2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课时检测34不等关系与不等式

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2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课件：第1章-第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

(1)命题“若 x、y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数” 的逆否命题是( )
方法技巧
A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
核心考向课时限时检测
C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
基础知识点
2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没
方法技巧
有关系．
核心考向
课时限时检测
菜
单
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
二、充分条件与必要条件
方法技巧
核心考向
p是q的充分 (必要 )条件， q是r的充分 (必
课时限时检测
p是r的充分 (必要 )条件． “p 是 q 的充分不必要条件 q”两者的不同，前者是 ”与“p 的一个充分 “p⇒q”而后者是 “q
注意区分不必要条件是 ⇒p”．
核心考向课时限时检测
D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3
【答案】 A
菜
单
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基础知识点
π 2．命题“若 α＝4，则 tan α＝1”的逆否命题是( π A．若 α≠4，则 tan α≠1 π C．若 tan α≠1，则 α≠4 π B．若 α＝4，则 tan α≠1
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2016届高考数学理科一轮新课标A版开卷速查33不等关系与不等式

开卷速查(三十三) 不等关系与不等式A 级基础巩固练1．若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B .b a ＜1C ．lg (a －b)＞0D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a 2＜b 2，ba ＞1，lg (a －b)＝0，排除A 项，B 项，C 项，故选D .答案：D2．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝32时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件．答案：A3．已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2≥0B.ac ＞bcC ．|a |＞|b | D.2a ＞2b解析：A 项中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 项不成立；当0＞a ＞b 时，C 项不成立；由a ＞b 知2a ＞2b 成立，故选D.答案：D4．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个解析：运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案：C5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A.c a ＜b aB.b －a c ＞0C.b 2c ＜a 2cD.a －c ac ＜0解析：∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0，a ＞0，∴c a ＜b a ，b －ac ＞0，a －c ac＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c 不一定成立．选C 项．答案：C6．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式： ①1a ＋b＜1ab ； ②|a |＋b ＞0； ③a －1a ＞b －1b ； ④ln a 2＞ln b 2. 其中，正确的不等式是( ) A ．①④ B.②③ C ．①③ D.②④解析：因为1a ＜1b ＜0，所以可取a ＝－1，b ＝－2.1a ＋b＝－13，1ab ＝12，故①成立；又|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，故②错误；又a －1a ＝0，b －1b ＝－32＜0，故③成立；又ln a 2＝0，ln b 2＝ln22＞0，故④错误，选C. 答案：C7．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是__________．解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y2x 4，且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x 3y 4≤27. 答案：278．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是__________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④9．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是__________(把正确命题的序号写在横线上)．解析：若c ＞0，则①不成立；由ac 2＞bc 2知c 2≠0，则a ＞b ，②成立；由a ＜b ＜0知a 2＞ab ＞b 2，③成立；由c ＞a ＞b ＞0，得0＜c －a ＜c －b ，则1c －a ＞1c －b ，则a c －a ＞bc －b ，④成立；若a ＞b ，1a －1b ＝b －aab ＞0，则a ＞0，b ＜0，⑤成立．答案：②③④⑤10．若实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a 、b 、c 的大小．解析：∵b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0， ∴b ≥c .由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝5a 2－8a ＋11， ①b －c ＝a 2－6a ＋9， ② 由①＋②得b ＝3a 2－7a ＋10， ∵b －a ＝3a 2－7a ＋10－a ＝3a 2－8a ＋10 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －432＋143＞0， ∴b ＞a .由①－②得c ＝2a 2－a ＋1，∴c －a ＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12＞0， ∴c ＞a .综上：b ≥c ＞a .B 级能力提升练11．若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a ≥2中一定成立的是( )A ．①②③ B.①②④ C ．①②D.②④解析：①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不成立； ④若a ＜0，则a ＋1a ＜0. ∴①②一定成立，故选C. 答案：C12．已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：①a c 2＞b c 2⇒a ＞b ；②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b ；③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b ；④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a )＞log b 11－a.其中正确的个数是( )A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个解析：由a c 2＞bc 2可知c 2＞0， ∴a c 2·c 2＞b c 2·c 2，即a ＞b ，∴①正确．由a 3＞b 3，ab ＞0，可得a ＞b ＞0或b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ，∴②正确．由a 2＞b 2，ab ＞0可得a ＞b ＞0或a ＜b ＜0，a ＞b ＞0时，1a ＜1b ，但a ＜b ＜0时，1a ＞1b ，故③不正确． ∵0＜a ＜b ＜1，∴log a (1＋a )＞log b (1＋a )．又∵log b (1＋a )－log b 11－a ＝log b (1－a 2)＞0，∴log b (1＋a )＞log b 11－a，∴log a (1＋a )＞log b 11－a ，故④正确，故选C.答案：C13．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg xy ＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y .∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy ≤4， ∴6≤lg(x 4y 2)≤10.14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0. ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca . ∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2.解得－2＜c a ＜－12.。

