知识点128 配方法填空题

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人教版初中数学《一元二次方程解法之配方法题型汇总》专题突破含答案解析

专题01 一元二次方程解法之配方法题型汇总一、单选题1．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级开学考试）用配方法解一元二次方程2241x x -=，配方后的结果是（） A ．23(1)2x -= B ．2(21)0x -=C ．()2211x -=D ．()2322x +=【答案】A 【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵2x 2-4x =1，∵2122x x -=, 则212112x x -+=+，即23(1)2x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2020·珠海市九洲中学）用配方法解方程2220x x +-=，原方程应变形为（） A ．()213x += B ．()2-13x =C ．()211x +=D ．()2-11x =【答案】A 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．【详解】解：由原方程，得 x 2+2x =2， x 2+2x +1=2+1，（x +1）2=3．故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（2021·安徽八年级期末）利用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应先将其变形为（）A．（x+13）2＝109B．（x﹣13）2＝109C．（x﹣13）2＝89D．（x+13）2＝89【答案】B【分析】移项，配方，再变形即可得出选项．【详解】解：x2﹣23x﹣1＝0，移项，得x2﹣23x＝1，配方，得x2﹣23x+（13）2＝1+（13）2，即（x﹣13）2＝109，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，特别注意配方时是若二次项系数为1时方程两边直接同时加上一次项系数一半的平方，若二次项的系数不为1，应先把二次项系数化为1．4．（2021·江苏南通田家炳中学八年级期末）将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝﹣3C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3【答案】D【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：x2-6x+6=0，x2-6x+9-3=0，（x-3）2=3，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．5．（2021·全国九年级课时练习）利用配方法解方程242203x x --=时，应先将其变形为（） A ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可. 【详解】原方程可化为：22103x x --=配方得：211103992x x -+--=即211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.6．（2021·广西八年级期中）如果用配方法解方程2250x x --=，则配方后方程可化为（） A ．2(1)6x -= B ．2(1)6x +=C ．2(1)5x -=D ．2(1)5x +=【答案】A 【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【详解】解：x 2﹣2x ﹣5＝0， x 2﹣2x ＝5， x 2﹣2x +1＝5+1，（x ﹣1）2＝6．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．（2021·全国九年级课时练习）若1x =-是关于x 的一元二次方程2220x kx k -+=的一个根，则k 的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 【分析】把x =-1代入已知方程可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，进而可得答案．【详解】解：∵方程2220x kx k -+=的一根为-1， ∵2120k k ++=，解得121k k ==-，当k =﹣1时，原方程为2210x x -+=，有实数根x =-1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．（2021·浙江八年级期末）用配方法解方程2x 2﹣4x ﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x +m ）2＝n （n ≥0）的形式，则下列配方正确的是（） A ．（x ﹣2）2＝5 B ．（x ﹣1）2＝32C ．（x ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2＝114【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可．【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1＝0， ∵2x 2﹣4x ＝1， ∵x 2﹣2x ＝12，则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，故选：B ．【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可．9．（2021·浙江八年级期中）已知实数,x y 满足()()22222248x y x y +-+=，且2xy =，则下列结论正确的是（）．A ．228x y +=或226x y +=-B ．2x y -=C ．23x y +=D ．23x y +=±【答案】D 【分析】根据()()22222248x y x y +-+=，利用完全平方公式把式子变形，然后进行判断即可.【详解】解：∵()()22222248x y x y +-+=∵()()222222149x y x y +-++=()222149xy -=+∵2217x y -=±+∵228x y +=或226x y +=-（舍去） ∵228x y +=，2xy = ∵()222212x y x y xy =+=++ ∵23x y +=±∵()22224x y x y xy =-+-= ∵2x y -=± 故选D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于会利用完全平方公式进行变形判断求解. 10．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（） A ．M N > B ．M N < C ．M N D ．不能确定【答案】B 【分析】利用作差法比较即可．【详解】根据题意，得237255N M t t t -=--+＝2222(1)1t t t -+=-+， ∵2(1)0t -≥ ∵2(1)110t -+≥＞ ∵M N <，故选B ．【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．11．（2021·四川凉山·）已知x 是方程2220x x +-=的根，那么代数式253222x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭的值是（） A ．31- B ．31+ C ．31-或31-+ D ．31-或31--【答案】D 【分析】先解方程2220x x +-=，得出31x =±-，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x 即可【详解】解：由题意知，222x x +=，解得31x =()()22225322254(2)23(3)(3)(2)2332(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫∴--÷⎪--⎝⎭-+-=⨯--+--=⨯--=-+=-++=-+ 当31x =±-时，原式(231)=-±- ∵原式31=-或31--．故选D ．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键12．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A ．22990x x --=化为()21100x -= B ．2890x x +-=化为2(4)25x += C ．2240t t --=化为2781()416t -=D ．23420x x --=化为2210()39x -=【答案】C 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可．【详解】解：A 、由原方程，得x 2-2x =99，等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得（x -1）2=100；故本选项正确，不符合题意； B 、由原方程，得x 2+8x =9，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 2(+4)25m =；故本选项正确，不符合题意；C 、由原方程，得 2122t t -=，等式的两边同时加上一次项系数12-的一半的平方116 ，得2133()416t -=；故本选项错误，符合题意； D 、由原方程，得 3x 2-4x =2，化二次项系数为1，得24233x x -= 等式的两边同时加上一次项系数-43的一半的平方49，得2210()39x -=；故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·北京八年级期中）方程x 2﹣2x ﹣5＝0配方后可化为___．【答案】（x -1）2=6 【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】解：∵x 2-2x -5=0， ∵x 2-2x +1=6， ∵（x -1）2=6，故答案为：（x -1）2=6．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 14．（2021·浙江八年级期中）用配方法解方程2610x x -+=，则方程可配方为__________．【答案】（x -3）2=8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-6x +1=0， ∵x 2-6x =-1，则x 2-6x +9=-1+9，即（x -3）2=8，故答案为：（x -3）2=8．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2020·江苏九年级月考）设A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，则A 与B 的大小关系是A_____B （填“＞，＝，＜”之一）【答案】＜【分析】通过作差法和配方法比较A 与B 的大小．【详解】解：∵A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，∵B ﹣A ＝a 2﹣a+5﹣a ﹣3＝a 2﹣2a+2＝（a ﹣1）2+1 ∵（a ﹣1）2≥0． ∵（a ﹣1）2+1＞0． ∵B ＞A ，即A ＜B ．故答案是：＜．【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2． 16．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知24410xx -+=，则2x=___．【分析】利用直接开方法即可得．【详解】24410x x -+=，即22(1)0x-=，直接开方法得：210x-=，解得21=x，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用直接开方法解方程，将2x作为一个整体，看成未知数是解题关键．17．（2021·安庆市第四中学九年级二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________．【答案】9 【分析】根据条件变形为222=-b a a ，将4a +b 2转化为()239a --+即可．【详解】解:∵a 2+b 2﹣2a ＝0， ∵222=-b a a ，∵4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+，∵当3a =时，4a +b 2的最大值为9．故答案为9．【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负性性质是解题关键． 