巧求三角形内角和
三角形的内角和公式
三角形的内角和公式
三角形是平面上的一种基本的几何图形，其内部有三个角。
三角形的
内角和是指三个角度的和。
对于任意一个三角形，其内角和总是恒定的，
即180度。
对于任意一个三角形，我们可以用三边的长度或者三个角度来描述它。
根据三角形的性质，我们知道三角形的三个内角和总是等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：
A+B+C=180°
其中A、B、C分别代表三角形的三个内角的度数。
这个公式可以适用
于任意一个三角形，不论是等边三角形、等腰三角形还是普通三角形。
三角形的内角和公式还有一种更广泛的应用，即在几何题中求解三角
形的内角和，从而确定三角形的性质和关系。
通过内角和公式，我们可以
判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，从而解决各
种与三角形相关的问题。
在解决三角形问题时，我们经常会用到三角形的内角和公式。
通过合
理应用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种三角形问题，提高我们
的数学水平和解题能力。
总之，三角形的内角和公式是解决三角形问题的基础，通过掌握和应
用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种与三角形相关的问题。
希望
大家能够认真学习和应用这个公式，提高自己的数学水平和解题能力。
三角形内角和的三种证明方法
三角形内角和的三种证明方法
哇塞，三角形内角和呀，这可是个超级有趣的东西呢！下面我就来给你讲讲三种证明它的超级棒的方法。
第一种方法呢，就像是给三角形做一次全面的“体检”。
想象一下，我们把三角形的三个角剪下来，然后神奇的事情发生了，它们竟然可以拼成一个平角！你说厉不厉害？就好像你有三块拼图，拼在一起正好是完整的一幅画一样。
比如有个三角形 ABC，把角 A、角 B、角 C 剪下来，嘿，它们真
能拼成 180 度的平角哦！
第二种方法呢，就像是建造一座稳固的“知识大厦”。
我们利用平行线的性质来证明。
假设三角形 ABC 旁边有一条平行线，通过巧妙的推理和计算，就能得出内角和是 180 度啦！这就好比你走在一条笔直的路上，看到
旁边的风景和道路的关系，就能明白很多道理。
像你想想，如果没有这条平行线帮忙，我们怎么能发现这么有趣的结论呢？
第三种方法呀，像是打开了一道神秘的“智慧之门”。
我们从外角的角度入手，通过外角和内角的关系来推导。
哇，一旦明白了，你就会发出惊叹，原来还可以这样呀！比如说一个三角形 DEF，研究它的外角，就像探索一个神秘的宝藏一样，最后找到了内角和是 180 度这个宝贝！
总之呀，这三种证明方法都超级厉害，超级有趣！它们都能让我们更加深入地了解三角形内角和这个神奇的知识点！所以呀，一定要好好记住哦，是不是很有意思呢？。
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】作为一位不辞辛劳的人·民教师，常常要根据教学需要编写教学设计，教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。
三角形的内角和(林舒韵)
剪拼
为逻辑推理三角形 内角和定理作铺垫
推理证明 辅助线的添加
方法一
方法二
教师示范证明过程 学生书写证明过程
得到定理 (三角形的内角和180°)
课堂练习 例题讲解 课堂小结
课后作业
一、情景导入
1、平角等于＿1＿80＿度。
2、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3、在运用三角形内角和定理解题时，关键是如何把与 条件和结论有关系的角放在同一个三角形当中，并找出 其中两角的度数。
六、课后作业
1、（必做题)在△ABC 中，∠A =50°, ∠B =80°,则∠C = 度。
2、（必做题) 在△ABC 中，∠A:∠B:∠C =1:2:3，则∠B 为多
少度？
A
3、（必做题)如图：已知在△ABC中，EF 与AC 交于点G，与BC 的延长线交于点F，∠B =45° ，∠F =30°，∠CGF =70°，求∠A
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。21.8.1 21.8.11 4:32:50 14:32:5 0Augus t 1, 2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021 年8月1 日星期 日下午2 时32分 50秒14 :32:502 1.8.1
D
∴ ∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
B
=180°-75°-20°=85°.