2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习不等式、推理与证明

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式基础盘查一两个实数比较大小的方法 (一)循纲忆知1．了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2．了解不等式(组)的实际背景． (二)小题查验判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现( ) (2)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种( ) (3)若ab ＞1，则a ＞b ( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 基础盘查二不等式的基本性质 (一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性( ) (4)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒a d ＞bc ( )(5)若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(人教A 版教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ； (4)a ＞b ＞0⇒1a 2________1b2.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜考点一比较两个数(式)的大小|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]两个实数比较大小的法则[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1.∴当a >1时，a ＋2>31－a；当a <1时，a ＋2<31－a.[类题通法]比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．考点二不等式的性质|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.[提醒] 不等式两边同乘数c 时，要特别注意“乘数c 的符号”．[典题例析]1．(2013·天津高考)设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件．2．(2015·西宁二模)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞bc，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．[类题通法](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．[演练冲关]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C. 法二：取特殊值．考点三不等式性质的应用|(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变] [典型母题]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10].[题点发散1] 若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4，求f (－2)的取值范围．解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)．又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10，故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)．[题点发散2] 若本例条件不变，求2a －3b 的取值范围．解：设2a －3b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52，所以2a －3b ＝－12(a ＋b )＋52(a －b )＝－12f (1)＋52f (－1)∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴－2≤－12f (1)≤－1，52≤52f (－1)≤5，∴12≤2a －3b ≤4. 故2a －3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，4. [题点发散3] 若本例条件变为：已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y的取值范围是[－1,5]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．一、选择题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B. 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2015·西安检测)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.4．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．5．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.6．(2015·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：选D ∵ab ＞0，bc －ad ＞0， ∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确； ∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．故选D. 二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确命题的序号是__________．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，有b 2<11，无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1) 三、解答题11．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2.又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2. 12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法基础盘查一元二次不等式 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． (二)小题查验 1．判断正误(1)不等式ax 2＋x －1＞0一定是一元二次不等式( )(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合( )(3)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集为R 时，ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立( )(4)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1，x 2，且x 1＜x 2，则ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |x ＜x 1或x ＞x 2()答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 3．(人教A 版教材例题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________．答案：∅4．已知集合A ＝{}x |－5＜x ＜1，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案：－1 1考点一一元二次不等式的解法|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]设一元二次不等式为ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，其中Δ＝b 2－4ac ，x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根且x 1＜x 2.(1)当a ＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x ＜x 1，或x ＞x 2}；若Δ＝0，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠－b 2a ；若Δ＜0，则不等式的解集为R .(2)当a ＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}；若Δ＝0，则不等式的解集为∅；若Δ＜0，则不等式的解集为∅.[题组练透]1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.2．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．考点二一元二次不等式恒成立问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[多角探明]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6.所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＜0或0＜m ＜67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．考点三一元二次不等式的应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．[类题通法]求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[演练冲关]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成(要求售价不能低于成本价)．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x ＝20(10－x )(50＋8x ) 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得x ≤2. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.一、选择题1．(2014·大纲卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}，故选C.2．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.3．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，94.故选B.4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．[80,125) B ．(80,125) C ．(－∞，80)D ．(125，＋∞) 解析：选A 由5x 2－a ≤0，得－ a5≤x ≤ a 5，而正整数解是1,2,3,4，则4≤a5＜5， ∴80≤a ＜125. 故选A.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则： y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C.6．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，二、填空题7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则a 的值为________．解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}， ∴1－a ＜0，即a ＞1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6＜0，a －1＞0，其解集为{x |－3＜x ＜1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎨⎧a ＞1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.答案：39．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是________台．解析：由题意知3 000＋20x －0.1x 2－25x ≤0，即0.1x 2＋5x －3 000≥0， ∴x 2＋50x －30 000≥0， ∴(x －150)(x ＋200)≥0. 又x ∈(0,240)， ∴150≤x ＜240，即生产者不亏本时的最低产量为150台．答案：15010．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0] 三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础盘查一二元一次不等式(组)表示的平面区域 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (二)小题查验 1．判断正误(1)二元一次不等式的解是由x 和y 两部分构成的有序实数对(x ，y )( )(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集( ) (3)原点能判断二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0所表示的平面区域( )(4)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方( ) (5)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0( )(6)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B基础盘查二线性规划中的基本概念 (一)循纲忆知会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(线性约束条件、线性目标函数等概念)．(二)小题查验 1．判断正误(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值( ) (2)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(人教A 版教材练习改编) 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：3考点一二元一次不等式(组)表示平面区域|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0. (1)直线与平面内的点直线l 把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线上的点；在直线上方区域内的点；在直线下方区域内的点．(2)不等式表示的区域：以不等式的解(x ，y )为坐标的所有点构成的区域，即为不等式表示的区域．[题组练透]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函数的最值|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]求目标函数的最值要明确几个概念(1)约束条件：由变量x ，y 组成的不等式(组)；(2)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)； (3)目标函数：关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等； (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )；(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．[多角探明]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y的最小值为 ________.解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.答案：1角度二：求非线性目标的最值3．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13. 4．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．角度三：求线性规划中的参数5．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.6．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[类题通法]1．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[演练冲关]A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700. 故最大利润是1 700元．答案：1 700一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝ OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D 如图作可行域，z ＝ OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.。