18．（2021·全国九年级专题练习）当x =_________时，代数式22x x --有最大值，其最大值为_________．【答案】1- 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式22x x --通过配方变形为2(1)1x -++，即可得出答案．【详解】解：22222(2)(211)(1)1x x x x x x x --=-+=-++-=-++，1x ∴=-时，代数式22x x --有最大值，其最大值为1；故答案为：1-，1．【点睛】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．19．（2021·全国九年级专题练习）若2310a a -+=，则221+=a a ________．【答案】7 【分析】将221a a+配方为完全平方公式，再通分，然后将2310a a -+=变形为213a a +=，再代入完全平方公式求值；【详解】解：222222211112222a a a a a a a a ⎫⎛+⎫⎫⎛⎛+=++-=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭①；又2310a a -+=，于是213a a +=②，将②代入①得，原式232927a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．故答案为：7．【点睛】此题将配方法和代数式求值结合起来，同时需要利用整体思想简化计算；20．（2021·全国九年级专题练习）将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．【答案】-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-8x -5=0，∵x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x -4）2=21，∵a=-4，b=21，故答案为：-4，21．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2020·浙江七年级期中）当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15 【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∵当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22．（2021·江阴市华士实验中学七年级期中）已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∵()()()2223110a b c -+++-=，∵a=3,b=-1,c=1，∵a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题23．（2021·四川八年级期中）解下列方程．（1）21221x x =+；（2）3123x x x +=+-．【答案】（1）1226,26,x x =+=-（2）12x =-【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母得：()2221x x =+，去括号得：242x x =+，242x x ∴-=2446,x x ∴-+=()226,x ∴-=26,26,x x ∴-=-=- 解得：1226,26,x x =+=-检验：1226,26x x =+=-都是原方程的根，∵分式方程的解是1226,26x x =+=-．（2）去分母得：()()()()33223x x x x x -++=+-，整理得：223366x x x x x -++=--，解得：12x =-，检验：把12x =-代入得：()()()2310151500x x +-=-⨯-=≠，∵12x =-是分式方程的解．【点睛】本题考查了，分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．24．（2020·浙江杭州·七年级期中）用配方法求2361x x --+的最大值．【答案】4 【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可．【详解】解：2361x x --+=()2321x x -++=()232111x x -++-+=()2314x -++∵()2310x -+≤，∵()23441x +-+≤，∵2361x x --+的最大值为4．【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2021·山东八年级期中）试用配方的方法说明：代数式2610x x -+的值恒大于0．【答案】见解析【分析】将代数式用配方法配方，利用平方的非负性即可证明．【详解】解：()22261069910=31x x x x x -+=-+-+-+．无论x 取何值，总有()230x -≥，()2310x ∴-+>．即代数式2610x x -+的值恒大于0．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．26．（2021·黑龙江九年级期末）（1）用配方法解方程： x 2＋4x ﹣3＝0（2）先化简，再求值：22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 2＋2x ﹣8＝0 【答案】（1）1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）﹣222x x+，14- 【分析】（1）依题意，用配方法解方程即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由方程变形求出x 2＋2x 的值，代入计算即可求出值．【详解】（1）x 2＋4x ﹣3＝0，2447x x ++=，2(2)7x +=，27x +=±，∴1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ 42(2)2(2)(2)(4)x x x x x x ---=⨯+-- 2(2)x x =-+ 222x x=-+， x 2＋2x ﹣8＝0，228x x ∴+=，∴原式2184=-=-．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．27．（2021·福建三明市·八年级期中）阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-=，2(4)0n -=．4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的周长；（2）已知6a b -=，216730ab c c +-+=，求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =-，然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+=，进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=，∵22102512360a a b b -++-+=，∵()()22560a b -+-=，∵50,60a b -=-=，∵5,6a b ==，∵等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，∵当5a =为腰，则6b =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+5+6=16；当6b =为腰，则5a =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=，∵6b a =-，∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=，226916640a a c c -++-+=，()()22380a c -+-=，∵30,80a c -=-=，∵3,8a c ==，∵363b =-=-，∵8a b c ++=．【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．28．（2021·全国）已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-．（1）求x 的值；（2）若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S ∆．【答案】（1）0x =；（2）25ABC S ∆=【分析】（1）6a b =-代入29x ab =-，根据非负数之和为0，求得x 的值；（2）由（1）的结论结合已知三角形的周长求得第三边c 的值，再根据勾股定理求得三角形的高，进而求得面积．【详解】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥，∵ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∵ 1064c =-=，ABC∴是等腰三角形过点C作AB边上的高CD则AD BD=2222325 CD AC AD=-=-=∴11452522ABCS AB AD=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了配方法的应用，将6a b=-代入29x ab=-凑出完全平方公式是解题的关键．29．（2021·山东八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)；像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题（1）分解因式：a2-8a+15．（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2-14a-8b+65=0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．【答案】（1）(a-3)(a-5)；（2）∵ABC的周长最小值是16．【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；【详解】解：（1）a2-8a+15=(a2-8a+16)-1=(a-4)2-1=(a-3)(a-5)；（2）∵a2+b2-14a-8b+65=0，∵(a 2-14a +49)+(b 2-8b +16)=0(a -7)2+(b -4)2=0，a -7=0，b -4=0，解得：a =7，b =4，∵∵ABC 的三边长是a ，b ，c ，∵3<c <11又∵c 边的长为奇数∵c =5，7，9当a =7，b =4，c =5时，∵ABC 的周长最小，最小值是：7+4+5=16．【点睛】本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．30．（2021·浙江七年级期末）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，△()220x +≥，△()2211x ++≥．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1.△245x x ++的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出()213x -+的最小值为__________．（2）求代数式21032x x ++的最小值．（3）若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．【答案】（1）3；（2）7；（3）2 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（3）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【详解】解：（1）()213x -+，当1x =时，2(1)3x -+有最小值，是3，故答案是：3.（2）()22222103210553257x x x x x ++=++-+=++．∵()250x +≥，∵()2577x ++≥．当()250x +=时，()257x ++的值最小，最小值是7.∵21032x x ++的最小值是7.（3）∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++．∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+．∵()230x -≥，∵()2322x -+≥．当()230x -=时，()232x -+的值最小，最小值是2.∵x y +的最小值是2. 【点睛】本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．。

