三角形常见辅助线练习题
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。
全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)
全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一 倍长中线法辅助线添法二 截长补短法辅助线添法三 旋转法辅助线添法四 作平行线法辅助线添法五 作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。
全等三角形经典题型辅助线
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知:如图6,△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形,且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系： 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D 。
求证：2BD CD =证明:延长DC 到E ，使得CE=CD ，联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例 4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证:2AC AE =。
证明:延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图,△ABC 中,BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线"的辅助线包含的基本图形“八字型"和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)
等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案）AB=AC,AF 平行BC 于F , D 是AC 边上任意一点，延长 BA AF 与DE 的位置关系，并说 明理由•/ AB=AC , AE=AD B= / C , / E= / ADE•••/ B+ / E= / C+ / CDG •// B+ / E= /DGC , •••/ BGE= / CGD=90 •• EG 丄 BC . •/AF // BC解法2：过A 点作△ ABC 底边上的高，再用/ BAC= / D+AED= / 2/ ADE,即/ CAG= / AED,证明 AG // DE 利用 AF // BC 证明AF 丄 DE3.如图，△ ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点， DF 丄AC 交BC 于E,求证：△ DBE是等腰三角形。
证明：在 △ ABC 中，•/ BA=BC ,•••/A= / C , •/ DF 丄 AC ,/ A+ / D=90 , •••/ FEC= / D v/ FEC= / BED ,BED= / D ,是等腰三角形.4.如图，△ ABC 中，AB=AC,E 在AC 上，且 AD=AE,DE 的延长线与 DF 丄 BC.证明：v AB=AC ,•••/ B= / C , 又 v AD=AE , ••/ D= / AED ,•••/ B+ / D= / C+ / AED , •••/ B+ / D= / C+/ CEF , •••/ EFC= / BFE=180 X 1/2 = 90 , • DF 丄 BC; 若把“AD =Ae 与结论“DFL BC ”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC 与结论“ DFL BC ”互换，结论依然成立。
5. 如图，AB=AE,BC=ED, / B= / E,AM 丄 CD, A 求证：CM=MD.证明：连接AC,AD•/ AB=AE, / B= / E,BC=ED ••△ ABC ◎△ AED(SAS)1.如图：已知，点 D 、E 在三角形 ABC 的边BC 上, 证明：作AF 丄BC ,垂足为 又••• AF 丄 BC , AF 丄 DE , 互相重合）。
三角形常见辅助线练习题
三角形常见辅助线作法练习题１如图:D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD ＋DE+CE 、2如图:已知D 为△ABC 内得任一点,求证:∠ＢDC>∠ＢA Ｃ。
3如图:已知AD 为△ABC 得中线,且∠1＝∠2,∠３＝∠４,求证:B Ｅ＋CF>EF4如图:ＡD 为 △ABC 得中线,求证:AB+AC>2AD5已知△ＡBC,A Ｄ就是B Ｃ边上得中线,分别以AB 边、AＣ边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证ＥＦ=2AD 。
6如图:在△ＡB Ｃ中,AB>AC,∠1=∠２,P 为A Ｄ上任一点、求证:ＡB －ＡC ＞ＰＢ-PC 。
7如图:在Ｒｔ△A ＢC 中,A Ｂ=AC,∠B ＡC=9０°,∠1＝∠２,CE ⊥B Ｄ得延长于E 。
求证:ＢＤ＝2ＣEA BCDE F21 B A C DF2 1 E８已知:AB=４,AC ＝2,D 就是BC 中点,A Ｄ就是整数,求AD9已知:B Ｃ＝DE,∠Ｂ=∠E,∠C ＝∠Ｄ,F 就是CD 中点,求证:∠1＝∠２10已知:∠１=∠2,CD=ＤＥ,ＥF/／AB,求证:EF=AC11已知:AD 平分∠ＢAC,AC=ＡB+B Ｄ,求证:∠B=2∠Ｃ12已知:ＡC 平分∠BA Ｄ,ＣE ⊥AB,∠B ＋∠D=１80°,求证:AE=A Ｄ+ＢＥ13、 如图,四边形A ＢＣD 中,ＡB ∥D Ｃ,ＢＥ、CE 分别平分∠ＡBC 、∠BCD,且点E 在AD 上。
求证:B Ｃ＝AB+DC 、1４。
如图,已知∠Ａ=∠D,ＡB ＝D Ｅ,AF ＝ＣD,ＢＣ=EF 、求证:BC ∥EF15:如图,ΔABC 中,AB=AC,E 就是AB 上一点,F 就是AC 延长线上一点,连ＥF 交BC 于Ｄ,若ＥB=C Ｆ。
求证:D Ｅ＝D Ｆ。
16:△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠ＢAC 交ＢC 于P,BQ 平分∠AB Ｃ交AC 于Q,求证:AB+BP ＝BQ+AQ 。
初中几何全等三角形常见辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。
求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。
平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。
是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。
求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
中考专题之与三角形有关的辅助线
第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似 并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。
