最新九年级数学上三章证明三
最新九年级数学上第三章证明三
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质
我思,我进步3
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A
∴FE∥AB,FE 1 AB. MN∥AB,MN 1 AB. C
2
2
∴ FE∥MN,FE=MN.
∴四边形FENM是平行四边形.
FG
∴MG=GE,NG=GF.
M●
∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
A
D
∴同G同E∶理G,AG=DG∶FG∶CG=B1=∶12∶..2.
∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2
求证：AF= 1 FC,
1 EF= BE
G
2
3
A
F E
B
D
C
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D ∴EF∥AC,EF 1 AC.
G
C
2
HG∥AC,HG 1 AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
我思,我进步5
做一做,想一想
1、已知，如图,A,B两地被
A
池塘隔开,在没有任何测量
工具的情况下,有通过学习 M
怎么样,在老师的帮助下,你可A 以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点九年级数学上册第三章知识点一、平行四边形1、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形1、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
）三、菱形1、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
）四、正方形1、正方形的性质定理：正方形的'四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理：l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
北师大版九年级数学上册第三章证明(三)回顾与思考(第一课时)导学案
形成结论：
小组长评价：
课堂小结：
通过本节课的学习，你收获了什么?
达标检测：
1、(15分)在□ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，则图中共有( )对全等三角形.
A、2对；B、3对；C、4对；D、5对.
2、(15分)菱形的对角线长分别是12cm，15cm，则菱形的面积是cm2.
3、(15分)三角形三条中位线围成的三角形的周长为20，则原三角形的周长为.
4、(15分)已知CD是Rt△ABC斜边上的中线，且AC=5，BC=12，则CD=.
5、(15分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，AD=6cm，CD=9cm，则BC=cm.
6、(25分)已知：如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一个点，且AC=EC.求∠DAE的度数.
哲觉中学九年级数学学科导学案(个案)
主备人：苏勇审核人：审批人：编号：
执教人：苏勇使用时间：2013年10月16日学生姓名：班级：九年级(2)班
课题：
第三章证明（三）回顾与思考
课型：
复习课
教师复备栏或学生笔记栏
学习目标：
1、通过复习各种四边形的性质定理，进一步提高推理论证能力；
2、体会三角形的中位线性质的应用.
学习重点、难点：
重点：利用各种四边形的性质解决具体的问题.
难点：四边形性质的灵活应用.
知识链接：
学法指导：
先写后说，互动交流.
自主学习：
1、各类四边形的性质：
2、三角形中位线的定义：叫做三角形的中位线.
3、三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于，且等于.
4、直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于
北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
九年级数学《证明(二)、(三)》专题学案
九年级数学证明（二）、（三）学案 姓名：一、复习准备内容分析证明（二）（三）是在八年级学习证明（一）的基础上的延续和深化，也是后续学习的重要基础，更是中考的必考内容，本部分的重点是要求会用分析法、综合法、两头凑发证明与全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊平行四边形、等腰梯形等有关的问题。
复习目标1、 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明的意识和能力。
2、 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和格式。
3、 结合实例体会反证法的意义，了解逆命题的概念，会识别互逆的两个命题。
4、 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，已知底边和底边上的高会作等腰三角形。
5、 能够利用综合法证明与全等三角形、等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理、判定定理及相关的结论。
6、 熟练掌握平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等有关的性质定理与判定定理，并会用这些定理进行有关的证明与计算。
知识结构二、复习过程 专题一、全等三角形知识整理1、 全等三角形的判定公理①：三边 的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角 的两个三角形全等；公理③： 的两个三角形全等；推论： 的两个三角形全等。
2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边 、对应角 。