四、
例 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，
C岛在B岛的北偏西40 °方向。
巧数角的方法
巧数角的方法巧数角，顾名思义，就是指能够被一个非常简单的正整数除尽的角度。
与其他角度不同，巧数角能够被完美地划分成一个或多个相等的部分，这使得我们在进行角度测量和角度运算时非常方便。
在本文中，我们将探讨一些常见的巧数角及其相关的计算方法。
一、30度角30度角是最基本的巧数角之一，它可以被3整除，因此可以被划分为三个相等的部分。
我们可以利用这一特性，快速、准确地计算出一些相关问题的答案。
比如说，我们要计算正三角形的内角和，可以将它分割为3个相等的30度角，然后利用三角形内角和等于180度的公式，求出三个角的度数之和，即：3 × 30 = 90三角形内角和 = 180三个角的度数之和 = 180 - 90 = 90因此正三角形的内角和为90度。
当我们需要将一个60度角划分为两个相等的部分时，也可以利用30度角的特性。
我们只需要将60度角的两条边之一与一个30度角的边平行，然后连接另一个30度角的两条边，就可以得到两个相等的30度角。
二、45度角45度角可以被2整除，因此也是一个巧数角。
它可以被划分为两个相等的部分，即22.5度角。
45度角在几何学中广泛应用，它可以用来构造等腰直角三角形、正方形等。
当我们需要将一个90度角划分为两个相等的部分时，也可以利用45度角的特性。
我们只需要将90度角的两条边之一与一个45度角的边平行，然后连接另一个45度角的两条边，就可以得到两个相等的45度角。
三、60度角60度角可以被6整除，因此它可以被划分为六个相等的部分，即10度角。
60度角也是一个非常重要的巧数角，它在等边三角形、正六边形等几何图形中经常出现。
当我们需要将一个120度角划分为两个相等的部分时，也可以利用60度角的特性。
我们只需要将120度角的两条边之一与一个60度角的边平行，然后连接另一个60度角的两条边，就可以得到两个相等的60度角。
四、72度角72度角可以被5整除，因此它可以被划分为五个相等的部分，即14.4度角。
教资《三角形内角和》的教学设计（通用12篇）
教资《三角形内角和》的教学设计教资《三角形内角和》的教学设计（通用12篇）作为一名默默奉献的教育工作者，就有可能用到教学设计，借助教学设计可以促进我们快速成长，使教学工作更加科学化。
那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编收集整理的教资《三角形内角和》的教学设计（通用12篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
教资《三角形内角和》的教学设计篇1教学目标：1、让学生通过量、剪、拼、折等活动，主动探究推导出三角形内角和是180度，并运用所学知识解决简单的实际问题。
2、让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透"转化"数学思想。
3、在学生亲自动手和归纳中，使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。
教学重点：让学生经历"三角形内角和是180°"这一知识的形成、发展和应用的全过程。
教学难点：通过小组内量一量、折一折、撕一撕等活动，验证"三角形的内角和是180°。
"教师准备：4组学具、课件学生准备：量角器、练习本教学过程：一、兴趣导入，揭示课题1、导入："同学们，这几天我们都在研究什么知识？能说说你们都认识了哪些三角形吗？它们各有什么特点？"（生出示三角形并汇报各类三角形及特点）2、今天老师也带来了两个三角形，想不想看看？（播放大屏幕）。
"咦，不好，它们怎么吵起来了？快听听它们为什么吵起来了？""哦，它们为了三个内角和的大小而吵起来。
"（设置矛盾，使学生在矛盾中去发现问题、探究问题。
）3、我们来帮帮它们好吗？4、那么什么叫内角啊？你们明白吗？谁来说说？来指指。
你能标出三角形的三个角吗？（生快速标好）数学中把三角形的这三个角称为三角形的内角，三个内角加起来就叫内角和。
这节课我们就来研究一下"三角形的内角和"（课件片头1）"同学们，用什么方法能知道三角形的内角和？"二、猜想验证，探究规律（动手操作，探究新知）1．量角求和法证明：先听合作要求：拿出准备的一大一小的两个三角形，现在我们以小组为单位来量一量它们的内角，注意分工：最好两个人量，一人记录，一人计算，看哪一小组完成的好？（1）学生听合作要求后分组合作，将各种三角形的内角和计算出来并填在小组活动记录表中。
三角形的内角和和外角和关系(教师)
三角形的内角和与外角和关系一、考点、热点回顾：要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．二、典型例题+拓展训练：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】4，2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角 例4、 】3.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=50º，∠C=70º， 求∠DAE ．【答案与解析】解：∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°又AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD ＝12BAC ∠＝30° ∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝50º＋30°＝80°又 AE ⊥BC 于E所以∠DAE ＝90°－∠ADE ＝90°－80°＝10°举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C －∠B 的数量关系 .【答案】2C B DAE ∠-∠∠=4.如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E.求证：∠BAC >∠B.【答案与解析】证明：在△ACE中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在△BCE中，∠2 >∠B，因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________.【答案】∠A <∠2 <∠1类型三、三角形的内角外角综合5.如图所示，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【思路点拨】本题中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E不能单个地求出．因此，需进行整体求值．【答案与解析】解：连BC，由三角形的内角和为180°不难得到∠E+∠D＝∠1+∠2．∵∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACE+∠D+∠E＝180°．【总结升华】解多个角的度数和问题可以结合三角形的内角和与三角形的外角，将所求角转化到一个或几个三角形中，从而求得多个角的和．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．) 