三角形全等之辅助线——截长补短经典习题
三角形全等之截长补短一、知识点睛截长补短：题目中出现线段间的和差倍分时，考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．二、精讲精练（可以尝试用多种方法）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．21D CB A 21D CB A F EA BDCF EAB DC21D CB A AEBD COA EBD CO- 2 -4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE =21BD ．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．6.如图，△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：ABCDEAB CDEB F CE DA B F C E D A。
专题05 全等三角形中的常见辅助线强化练习(举一反三)
专题05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】【人教版】【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点2 截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【考点3 延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【考点4 倍长中线法构全等】【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点，且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∥AB．【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【考点5 作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D在AB边上，CD＝CB，则△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）两个友好三角形全等．（从下面选择一个正确的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求证：DF＝EF．（3）如图3，CE是△ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F，CF＝AE，DF＝DC，图中与△ACE 成友好三角形的是．【变式5-1】（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC 交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）【考点6 旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
辅助线——全等三角形专题训练
辅助线——全等三角形专题训练点G连接B，交MN于点H，连接DH，因为∠ABC为外角，所以∠ABH=∠ABC/2。
又∠HMD=90度，所以∠XXX=90度-∠ABH，即∠DMH=∠ABC/2。
因为∠XXX∠ABH，所以∠DGM=∠ABC/2，又因为∠DGM=∠MBN。
所以∠XXX∠ABC/2，所以∠NMB=90度-∠ABC/2，所以∠XXX∠NMB-∠DMH=90度-∠ABC/2-∠ABC/2=90度-∠ABC。
又因为∠MDN=90度，所以∠XXX=90度-∠MDN=∠ABC。
所以∠XXX∠XXX-∠XXX∠ABC-(90度-∠ABC)=2∠ABC-90度。
因为∠DGH=∠ABH=∠ABC/2，所以∠XXX∠DGM，所以DM=MN。
在等腰三角形ABC中，顶角A的度数为20度。
在边AB 上取点D，使得AD=BC。
求角BDC的度数。
解析：以AC为边向外作正三角形ACE，连接DE。
在三角形ABC和三角形EAD中，AD=BC，AB=EA，∠EAD=∠BAC+∠CAE=20+60=80=∠ABC。
因此，三角形ABC≌三角形EAD。
由此可得ED=EA=EC，因此三角形EDC 是等腰三角形。
由于∠AED=∠BAC=20度，因此∠CED=∠AEC-∠AED=60-20=40度。
从而∠DCE=70度，∠DCA=∠DCE-∠ACE=70-60=10度，因此∠XXX∠DAC+∠DCA=20+10=30度。
另解1：以AD为边在三角形ABC外部作等边三角形ADE，连接EC。
在三角形ACB和三角形CAE中，∠CAE=60度+20度=∠ACB，AE=AD=CB，AC=CA，因此三角形ACB≌三角形CAE，从而∠CAB=∠ACE，CE=AB=AC。
在三角形CAD和三角形CED中，AD=ED，CE=CA，CD=CD，因此三角形CAD≌三角形CED，从而∠ACD=∠ECD，∠XXX∠ACE=2∠ACD，因此∠ACD=10度，因此∠BDC=30度。
直角三角形辅助线练习题
直角三角形辅助线练习题一、作辅助线构造直角三角形1. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(4,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作点C的坐标。
2. 已知线段AB=6cm，点C在AB上，且AC=4cm，在平面直角坐标系中，求作点C的坐标。
3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，求作一条高线，使其将直角三角形分为两个面积相等的部分。
二、利用直角三角形辅助线解题4. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，求作一条角平分线，使其将直角三角形分为两个面积之比为1:3的部分。
5. 在直角三角形DEF中，∠F=90°，DE=8cm，EF=6cm，求作一条中线，使其将直角三角形分为两个面积相等的部分。
6. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(8,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作一条高线，使其将直角三角形ABC分为两个面积相等的部分。
三、综合运用直角三角形辅助线7. 在直角三角形XYZ中，∠Z=90°，XZ=10cm，YZ=6cm，求作一条角平分线，使其将直角三角形分为两个面积之比为2:3的部分。
8. 在直角坐标系中，点P(0,0)，点Q(8,0)，点R在y轴上，且∠PRQ=90°，求作一条中线，使其将直角三角形PQR分为两个面积相等的部分。
9. 在直角三角形MNO中，∠O=90°，MO=9cm，NO=12cm，求作一条高线，使其将直角三角形分为两个面积之比为3:4的部分。
10. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(5,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作一条角平分线，使其将直角三角形ABC分为两个面积相等的部分。
