三角形常用辅助线

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相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“ A “ X 型例1:如图，D 是厶ABC 的 BC 边上的点，BD DC=2 1，E 是AD 的中 BE EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,贝U ••• PE=EF BP=2PF=4E 所以 BE=5EF ： BE: EF=5 1.解法二：过点 D 作BF 的平行线交AC 于点Q, ••• BE EF=5: 1. E 作BC 的平行线交AC 于点S , E 作AC 的平行线交BC 于点T ,BCC 边上的点',，BD DC=2 1, E 是 AD 的中点,求AF: CF 的值.D 作CA 的平行线交 D 作BF 的平行线交E 作BC 的平行线交 E 作AC 的平行线交 ABC 的 AB 边和AC 边上各取一点D 和使 AD= AE, DE 延长线与BC 延长线相交于F ,求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例 3:女口图，△ ABC 中, ABvAC 在 AB AC 上分别截取 BD=CE DE, BC 长线相交于点F ,证明：AB- DF=AC EF. 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

• 方法一：过E 作EM//AB,交BC 于点M 则厶EM OAABC （两角等，两三角形相似）•方法二:过D 作DN//EC 交BC 于 N.解法三：过点解法四：过点 BE _BT ；点，求: 变式:T 如'图，D 是厶ABC 的F, 过点过点过点过点解法一解法二解法三解法四例2:如图，在△ 和厶EFB 相似, ••• BE EF=5 1. 连结BE 并延长交AC 于BF 于点 AC 于点 AC 于点BC 于点 P, Q s,T ，应边成比代换例4:在厶ABC 中, D 为AC 为CB 延长线上的一点， AB 于 F 。

三角形中常用的辅助线

三角形问题的常用辅助线作法一、由角平分线想到的辅助线（一）、截取构全等（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

图4-2图4-1ABC BIG二、由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（三）、由中点应想到利用三角形的中位线（四）、直角三角形斜边上的中线性质三、全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：（一）、截长补短：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（二）、借助角平分线造全等：可自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（三）、倍长中线（线段）造全等：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（四）、平移变换：过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”（五）、旋转（六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．（七）、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）三角形问题的常用辅助线作法一、由角平分线想到的辅助线（一）截取构全等例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点DC B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆EDCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°PQCBA∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ）故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

三角形中的常用辅助线方法总结

数学：三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难,难点就在辅助线;辅助线,如何添把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;全等三角形辅助线找全等三角形的方法：1可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段或两个角分别在哪两个可能全等的三角形中；2可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等；3可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等；4若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形;三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折,构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形;常见辅助线的作法有以下几种：1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”;例1：如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE 垂直于BD,交BD的延长线于点E;求证：BD=2CE;思路分析：1题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2解题思路：要求证BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有BD平分∠ABC 的条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来;解答过程：证明：延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE;又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3;在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE;解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它是解决问题的关键;2若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”;例2：如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线;求证：ΔABC 是等腰三角形;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识;2解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证;解答过程：证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE;又因为AD是BC边上的中线,∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形;解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形;3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理;例3：已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD;求证：∠B+∠ADC=180°;思路分析：1题意分析：本题考查角平分线定理的应用;2解题思路：因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题;解答过程：证明：作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F;∵AC平分∠BAD,∴CE=CF;在Rt△CBE和Rt△CDF中,∵CE=CF,CB=CD,∴Rt△CBE≌Rt△CDF,∴∠B=∠CDF,∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°;解题后的思考：①关于角平行线的问题,常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线;4过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC 于D,若EB=CF;求证：DE=DF;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线;2解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决;解答过程：证明：过E作EG//AC交BC于G,则∠EGB=∠ACB,又AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,∴EB=EG=CF,∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,∴DE=DF;解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC 交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线;2解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ;形势较为复杂,我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证;可过O作BC的平行线;得△ADO≌△AQO;得到OD=OQ,AD=AQ,只要再证出BD=OD就可以了;解答过程：证明：如图1,过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=OB,∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ;解题后的思考：1本题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长法”;2本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下：①如图2,过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO从而得以解决;④如图5,过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP从而得以解决;小结：通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形;而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构造的全等三角形在转移线段中的作用;从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形;5截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明;这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目;例6：如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB;求证：CD=AD+BC;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法;2解题思路：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的;解答过程：证明：在CD上截取CF=BC,如图乙∴△FCE≌△BCESAS,∴∠2=∠1;又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4;在△FDE与△ADE中,∴△FDE≌△ADEASA,∴DF=DA,∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC;解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段;1对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证明;2在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明;小结：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;线段垂直平分线,常向两端把线连;线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角形;三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;同步练习答题时间：90分钟这几道题一定要认真思考啊,都是要添加辅助线的,开动脑筋好好想一想吧加油你一定行1、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=DC,BD平分∠ABC;求证：∠BAD+∠BCD=180°;2、已知,如图2,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD;求证：∠BAP+∠BCP=180°;3、已知,如图3,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2;求证：AB=AC+CD;试题答案1、分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长法或补短法”来实现;证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2∴Rt△ADE≌Rt△CDFHL,∴∠DAE=∠DCF;又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,即∠BAD+∠BCD=180°2、分析：与1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们成为邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造;证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2∴Rt△APE≌Rt△CPD SAS,∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°;∴∠BAP+∠BCP=180°3、分析：从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC 至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC;证明：方法一补短法延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE＝∠CED,如图3-2∴△AFD≌△ACDSAS,∴DF=DC,∠AFD＝∠ACD; 又∵∠ACB＝2∠B,∴∠FDB＝∠B,∴FD=FB;∵AB=AF+FB=AC+FD,∴AB=AC+CD;4、证明：方法一将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE；①在△BDM中,MB+MD>BD；②在△CEN中,CN+NE>CE；③由①+②+③得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC方法二：图4-2延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF、△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF ①GF+FC>GE+CE ②DG+GE>DE ③由①+②+③得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC;5、分析：要证AB+AC>2AD,由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去∴△ACD≌△EBDSAS∴BE=CA全等三角形对应边相等∵在△ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边∴AB+AC>2AD;6、分析：欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等,显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易;这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两条线段转移到同一个三角形中,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段,所对的角相等即可;思路一、以三角形ADC为基础三角形,转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH 中方法一：延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,证明△ADC和△HDB全等,得AC=BH;通过证明∠H=∠BFH,得到BF=BH;∴△ADC≌△HDBSAS∴AC=BH,∠H=∠HAC∵EA=EF∴∠HAE=∠AFE又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明△ADC和△HDB 全等即可;小结：对于含有中点的问题,通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形;而过一点作已知直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全等三角形的作用;思路二、以三角形BFD为基础三角形;转移线段BF,使AC、BF在两个全等三角形中方法三：延长FD至H,使得DH=FD,连接HC;证明△CDH和△BDF全等即可;∴△BFD≌△CHDSAS∴∠H=∠BFH∵AE=FE∴∠HAC=∠AFE又∵∠AFE=∠BFH∴∠H=∠HAC∴CH=CA∴BF=AC方法四：过C点作CH平行BF,与AD的延长线相交于点H,证明△CDH和△BDF 全等即可;。