中考数学专题复习：一元二次方程的配方法

中考数学专题复习：一元二次方程的配方法一、选择题1．方程2(1)4x +=的解是（） A ．12x =，22x =- B ．1233x x ==-， C ．1213x x ==-，D ．1212x x ==-， 2．若方程2640x kx ++=的左边是完全平方式，则k 的值为（） A ．16B ．8±C ．16-D ．16±3．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（） A ．225x x -=B ．245x x +=C ．2245x x -=D ．2445x x +=4．用配方法解方程2470x x ，变形后的结果正确的是（） A ．()2211x +=-B ．()2211x +=C ．()227x +=D ．()223x +=5．若方程()24210x m x --+=的左边可以写成一个完全平方式，则m 的值为（）A ．2-B ．2-或6C ．2-或6-D ．2或6-6．用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A ．2224()24b b ac x a a -+=B ．2224()24b ac b x a a -+=C ．2224()24b b acx a a --=D ．2224()24b ac b x a a --=7．不论x ，y 为什么实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数二、填空题8．如果一元二次方程x 2﹣4x +k ＝0经配方后，得（x ﹣2）2＝1，那么k ＝________． 9．若将方程x 2+2x ﹣1=0配方成（x+a ）2=h 的形式，则a+h 的值是________．10．已知方程280x x q -+=可以配成2(4)7x -=，那么282x x q -+=可以配成________． 11．已知()(2)10a b a b ++-+=，则+a b 的值为________．三、解答题12．（1）(x+5)2+16=80；（2）(x -1)2-9=013．用配方法解方程：2x 2﹣3x ﹣3=0．14．用配方法解方程：24-2-10x x =15．用配方法解方程：22340x x +-=16．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：221x x -=，（第一步）2211x x -+=，（第二步） 2(1)1x -=，（第三步）120,2x x ==．（第四步）（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；（2）请写出此题正确的解答过程．17．根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程x 2－2x ＋1＝0的解为________________________； ①方程x 2－3x ＋2＝0的解为________________________； ①方程x 2－4x ＋3＝0的解为________________________； …… ……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x 2－9x ＋8＝0的解为________________________； ①关于x 的方程________________________的解为x 1＝1，x 2＝n ．（3）请用配方法解方程x 2－9x ＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．参考答案8．3 9．310．2(4)9x -= 11．1.12．（1）（x+5）2+16=80，移项，得（x+5）2=64， ①x+5=±8， ①x=-5±8， ①x 1=-13，x 2=3；（2）(x -1)2-9=0， (x -1)2=9, x -1=3或x -1=-3 ①x 1=4,x 2=-2． 13．2x 2﹣3x ﹣3=0．2x 2﹣3x=3,x 2-32x =32,22233332()()4424x x -⨯+=+,2333()416x -=,34x -=x 1x 2 14．解：21124x x -=21111216416x x -+=+ 215416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14x -=1x =2x =，　． 15．22340x x +-=二次项系数化为1得，23202x x +-= ，移项，得2322x x += ，配方，得2223332244x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2341416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，34x +=故答案为：1x =，2x16．解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，因为等式左边加上1时，右边没有加1，不符合等式的性质．故答案为：二；不符合等式的性质；（2）正确的解答过程如下：221,x x -= 2212x x -+=， 2(1)2,x -=1x -=所以1211x x ==17．（1）①x 1＝1，x 2＝1；①x 1＝1，x 2＝2；①x 1＝1，x 2＝3．（2）①x 1＝1，x 2＝8； ①x 2－(1＋n)x ＋n ＝0．（3）x 2－9x ＋8＝0x2－9x＝－8x2－9x＋814＝－8＋814(x－)2＝494①x－92＝±72．①x1＝1，x2＝8．。

配方法习题

配方法习题第一篇：配方法习题配方法习题一、选择题1.下列哪个不是完全平方式？（）A、2x2B、x2－6x＋9C、25x2－10x＋1D、x2＋22x＋1212.以配方法解3x2＋4x＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？（）252121A、(x＋2)2＝3B、(3x＋)2＝、(x＋2＝D、(x＋2＝34333.若2x2－3x＋1加上一数k后，成为完全平方式，则k＝（）A、18B、7C、116D、44.想将x2＋32 x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数？（）A、34B、9994C、8、165.下列哪个不是完全平方式？（）A、x2＋4B、x2＋4x＋4C、4x2＋4x＋1D、x2＋x＋14二、填空题1.将方程式x2－4x＋1＝0配成(x＋a)2＝b之形式则a＋b＝___________2.填入适当的数配成完全平方式x2－1＋____________＝(x－)223.已知一元二次方程式x2－2x－1＝0的解为x＝a±b 则a－b ＝_______三、利用配方法解下列一元二次方程式3x2－8x＋3＝0。

ax2－2bx＋c＝0（a＞0，b2－ac≧0）3x2－8x＋3＝03x2＋11x＋2＝0。

x2＋2x－1＝03x2－8x＋3＝0一、选择题（共56分，每小题14分）：1、2x^2+4x+10=12中，可以配方得到_______A、2(x+1)^2=3B、2(x+2)^2=3C、(2x+1)^2=3D、(2x+1)^2=5.2、x^2+4x+3=-1的结果是_______A、x=-2B、x=2C、无解D、此题有两个根.3、对于关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a不为0,a,b,c 是常数）进行配方，得到_______A、(x+b/a)^2(c/a^2)=-b/aC、(x+b/2a)^2 =(b^2/4a^2)-c/aD、对于不同的数字没有唯一表达式。

.4、对于关于x的方程(px+q)^2=m的根的判断，其中有可能正确的有_______(1)x为任意实数，（2）x1=x2=q/p，(3)当m<0时,方程无解A、没有正确的B、(2)(3)正确C、只有(3)正确D、(1)(3)正确.二、解答题（共46分，第5题18分，第6题28分）5、请用配方法解方程x^2+4x+3=156、对于关于x的方程mx^2+nx+q=0，将其化简成x=?的形式。

配方法解一元二次方程知识点及练习

配方法解一元二次方程知识点一、配方法解一元二次方程利用完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ 将一元二次方程一般式20ax bx c ++= 转换成2x p = 或2()x m n += 的形式。

知识点二、配方法解一元二次方程的一般步骤：① 移项（常数项右移）② 等式两边同除以二次项系数a (或等式两边同乘1a ) ③ 等式两边同加2()2b④ 合并成2x p = 或2()x m n +=⑤ 直接开平方法例1：2210x x +-=（配方法）解： 2222222122102111221111()()242419()41613441,12x x x x x x x x x x x x +-=+=+=++=++=+=±==-配方法巩固练习1. 配方22_____(__)x x x ++=+ 228_____(__)x x x ++=+223-_____(-__)2x x x += 227_____(__)3x x x ++=+ 2248_____(__)x x x ++=+ 229-18_____(__)x x x +=+2. 最值已知代数式223x x ++ ，配方可得________________，代数式有_____值，最值为____3. 非负性证明：2246130x y x y ++++≥课堂练习一、选择题1.用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（）A.2(3)17x -=B. 2(3)14x -=C.2(6)44x -=D. 2(3)1x -= 2.已知方程22160x x m -+= 可配方成2(8)0x -=的形式，则m 的值为（） A.8 B.-8 C.±8 D.163.用配方法解2+410x x =的根是（）A.222- D,2-4.把2-1x x =配方得（） A.213()24x -= B. 2(1)2x -= C. 215()24x += D. 25(1)4x -= 5. 已知方程240x x m -+= 可配方成2(2)0x -=的形式，则m 的值为（）A.2B.4C.±2D.±4二、填空题1.已知方程260x x q -+= 可配方成2()7x p -= 的形式，那么p q + 的值为_______2.已知一元二次方程240x x p ++= 可配方成2()x q +=1，以p q ，为两边的等腰三角形周长为__________3.将一元二次方程2510x x -+=配方成2+)x m n =（的形式为_____________，所以方程的根为_______________________4.已知实数,x y 满足2330x x y ++-= ,则x y +的最大值是_________5.已知实数,x y 满足21x y -= ，则代数式22241x y x ++- 的最小值等于_____________三、配方法解一元二次方程1.2520x x -+=2.24820x x ++=3.22322x x x -=+4.23240y y --=5.21332y y += 6.2-310x x ++=四、解决问题1.已知,,a b c 为△ABC 的三边长，若222a b c ab ac bc ++=+++，试判断△ABC 的形状，并证明.2.已知一元二次方程260x x n ++= 可配方成2()5x m += ，求以,m n 为两直角边的三角形周长4. 已知222450,a b a b ++-+= 求2020()a b +5. 已知2210,a b ab a b +++-+= 求22a b -6. 已知代数式为22222x xy y y +++ ，求该代数式的最小值。