高考数学一轮复习6.1不等关系与不等式的解法课时跟踪训练文

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式的解法课时跟踪训练文一、选择题1．(2014·西安五校第三次模拟)若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0≤x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：集合A ＝{x |0≤x <1}，集合B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A. 答案：A2．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，所以可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2，故选D.答案：D3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式成立的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0解析：因为a －|b |>0，所以a >|b |≥0，所以，不论b 为何实数都有b ＋a >0. 答案：C4．(2014·洛阳一模)设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7 解析：由A 可知x <－1或x >3，如图．若A ∪B ＝R ，则x 2＋ax ＋b ＝0的两根x 1，x 2必有x 1≤－1，x 2≥3. 又A ∩B ＝(3,4]，故x 1＝－1，x 2＝4. ∴－1＋4＝－a ，∴a ＝－3，－1×4＝b ，∴b ＝－4，故a ＋b ＝－7. 答案：D5．(2015·天津一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1x <0，x －1x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤ 2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x ＋x ＋1[－x ＋1＋1]≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋x ＋1[x ＋1－1]≤1，∴x <－1或－1≤x ≤ 2－1.∴x ≤ 2－1. 答案：C6．已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：①a c 2>b c2⇒a >b ；②a 3>b 3，ab >0⇒1a <1b；③a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b；④0<a log b11－a. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由a c 2>b c 2可知c 2>0，∴a c2·c 2>b c2·c 2，即a >b ，∴①正确．由a 3>b 3，ab >0，可得a >b >0或b <a <0，∴1a <1b，∴②正确．由a 2>b 2，ab >0可得a >b >0或a b >0时1a <1b ，但a 1b，故③不正确．∵0<a log b (1＋a )．又∵log b (1＋a )－log b 11－a＝log b (1－a 2)>0，∴log b (1＋a )>log b 11－a ，∴log a (1＋a )>log b 11－a ，故④正确．答案：C 二、填空题7．(2015·辽宁五校高三模拟)函数y ＝log134x 2－3x 的定义域为________．解析：函数y ＝log 134x 2－3x 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x <0或34<x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，18．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是__________．解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1a 2＝a ＋ba －b2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca的取值范围是__________．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )，又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0， ∴1>－a ＋c a >c a ，∴1>－1－c a >ca， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a <－1，c a >－2，∴－2<c a <－12.答案：－2，－12三、解答题10．已知b >a >0，x >y >0，求证：xx ＋a >yy ＋b.证明：xx ＋a －yy ＋b ＝x y ＋b －y x ＋ax ＋a y ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵b >a >0，x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.11．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为Ø.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为Ø.12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：解法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g －1≥0，解得－3≤a ≤1.。