三、总结：四、课堂练习：一、选择题1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( )A．150° B．180° C．135° D．不能确定2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．(湖北鄂州)如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】(1)由∠A＝30°，可得∠AMN+∠ANM＝180°-30°＝150°又∵∠CME＝∠AMN，∠BNF＝∠ANM，故有∠CME+∠BNF＝150°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】A；6. 【答案】A；【解析】连接AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝70°+70°＝140°．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组：A-2B=702C-10180BA B C∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC＝90°+12∠A；9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为50°.10．【答案】75°；11.【答案】50°；【解析】∠PCD＝∠PBC+40°，即∠PCD－∠PBC＝40°，又PA是△ABC中∠A的外角的平分线，点P是旁心（旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点）所以180°－2∠PCD+2∠PBC+180°－2∠PAC＝180°，所以∠PAC＝50°.12.【答案】1902n︒-︒；【解析】∵∠COB=180︒-（∠OBC+∠OCB ）， 而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝1122n ACB ︒+∠，∠OCB ＝1122n ABC ︒+∠. ∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：延长BE ，交AC 于点H,易得∠BFC=∠A+∠B+∠C再由∠EFC=∠D+∠E ，上式两边分别相加，得：∠A+∠B+∠C ＋∠D+∠E ＝∠BFC ＋∠EFC ＝180°。
《三角形内角和》说课稿
《三角形内角和》说课稿《三角形内角和》说课稿范文（通用5篇）《三角形内角和》说课稿1一、说教材“三角形的内角和”是九年义务教育六年制小学四年级下册第六单元第3节的内容。
“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。
经过第一学段以及本单元的学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，已具备了一些相应的三角形知识和技能，这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的概念，打下了坚实的基础。
为方便教师领会教材编写的意图与理念，开展有效的教学，更好的发展学生的空间观念，培养学生的各种能力，教材在呈现教学内容时，不但重视体现知识形成的过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活的组织教学提供了清晰的思路。
主要体现在：概念的形成不直接给出结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流获得。
从而让学生在动手操作，积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力，不断提高自己的思维水平。
基于对教材以上的认识及课程标准的要求，我拟定本节课的教学目标为：1、知识目标：知道三角形内角和是180°。
2、能力目标：①通过学生猜、测、拼、折、观察等活动，培养学生探索、发现能力、观察能力和动手操作能力。
②能运用三角形内角和是180°这一规律解决实际问题。
3、情感目标：①让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念；②体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。
教学重点：三角形内角和是180°的实际应用。
教学难点：探索三角形的内角和是180°二、说教法新课程标准的基本理念就是要让学生“人人学有价值的数学”。
强调“教学要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
三角形内角和定理的证明
第五节三角形内角和定理的证明第六课时●课题§6.5 三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.（1）（2）（3）（4）图6－38实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）图6－41在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计§6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°图6－48已知，如图6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业巧添平行线－6.5 三角形内角和定理的证明证三角形内角和定理贵州省剑河二中杨通刚课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.图6－49证法一：如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥A B.∵CE∥AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°.图6－50证法二：如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.图6－51证法三：如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，∴∠2=∠A，又∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°.图6－52证法四：过点A作AD∥BC（如图6－52）∵AD∥BC∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.图6－53证法五：如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.参考练习－6.5 三角形内角和定理的证明图6－541.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.求证：BE ⊥AC .