平行四边形中常用辅助线的添法

22
4
= - 3 3x2 + 15 3x.
16
4
三 、连接对角线交点与一边中点 ,或过对角
线交点作一边的平行线 , 构造线段平行或中位
线
例 5 如图 5, AB CD 中 , N 是 AB 中
点 , B E = 1 B C, N E 与 3
BD 交于 F求 B F 的值.
BD
简解 : 作 AC 交 BD 于 O , 连 ON. 由 图 得
简解 :过 D作 D F ⊥B E 于 F. 由题意得 ∠D EB = 60°,
所以
DF
= D E sin60°=
3 2
b,
B
E
= 2b,
则 CE = B E - B C = 2b - a,
所以 S△DCE
=
1 D F·C E = 2
3b(2b 4
a).
例 4 如 图 4,
AB CD 的周长为 40,
AC - CE < A E < AC + CE,
即
1 2
(b
-
c)
<m
<
1 2
(2a
+ b + c) .
二 、过顶点作对边的垂线构பைடு நூலகம்直角三角形
例 3 如图 3, AB CD 中 , ∠DB C = 30°, D E ⊥ DB 交 B C 的延长线于 E, AD = a, D E = b. 求 S△DCE.
= a, B C = b, B F = c.
求 B E长. 简解 :作 OG ∥ CB 交 AB 于 G. 因为 O是 AC
·5·
数理化学习
中点 ,所以 O G = 1 B C = 1 b.
2
2
又 B E = B F,
OG GF
所以 B E
= O G·B F
=
1 b·c 2
=
bc .
GF
1 a + c a + 2c
= ( 20 - x) ·sin60°
= 3 (20 - x). 2
因为 AD ∥ B C,
所以 BM
AD
= BE ED
=
1 2
,
DN BM
= DF BF
=
1 2
,
所以 BM
=
1 2
x,
DN
=
1 2
BM
=
1 4
x,
AN
=
3 4
x,
则 S△AMN
= 1 AH ·AN 2
= 1 · 3 ( 20 - x) · 3 x
= AB.
例 8 如 图 8, AB CD 中 , E、F分别是 DC、DA 上 一 点 , A E = C F, A E与 C F交于 P. 求 证 PB 平分 ∠A PC.
简证 :连 B E、B F. 由图易证得
S△AB E
= S△CB F
=
1S 2
. AB CD
过 B作 B H ⊥CF、B G ⊥A E,垂足分别为 H、G.
(初三 )
中 , 对角线 AC、BD 交于 O ,
AC = a + b, BD = a + c ( b >
c) , AB = m ,求 m 的取值范 围.
简解 :要求 AB 的值 , 需把 AC、BD、AB 集中 在一个三角形中 ,过 C作 CE ∥DB交 AB的延长 线于 E. 由图易得 DB EC是 ,
所以 C E = DB = a + c, B E = D C = AB = m , 即 A E = 2m ,在 △AC E中 ,
ON 1 B C. 2
因为 B E = B F, B E = 1 , ON = 1 , ON O F B C 3 B C 2
所以 B E = 2 ,所以 B F = 2 ,
ON 3
OF 3
所以 B F = 2 ,则 B F = 1 . BO 5 BD 5
例 6 如图 6, AB CD中 , O是对角线 交点 , F是 AB 延长线上 一点 , O F交 B C于 E, AB
1 xy. 2
如果线段 PQ能平分梯形 AB CD的面积 ,则
有 1 xy = 9. 2
可得 x + y = 9, xy = 18.
解得 x = 3, ( x = 6, y = 3舍去 ) . y = 6;
( b) 当 4 ≤ x ≤ 7时 ,点 P在 D C边上 ,此时
SAD PQ
=
1 2
×4 ( x - 4 + y) .
如果线段 PQ能平分梯形 AB CD的面积 ,则
有
1 2
×4 ( x - 4 + y)
= 9,
可得 x + y = 9, 此方程组无解. 2x + 2y = 17.
所以当 x = 3 时 , 线 段 PQ 能 平 分 梯 形 AB CD 的面积.
综上所述 ,今年的几何试题具有形式新 ,问 题情境新 , 表达方式新 , 设问角度新 , 命题立意 新 ,解题方法新 , 思想方法新等特点 , 且难度适 中 ,能适应于各种层次的学生 ,有效地考查了学 生的创新精神和实践能力.