【名师金典】版高考数学大一轮复习课时限时检测(三十四)不等关系与不等式

课时限时检测(三十四) 不等关系与不等式(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1b B ．a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1 D ．a |c |＞b |c |【答案】 C2．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是() A.c a ＜b a B.b －a c ＞0C.b 2c ＜a 2cD.a －c ac ＜0【答案】 C3．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【答案】 A4．若A ＝1x 2＋3与B ＝1x ＋2，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ≥BD ．不确定【答案】 A5．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0【答案】 B6．设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简)【答案】 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *8．x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小关系是．【答案】 x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)9.已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a ＞b ，有ac 2＞bc 2；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c .以上命题中正确的是 (请把正确命题的序号都填上)．【答案】 ②③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，求a －b ，a b的取值范围．【解】 ∵15＜b ＜36，∴－36＜－b ＜－15.又12＜a ＜60，∴12－36＜a －b ＜60－15，∴－24＜a －b ＜45.又136＜1b ＜115，∴1236＜a b ＜6015， ∴13＜a b＜4. 11．(12分)下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．【解】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n 张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋－2n ，80n－2n ，n ∈N *，解得5≤n ≤5514，由n ∈N *知，n ＝5，∴15－2n ＝5，故可预订足球比赛门票5张． 12．(13分)若实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a 、b 、c 的大小．【解】 ∵b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴b ≥c .①又⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，∴c ＝2a 2－a ＋1. 则c －a ＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12＞0， ∴c ＞a .②由①②得b ≥c ＞a .。

2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件同步测试卷不等式选讲

C．充要条件
D．不充分也不必要条件
【解析】当 ab≥0，a(e－1)(k＋1)＋e，所以 ek＋2>(e－1)(k＋1)＋e. 这说明，n＝k＋1 时，不等式也成立．
由①②知不等式TTn＋n 1<xxn＋n 1对一切 n∈N*都成立．证法二：令 f(x)＝ex＋1－(e－1)x－e，则 f′(x)＝ex＋1－(e－1)，当 x>0 时，f′(x)＝ex＋1－(e－1)>e－(e－1)＝1>0，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0. 因为 n∈N*，所以 f(n)>0，即 en＋1－(e－1)n－e>0，所以 en＋1>(e－1)n＋e.
2．设 a，b∈(0，＋∞)，且 a≠b，则下列不等式
正确的是( D )
A.a＋2 b＞ ab＞
a2＋b2 2
B.a＋2 b＞ a2＋2 b2＞ ab
C. a2＋2 b2＞ ab＞a＋2 b
D. a2＋2 b2＞a＋2 b＞ ab
第三页，编辑于星期五：二十一点五十七分。
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋2 b> ab.
【解析】∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x －3)|＝4，

【金版新学案】高考数学总复习课时作业34 不等关系理北师大版

课时作业(三十四) 不等关系A 级1．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为( )A ．A ＜BB ．A ＝BC ． A ＞BD ．不确定2．(2012·山东潍坊二模)“a ＞1”是“1a＜1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定4．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式恒成立的是( )A.1a ＜1bB.1a ＞1bC ．a 2＞1b 2D ．a ＞b 25．已知a ，b 为实数，则“a ＞b ＞1”是“1a －1＜1b －1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c以上命题中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．7．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是________．8．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．9．(2012·徐州模拟)若a ＞b ＞0，且a ＋m b ＋m ＞a b，则实数m 的取值范围是________． 10．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品至少140件，所需租赁费最多不超过2 500元，写出满足上述所有不等关系的不等式．11．(2012·汉中调研)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b.B 级1．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，a ＝log 2x ，b ＝2log 2x ，c ＝log 32x ，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是________．3．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．详解答案课时作业(三十四)A 级1．A 因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3＜0，故A ＜B .2．A 当1a ＜1时，有1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以“a ＞1”是“1a＜1”成立的充分不必要条件．3．A ∵0＜a ＜1b，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab ＋a ＋b＞0，故选A. 4．D 若b ＜0，则1b ＜0，∴1a ＞1b，故A 不正确．若b ＞0，由a ＞1＞b ＞0，得1a ＜1b，故B 也不正确．当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4＜9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－1＜b ＜1，∴0≤b 2＜1，∴a ＞1＞b 2，D 正确．5．A 由a ＞b ＞1⇒a －1＞b －1＞0⇒1a －1＜1b －1，当a ＝0，b ＝2时，1a －1＜1b －1，∴1a －1＜1b －1⇒/ a ＞b ＞1，故选A. 6．解析： ①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c ＞0知成立．答案： ②③7．解析： ∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2， ∴－π＜α＋β＜π，∴－π2＜α＋β2＜π2； ∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π，∴－π2≤α－β2＜π2， ∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 8．解析： a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.答案： a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 19．解析：由a ＋m b ＋m ＞a b ⇒a ＋m b ＋m －a b ＞0⇒m b －a b b ＋m ＞0，由a ＞b ＞0，则上式等价于m b ＋m ＜0，即－b ＜m ＜0.答案： (－b,0)10．解析：设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，200x ＋300y ≤2 500，x ∈N ，y ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，x ＋2y ≥14，2x ＋3y ≤25，x ∈N ，y ∈N . 11．证明： xx ＋a －y y ＋b ＝bx －ay x ＋a y ＋b. ∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0，∴bx －ay x ＋a y ＋b ＞0，∴x x ＋a ＞y y ＋b. B 级1．C ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴－1＜log 2x ＜0. ∴c －a ＝log 2x (log 2x ＋1)(log 2x －1)＞0，即c ＞a . a －b ＝－log 2x ＞0，∴a ＞b ，∴c ＞a ＞b ，故选C.2．解析： ∵－4＜b ＜2，∴0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0. 又∵1＜a ＜3，∴－3＜a －|b |＜3.答案： (－3,3)3．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y ＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y ， ∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg x y ≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10.。