证明：∵AD 是高（已知） ∴∠ADB =90°（垂直的定义）∵∠ABC +∠ADB +∠BAD =180°（三角形内角和定理） ∠ABC =45°（已知）∴∠BAD =45°（等式的性质） ∵∠BAC =75°（已知）∴∠DAC =30°（等式的性质）∵∠AFB +∠AFE =180°（1平角=180°） ∠AFB =120°（已知）∴∠AFE =60°（等式性质）∵∠AFE +∠AEF +∠DAC =180°（三角形内角和定理） ∴∠AEF =90°（等式性质） ∴AC ⊥AE （垂直的定义）2.如图6－55，△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是高，求证：∠BCD =21∠A.图6－55证明：∵∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理） ∠B =∠ACB （已知）∴∠B =2180A ∠-︒=90°－21∠A∵CD 是△ABC 的高（已知） ∴∠BDC =90°∵∠BDC +∠B +∠DCB =180°（三角形内角和定理） ∴∠BCD =180°－∠BDC －∠B=180°－90°－（90°－21∠A ）=21∠A （等式的性质）§6.5 三角形内角和定理的证明班级：_______ 姓名：_______一、填空请你填一填（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3二、选择题认真选一选（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80°D.50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系图6—5—4（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）A.35°B.45°C.55°D.75°三、数学眼光看世界图6—5—5（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：图6—5—6如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.参考答案一、（1）60°（2）57.5°(3)60°(4)30°60°90°(5)∠1+∠2=∠B+∠C(6)18°二、(1)B (2)C (3)B三、（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.（2）分析：连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE 被分割成三个三角形：△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°。
三 角 形 的 内 角 和
陈省身：三角形内角和不等于180°外角和为360°作为公认的劳模，平日里，超模君不但要码字，工作之余还要监督表妹做作业，也难怪表妹成绩总是能名列前茅。
今天表妹做作业时，遇到一道判断题：“三角形的内角和等于180°”，她毫不犹豫打了勾。
超模君告诉表妹，这道题你可以打勾，但也要知道这个说法是不完全正确的。
表妹急了，怎么会呢？课本上明明说“三角形的内角和等于180°”，而且老师上课还再三强调大家一定要记住这个定理呢。
为了从小培养表妹严谨的科研精神，超模君决定给她上一课！三角形的外角和为360°我们从小就滚瓜烂熟的“三角形的内角和等于180°”这种数学常识其实是不严谨的。
我们先从伟大的华人数学家陈省身的一场讲学说起。
那是1980年，陈省身教授受邀在北京大学的一次讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于180°。
但是，这是不对的！”当时现场一片哗然，目瞪口呆，三角形内角和等于180°不是数学常识吗？怎么回事？紧接着，陈教授就大家的疑惑作出了精彩的解答：说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360°”！把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是180°；四边形内角和是360°；五边形内角和是540°；n边形内角和是（n－2）×180°。
这就找到了一个计算内角和的公式，公式里出现了边数n。
如果看外角呢？三角形的外角和是360°；四边形的外角和是360°；五边形的外角和是360°；任意n边形外角和都是360°。
这就把多种情形用一个十分简单的结论概况起来了。
用一个与n 无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。
在这次讲学中，陈教授给我们传递了一个观点：数学不是罗列更多的现象，也不是追求更妙的技巧，而是要从更普遍的、更一般的角度寻求规律和答案。
巧用三角形的外角以及三角形内角和公式的变形来解决三角形中角的有关求解与证明
巧用三角形的外角以及三角形内角和公式的变形来解决三角形中角的有关求解与证明例1：△ABC 中，若∠A －2∠B ＋∠C=0°，则∠B 的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.75°提示：在△ABC 中，有 ∠A+∠B+∠C=180°，可适当变形为∠A+∠C=180°－∠B ，而条件∠A －2∠B ＋∠C=0°，也可变形为∠A+∠C=2∠B ，所以可知180°－∠B=2∠B ，解此方程即可得到∠B=60°。
例2：如图，△ABC 中，点D 为边AC 上的一点，∠ABD=∠ADB ，求证： 2ABC CDBC ∠-∠∠=提示：在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=180°------ ①，在△ABD 中，有 ∠A+∠ABD+∠ADB=180°------ ②，由已知∠ABD=∠ADB ，可将②式变形为∠A+2∠ADB=180°------③，又因为∠ADB 是△BCD 的一个外角，所以∠ADB =∠C+∠DBC ，代入③式，②式最终变形为∠A+ 2（∠C+∠DBC ）=180°------ ④，用④－①可得2（∠C+∠DBC ）－∠AB C －∠C=0°,即2（∠C+∠DBC ）=∠AB C ＋∠C ，整理后即得2ABC CDBC ∠-∠∠=例3：已知，如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数。
（2）若∠C ＞∠B ，试写出∠DAE 与（∠C －∠B ）的数量关系。
