广东省茂名市2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2016年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|x＞2}2．若复数z满足z=1﹣（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．0 B．1 C．D．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．25．已知sin（﹣x）=，则sin2x=（）A．B．C．﹣D．﹣6．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lnx B．y=x2C．y=cosx D．y=2﹣|x|7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”8．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2 D．既无最小值，也无最大值9．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A．若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB．若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β10．已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且a9•a2008=，则b1+b2+b3+…+b2016=（）A．﹣2016 B．2016 C．log22016 D．100811．已知函数f（x）=，阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为f （1）的值，则输出的k值是（）A．9 B．10 C．11 D．1212．定义两个平面向量的一种运算⊗=||•||sin＜，＞，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①⊗=⊗，②λ（⊗）=（λ）⊗，③若=λ，则⊗=0，④若=λ，且λ＞0，则（+）⊗=（⊗）+（⊗）．恒成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+1，S n为{a n}的前n项和，若S n=21，则n=．14．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=．15．某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天由表中数据算得线性回归方程中的b≈﹣2，预测当气温为﹣5℃时，热茶销售量为杯．16．已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f （c），则abc的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A﹣）=cosA（1）求角A的大小；（2）若a=1，b+c=2，求△ABC的面积S．18．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良，从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．19、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四边形ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点．（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D﹣BME1的体积．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同．（1）求椭圆C1的方程；（2）求经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1、k2（k1≠k2）的两条直线，两直线分别与椭圆C1交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．21．已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）若∠EDO=30°，求∠AOD；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4+|2x﹣1|的解集；（2）若A={x|x2﹣4x≤0}，关于x的不等式f（x）≤a2﹣2的解集为B，且B⊆A，求实数a 的取值范围．2016年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，再求A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞2}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤3}．故选：B．2．若复数z满足z=1﹣（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=1﹣=1﹣=1+i，则|z|=．故选：C．3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，可得，即：，解得=．故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=××2×2×1=．故选：B．5．已知sin（﹣x）=，则sin2x=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【分析】由两角和与差的正弦函数公式展开已知，化简可得cosx﹣sinx=，两边平方，由二倍角的正弦函数公式即可得解．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴可得：（cosx﹣sinx）=，化简可得：cosx﹣sinx=，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，从而解得：sin2x=﹣．故选：C．6．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lnx B．y=x2C．y=cosx D．y=2﹣|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】排除法：根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【解答】解：y=lnx不是偶函数，排除A；y=cosx是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；y=x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；故选D．7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用否命题的定义即可判断出；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可判断出；C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．8．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2 D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A9．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A．若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB．若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β不一定垂直；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，知：在A中：若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α与β不一定垂直，故A错误；在B中：若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中：若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．10．已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且a9•a2008=，则b1+b2+b3+…+b2016=（）A．﹣2016 B．2016 C．log22016 D．1008【考点】数列的求和．【分析】由已知得a1•a2016=a2•a2015=…=a9•a2008=，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，∴数列{a n}是等比数列，∴a1•a2016=a2•a2015=…=a9•a2008=，∴b1+b2+b3+…+b2016=log2（a1•a2…a2016）=log2（a9•a2008）1008==﹣2016．故选：A．11．已知函数f（x）=，阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为f （1）的值，则输出的k值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值．【解答】解：∵f（x）=，∴a=f（1）=f（3）=．由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0++，k=3；…∴第n次运行s=0+++…+=×（1﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=，当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．故选：C．12．定义两个平面向量的一种运算⊗=||•||sin＜，＞，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①⊗=⊗，②λ（⊗）=（λ）⊗，③若=λ，则⊗=0，④若=λ，且λ＞0，则（+）⊗=（⊗）+（⊗）．恒成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①由新定义可得⊗=|=⊗，即可判断出；②由新定义可得=λ，而=，当λ＜0时，λ（⊗）=（λ）⊗，不成立；③若=λ，可得，故⊗=0，即可判断出；④若=λ，且λ＞0，则，由新定义可得⊗=，而==．即可判断出．【解答】解：①∵⊗=|=⊗，故，故恒成立；②∵=λ，而=，当λ＜0时，λ（⊗）=（λ）⊗，不成立；③若=λ，则，得到⊗=0，故恒成立；④若=λ，且λ＞0，则+=（1+λ），∴+⊗=，而+=+=|1+λ|．故（+）⊗=（⊗）+（⊗）恒成立．综上可知：只有①③④恒成立．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+1，S n为{a n}的前n项和，若S n=21，则n=6．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此求出S n=，再由S n=21，能求出n．【解答】解：数列{a n}中，∵a1=1，a n+1=a n+1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n=n+=，∵S n=21，∴=21，解得n=6．故答案为：6．14．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=f（+2）=f（），又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（）=f（），又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，∴f（）=+1=，则=．故答案为：．15．某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程中的b≈﹣2，预测当气温为﹣5℃时，热茶销售量为70杯．【考点】回归分析的初步应用．【分析】先计算样本中心点，再求出线性回归方程，进而利用方程进行预测．【解答】解：由题意，==10，==40将b≈﹣2及（10，40）代入线性回归方程，可得a=60∴x=﹣5时，y=﹣2×（﹣5）+60=70故答案为：7016．