2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课时检测13导数的概念及其运算

课时限时检测(十三) 导数的概念及其运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4【答案】 D3．(2013·大纲全国卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6 【答案】 D4．(理)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1 【答案】 A5．(理)放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量，已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【答案】 D6．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【答案】 28．已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程是________．【答案】 y ＝－2x9．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .【答案】 ①②③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．【解】设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)，且－x 21＝x 22－4.解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 方程为y ＝0或y ＝4x －4.11．(12分)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限，求切线方程．【解】设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1①y 1＝－x 21＋92x 1－4② ①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.故所求切线方程为y ＝12x .12．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十三)不等关系与一元二次不等式理(重点高中)

课时跟踪检测（三十三）不等关系与一元二次不等式(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N . 2.不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2解析：选A 原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －2x －12x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.3.(2018·广东清远一中一模)若关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5.在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b.所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4，解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4，解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4) 9.设实数a ，b ，c 满足： ①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：因为c －b ＝(a －2)2≥0，所以c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b >a ，从而c ≥b >a .10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.B 级——拔高题目稳做准做1．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.2.(2018·云南统检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x－2，x <1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A.{}x |0≤x ≤2B.{}x |0≤x ≤3C.{}x |1≤x ≤2D.{}x |1≤x ≤3解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x－2，x <2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x <2时，由22－x－2≤0，解得1≤x <2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{}x |1≤x ≤3.3．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]4.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ()a ，b ∈R 的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，所以c ＝9. 答案：95．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 6.已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f (x )＝g xx. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a >0，所以g (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g 2＝1，g 3＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由已知及(1)可得f (x )＝x ＋1x－2，f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，化简得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k ，令t ＝12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 即k ≤t 2－2t ＋1，记h (t )＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故h (t )max ＝1，所以实数k 的取值范围是(－∞，1]．。

2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课时检测31等比数列

课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】 1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)． (2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1. 12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立． (3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q(q 3－1)， a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．。

2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课时检测5函数的单调性与最值Word版含答案

课时限时检测(五) 函数的单调性与最值(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】 B2．下列函数中，满足x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 【答案】 A3．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1) B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1) 【答案】 B4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】 C5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 C6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤1，ax －1，x ＞1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ＞2C ．－2＜a ＜2D ．a ＞2或a ＜－2 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.【答案】－68．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [3，＋∞)9．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】 ②③④三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．【解】 (1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a ，2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1，当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a ，1＝c a ，即⎩⎨⎧b ＝1－2a ，c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a ， g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上为单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.11．(12分)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明．(3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．【解】 (1)∵当x ＞0，y ＞0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )， ∴令x ＝y ＞0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)， ∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．12．(13分)已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．【解】 (1)证明任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， ∴a ≤1.综上所知a 的取值范围为{a |0＜a ≤1}．。