三角形常用辅助线

三角形常用辅助线在学习三角形的过程中，辅助线的运用是一个非常重要的解题技巧。

它能够帮助我们将复杂的三角形问题转化为更简单、更易于解决的形式。

接下来，让我们一起深入探讨三角形中常用的辅助线。

一、中线倍长法中线倍长法是解决三角形中线相关问题的常用方法。

如果一个三角形中有中线，我们可以将中线延长一倍，构造出全等三角形。

例如，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线。

我们延长 AD 至E，使 DE ＝ AD，然后连接 BE。

这样就可以得到三角形 ADC 和三角形EDB 全等。

通过这种方法，我们可以将与中线相关的条件进行转化，从而解决问题。

二、截长补短法当遇到线段之间的和差关系时，截长补短法就派上用场了。

截长法是在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明剩余部分与另一条线段相等。

补短法是将较短的线段延长，使其与较长的线段相等，然后证明延长后的线段与另一条线段相等。

比如，在三角形 ABC 中，AB ＞ AC，∠1 ＝∠2。

要证明 BD ＝DC，我们可以采用截长补短法。

如果用截长法，可以在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 DE，证明三角形 AED 和三角形 ACD 全等，从而得出 DE ＝ DC，再证明 BD ＝ DE即可。

如果用补短法，可以延长 AC 至 F，使 AF ＝ AB，连接 DF，证明三角形 ABD 和三角形 AFD 全等，得出 BD ＝ DF，再证明 DF ＝ DC即可。

三、作平行线法作平行线可以利用平行线的性质来解决问题。

比如，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，要证明∠ACD ＝∠A＋∠B。

我们可以过点C 作CE∥AB，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等的性质，得到∠ACE ＝∠A，∠ECD ＝∠B，从而证明∠ACD ＝∠A ＋∠B。

四、作垂线法作垂线常用于构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数来解决问题。

例如，在三角形 ABC 中，要证明某两条边的关系，可以过某一顶点作垂线，然后利用直角三角形的相关知识进行求解。

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

数学专题三角形中的常用辅助线

数学专题——三角形中的常用辅助线一、方法概述几何的难点就在辅助线。

辅助线如何添？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

（一）找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

（二）三角形中常见辅助线的作法：（1）延长中线构造全等三角形；（2）利用翻折，构造全等三角形；（3）引平行线构造全等三角形；（4）作连线构造等腰三角形。

二、典型例题（一）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

1、思路分析：（1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用（2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来2、解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用，不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（二）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：ΔABC是等腰三角形。

