD 相交于点 O.求证：OB=OC D B 练习：如图，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 与 E， BE、CD 交于 O，且 AO 平分∠BAC，求证：OB=OC D O B 六、全等三角形的判定方法 简称 边边边 边角边 角边角 角角边 缩写 SSS SAS ASA AAS 具体条件 三边对应相等 两边和它们的夹角对应相等 两角和它们的夹边对应相等 两角和其中一角的对边对应相等 A O E C
A 练习：如图：己知 AD∥BC，AE＝CF，AD＝BC，E、Ｆ都在直线ＡＣ来自，试说明ＤＥ∥ D A ＢＦ。
B
E
F
C B 五、全等三角形的判定方法（ASA，AAS） 1. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角”或“ASA” 。 2. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写为“角角边”或“AAS”。
E A D
B
C
H
B
四、全等三角形的判定方法（SAS） 1. 用尺规作图，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，发现它们是能够完全重合（全 等）的。 2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写为“边角边”或“SAS” 练习：如图，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，你能判断 BC=AD 吗？说明理由。 C D
12.2 三角形全等的判定 复习 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。 2. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 3. 因为△ABC≌△A’B’C’， 所以 AB＝A’B’， BC＝B’ C’， AC＝A’ C’ ∠A＝∠A’， ∠B＝∠B’， ∠C＝∠C’ 一、全等三角形的判定方法 1. 首先可以肯定的是，三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。 2. 然后至少需要几个条件才能判定两三角形全等。 二、全等三角形的判定方法（SSS） 1. 用尺规作图，画两个三边相等的三角形，发现它们是能够完全重合（全等）的。 2. 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 三、证明三角形全等的书写格式 例题：如图已知 AB＝CD，AC＝DB，求证△ABC≌△DCB 证明：∵在△ABC 和△DCB 中 A AB＝CD 已知 AC＝DB 已知 BC＝BC 公共边 B
12.2 第3课时 三角形全等的判定(ASA,AAS)
分层作 业
1．[2018·成都]如图 12-2-30，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定
△ABC≌△DCB 的是( C )
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
图 12-2-30
2．如图 12-2-31，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，AE＝AD，不添加新的线 段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 ∠ADC＝∠AEB或 ∠CEB＝∠BDC或∠C＝∠B或AB＝AC或B(D只＝写C一E个条件即可)．
线上，可以说明△EDC≌△ABC，从而可得 ED＝AB，因此测得 ED 的长就是 AB
的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当的理由是( B )
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．边边角
图 12-2-28
4．[2017·黔东南州]如图 12-2-29，点 B，F，C，E 在同一条直线上，已知 FB ＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件：(答案不唯一)如AC＝FD或∠B，＝ 使得△ABC≌△DEF.
5．[2018·昆明]如图 12-2-34，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，∠B＝∠D， ∠1＝∠2.
求证：BC＝DE.
图 12-2-34
证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，
∠ABB＝＝A∠DD，， ∠BAC＝∠DAE，
求证：BC＝AE.
图 12-2-25
证明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠EDA. 在△ABC 和△DAE 中，
∠CAB＝∠EDA， AB＝DA， ∠B＝∠DAE，
∴△ABC≌△DAE(ASA)， ∴BC＝AE.
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BC=FD
∴△ABC≌△DEF（AAS）
?
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等，简写成“角角边”或“AAS”
归纳
（AAS）
试一试 下列条件能否判定△ABC≌△DEF. （1）∠A=∠E AB=EF ∠B=∠D （2）∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E
A
\BED CFD 90 (垂直的定义） 在DBDE和DCDF中
F D E C
BED CFD （已证）
B
BDE CDF （对顶角相等）
BE CF （已知）
\DBDE DCDF （AAS）
\ BD CD （全等三角形对应边相等）
(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证： (1)C B ( 2)OA OD
§11.2 三角形全等的判定(三)
知识梳理:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
知识梳理:
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
不能判定三角形全等的组合有两个！ AAA，SSA！
A′ D′、B ′E交于点C′
C E ′ C B A ′ D
A
B′
观察：△A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？怎么验证？ 思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). 如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
C
′ C
B
A
′ A
B′
证明:在△ABC与△A′ B′ C′ 中
′ B′ AB=A ∠B=∠B′
∠A=∠A′
′ ′ （ ′ ASA） ∴△ABC≌△ABC
?