配方法解方程练习题中考

配方法解方程练习题中考1．用适当的数填空：①、x22；③、x2=2；④、x2－9x+ =22．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x2-ax+1可变为2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成2=b的形式为_______，_________．5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是A． B．- C．±3D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是A．2+1B．2-1C．2+1D．2-17．把方程x+3=4x配方，得A．2=7B．2=21 C．2=1D．2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根为A．2± B．-2C．D．9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值A．总不小于B．总不小于7C．可为任何实数 D．可能为负数10．用配方法解下列方程：3x2-5x=2． x2+8x=9x2+12x-15=01x2-x-4=0所以方程的根为?11.用配方法求解下列问题求2x2-7x+2的最小值；求-3x2+5x+1的最大值。

用配方法解一元二次方程练习题答案:1．①9，②2.52，2.5③0.52，0.5④4.52，4.5 2．22-．．2=5，15．C ．A．10．方程两边同时除以3，得 x2-523x=3，配方，得 x2-53x+2=23+2，即 4957576=36，x-6=±6，x=6±6．所以 x1=57576+6=2，x2=16-6=-3．所以 x1=2，x2=-13．x1=1，x2=-9x1x211．∵2x2-7x+2=2+2=22-33338≥-8，∴最小值为-338，-3x2+5x+1=-32+12≤12，? ∴最大值为3712．C．B．A ?第2课时配方法要点感知1 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做______法.预习练习1-1 下列各式是完全平方式的是A.a2+7a+B.m2-4m-C.x2-11x+ 16D.y2-2y-12______；要点感知如果一元二次方程通过配方能化成=p的形式，那么当p>0时，方程有______的实数根，当p=0时，方程有两个相等的实数根______；当p 2预习练习2-1 若=9，则2x-1=______，所以______或______.所以x1=______，x2=______.2-2解方程：2x2-3x-2=0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x2-3x=2；再把二次项系数化为1，得x2- 2然后配方，得x-3x=1；2333325x+2=1+2；进一步得2=，解得方程的两个根为______.44416知识点1 配方1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是A. B.- C.± D.以上都不对2.若方程x2-mx+4=0的左边是一个完全平方式，则m 等于A.±B.±C.D.43.用适当的数填空：x2-4x+______=2；m2±______m+9=2.4.若将方程x2+6x=7化为2=16，则m=______.知识点用配方法解方程5.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0，此方程可变形为b2b2?4ac A.=2a4ab2b2?4ac C.= 2a4a b24ac?b2B.=2a4ab24ac?b2D.=2a4a6.用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为A.2=0B.2=0C.2=D.2=27.用配方法解下列方程：x2-4x-2=0;2x2-3x-6=0； 221x+x-2=0.38.用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，则方程可变形为A.2=B.2=20C.2=20D.2=29.用配方法解方程x2-2x+1=0，正确的是B.=，x=3928，原方程无实数解C.=?，原方程无实数解D.2=?1310.若方程4x2-x+1=0的左边是一个完全平方式，则m 等于A.-B.-2或C.-2或-D.2或-611.已知方程x2-6x+q=0可以配方成2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的A.2=B.2=C.2=D.2=512.用配方法解下列方程:2x2+7x-4=0； x2-2x-6=x-11； x=6x+12； 3=x-7.13.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：2由于a≠0，方程ax+bx+c=0变形为：bx=-ca,第一步 abb2cb2x2+x+=-+，第二步 a2aa2ax2+b)2b2?4acx+=，第四步a2a?b?b2?4acx=.第五步a嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0的求根公式是x=______ 用配方法解方程：x2-2x-24=0.14.若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？挑战自我15.有n个方程：x2+2x-8=0；x2+2×2x-8×22=0；??；x2+2nx-8n2=0.2222小静同学解第1个方程x+2x-8=0的步骤为：“①x+2x=8；②x+2x+1=8+1；③=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=-2.”小静的解法是从步骤______开始出现错误的；用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.参考答案第2课时配方法要点感知1 配方预习练习1-1 C要点感知两个不相等，x1=-n-p,x2=-n+p；两个相等，x1=x2=-n；无实数根. 预习练习2-1 ±3，2x-1=3或2x-1=-3.x1=2，x2=-1.- =，x1=2，x2=-.1621.C .B .4,23,4.3. .A .D7.2=6; x1=+2，x2=-6+2. =; x1=. ，x2=4164412493)=; x1=，x2=-2.162=; 16311 2=-; 41，x2=-4；原方程无实数解；2=13; x1=1+，x2=1-；2=-132; 原方程无实数解.?b?b2?4ac13.a方程x2-2x-24=0变形，得x2-2x=24，x2-2x+1=24+1，2=25，x-1=±5，x=1±5，所以x1=-4，x2=6.14.设折成的矩形的长为x厘米，则宽为厘米，由题意，得 x=16.解得x1=2,x2=8.∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米.挑战自我15.⑤；x2+2nx-8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，2=9n2，x+n=±3n，x=-n±3n，∴x1=-4n，x2=2n.解一元二次方程练习题配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?2。

配方法及其应用(题目)