1、思路分析：（1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

（2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形。

全等三角形常见辅助线

全等三角形常见辅助线作法知识结构图一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（是底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．四．型图（一线三等角）型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用．（1）如图，已知，，，；则，，．（2）型图变化：将向右移动会出现下面两种情况：①如图，已知，，，，，则，；②如图，已知，，，，，则，．题模一中点类全等问题例1.1、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．例1.2、在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例1.3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．例1.4、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．题模二角平分线类全等问题例2.1、中，AD是的平分线，且．若，则的大小为（）A、40°B、60°C、80°D、100°例2.2、如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F．求证：．例2.3、已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．题模三截长补短类全等问题例3.1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．例3.2、(2013初二上期中人民大学附属中学)如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论例3.3、（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．题模四K型图例4.1、如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）连接，求证：．例4.2、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则等于多少度？请说明理由．例4.3、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．随堂练习随练1.1、如图所示，是等腰直角三角形，，是边上的中线，过作的垂线，交于点，交于点，求证：．随练1.2、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AB=4，BD=3，∠B=2∠C，则AC的长为（）A、 6B、 7C、 8D、9随练1.3、如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：．随练1.4、如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．随练1.5、(2013初二上期末怀柔区)（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．随练1.6、已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．随练1.7、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：随练1.8、如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．随练1.9、在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．随练1.10、直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC 中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．随练1.11、【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．随练1.12、直线过的顶点，．分别是直线上两点，且．（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若则_______（填“”，“”或“”）；②如图②，若，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式_______________；（2）如图3，若直线经过的外部，，请探究与三条线段的数量关系，并给予证明．能力拓展拓展1、已知：如图，在中，AD平分，于点D，，若，，求AB的长．拓展2、如图所示，，是的中点，，，求证．拓展3、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?拓展4、已知的顶点C在的平分线OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．（1）如图1，若，，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：__________；（2）如图2，若，，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．拓展5、如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．拓展6、如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）；（2）．拓展7、已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系是__；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．拓展8、在△ABC，∠BAC为锐角，，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明②如图3，若，求∠BAC的度数．拓展9、在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．拓展10、在□ABCD中，，过点D作，且，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．拓展11、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC中，，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．拓展12、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）拓展13、已知△ABC中，M为BC的中点，直线m 绕点A旋转，过B，M，C 分别作BD⊥m于点D，ME⊥m于点E，CF⊥m于点F．当直线m经过点B时，如图1，可以得到．（1）当直线m不经过B点，旋转到如图2，图3 的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想．图2，猜想：；图3，猜想：．（2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明．拓展14、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线L经过点A，BD⊥直线L，CE⊥直线L，垂足分别为点D、E．证明：①△ABD≌△CAE；②DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．。

中考数学复习：三角形中常用的辅助线作法举例

三角形11种常用的辅助线一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1）在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ；（2）在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC（法二：）如图1-2，延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上）....................................（2） DG ＋GE ＞DE （同上） (3)11-图21-图由（1）＋（2）＋（3）得：AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC 。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。

分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC ，同理∠DEC ＞∠BAC ，∴∠BDC ＞∠BAC证法二：连接AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF ＞∠BAD ，同理，∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC 。

三角形中14种辅助线添加方法

三角形中14种辅助线添加方法三角形是几何学中的基本图形之一，是由三条边和三个内角组成的闭合图形。

在解决三角形相关问题时，为了更好地理解和分析三角形的性质，可以通过添加辅助线来辅助我们的思考。

添加辅助线的方法有很多种，下面将介绍三角形中的14种常见的辅助线添加方法。

1.中垂线：通过三角形的三个顶点与对边的中点相连的线段。

中垂线可以相互垂直且交于同一点，称为三角形的垂心。

2.角平分线：从三角形的一个内角的顶点出发，将这个内角平分成两个相等的角的直线。

三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。

3.高线：从三角形的顶点到对边的垂线，与对边垂足构成的线段。

三角形的三条高线交于一点，称为三角形的垂心。

4.中线：三角形两个顶点的中点连线。

三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心。

5.对角线：连接三角形两个不相邻的顶点的线段。

6.垂直平分线：连接三角形一边的中点与该边上的顶点的直线，且与相对边垂直。

7.旁切线：从三角形的一个顶点开始，与对边相切于三角形外接圆的线段。

8.中辅线：连接三角形两个边的中点的直线。

9.内外角平分线：从三角形顶点开始，将相邻内角或外角平分成两个相等的角的直线。

10.黄金分割线：三角形的一条内角平分线与对边上适当位置的点相连接形成的线段，使得线段的两侧比例相等。

11.斜边中线：从三角形两个锐角的顶点开始，与斜边的中点相连的直线。

12.顶点角平分线：连接三角形一个顶点与另外两个相邻顶点的内角平分线。

13.倍长边线：将三角形中两个边的一部分向外延伸，与第三条边相交的直线。

14.平行线：与三角形的其中一边平行的线段。

以上是三角形中的14种常见的辅助线添加方法，通过添加辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质，解决三角形相关的问题。

在实际运用中，我们可以根据具体情况选择适合的辅助线添加方法，以便更好地解决问题。

三角形常用辅助线

相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

三角形中常用的辅助线

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

三角形中的常用辅助线方法总结

三角形常用辅助线

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

数学专题 三角形中的常用辅助线

全等三角形常见辅助线

中考数学复习：三角形中常用的辅助线作法举例

三角形中14种辅助线添加方法

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