因为 S△AB E
=
1 2
A
E
·B
G,
S△CB F
=
1 C F·B H, 2
所以 B G = B H,所以 B 点在 ∠A PC的角平
·6·
分线上 ,则 PB 平分 ∠A PC. 五 、过顶点作对角线的垂线 ,构成线段平行
或三角形全等
例 9 如图 9, E 是 AB CD对角线 BD 上一点 , EF ⊥ B C, EG ⊥BA,垂足分别为 F、
G. 求证 : EF = EG.
AB B C
简证 :作 AH ⊥ BD 于 H, C K ⊥ BD 于 K,易 得 AH C K,连 A E、CE.
因为 S△A ED
= 1 AH ·ED , 2
S△CED
= 1 C K·ED, 2
所以 S△A ED = S△CED . 又 S△ABD = S△CBD , 所以 S△A EB
数理化学习
解 : ( 1) 过 C作 C E ⊥AB 于 E,则 CD = A E = 3, C E = 4,可得 B C = 5,所以梯形 AB CD 的 周长为 18.
PQ 平分 AB CD 的周长 ,所以 x + y = 9, 因为 0 ≤ y ≤ 6,所以 3 ≤ x ≤ 9, 所求关系式为 : y = - x + 9, 3 ≤ x ≤ 9. ( 2) 由图 7可知 , P只 能在 B C边上 , 7 ≤ x ≤ 9.
以 AH
= AO
=
1 2
A
C.
因为 A E = AC,
所以 AH = 1 A E, 2
所以在 R t△AH E中 , ∠A EH = 30°. 又因为 A EFC为菱形 , 所以 ∠AC F = ∠A EF = 30°. 又 ∠B C F = ∠ACB - ∠ACF = 45°- 30° = 15°,则 ∠A EB = 2∠B C F.
一 、连对角线或平移对角线 例 1 如 图 1, E 是 AB CD 中 AB 延长线上一 点 , ED 交 B C 于 F. 求证 :
S△AB F = S△CEF.
简证 : 连 BD, 由图易 得 S△BD E = S△B CE (同 底 等
·4·
2008年第 2期
高 ) , S△AB F = S△BD F (同底等高 ) 所以 S△BD E - S△B EF = S△B CE - S△B EF , 所以 S△BD F = S△ECF , 即 S△AB F = S△CEF. 例 2 如图 2, AB CD
2
四 、连接顶点与对边上一点的线段或延长
这条线段 ,构造三角形相似或等积三角形 例 7 如图 7,正方
形 AB CD中 , E、F分别为 CD、DA 的 中 点 , B E、C F 交于 P. 求证 A P = AB.
简证 : 延长 CF 交 BA 的延长线于 G.
因为 FD = FA,易得 △CD F ≌ △GA F, 所以 AG = CD = AB ,则 A 为 B G中点. 又 C E = D F, CB = CD, 所以 R t△B C E ≌ R t△CD F, 所以 ∠1 = ∠2. 因为 ∠1 + ∠3 = 90°, 所以 ∠2 + ∠3 = 90°, 所以 ∠CPB = 90°,所以 ∠B PG = 90°. 则 PA 是 R t△B PG的斜边上中线 ,所以 A P
(初三 )
平行四边形中常用辅助线的添法
江苏省昆山市周庄中学 ( 215325) 徐卫东 江苏省昆山市张浦中学 ( 215321) 刘建英
平行四边形 (包括矩形 、正方形 、菱形 ) 的 两组对边 、对角和对角线都具有某些相同性质 , 所以在添辅助线方法上也有共同之处 , 目的都 是造就线段的平行 、垂直 , 构成三角形的全等 、 相似 ,把平行四边形问题转化成常见的三角形 、 正方形等问题处理 ,其常用方法有下列几种. 举 例简解如下.
PB = 12 - x, BQ = 6
- y,
因为 PQ ∥ AC, 所以 △B PQ ∽ △B CA,
所以 B P = BQ ,得 12 - x = 6 - y,
BC BA
5
6
即 6x - 5y = 42,
解方程组 x + y = 9, 6x - 5y = 42
得 x = 8171, y = 1121. ( 3) 梯形 AB CD 的面积为 18. 当 P不在 B C边上 ,则 3 ≤ x ≤ 7, ( a) 当 3 ≤ x < 4时 , P在 AD边上 , S△APQ =