配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。

将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。

三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。

分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。

解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。

解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。

配方法(一)课堂练习2

§2.2 配方法 §2.2.1 配方法（一）班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________.2.若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________.3.若x 2－2x =0，则x 1=__________,x 2=__________.4.若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________.5.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________.6.若－2x 2+8=0，则x 1=__________,x 2=__________.7.若x 2+4=0，则此方程解的情况是____________.8.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是__________.9.若5x 2=0，则方程解为____________. 10.由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________.二、选择题1.方程5x 2+75=0的根是 A.5 B.－5 C.±5 D.无实根2.方程3x 2－1=0的解是A.x =±31 B.x =±3C.x =±33D.x =±33.方程4x 2－0.3=0的解是 A.075.0=xB.30201-=x C.27.01=x 27.02-=xD.302011=x 302012-=x4.方程27252-x =0的解是 A.x =57B.x =±57 C.x =±535 D.x =±57 5.已知方程ax 2+c =0(a ≠0)有实数根，则a 与c 的关系是 A.c =0 B.c =0或a 、c 异号 C.c =0或a 、c 同号 D.c 是a 的整数倍 6.关于x 的方程(x +m )2=n ,下列说法正确的是 A.有两个解x =±nB.当n ≥0时，有两个解x =±n －mC.当n ≥0时，有两个解x =±m nD.当n ≤0时，方程无实根 7.方程(x －2)2=(2x +3)2的根是 A.x 1=－31,x 2=－5 B.x 1=－5,x 2=－5 C.x 1=31,x 2=5D.x 1=5,x 2=－5三、解方程 1.x 2=0 2.3x 2=3 3.2x 2=6 4.x 2+2x =0 5.21(2x +1)2=3 6.(x +1)2－144=0参考答案一、1.4 －4 2.15 －15 3.0 2 4.2 2 5.35 35 6.2 －2 7.无实数根 8.x 1=214,x 2=－214 9.x 1=x 2=010.方程无实根方程有两个相等实根为x 1=x 2=0 方程有两个不等的实根二、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 三、解：1.x 2=0,x =0,∴x 1=x 2=0 2.3x 2=3 x 2=1, x =±1,∴x 1=1,x 2=－1 3.2x 2=6, x 2=3, x =±3∴x 1=3,x 2=－3 4.x 2+2x =0x (x +2)=0 x =0或x +2=0 x =0或x =－2 ∴x 1=0,x 2=－2 5.21(2x +1)2=3 (2x +1)2=6 2x +1=±6∴2x +1=6或2x +1=－6∴x =21(6－1)或x =21(－6－1) ∴x 1=21(6－1),x 2=21(－6－1)6.(x +1)2－144=0 (x +1)2=144 x +1=±12∴x +1=12或x +1=－12 ∴x =11或x =－13 ∴x 1=11,x 2=－13.。

2018届中考总复习解题技巧：配方法填空通关50题(含答案)

㐭，
㐭，
为抛物线上一动点，为直线的坐标为．
㐭
，为抛物线的顶点，过
的中点，作
上一动点，当以，
，，为顶点的四边形是正方形时，点
第 8页（共 13 页）
47. 如图，直角坐标系且（1）点（2）设乹，则：的坐标为
中，正方形
的边
与反比例函数
乹
‸ 㐭的图象交于点，．
；长度的最小值是
轴交于
点，点．
的面积的最大值是
31. 已知
“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为
乹
h
㐭
㐭的图象上有一动点，点．
的纵坐标为整数值时，记为
第 4页（共 13
32. 某大学生利用业余时间销售一种进价为㐭元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：（1）月销量（件）与售价（元）的关系满足：乹（2）工商部门限制销售价满足：吠㐭 t㐭（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列 h 㐭㐭；
是反比例函数图象上的动点，则线段
48. 在一空旷场地上设计一落地为矩形子一端固定在 ①如图，若成落地为五边形边的长为乹 m．则 m．乹
的小屋，．
点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正的变化过程中，当
h
乹㐭 m．拴住小狗的㐭 m 长的绳
配方法填空通关 50 题（含答案）
1. 抛物线乹 h 的顶点坐标是．
2.
h
乹
．
3. 若一元二次方程
hᯩ h
乹㐭有两个相同的实数根，则
ᯩ h t 的最小值为

配方法的应用专项训练题

配方法的应用专项训练题1．填空：x2﹣10x+＝（）2．2．x2++9y2＝（x+）2．3．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 4．已知实数x．y满足x2+y2＝x+6y﹣9.25，则x2+y2的值是．5．已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝．6．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（）A．26B．28C．30D．327．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（）A．12B．13C．14D．158．已知实数x、y满足9x2+y2+24x﹣6y+25＝0和axy﹣3x＝y，则a的值是（）A．B．C．D．9．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（）A．非负数B．0C．正数D．负数10．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．总大于7B．总不小于9C．总不小于﹣9D．为任意有理数11．已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（）A．最大值23B．最小值23C．最大值﹣23D．最小值﹣23 12．已知x，y都为实数，则式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是（）A．0B．2C．D．1213．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A．6B．9C．6或9D．无法确定14．已知关于实数x的代数式x2（4﹣x2）有最大值，则实数x的值为时，代数式取得最大值．15．阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3；x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x；x2﹣2x+4＝x2﹣2x+4+x2＝（x﹣2）2+x2；是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣6x+16配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求a﹣b+c的值；（3）已知2x+y＝6，求当x、y分别取什么值时，x2+2xy+y2﹣3x﹣2y取最小值，最小值是多少？16．阅读材料；若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝4，n＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0．则2x+3y的值为；（2）已知△ABC的边长a、b、c是三个互不相等的正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值；（写出求解过程）（3）已知a﹣b＝10，ab+c2﹣16c+89＝0，则a+b+c的值为．17．阅读下面的解题过程，求y2﹣10y+30的最小值．解：∵y2﹣10y+30＝y2﹣10y+25+5＝（y2﹣10y+25）+5＝（y﹣5）2+5，而（y﹣5）2≥0，即（y﹣5）2最小值是0．∴y2﹣10y+30的最小值是5．依照上面解答过程，求：（1）m2+2m+2020的最小值；（2）4﹣x2+2x的最大值．18．先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求x2的值；（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？19．【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．。

《配方法》知识点训练(基础)

《配方法》基础训练【知识点1】配方1.下列各式是完全平方式的是（）A. 277a a ++B. 244m m --C. 211216x x -+ D. 222y y -+2.把一元二次方程267a a -=配方，需在方程两边都加上（） A.3 B. －3 C.9 D.－93.用配方法将二次三项式245a a -+变形，结果是（）A. 2(2)1a -+B. 2(2)1a +-C. 2(2)1a ++D. 2(2)1a --4.（临沂中考）一元二次方程2304y y --=配方后可化为（）A. 2112y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 21324y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D. 21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5.用适当的数或式子填空：（1）24x x -+ ＝(x - 2)；（2）2x - 16(x +=- 2)；（3）293(4x x x ++=+ 2)；（4）225x x -+ (x =- 2).【知识点2】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6.方程242x x +=的正根为（）A.2- B.2+С.2- D.2-+7.已知方程260x x q -+=可转化为3x -=q ＝ .8，用配方法解方程：（1）2410x x +-=；（2）225x x -=；（3）22103x x -+= 【知识点3】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程9，解方程：22320x x --=.解：将常数项移到右边，得；再把二次项系数化为1，得2x － x ＝；然后配方，得2x － x ＋＝；进一步得(x - 2)＝；解得方程的两个根为1x ＝，2x ＝ .10.用配方法解方程：（1）22360x x --=；（2）2212033x x +-=. 【易错点1】用配方法变形代数式时没有恒等变形11.下面小明同学对二次三项式2261y y -+进行配方的过程：222613y y y y -+=-+23122⎛⎫-+= ⎪⎝⎭23122y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.请判断配方过程是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程.【易错点2 】配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加12.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容.解方程：228180x x --=.解：移项，得22818x x -=.①两边同时除以2，得249x x -=.②配方，得2449x x -+=，③即2(2)9x -=.∴23x -=±.④∴15x =，21x =-.⑤上述过程中有没有错误？若有，错在步骤（填序号），原因是 . 请写出正确的解答过程.参考答案：1. C2. C3. A4. B5.（1）4 2 （2）8x 4 （3）32 （4）12515 6. D7. 28.（1）解：12x =，22x =.（2）解：11x =21x =（3）解：原方程无实数根. 9. 2232x x -= 32 1 32 234⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2314⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 34 2516 2 12-10.（1）解：134x +=，234x -=（2）解：132x =，22x =-. 11.解：不正确，正确的配方过程为：2223261232y y y y ⎡⎤⎛⎫-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 293712222y ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭. 12.③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加解：移项，得22818x x -=.两边同时除以2，得249x x -=，配方，得24494x x -+=+，即2(2)13x -=，∴2x -=∴12x =22x =。