11. 在直角三角形STU中，∠U=90°，ST=15cm，UT=8cm，求作一条中线，使其将直角三角形分为两个面积之比为4:5的部分。
三角形辅助线专题训练
全等三角形的专题训练一、 与2倍，二分之一倍线段有关1.（2016重庆）在△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ．延长DA 至E ，使AE=AF ，连接EG ，DG ，且GE=DF ． 证明：CG BD 21=2.（2017•重庆）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF ．3.（2017一中二模）Rt ABC Δ中，90BAC ∠=o ，以AC 为边向外作ACD Δ，F 为BC 上一点，连结AF 。
如图2，若AB AC =，延长DC 交AF 延长线于H 点，且90,AHD BCH CAD ∠=∠=∠o ，连结BD 交AF 于M 点。
求证：2CD MH =。
4.（2017育才三模）已知等腰Rt ∆ABC 与等腰Rt ∆CDE ，∠ACB =∠DCE =90°.把Rt ∆ABC 绕点C 旋转.当Rt ∆ABC 旋转到如图2所示的位置时，过点C 作BD 的垂线交BD 于点F ，交AE 于点G ，求证：BD =2CG.5.（2017巴蜀一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AC 上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE 交BD于点F，连接CF。
若点D为AC的中点，求证：CF=2CD6.（2017一中模拟）在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE使BE=CD，连接DE交BC于点F。
全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常见辅助线精典题型This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系 3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。
4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .5、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．6、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．7、如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.8、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE二、全等与角度NEB M ADDO ECBAMDCBANMDCBAED CBACEDBA1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.2、如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.3、 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.4、如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.5、如图：在ABC ∆内取一点M ，使得MBA ∠=30，10MAB ∠=.设80ACB ∠=，AC BC =，求AMC ∠.6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系如是正五边形，正六边形呢参考答案：一、截长补短1、BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，NMCBA4321FD OE CBA∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．2、DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．3、过点D 作BC 的垂线，垂足为E .∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60°∵DM =CM ∴CD =DM∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75°∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .4、延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .E MDCBAM F EDCB A∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM∴∠AMB =∠EAM ∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .5、因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌， 则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠． 6、如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.EABC DM N因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.7、如图所示，作BED ∠的平分线交BC 于F ，又过A 作AH EF ∥交BE 于G ，交BC 于H ，则知12EAG DEF BEF AGE BAC ∠=∠=∠=∠=∠，从而GE AE =.又12AGE BED CED ∠=∠=∠，则AGB CEA ∠=∠.由ABE BAE BED BAC CAE BAE ∠+∠=∠=∠=∠+∠可得ABG CAE ∠=∠. 注意到AB CA =，故有ABG CAE ∆∆≌，从而BG AE =，AG CE =，于是BG GE =.又由AH EF ∥，有BH HF =，12GH EF =，且AH HDEF FD=. 而CED FED ∠=∠，从而1122CD EC AG AH GH AH HD FD EF EF EF EF FD -====-=-， 即1111122222CD HD FD HF FD BF FD BD =-=+=+=，故2BD CD =.8、延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEFGH F ED CB A∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长AB至E使BE BD=，连接ED、EC.由AC AB BD=+知AE AC=，而60BAC∠=，则AEC∆为等边三角形.注意到EAD CAD∠=∠，AD AD=，AE AC=，故AED ACD∆∆≌.从而有DE DC=，DEC DCE∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE∠=∠=，602080ABC BEC BCE∠=∠+∠=+=【另解】在AC上取点E，使得AE AB=，则由题意可知CE BD=.