2016版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课件：第2章-第1节函数及其表示

方法技巧
核心考向
其中正确的有 A．1 个 C．3 个
(
) B．2 个 D．4 个
课时限时检测
【答案】 A
菜单
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
2．下列函数中，与函数 y＝x 相同的是( x2 A．y＝ x C．y＝lg 10x
【答案】 C
)
方法技巧
课时限时检测
核心考向
菜
单
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
如果按照某种确定的对如果按某一个确定的对对应关应关系 f，使对于集合 A 应关系 f，使对于集合 A
方法技巧
任意一个 x，系 f：中的____ 在集合
中的任意 ____一个元素 x，在
方法技巧
核心考向
成一个集合的形式． 3 () 求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．
菜单
课时限时检测
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学
唯一确定的数集合 B 中________ 都有唯一的元 A→B B 中都有_________
f ( x) 和它对应
核心考向
素 y 与之对应
课时限时检测
名称
称 f：A→B 为从集合称 f：A→B 为从集合 A A 到集合 B 的一个函数到集合 B 的一个映射
菜
单
名师金典· 新课标高考总复习·理科数学

2016届高考数学(理)一轮复习作业手册第33讲不等关系与不等式

课时作业(三十三) [第33讲不等关系与不等式](时间：30分钟分值：80分)基础热身1．已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad ＞bcB ．ac ＞bdC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d3．设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n4．已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________． 5．已知a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系为________．能力提升6．[2014·潍坊质检] 已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则( )A ．a 2＜b 2B ．a 2b ＜ab 2C ．2a －2b ＜0D .1a ＞1b7．[2014·黄山模拟] 已知ab ≠0，那么“a b ＞1”是“b a＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知0<|a|<|b|<|c|，b<0，且满足ab 2c ＝b cac ，则下列不等式中成立的是( ) A ．c<b<a B ．a<b<cC ．b<a<cD ．b<c<a9．已知函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋4(0<a<3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( )A ．f(x 1)<f(x 2)B ．f(x 1)＝f(x 2)C ．f(x 1)>f(x 2)D ．f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定10．下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使1a ＜1b成立的充分条件有________(填序号)．11．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．12．(13分)设x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)·(x ＋y)的大小．难点突破13．(1)(6分)已知1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a|＋b>0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④(2)(6分)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人的步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定课时作业(三十三)1．B 2.D 3.B 4.⎣⎡⎦⎤－3π2，π 5．a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 16．C 7.A 8.A 9.A 10.①②④ 11.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，3x ＋4y ≤2512．(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )13．(1)C (2)B。

2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)课件第7章7.1不等关系与不等式

解析
答案
思维升华
题型二
比较大小
例2
(1) 已知 a1 ， a2∈(0,1) ，记
M ＝ a1a2 ， N ＝ a1 ＋ a2 － 1 ，则 M
与N的大小关系是( B )
A.M<N C.M＝N B.M>N D.不确定
比较大小的常用方法作差法：一般步骤：①作差；②变形； ③定号；④结论 . 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式 . 当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
解析
答案
思维升华
例2
ln 3 ln 4 (2)若 a＝ 3 ，b＝ 4 ，c ) B.c<b<a D.b<a<c
ln 5 ＝ 5 ，则( A.a<b<c C.c<ae时，函数f(x)单
调递减.
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c<b<a.
解析
答案
思维升华
③ a－b> a－ b；

2016届高考数学新课标A版理科一轮复习习题6-1不等关系与不等式

自主园地备考套餐加固训练练透考点1．[2014·四川]若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－ad ＞－b c ＞0，所以a d ＜bc ，选D.答案：D2．[2014·山东]已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D3．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0， ∴a ＋b ＜0，故选D. 答案：D4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：因为－1＜b ＜0，所以b ＜b 2＜1. 又因为a ＜0，所以ab ＞ab 2＞a . 答案：D5．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________(答案用区间表示)．解析：设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152，所以两式相加可得z ∈(3,8)．答案：(3,8)。

2016版高考数学大一轮复习课件：第6章-第1节不等关系与不等式

课时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第二十四页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
【尝试解答】 (1)法一 ∵f(a)＝am－2a1，f(b)＝bm－2b1，
方法
技
巧
∴f(a)－f(b)＝am－2a1－bm－2b1＝m2a－a 1－b－b 1
＝m2·ab－a－11－bb－a－1 1＝m2·a－b1－ba－1，
基础知识点
(3)若 α，β 满足－ 1≤1≤ α＋α＋ 2ββ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值范围．
方法技巧
【解】设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋
2y)β.
由xx＋＋2y＝y＝13，，解得yx＝＝2－. 1，
课
核
时
心考
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
D．①②③
课
核
时
心
限
考
【答案】 D
时
向
检
测
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基础知识点
方
法
6．(2013·天津高考)设 a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a
技巧
＜b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
核心
方法技巧
()
A．v＜40 km/h
B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h
D．v≤40 km/h