配方法练习题

配方法练习题一、选择题1. 配方法是一种将二次三项式转化为完全平方公式的方法，以下哪个表达式不能通过配方法转化为完全平方公式？A. x^2+2x+1B. x^2-4x+4C. x^2+6x+9D. x^2+10x+252. 对于二次方程x^2+8x+16=0，使用配方法解得x的值为：A. x=-4B. x=4C. x=-2D. x=23. 配方法中，将二次三项式x^2+4x+4转化为完全平方公式后，其结果为：A. (x+2)^2B. (x-2)^2C. (x+1)^2D. (x-1)^2二、填空题1. 将二次三项式3x^2-6x+2转化为完全平方公式，应添加的项是______。

2. 已知二次方程x^2-6x+5=0，使用配方法可将其转化为完全平方公式，求得x的值为______。

3. 对于二次方程x^2+2ax+b=0，配方法后得到(x+a)^2=a^2-b，当a=3，b=1时，方程的解为______。

三、计算题1. 将二次三项式2x^2-4x+1转化为完全平方公式，并求出其顶点坐标。

2. 解二次方程x^2+6x-7=0，使用配方法，并写出解方程的步骤。

3. 已知二次方程x^2-10x+24=0，通过配方法求出x的值，并验证解的正确性。

四、解答题1. 说明配方法的一般步骤，并给出一个二次三项式的例子，展示如何通过配方法将其转化为完全平方公式。

2. 讨论在什么情况下，配方法不适用于解二次方程，并给出一个例子说明。

3. 给定一个二次方程ax^2+bx+c=0，讨论如何使用配方法将其转化为完全平方公式，并求出方程的解。

五、应用题1. 一个长方形的长为x米，宽为y米，面积为20平方米。

如果长和宽都增加2米，求新的面积，并说明如何使用配方法简化计算。

2. 一个物体从静止开始下落，其下落距离s与时间t的关系为s=1/2gt^2，其中g为重力加速度。

如果物体下落了4秒，求其下落的距离，并使用配方法简化计算。

3. 一个圆的半径为r米，求圆的面积，并说明如何使用配方法将面积公式转化为完全平方公式。

配方法的应用精选题43道参考答案

配方法的应用精选题43道参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．【分析】由（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m可知a＝9，m＝【解答】解：由ax2＝（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m得：a＝9，+m＝1所以：m＝故选：B．【点评】本题主要考查完全平方公式在配方法中的应用．2．【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【解答】解：∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．故选：B．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．3．【分析】先用配方法对b2+c2＝2b+4c﹣5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2＝b2+c2﹣bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．【解答】解：∵b2+c2＝2b+4c﹣5∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，∴b＝1，c＝2．又∵a2＝b2+c2﹣bc，∴a2＝1+4﹣2＝3，∴a＝或a＝﹣（舍）∵，∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，∴△ABC的面积为：＝，故选：B．【点评】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．4．【分析】根据完全平方公式把原式的右边变形，根据题意列出方程，求出m、n，计算即可．【解答】解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，∴m＝﹣10，25﹣n＝19，解得，m＝﹣10，n＝6，∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．5．【分析】通过配方法配出平方根，从而判断M值的大小．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键．6．【分析】把Q﹣P利用完全平方公式进行变形，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：Q﹣P＝m2﹣1﹣（2m﹣3）＝m2﹣1﹣2m+3＝m2﹣2m+2＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1，∵（m﹣1）2≥0，∴，（m﹣1）2+1＞0，∴Q﹣P＞0，∴P＜Q，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．7．【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用完全平方公式，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．8．【分析】配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：x2+6x+m＝（x+3）2﹣9+m═（x+n）2﹣1，∴﹣9+m＝﹣1，m＝8．故选：C．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题写关键．9．【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，可得a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，则原式＝（﹣3）2＝9．故选：C．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【解答】解：原式＝﹣（x2﹣mx）+9＝﹣（x﹣）2+9+，当x﹣＝0，即x＝时，原式取得最大值9+＝10，整理得：m2＝4，解得：m＝±2，则m的值可能为2，故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．【解答】解：2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51＝x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15＝（x﹣2y）2+12（x﹣2y）+36+（x+y）2+15＝（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15∵（x﹣2y+6）2≥0，（x+y）2≥0∴（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15≥15故选：C．【点评】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解题的关键．12．【分析】先配成非负数的和为0，各项为0，求出a，b代入即可．【解答】解：（1）∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴b a＝3﹣1＝，故选：D．【点评】此题是配方法的应用，主要考查了非负数的性质，解本题的关键是求出a，b的值．13．【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的范围．【解答】解：∵x2﹣6x+10＝x2﹣6x+9+1＝（x﹣3）2+1而（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+1＞0，故选C．【点评】利用非负数的性质可以判断多项式的取值范围，而非负数往往需要用配方法才能得到．14．【分析】把等式左边配成完全平方加或减常数的形式，再与等式右边比较对应位置的字母与数字即可得答案．【解答】解：∵3x2+6x+2＝a（x+k）2+h，等式左边3x2+6x+2＝3（x2+2x+1）﹣1＝3（x+1）2﹣1把上式与a（x+k）2+h比较得k＝1，h＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，需要先把等式左边变形，然后与右边比较对应位置的数字与字母即可，本题属于中档题．15．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．16．【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4＝（x+1）2+（y﹣2）2+4∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．故选：A．【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．17．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4xy+5y2+8y+15＝x2﹣4xy+4y2+y2+8y+16﹣1＝（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1，∵（x﹣2y）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1≥﹣1，∴多项式x2﹣4xy+5y2+8y+15的最小值为﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．18．【分析】利用配方法得到a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，然后根据非负数的性质易得（a﹣2）2+1＞0．【解答】解：a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1＞0，即数式a2﹣4a+5的值一定是正数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．19．【分析】通过配方法将代数式变形，由此求得其最小值．【解答】解：由配方法得，x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，所以代数式x2﹣4x+5的最小值是1．故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．二．填空题（共17小题）20．【分析】题中有﹣8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．【解答】解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式＝0+0+3＝3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故答案为：3．【点评】考查配方法的应用；根据﹣8xy，2x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．21．【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为a（x+b）2+c的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．【解答】解：∵x2+8x+5＝（x2+16x）+5＝（x2+16x+64﹣64）+5，⇒x2+8x+5＝[（x+8）2﹣64]+5＝（x+8）2﹣27，∵（x+8）2≥0，∴代数式x2+8x+5的最小值是﹣27．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．22．【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1＝（x﹣2）2+m，则m＝1，故答案为：1【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．【分析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．