已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（10，15）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，根据f（a）=f（b）=f（c），可得﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1），即可求出abc的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1）∴ab=1，c∈（10，15），∴abc=c∈（10，15）．故答案为：（10，15）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A﹣）=cosA（1）求角A的大小；（2）若a=1，b+c=2，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由已知利用两角差的正弦公式展开可求tanA，结合0＜A＜π，可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，结合已知可得bc的值，然后利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知有sinA•cos﹣cosA•sin=cosA，…故sinA=cosA，tanA=．…又0＜A＜π，所以A=．…（2）∵a=1，b+c=2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，1=b2+c2﹣bc，…所以1=（b+c）2﹣3bc，即解得：bc=1，…∴=．…18．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良，从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由统计表得到[0，50]内的监测点有15个，由频率分布直方图得[0，50]内的频率为0.15，由此能求出求出x，y的值，并完成频率分布直方图．（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，由此利用列举法能求出事件A“其中至少有一个为良”发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由统计表得到[0，50]内的监测点有15个，由频率分布直方图得[0，50]内的频率为0.003×50=0.15，∴，解得x=100．∴y=100﹣15﹣40﹣10=35．=0.008，，，作出频率分布直方图，如右图．（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个基本事件，有=10种取法，其中事件A“其中至少一个为良”包含的基本事件为：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共7种，∴事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是p=．19．19、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四边形ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点．（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D﹣BME1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．（2）根据条件求出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】（1）证明：取E1D的中点N，连接MN，AN，在△E1DC中，M，N分别为E1C，E1D的中点，∴MN∥CD，MN=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴MN∥AB，MN=AB．则四边形ABMN是平行四边形，则BM∥AN，∵AN⊂平面ADE1F1，BM⊄平面ADE1F1，∴BM∥平面ADE1F1．（2）由平面ADE1F1⊥平面ABCD，E1D⊂平面ADE1F1，平面ADE1F1∩平面ABCD=AD，E1D⊥AD，E1D⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，E1D∩CD=D，∴AD⊥平面E1DC，∵AB∥CD，CD⊂平面E1DC，AB⊄平面E1DC，∴AB∥平面E1DC，则B到平面E1DC的距离就是A到平面E1DC的距离，即B到平面E1DC的距离是AD，由=，则=•AD=，即三棱锥D﹣BME1的体积V=．20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同．（1）求椭圆C1的方程；（2）求经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1、k2（k1≠k2）的两条直线，两直线分别与椭圆C1交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线PM：y=k1（x+2），与椭圆联立，求出M，同理求出N，由直线MN与y轴垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，∴，解得a=2，c=，b2=4﹣3=1，∴椭圆C1的方程为．（2）由题意，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标也为0，∴k1=k2=0，与k1≠k2矛盾，∴k1≠0，设直线PM：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），∴M（，），同理N（，），∵直线MN与y轴垂直，∴=，化简，得，∴（k2﹣k1）（4k1k2﹣1）=0，又由k1≠k2，得4k1k2﹣1=0，∴k1k2=．21．已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】解法一：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点P （1，f（1））处的切线斜率k，结合已知可求a（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx，利用函数的导数，判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，结合F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，可证（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h′（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求【解答】解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以，函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．由2+a=10得：a=8．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx．因为F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．又因为，所以F（x）在（0，+∞）上递增，所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一个实根．…（Ⅲ）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切线方程为，即（x＞0）．…记h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），则．…（1）当，即t=2时，对一切x∈（0．+∞）成立，所以h（x）在（0，+∞）上递增．又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…（2）当，即t＞2时，时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．故h（x）在上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．又h（t）=0，所以当时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．…（3）当，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；时，h'（x）＞0．故h（x）在（0，t）上单调递增，在上单调递减．又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当时，h（x）＜0，即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切线方程为，即（x＞0）．…记h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），则．…若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．所以h（x）在（0，+∞）上递增．又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）若∠EDO=30°，求∠AOD；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线，利用∠EDO=30°，求∠AOD；（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】（1）解：连接BE，OE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．∵∠EDO=30°，∴∠DBE=∠DEB=∠A=60°，∴∠AOD=120°；（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程；直线l消去参数能求出直线l的普通方程．（2）当m=2时，直线l为：﹣2=0，曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，求出圆心（1，0）到直线l的距离d，由勾股定理能求出|AB|．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣2x=0．∵直线l的参数方程是（t为参数），∴消去参数得直线l的普通方程是x﹣y﹣m=0．（2）当m=2时，直线l为：﹣2=0，∵直线l与曲线C交于A、B两点，曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆．圆心（1，0）到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2=．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4+|2x﹣1|的解集；（2）若A={x|x2﹣4x≤0}，关于x的不等式f（x）≤a2﹣2的解集为B，且B⊆A，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）方法一：将a=2代入f（x），问题转化为解不等式|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4≤0即可；方法二：令g（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围结合集合的包含关系，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）解法1：a=2时，f（x）≤4+|2x﹣1|即为|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4≤0可化为：…解得…所以不等式f（x）≤4+|2x﹣1|的解集为R．…5 分解法2：令g（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣1|﹣4，则…，，所以…所以不等式f（x）≤4+|2x﹣1|的解集为R．…（2）A={x|x（x﹣4）≤0}={x|0≤x≤4}…①时a 2﹣2＜0，这时f （x ）≤a 2﹣2的解集为φ，满足B ⊆A ，所以…②当时a 2﹣2≥0，B ≠φ 这时f （x ）≤a 2﹣2即|x ﹣a|≤a 2﹣2可化为2+a ﹣a 2≤x ≤a 2+a ﹣2 所以B={x|2+a ﹣a 2≤x ≤a 2+a ﹣2}…因为B ⊆A所以即即所以﹣1≤a ≤2…又因为所以综合①②得实数a 的取值范围为…2016年4月12日。