（不需要证明）提示：(1)有三角形内角和180°，可知△ABC 中∠BAC=100°，已知AE 是∠BAC 的角平分线，所以∠EAC=50°，在△ADC 中，∠C=50°, ∠ADC=90°,有三角形内角和知∠DAC=180°－∠C －∠ADC=40°, ∠DAE=∠EA C －∠DAC=50°－40°=10°(2)由（1）的求解过程可知，要求得∠DAE 的度数，需知道∠EAC 与∠DAC 的度数，而我们知道∠DAC=180°－∠C －∠ADC=90°－∠C ，∠EAC 的度数为12180118021180212EAC BAC BAC B C EAC B C B C ∠=∠∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠∠∠︒-∠-∠︒∠∠-∠B ，而，则（），所以DAE=EAC-DAC =（）-（90-C ）=（C ） 例4：△ABC ，①如图a ，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则1902P A ∠=︒+∠②如图b ，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A③如图c ，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点,则1902P A ∠=︒-∠上述说法中正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3提示：①在△BPC 中，∠P=180°－∠PB C －∠PCB （三角形内角和），而1122111802211190222111902221118022190212PBC ABC PCB ACB P A ABC ACB ABC ACB A P ABC ACB A A∠=∠∠=∠∠=︒-∠∠∠∠∠︒∠+∠+∠=︒∠+∠=︒-∠∠=︒-∠+∠︒︒-∠︒∠，，所以（ABC+ACB ），而在ABC 中，有A+ABC+ACB=180，适当变形为，得到，所以（）=180-（）=90+ ②在ABPC 构成的“8字型”中，存在这样的关系：∠A+∠ABP=∠P+∠PCA------Ⅰ(“8字型”在我的《与三角形有关的角的几个特殊类型》一文里有详细介绍，这里不做赘述)，121212112212ABP ABC ACE ABC P A∠=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠=∠+∠∠∠∠（BP 为角平分线）------，PCA=（PC 为角平分线），而ACE=A+ABC （ACE 为外角），所以PCA=（A+ABC ）------，将和代入即得（A+ABC ）整理得P=ⅡⅢⅡⅢⅠA +③在△BPC 中,由三角形内角和知： ∠P+∠PBC+∠PCB=180°------Ⅰ， 由②的解题过程知1212121211221122CBF A ACB CBF CBF A ACB BCE A ACB A AC ∠=∠+∠∠∠∠∠∠∠∠-----∠+∠∠∠-----∠∠∠∠+∠∠∠︒∠∠+∠（为外角），BCE=A+ABC （BCE 为外角），PBC=（BP 为角平分线）=（）------，PCB=（CP 为角平分线）=（A+ABC ）------，将和代入即得（）+（A+ABC ）=180，去括号得ⅡⅢⅡⅢⅠP +P +112211122219018021902B A ACB A P A∠∠︒---∠∠∠︒∠+∠∠︒∠∠+︒=︒∠=︒-∠+A+ABC=180，而在中，有A+ABC+ACB=180，所以+ABC=90，将其代入式得P+，整理得Ⅳ△ABC Ⅳ因此答案为C 。
巧数三角形正确方法
巧数三角形正确方法
巧数三角形是一种特殊的数字排列方式，可以形成一个三角形，使得每个数字都是相邻两个数字之和。
正确方法如下：
1. 从顶部开始，选择一个数字作为第一行的起点。
2. 在下一行中，选择两个数字，使它们等于上方数字的和。
具体来说，可以选择左边和右边的数字，或者左边和左下角的数字，或者右边和右下角的数字。
3. 继续重复步骤2，直到三角形的底部。
注意，最后一行的数字可以是任何数字，不需要满足和的条件。
例如，以下是一个巧数三角形的示例：
1
2 3
4 6 9
13 15 18 22
23 28 33 40 47
在这个三角形中，每个数字都等于上方两个数字的和。
例如，数字13等于4和9的和，数字18等于9和9的和，数字28等于15和13的和，以此类推。
需要注意的是，每个数字只能使用一次。
如果在某一行中无法找到两个数字，使它们等于上方数字的和，则无法构建巧数三角形。
- 1 -。
人教版四年下数学第五单元第5课《三角形的内角和》教案
四年下数学第五单元第5课《三角形的内角和》教案教学内容教科书P65例6，完成P65“做一做”，P67～68“练习十六”第1、2、3、6题。
教学目标1.通过量、剪、拼等活动,发现并验证三角形的内角和是180°。
2.在学生动手获取知识的过程中,渗透“转化”的数学思想,培养学生的创新意识、实践能力和运用新知解决问题的能力。
3.在探究过程中积累数学活动经验,激发学习数学的兴趣。
教学重点探索和发现“三角形的内角和是180°”这一规律。
教学难点对不同探索方法进行指导，学生能灵活应用发现的规律。
教学准备课件，量角器，长方形、正方形及三角形的纸片，剪刀。
教学过程一、谈话激趣，设疑导入1.揭示“内角”和“内角和”的概念。
教师画一个三角形，提问：这是什么图形？它有什么特征？【学情预设】这是三角形，有三条边、三个角。
师：三角形的三个角,为了表达方便,分别用∠1、∠2、∠3来表示，这三个角称为三角形的内角。
你们知道这三个内角相加的和等于多少度吗?猜猜看。
【学情预设】由于绝大多数学生有相关知识经验的积累,不难说出三角形的内角和是180°。
【设计意图】明确三角形“内角”和“内角和”的概念是学生进一步探究新知的前提。
让学生大胆地“猜一猜”,激发学生探究数学的兴趣。
2.揭示课题。
师：大家猜得对不对呢？我们需要验证一下，这也是我们今天要研究的内容——三角形的内角和。
（板书课题：三角形的内角和）二、合作交流，探究新知1.探究直角三角形的内角和。
（1）师：同学们,图形之间都是有联系的,这儿有两个大家都很熟悉的图形。
教师拿出正方形和长方形并贴在黑板上。
师：你知道正方形和长方形的内角和分别是多少度吗?你是怎样算出来的呢?【学情预设】学生已经知道长方形和正方形都有四个内角，且每个内角都是直角，很快会得出:90°×4=360°。
（2）教师演示操作，学生观察。
把正方形、长方形分别沿着对角线折叠,分别得到两个完全一样的直角三角形。
巧算角的度数和周长
巧求度数和周长一、知识点：1. N边形的内角和度数：180°×（n－2）一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∠5=∠1+∠2∠3=∠4+∠6∠3与∠5互为补角(在同一平面内，如果两个不重合的角相加得180°，那么我们就称这两个角互补)2.对顶角相等内错角内错角相等两直线必平行同位角同旁内角、同位角相等两直线必平行同旁内角互补两直线必平行4. 等边三形，三条边相等，三个角相等，且为60°直角所对的边是斜边AC是斜边等腰直角三角形，斜边的高等于斜边的一半B例1：如图中七边形七个内角和是多少度？例2：已知∠1=∠2，∠3=∠4，求图中角x的度数。
例3：如图，已知∠1=37°，∠2=55°，∠3=58°。
求∠5的度数。
例4：如图，E、F分别为正方形AB边、CD边的中点，将角A和角B的顶点重合于EF上，求角x的度数.A DHE FKB C例5：图中带点的角的度数和。
例6：求出图形的周长。
例7：如图，阴影部分为正方形，图中大长方形的周长是多少米？作业：1.求图中∠1，∠2，∠3，∠4的度数和。
2.5个边长为2.5cm的正方形如图放置，求这个图形的周长。
3.角x的度数。
4.已知ABCD为正方形，三角形CDE是正三角形，求∠1的度数。
5.求图中的周长。
6.计算图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数。
7.已知一个多边形的内角和是14400°，这个多边形是几边形？8.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。