故答案为：2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．【分析】根据配方法的步骤先把x2﹣4x﹣5的形式，求出m，k的值，再代入进行计算即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，所以m＝2，k＝﹣9，所以m+k＝2﹣9＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．【分析】由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴ab+2b﹣c2+2c＝b（b+2）+2b﹣c2+2c＝b2+4b﹣（c2﹣2c）＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，∵b≥0，﹣2≤c＜1，∴4≤（b+2）2≤12，∵a是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3．故答案为：2或3．【点评】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．26．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2的最小值是2，即代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值是2，故答案为：2．【点评】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．27．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，根据负整数指数幂的运算法则计算．【解答】解：a2+b2+4a﹣8b+20＝0，a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0，（a+2）2+（b﹣4）2＝0，则a+2＝0，b﹣4＝0，解得，a＝﹣2，b＝4，则b a＝4﹣2＝，故答案为：．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．28．【分析】将等式右边的部分移到左边，然后配方，利用偶次方的非负性，可得a，b，c 的值，从而可求得2b+c的值．【解答】解：∵a+b+c＝2+4+6﹣14∴a+1+b+1+c﹣2﹣2﹣4﹣6+14＝0∴[﹣2+1]+[﹣4+4]+[﹣6+9]＝0∴++＝0∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0∴＝1，＝2，＝3∴a+1＝1，b+1＝4，c﹣2＝9∴a＝0，b＝3，c＝11∴2b+c＝2×3+11＝17故答案为：17．【点评】本题考查了配方法在二次根式中应用，熟练掌握配方法并明确偶次方的非负性，是解题的关键．29．【分析】本题可以用配方法来做，当二次项系数不是1时，可以先把二次项系数提到括号外面，再凑常数项，常数项等于一次项系数一半的平方，由此可解．【解答】解：2a2﹣a+10＝2+10＝2（）+10＝2+10﹣＝2+∵2≥0，∴2+≥．∴代数式2a2﹣a+10的最小值是．【点评】本题可以用配方法来求最小值．配方法是一种重要的计算化简方法，需要扎实掌握．30．【分析】把原式根据配方法化成x2+10y2+6xy﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，即可得出最小值．【解答】解：x2+10y2+6xy﹣4y+4＝x2+6xy+9y2+y2﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，∵（x+3y）2+（y﹣2）2≥0，∴x2+10y2+6xy﹣4y+4的最小值是0．故答案为0．【点评】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．31．【分析】应用配方法求出a，b，c之间的关系，然后直接计算即可．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c又∵a+3b+4c＝16，∴a＝b＝c＝2，∴a+b+c＝6．故答案为：6【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答此题的关键．32．【分析】根据完全平方公式把原式变形即可．【解答】解：x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故答案为：（x﹣2）2﹣3．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．33．【分析】先求出A﹣B的值，再判断即可．【解答】解：∵A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，∴A﹣B＝（2a2﹣a+3）﹣（a2+a）＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2≥0，∴A＞B，故答案为：A＞B．【点评】本题考查了整式的混合运算和配方法的应用，能选择适当的方法求解是解此题的关键．34．【分析】先利用配方法将代数式2x2﹣4x+1转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∵2（x﹣1）2≥0，∴2x2﹣4x+1的最小值是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用配方法，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．35．【分析】仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．【解答】解：y2﹣y+5＝y2﹣y++＝（y﹣）2+≥，则代数式y2﹣y+5的最小值是．故答案为：．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．【分析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．【解答】解：∵4x2+9y2+12x﹣6y+10＝（4x2+12x+9）+（9y2﹣6y+1）＝（2x+3）2+（3y ﹣1）2＝0，可得2x+3＝0，3y﹣1＝0，解得：x＝﹣，y＝，则8x﹣9y＝8×（﹣）﹣9×＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共7小题）37．【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．【解答】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．38．【分析】（1）首先把x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x、y代入求得数值；（2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∴（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴x＝1，y＝1，∴x+2y＝3；（2）∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣2b+1＝0∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0∴a﹣2b＝0，b﹣1＝0∴a＝2，b＝1；（3））∵m＝n+4，∴n（n+4）+t2﹣8t+20＝0∴n2+4n+4+t2﹣8t+16＝0∴（n+2）2+（t﹣4）2＝0∴n+2＝0，t﹣4＝0∴n＝﹣2，t＝4∴m＝n+4＝2∴n2m﹣t＝（﹣2）0＝1．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和完全平方公式是解题的关键．39．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值即可；（2）把a，b，c的值代入已知等式求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）已知等式整理得：（a﹣b）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝b＝4，c＝5；（2）把a＝b＝4，c＝5代入已知等式得：＝﹣4，即+＝﹣；＝，即+＝；＝﹣，即+＝﹣，∴++＝﹣，则原式＝＝﹣8．【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及分式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．40．【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．（2）①中把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣【点评】本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求．41．【分析】1、根据阅读材料内容解决问题即可；2、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；3、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；4、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．【解答】解：1、由阅读1结论可知：把a﹣1看成一个整体，当a＝4时，函数y＝a﹣1++1（a＞1）的最小值为7．故答案为4、7．2、设矩形周长为y，由题意，得y＝2（x+），∵x+≥2∴x≥4，当x＝即x＝＝2时，函数y＝2（x）的最小值为2×2＝8．故答案为2、8．3、设y＝（m＞﹣1），＝（m+1）+，当m+1＝即m＝1时，y＝4．答：代数式（m＞﹣1）的最小值为4．4、根据题意，得长方体的宽为米，∴y＝x•×120+×2×2×80+80×2×2x＝480+320（x+）当x＝即x＝2时，函数y＝480+320（x+）的最小值为1760，答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1760元．【点评】本题考查了配方法的应用、矩形的性质、长方体体积，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．42．【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，﹣＞0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b 时取等号）来计算；（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD ＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，≥2＝2；当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）∵﹣x﹣≥2＝2∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．故答案为：2；﹣2；（2）由，∵x＞0，∴，当时，最小值为11．（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD∴x：9＝4：S△AOD∴：S△AOD＝∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．43．【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可【解答】解：（1）∵x2+10x+7＝x2+10x+25﹣18＝（x+5）2﹣18，由（x+5）2≥0，得（x+5）2﹣18≥﹣18；∴代数式x2+10x+7的最小值是﹣18；（2）﹣a2﹣8a+16＝﹣a2﹣8a﹣16+32＝﹣（a+4）2+32，∵﹣（a+4）2≤0，∴﹣（a+4）2+32≤32，∴代数式﹣a2﹣8a+16有最大值，最大值为32．【点评】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．。