典例分析例：（2010年吉林）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF ，垂足为D ，且AD 平分∠FAC ，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。
FCAEBD公理等腰（边）三角形的结论直角三角形的结论一般三角形的结论掌握证明的方法逆命题、命题的真假尺规作图三角形的中位线定理 梯形等腰梯形的性质和判定平行四边形矩形、菱形、正方形性质、判定练习11、（2010年同仁）如图2，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是 （ ） （A ）5（B ）4（C ）3（Ｄ）2图2DEFA BC图3D ABCEF2、（2010年金华市）如图3，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE 。
2013-2014学年北师大版九年级数学(上册)《第三章 证明(三)检测题(1)》单元检测题(含答案详解)
第三章 证明（三）检测题【本试卷满分100分，测试时间90分钟】一、 选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 O ，若BD 、AC的和为18 cm ，CD ︰DA=2︰3，△AOB 的周长为13 cm ，那么BC 的长是（ ）A.6 cmB.9 cmC.3 cmD.12 cm2. 一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（ ） A.30° B. 45° C. 60° D. 75°3.下列判定正确的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两角相等的四边形是等腰梯形C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 4.如图，梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若cm ，cm ，那么（ ）cm.A.4B.5C.6.5D.95.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ） A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较6.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角7.从菱形的钝角顶点，向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A.150°B. 135°C. 120°D. 100°8.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ） ①平行四边形; ②菱形; ③等腰梯形; ④对角线互相垂直的四边形. A.①③B.②③C.③④D.②④9.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形10.矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ） A.6 cm 和9 cmB. 5 cm 和10 cmDC. 4 cm 和11 cmD. 7 cm 和8 cm二、 填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的周长为40 cm ，一条对角线长为16 cm ，则这个菱形的面积是 .12.如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么四边形EFCD 的周长是 .13.已知：如图，平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .14.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠，则∠OAB= .15.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8 cm ，则这个菱形的周长为 .16.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠________ ，∠________.17.边长为的正方形，在一个角剪掉一个边长为的正方形，则所剩余图形的周长为 .18.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 .顺次连接对角线_______ 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形. 三、 解答题（共46分） 19.（7分）如图，在四边形中，，⊥，⊥，垂足为，，求证：四边形是平行四边形.20.（7分）如图，在△中，∠，⊥于，平分∠，交于，交于，⊥于，求证：四边形是菱形.21.（7分）如图，已知正方形，过作∥，∠30，交于点，求证：22.（8分）辨析纠错 已知：如图，△中，是∠的平分线，∥，∥.求证：四边形是菱形.对于这道题，小明是这样证明的：证明：∵平分∠，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.∵∥，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴∠1＝∠3（等量代换）. ∴（等角对等边）.同理可证， ∴ 四边形是菱形（菱形定义）. 老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？（1）请你帮小明指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因） （2）请你帮小明做出正确的解答.23．（8分）如图，在平行四边形中，，E 为中点，求∠的度数.24.（9分）如图，在△中，∠0°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且．⑴求证：四边形是平行四边形；⑵当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形?并说明理由．A B C D E F 1 2 3第三章证明（三）检测题参考答案一、选择题1.A 解析：因为cm ，所以cm. 因为△的周长为13 cm，所以cm.又因为，所以cm.2.B 解析：如图，梯形ABCD中，高则所以∠，故选B.3.C4.A 解析：如图，作EG∥AB，EH∥DC ，因为∠∠，所以∠.