这个零件的周长是多少?9.12.大象对长颈鹿说：“我现在的年龄，等于我像你这么大时年龄的2倍，而你长到我这么大时，我俩的年龄和是65岁。
”大象和长颈鹿现在各多大了？13.已知，长方形的长是9，宽是6，求图中阴影部分周长14.试求左下图的周长(单位：厘米)。
15.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。
巧添平行线证明三角形内角和定理
巧添平行线
——证三角形内角和定理
课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B．这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证．其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明．
证法一：如图，延长BC至D，过C点作CE∥A B．
∵CE∥AB，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．
证法二：如图，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C．
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
证法三：如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F．
∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，
∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，
∴∠2=∠A，
又∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°．
证法四：过点A作AD∥BC（如图）
∵AD∥BC
∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°．
证法五：如图，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD．∵BE∥AD∥CF
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∠EBC+∠BCF=180°
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°．。
四年上册数学一等奖创新教案-四 巧手小工匠 《三角形的内角和》 青岛版
四年上册数学一等奖创新教案-四巧手小工匠《三角形的内角和》青岛版四巧手小工匠：《三角形的内角和》【学生分析】学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。
四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念，能够在探究问题的过程中，运用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。
【教学目标】学生动手操作，通过测量、撕拼、折拼的方法，探索并发现“三角形的内角和都是180度”的规律。
在探究过程中，经历知识产生、发展和变化的过程，通过交流、比较，培养策略意识和初步的空间思维能力。
体验探究的过程和方法，逐步培养学生务实求真的探究精神，感受思维提升的过程，激发求知欲和探索兴趣。
培养乐于自主学习和乐于与人合作分享的习惯。
【教学重难点】教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。
教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。
【课前谈话】师：今天，崔老师和大家一起上课高兴吗？（高兴）要想上好这节课，我们应该怎么做？生1：上课积极回答问题。
生2：注意听讲，不做小动作；生3：认真听老师讲课师：除了听老师讲，还要听谁讲？生:听学生讲。
师：倾听是学习的一种好习惯。
大家有这么多好习惯，相信大家一定能上好这节课。
有信心吗？（有）我们开始上课吧！师：上课！【教学过程】复习旧知，导入新课（课前在黑板上画一个锐角三角形）师：同学们，我们已经认识了三角形，对于三角形，你都了解了哪些知识？生：稳定性。
师：这是三角形的特性。
生：三角形有三个顶点、三条边、三个角。
师：这是三角形的特征。
生：有锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
（生说的同时，师贴这三种图形）师：这是三角形的（分类），按什么标准分的？生：按角分的。
三角形内角和定理的证明
6.5 三角形内角和定理的证明
教材与学生现实的分析
1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。
在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。
其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。
用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。
因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。
从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的
把三个内角集中在一起有很多种方法，下面提供其中的。
帕斯卡证明三角形内角和的故事
帕斯卡证明三角形内角和的故事
帕斯卡是一位法国数学家，他在17世纪时提出了一种证明三角形内角和的方法，这个方法被称为帕斯卡定理。
这个定理的证明过程非常有趣，下面就让我们一起来看看。
我们需要知道三角形内角和的公式：三角形内角和等于180度。
这个公式我们都知道，但是如何证明呢？帕斯卡的方法是通过画图来证明。
他首先画了一个三角形ABC，然后在三角形的内部画了一条直线DE，使得直线DE与边AB和边AC相交。
这样，三角形ABC就被分成了两个小三角形ADE和EDC。
接下来，帕斯卡让我们来看看这两个小三角形的内角和。
我们可以发现，小三角形ADE的内角和等于180度，因为它是一个三角形。
同样的，小三角形EDC的内角和也等于180度。
现在，我们来看看整个三角形ABC的内角和。
根据三角形内角和的公式，我们知道三角形ABC的内角和等于180度。
而根据我们刚才的分析，小三角形ADE和EDC的内角和也分别等于180度。
因此，整个三角形ABC的内角和就等于小三角形ADE和EDC的内角和之和，即360度。
通过这个简单的画图，我们就证明了三角形内角和的公式。
这个方
法非常巧妙，也非常容易理解。
帕斯卡的定理不仅可以用来证明三角形内角和，还可以用来证明其他几何定理，是一种非常有用的数学工具。
帕斯卡证明三角形内角和的故事告诉我们，数学并不是一件枯燥无味的事情，它可以充满趣味和创造力。
只要我们用心去学习，就能够发现数学的美妙之处。
巧用三角形的内角和外角解题