配方法的应用精选题43道

配方法的应用精选题43道一．选择题（共19小题）1．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，92．代数式x2﹣4x+5的最小值是（）A．﹣1B．1C．2D．53．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．4．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（）A．﹣16B．16C．﹣4D．45．若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M的值一定是（）A．非负数B．负数C．正数D．零6．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P≤Q C．P＜Q D．不能确定7．关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2B．有最大值2C．有最大值﹣6D．恒小于零8．若代数式x2+6x+m＝（x+n）2﹣1，则m＝（）A．﹣8B．9C．8D．﹣99．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则a b的值是（）A．8B．﹣8C．9D．﹣910．已知关于x的多项式﹣x2+mx+9的最大值为10，则m的值可能为（）A．1B．2C．4D．511．多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51的最小值为（）A．41B．32C．15D．1212．若a2+2a+b2﹣6b+10＝0，则b a的值是（）A．﹣1B．3C．﹣3D．13．对于任意实数x，多项式x2﹣6x+10的值是一个（）A．负数B．非正数C．正数D．无法确定正负的数14．若3x2+6x+2＝a（x+k）2+h（其中a、k、h为常数），则k和h的值分别为（）A．1，1B．1，﹣1C．1，﹣D．﹣1，15．已知代数式x2﹣4x+7，则（）A．有最小值7B．有最大值3C．有最小值3D．无最大值和最小值16．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数17．关于x、y的多项式x2﹣4xy+5y2+8y+15的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．218．不论a为何实数，代数式a2﹣4a+5的值一定是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定19．对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它有最小值为（）A．5B．1C．4D．9二．填空题（共17小题）20．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为．21．代数式x2+8x+5的最小值是．22．若x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+m，则m＝．23．填空：x2﹣4x+3＝（x﹣）2﹣1．24．若把代数式x2﹣4x﹣5化成（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝．25．已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是．26．已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值．27．已知a2+b2+4a﹣8b+20＝0．则b a＝．28．若a，b，c是实数，且a+b+c＝2+4+6﹣14，则2b+c＝．29．代数式2a2﹣a+10的最小值是．30．代数式x2+10y2+6xy﹣4y+4的最小值为．31．若a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，且a+3b+4c＝16，则a+b+c的值为．32．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是．33．设A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，则A与B的大小关系为．34．代数式2x2﹣4x+1的最小值为．35．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是．36．4x2+9y2+12x﹣6y+10＝0，则8x﹣9y＝．三．解答题（共7小题）37．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？38．仔细阅读下列解题过程：若a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0，求a、b的值．解：∵a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0∴a2+2ab+b2+b2﹣6b+9＝0∴（a+b）2+（b﹣3）2＝0∴a+b＝0，b﹣3＝0∴a＝﹣3，b＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，求a、b的值；（3）若m＝n+4，mn+t2﹣8t+20＝0，求n2m﹣t的值．39．已知实数a，b，c满足（a﹣b）2+b2+c2﹣8b﹣10c+41＝0．（1）分别求a，b，c的值；（2）若实数x，y，z满足，，，求的值．40．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝．反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．41．阅读与应用：同学们，你们已经知道（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab （当且仅当a＝b时取等号）．阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b ≥2（当且仅当a＝b时取等号）．阅读2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数）．由阅读1结论可知：x+即x+∴当x＝即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：若函数y＝a+（a＞1），则a＝时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为．问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x＝时，矩形周长的最小值为．问题3：求代数式（m＞﹣1）的最小值．问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？42．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，的最小值为；当x＜0时，的最大值为．（2）当x＞0时，求的最小值．（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．43．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下：∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值；（2）代数式﹣a2﹣8a+16有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值．。

初三数学解一元二次方程——配方法及答案解析

初三数学解一元二次方程——配方法一．选择题（共1小题）1．（2013春•奉化市校级月考）用配方法解一元二次方程y2﹣y=1，两边应同时加上的数二．填空题（共8小题）2．（2013秋•湖里区校级月考）用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为．3．（2013秋•曲阜市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得．4．用配方法解一元二次方程﹣3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以．5．（2006秋•仙桃期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9=0时，当配成完全平方后，原方程可变为．6．（2014春•莱州市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣x=1时，应先两边都加上．7．（2010秋•宜城市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1=0，把右边配成完全平方后为（x﹣）2=．8．（2006秋•西城区校级月考）用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=．9．（2013秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣7=0用配方法化成（x+h）2=k的形式为．三．解答题（共11小题）10．（2008•青岛）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0．11．用配方法解一元二次方程：x2+3x+1=0．12．（2010秋•上海校级月考）（1）化简：（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=013．（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．14．（2012春•威海期末）已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个根．请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积．15．（1）解一元二次方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0（2）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x．16．（2013秋•大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．用公式法解一元二次方程：3x2+5x﹣2=0．18．（2010秋•岳池县期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0 （1）求证：不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=4时，用配方法解此一元二次方程．19．用配方法解下列关于x的一元二次方程：9x2﹣12x=1．20．（2012春•兰溪市校级期中）解下列一元二次方程：（1）用配方法解方程：x2+4x﹣12=0（2）3（x﹣5）2=2（x﹣5）初三数学解一元二次方程——配方法参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2013春•奉化市校级月考）用配方法解一元二次方程y2﹣y=1，两边应同时加上的数y=1y+=1+，y=1，两边应同时加上的数是二．填空题（共8小题）2．（2013秋•湖里区校级月考）用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（x+4）2=9．3．（2013秋•曲阜市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（x﹣2）2=2．4．用配方法解一元二次方程﹣3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以﹣3．x=05．（2006秋•仙桃期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9=0时，当配成完全平方后，原方程可变为（x+4）2=25．6．（2014春•莱州市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣x=1时，应先两边都加上（）2．﹣（））．故答案为（）7．（2010秋•宜城市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1=0，把右边配成完全平方后为（x﹣4）2=15．8．（2006秋•西城区校级月考）用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=．x=，x++）比较对应系数，有：故答案是：、．9．（2013秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣7=0用配方法化成（x+h）2=k的形式为（x﹣2）2=11．三．解答题（共11小题）10．（2008•青岛）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0．1=，11．用配方法解一元二次方程：x2+3x+1=0．（）x+=x+±12．（2010秋•上海校级月考）（1）化简：（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0==，=1+﹣13．（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x=，等式的两边都加上x++）﹣=±=，﹣14．（2012春•威海期末）已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个根．请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积．×=×2．15．（1）解一元二次方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0 （2）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x．﹣﹣x+）﹣．﹣=±，．16．（2013秋•大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．x=求解即3x=3x++，），=±，+，﹣===﹣17．用公式法解一元二次方程：3x2+5x﹣2=0．，进行计算即可．===，=18．（2010秋•岳池县期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0 （1）求证：不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=4时，用配方法解此一元二次方程．19．用配方法解下列关于x的一元二次方程：9x2﹣12x=1．x=，x+=﹣==±，20．（2012春•兰溪市校级期中）解下列一元二次方程：（1）用配方法解方程：x2+4x﹣12=0（2）3（x﹣5）2=2（x﹣5）．。

中考数学复习专题06 配方法题研究(原卷版)

备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝82. 用配方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．的值．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。