探索
A
在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和 △DEF全等吗？为什么？ 解：全等
∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E(已知) C
A A'
E B
D C
考考你
1、如图：已知AB∥DE， AC∥DF，BE=CF。求证： △ABC≌△DEF。
D
A
B
E
C
F
你判 有定 哪三 些角 方形 法全 ？等
（SSS） （SAS） （ASA） （AAS）
你能吗?
B
AB=DE可以吗？
A
C
F
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，那么应补充一个条 件 ------------------- ，才能 使△ABC≌△DEF 。
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中
D 2 1 A B C
AD=DA（公共边） AC=DB（已知） DC=AB（已知）
∴△ADC≌△DAB （SSS） ∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等） (2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∠ B =∠ C （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） DC=AB（已知）
∴∠C=∠F(三角形内角和定理)
B D
E
F
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
两角及一角的对边对应相等的 你能从上题中得到什么结论？ 两个三角形全等（AAS）。
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
C
D
A
B
E
F
证明:在△ABC与△DEF中
∠A=∠D ∠B=∠F
思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D , ∠C=∠F和AB=DE时,能否得到 △ABC≌△DFE? 有两角和其中一个 角的对边对应相等的两 个三角形全等(可以 简写成“角边角”或 “AAS”）。
B C F A
D
E
一个小结
• 到目前为止，我们一共学习了四种判定两 个三角形全等的定理：
SSS，SAS，ASA，AAS
请先画图试试看
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可 以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适? 你能说明其中理由吗? A
B
A
D
C
E
B
考考你
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： C F
C
图2
在图1中， 边AB是∠A与∠B 的夹边，我们称这种位置关系 为两角夹边
在图2中， 边BC是∠A的对 边， 我们称这种位置关系为
两角及其中一角的对边。
观察下图中的△ABC，画一个△A ′ B′ C′ ，使 A′ B′ =AB , ∠A ′= ∠A， ∠B′= ∠B
画法: 1.画 A′B′=AB； 2.在A′ B′ 的同旁画∠DA′B ′= ∠A ,∠EB′A ′= ∠B,
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
继续探讨三角形全等的条件： 两角一边
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？ A A
B
图1
C
B
O
∴△DOC≌△AOB （AAS） ∴OA=OD （全等三角形的对应边相等）
例、如图，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和
△ACD全等吗？为什么？
A D E
B
C
如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等 么？为什么？ A
D
O
E
你还能得出其他 什么结论？
B
C
如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，
A
B
D
E
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等.
解：在DABC和DDBC中
ABC DBC (已知)
A
110
B
A D (已知)
BC BC (公共边)
35 35 110
DCLeabharlann \ DABC≌DDBC ( AAS )
（2）已知DABC中，BE AD于E，CF AD于F， 且BE CF，那么BD与DC相等吗？ 证明： BE AD，CF AD
∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．
A D
E
B
C
例. 如图,O是AB的中点，∠A =∠B， △AOC与△BOD全等吗? 为什么？
C
A
O
B
D
如图：已知∠ABC=∠DCB，∠3=∠4，
求证: (1)△ABC≌△DCB(2)∠1=∠2
A
3 4
D
O
1 2
B
C
已知：如图，AB=A′C ，∠A=∠A′， ∠B=∠C 求证：△ABE≌ △ A′CD
D E
知识梳理:
三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ） ∠B=∠E（已知 ）
B C F E A D
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
知识梳理:
三角形全等判定方法4