巧用三角形的内角和外角解题作者：周庭芬来源：《语数外学习·上旬》2013年第07期一、知识透视1.三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°.证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：（1）如图1，过点A作DE∥BC；（2）如图2，过BC上任意一点D，作DE∥AC，DF∥AB；（3）如图3，过点C作射线CD∥AB.2.外角及其性质：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图4，∠ACD=∠ABC+∠BAC.性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图4，∠ACD>∠ABC，∠ACD>∠BAC.二、问题透视例1 （2012年广东肇庆）如图5，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED =40°，则∠A 的度数为（）.A.100°B.90°C.80°D.70°分析：结合“两直线平行，同位角相等”及三角形内角和定理，把已知角和未知角联系起来，即可求出角的度数.解：因为DE∥BC，所以∠AED=∠C=40° .而∠B=60°，根据三角形内角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，∠A=180°-∠B-∠C =180°-60°-40°=80°.故选C.点评：本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质.例2 （2012年四川广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）.A.45°B.75°C.45°或75°D.60°解析：结合题意画出图形有助于解题，并且注意分类讨论.①当BC为底边时，如图6，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，而BD=DC=BC，所以AD=BD=DC.又∠ADB=90°，所以△ABC底角∠ABC=45°；图6 图7②当BC为腰时，如图7，BC=AB， AD⊥BC，AD=BC，所以AD=AB，所以∠ABC=30°，因此△ABC底角∠ACB=75°.故选C.点评：对于等腰三角形边、角的计算问题，如果题目中没有图形，注意画图，运用数形结合思想解答问题，而且等腰三角形问题往往有两种情况，应当分类讨论.例3 （2012年云南省）如图8，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°， AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）.A.40°B.45°C.50°D.55°解析：三角形的内角和是∠BAC+∠B+∠C=180°，所以∠BAC=80°；又因为AD是角平分线，所以∠CAD=40°. 故选 A.例4 （2012年山东滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形.故选D.点评：本题结合三角形内角和定理以及三个角的大小之比可求出三个角的大小.例5 已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）.A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°分析：由于题目中出现比例“1∶5∶6”，我们可设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°.根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，列方程求解即可.解：设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°. 根据题意，得x°+5x°+6x°=180°，解得x=15.所以最大内角的度数为6x°=90°.故选C.点评：出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°.例6 如图9所示，∠C=48°，∠E=25°，∠BDF=140°，求∠A与∠EFD的度数.分析：∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，无论运用哪种关系都可以求解.由∠BDF是△BCD的一个外角，且∠C已知，可求∠CBD的度数.利用∠CBD是△ABE的外角可求∠A.利用∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD.解：因为∠BDF=∠C+∠CBD，∠C=48°，∠BDF=140°，所以∠CBD=92°.因为∠CBD=∠A+∠E，∠E=25°，所以∠A=67°，∠EFD=∠A+∠C=115°.点评：求一个角的度数，首先应该弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知角有什么联系.例7 （2012年山东滨州）如图10，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= .图10解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B===80°.∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°.∵AD=DC，∴∠C===40°.点评：本题考查三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.例8 如图11所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC>∠B.分析：解答涉及角的不等关系的问题时，要想到利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的性质.要证∠BAC>∠B，由于∠BAC、∠B在同一个三角形中，没有直接的定理可用，必须通过其他的角进行转换.证明：在△ACE中，∠BAC>∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理，在△BCE中，∠2>∠B.因为∠1=∠2，所以∠BAC>∠B.点评：本题中∠1=∠2的作用非常关键，它把∠B和∠2的不等关系与∠BAC和∠1的不等关系联系起来了.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
巧求三角形内角和
七年级九班
摘要：巧求三角形内角和的方法、例题，让同学们知其然，更知其所以然。
“三角形的内角和是多少度？”
“180°．”
“怎么想到？”
“可以动手实验一下：把三角形的三个角撕下来，凑在一起，恰好构成一个平角．”
上面的方法很好．它提醒我们：实验一下，不失为探索某些数学问题的一种方法．
一说到实验，人们容易想到动手是必不可少的．其实，还有一种实验，却丝毫不用动手，那就是“思维实验”，即仅凭脑子想象的实验．历史上，不少大科学家(如伽利略、爱因斯坦)都曾成功地运用过这种方法．对于△
ABC，我们可以做如下思维实验：将顶点A沿图中箭头方向BC压去．在A不断靠近BC的过程中，∠B、∠C逐渐减小，越来越接近0°；∠A逐
渐增大，越来越接近180°．一旦A落到BC上，则∠B、∠C均变为0°，∠A则变为180°．在此特殊的“△ABC”中，其内角和恰为180°.