在ABD∆和AED∆中，AB AE=，BAD EAD∠=∠，ABD EFCED C BAED C BAAD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、MKP ∆均为正三角形. 因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒，则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒， 故PN KN =. 从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒3、如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =， 则ADC BDC ∆∆≌，故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，因此BDE BDC ∆∆≌， 故30BED BCD ∠=∠=.4、在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=. 如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ，则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=，301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒DECBAOD MCA B而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌，故OB OM =.由于120BOM ︒∠=，则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒，故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=5、如图所示，ABC ∆的高CH 与直线BM 交于点E ，则AE BE =. 而301020EAM EAB MAB ∠=∠-∠=-=，1402ACE ACB ∠=∠=，(9040)3020EAC CAH EAB ∠=∠-∠=--=，103040AME MAB MBA ∠=∠+∠=+=，由两角夹一边法则可知AME ACE ∆∆≌， 因此AM AC =，6、DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．EHABCMNCDEB M A。
全等三角形作辅助线经典例题
全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．A一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是_________.B DC 2：如图，△ ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE⊥DF，D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大A 小.EFBD CAB D E C3：如图，△ ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分∠ BAE.中考应用1 、以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 ,连接 DE ，M、N 分别是 BC、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（ 1 ）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM 与 DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90) 后，如图②所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．A二、截长补短1. 如图，ABC中， AB=2AC，AD平分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥AC CBDA D2：如图， AD∥ BC， EA,EB 分别平分∠ CAB,∠ DBA， CD过点 E，求证 ;AB＝ AD+BCEBC 3：如图，已知在VABC内，BAC0 C 40 0，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，60 ，ABQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。
三角形中的常用辅助线
三角形中的常用辅助线例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE 垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。
2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。
例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
全等三角形之辅助线(习题及答案)
1⎩全等三角形之辅助线（习题）➢ 例题示范例 1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是 AB 边上一点， AD =AC ，过点 D 作 DE ⊥AB ，交 BC 于点 E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】读题标注：梳理思路：要证 CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等， 利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接 AE ，证明 △ACE ≌△ADE ．【过程书写】 证明：如图，连接 AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE在 Rt △ACE 和 Rt △ADE 中 ⎧ AE = AE ⎨AC = AD （公共边） （已知） ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等）2过程规划：1. 描述辅助线：连接 AE2. 准备条件：∠C =∠ADE =90°3.证明△ACE ≌△ADE4. 由全等性质得，CE =DE11. 已知：如图，B，C，F，E 在同一条直线上，AB，DE 相交于点G，且BC=EF，GB=GE，∠A=∠D．求证：DC=AF．➢巩固练习2.已知：如图，∠C=∠F，AB=DE，DC=AF，BC=EF．求证：AB∥DE．2 过程规划：过程规划：3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F 分别是AD，BC 的中点．求证：BE=DF．4.