这一过程，使我们有理由猜测：△ABC的内角和应为180°．不难证明，这一猜测是正确的．其实，在图形变化过程中，问题的本质(三角形内角和)并没变化，所以其结论的正确应是在意料之中的．
“想”，是最重要的学习方法．让我们从上述的“实验”继续想下去：不采取把A压向BC的方法，可以吗？可以！比如，A，B不动，把C沿BC方向拉向无穷远．结果．形成AC∥BC的局面．这时，∠CAB与∠ABC 成为同旁内角，∠ACB变成了0°，三者之和仍为180°．再想：还可以有别的变法吗？有！在这里，“想象”有极其广阔的天地可以驰骋！请你自己试试．
关于“三角形内角和”的探讨告一段落之后，自然还应该“想”：此招能否推广到四边形、五边形，以至其他图形？经过不太复杂的实验，你会发现：行！下面举几个例子．
例1 图2中，凸四边形ABCD的内角和是多少？
将B、C都压到AD所在直线上，则∠A、∠C变为180°，∠B、∠D均变为0°．它们的和为360°，与其他方法得到的结论一致．如果把A、C都压到直线BD上，可以吗？可以.
对于其他凸多边形的情况，同样可以照此办理．
例2 图3中，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之和是多少？
将AC、AD变化，使之重合(如图4)．从图4可知，∠1变成0°，而∠2+∠3+∠4+∠5=180°．所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．若将A，C，D三点均压到BE上，同样可以得到这一结论．
例3 图5中，∠1+∠2+…+∠7的度数是[ ]
A．450°B．540°C．630°D．720°
解法1 7个角的度数，可由△ABC的内角和，加上四边形CDEF及BGHP的内角和，再减去两个平角∠ABG与∠ACF，即
180°+2×360°-2×180°= 540°．
故应选B．
解法2 将图形压缩到FE所在直线上，则∠3，∠5，∠4，∠7均变成0°．而∠1，∠2，∠6均变成180°．故7个角的和为540°，应选(B)．例4 平面上的6个点A，B，C，D，E，F构成如图6所示图形．那么，有“·”的6个角的和是[ ]
A．180°B．360°
C．540°D．上述(A)(B)(C)都不对．
解法1 所求6个角的和等于△ABG、△CDI、△EFH的内角和，减去△GHI的内角和．所以，其度数为
3×180°-180°=360°．
故应选(B)．
解法2 将图形压缩到CD直线上，则∠A、∠D、∠C、∠F均变成0°，而∠B、∠E均变成180°．所以，总和为4×0°+2×180°=360°．应选(B)．
看来，这种方法，灵！欣赏，是学习的一个重要阶段，但欣赏之余，仍然应该不停地“想”！比如，想到“想象”威力之巨大．今后学习中，
要有意识地多运用一下“想象”，多搞点“思维实验”．比如，想到自己用过的行之有效的招”，要努力把它一般化，使之成为一种方法，用在其他的地方．比如，更一般来看，想到这实际是特殊化方法的运用，而且是一种利用“极端”的特殊化方法．比如，想到这种方法的特点在于抓住了“变中的不变”．即图形变了但其内角和并没变．由此，似乎可以悟到数学乃是一种研究变中之不变的学问．比如，……当然可以想得很多，而且应该想得很多．事实早已证明：谁想得更多，谁将学得更好．同学们，努力地去想吧！。