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点E，F 分别在AB，BC 上，且AE=BF，AF 交DE 于点G．求证：DE⊥AF．36. 如图，C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN，交CM 于点E，连接BM，交CN 于点F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ACE≌△MCF；③CE=CF；④EN=FB．其中正确结论的序号是．45. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC ，AC与BD 相交于点O，过O 作EF 交AD 于点E，交BC 于点F，则图中的全等三角形共有（）A．5 对B．6 对C．7 对D．8 对➢思考小结1. 根据本章知识结构图回答下列问题：（1）补全知识结构图．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在的三角形；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．（3）要证明两个三角形全等需要准备组条件，这三组条件里面必须有；SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形相等，相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具．5⎨⎩⎨⎩【参考答案】➢巩固练习1.证明：如图，过点G 作GH⊥BE 于点H∵GH⊥BE∴∠GHB=∠GHE=90°在Rt△GHB 和Rt△GHE 中，⎧GB =GE（已知）⎨⎩GH =GH（公共边）∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL）∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）∵BC=EF∴BC+CF=EF+CF即BF=EC在△ABF 和△DEC 中，⎧∠A =∠D（已知）⎪∠B =∠E（已证）⎪BF =EC（已证）∴△ABF≌△DEC（AAS）∴DC=AF2.证明：如图，连接BE在△AEF 和△DBC 中，⎧AF =DC（已知）⎪∠F =∠C（已知）⎪EF =BC（已知）6⎨⎩⎨⎩⎨⎩∴△AEF≌△DBC（SAS）∴AE=DB（全等三角形对应边相等）在△ABE 和△DEB 中，⎧AE =DB（已证）⎪AB =DE（已知）⎪EB =BE（公共边）∴△ABE≌△DEB（SSS）∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等）∴AB∥DE3.证明：如图，连接BD∵AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD在△ABD 和△CDB 中，⎧∠ABD =∠CDB（已证）⎪BD =DB（公共边）⎪∠ADB =∠CBD（已证）∴△ABD≌△CDB（ASA）∴AD=CB（全等三角形对应边相等）∵E，F 分别是AD，BC 的中点∴DE=BF在△BED 和△DFB 中，⎧DE =BF（已证）⎪∠ADB =∠CBD（已证）⎪BD =DB（公共边）∴△BED≌△DFB（SAS）∴BE=DF（全等三角形对应边相等）4.证明：如图，7⎪⎩在△DAE 和△ABF 中 ⎧ AD = BA （已知） ⎨∠DAE =∠B （已知） ⎪ AE = BF （已知） ∴△DAE ≌△ABF （SAS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∵∠DAB =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD =90° ∴DE ⊥AF 5.B6. ②③④ ➢ 思考小结1.（1）SAS ，SSS ，ASA ，AAS SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL 相等； 相等． （2）全等（3）3，边；AAA 反例：大小三角板；SSA 反例：作图略 （4）对应边，对应角．8。
专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)
专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。
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三角形常见辅助线作法练习题
1如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.
2如图：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。
3如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF
4如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD
A B C D E
A
B C D
E F G A B C
D E F 123
4
A B C D
5已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形， 求证EF ＝2AD 。
6如图：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
求证：AB －AC ＞PB －PC 。
7如图：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。
求证：BD ＝2CE
8已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
9已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
A B C D E
F
A
B
C
D P 1
2D
A E 12 A
D
B
C
B
A C
D
F
2 1 E
10已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC
11已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C
12已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
14．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF
C
D
B A
15：如图，ΔABC 中，AB=AC ，E 是AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，连EF 交BC 于D ，若EB=CF 。
求证：DE=DF 。
16：△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。
17．如图5，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD ．
18．如图4，在△ABC 中，AC=BC ，∠B=90°，BD 为∠ABC 的平分线．若A 点到直线BD 的距离AD 为a ，求BE 的长．
D
A
C
B。