因为四边形和四边形都是平行四边形，所以.又因为cm ，cm ，所以cm ，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得cm.5.A 解析：如图，直角梯形中，是的中点，设是的中点，连接，则E是梯形的中位线，所以∥，即⊥.又，所以是的中垂线，所以.6.C7.C 解析：如图，菱形中⊥连接，因为，所以是的中垂线，所以.所以三角形是等边三角形，所以∠，从而∠.第2题答图第4题答图BACEF第5题答图第7题答图8.D 9.C 10.B二、填空题11.解析：如图，菱形ABCD的周长为40 cm ，cm，则cm ，cm，又OA⊥OB，所以cm.所以菱形的面积为.12.12 解析：由平行四边形可得，∠∠OCB.又∠∠，所以△≌△，所以，，所以四边形的周长.13.36 解析：由平行四边形的面积公式，得，即，解得，所以平行四边形的周长为.14.40°15.32 cm 解析:由菱形有一个内角为120°，可知菱形有一个内角是60°，由题意可知菱形的边长为8 cm ，从而周长为（cm）.16.90°，45°解析:通过证明△FGA≌△ABC可得.17.18.平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等三、简答题19. 证明：因为DE⊥AC，BF⊥AC ，所以∠∠.因为，所以.又因为，所以△ADE≌△CBF，所以∠∠，所以AD∥BC.又因为，所以四边形ABCD是平行四边形.20. 证明：∵平分∠，∴.∵，∴∥.∴∠∠.又∠∠，∴∠∠，得，∴.又∥，得四边形是平行四边形.C又，∴四边形是菱形.21. 证明：连结交于点，作于，∵∠，∴∵⊥，⊥，∴G ∥又∥，∴四边形D是平行四边形，∴.又，∴，∴∠.又∠∠∠，∴∠∠E，∴22. 解：⑴小明错用了菱形的定义.⑵改正：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.∵平分∠，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴，∴平行四边形是菱形.23. 解法1：∵为中点，∴21BC.∵，∴∴∠∠，∠∠.∵四边形是平行四边形，∴.又，∴，∴∴. 解法2：如图，设F为AD的中点，连接EF.因为，所以又因为∥，所以四边形是菱形.所以∠∠同理，∠∠所以∠∠24.（1）证明：由题意知，∴∥，∴ .∵ ，∴.又∵ ，∴ △≌△，∴， ∴ 四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）解：当∠时，四边形是菱形 ．理由如下：∵ AB 21.∵ 垂直平分，∴又∵，∴ 四边形是菱形．。
初三数学上学期第三章证明(三)试题
1－3】（2004、重庆北碚，10分）如图1－已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD PB=PC．求证：PA=PD．．已知：如图 l －3－6，E 是□MABCD 的对角线上的两点，A E ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）BE ∥DF ．．如图1－3－8，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥为梯形内一点，且 EA=ED ，求证：EB=EC．在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、BC、CD、DA边上的中点，当梯形___________条件时，四边形EWIH是菱形．－3－13，边长为3的正方形ABCD．已知：如图1－3－l5，在矩形ABCD中，点边上，且BE=CF，AF、DE交于点AM=DM。
年新课标中考题一网打尽★★★）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图⑵试用刻度尺在图1－3－17⑴⑵中量得AQ的长度，估计AQ、B Q间的关系，并填入下表．由上表可猜测AQ、BQ间的关系是______________.2）上述问）中的猜测AQ，BQ间的关系成立吗？3】（2005、温州，8分）如图1－3－ABCD是平行四边形，对角线AC、BD过点O画直线EF，分别交AD、BC于点OE=OF．【回顾4】（2005、南充，3分）如图1－3－21是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点绕正方形ABCDFC＝HB：EC，顺次连结四边形ABCD各要使四边形EFGH为矩形，90°D、33【备考7】如图l－3－28，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点O．若SΔDOE= 9，则SΔAOB等于（）A．18 B．27 C．36 D．45【备考10】如图l－3－30，在□ABCD中，AB=10AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8．2 C．6．4 D．1．8【备考14】（动手操作题）在给定的锐角三角形中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在△ABC15】（探究题）如图l－3－35，矩形ABCDAC与BD的交点，过O点的直线EF与的延长线分别交于E、F．（l）求证：△BOE≌△）当EF与AC满足什么条件时，四边形。
最新北师大版九年级数学上册《第3章 3
1
1
A. 2
B. 3
C.
1 4
D.
1 6
例题精讲 例1 木盒里有一个红球，一个黄球和一个白球，这三个
球除了颜色以外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回 去摇匀后再摸一个球，那么只摸到一个白球的概率是多少？
【思路点拨】根据题意画出树状图，由树状图求得所有 等可能的结果与只摸到一个白球的情况，利用概率公式求解．
出的两个球都是红球的概率为( A )
1
1
A. 4
B. 3
1
3
C. 2
D. 4
2. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿
灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，
但实际这样的概率是( B )
1
1
A. 2
B. 8
3
3
C. 8
D. 4
3. 小明有两双不同的运动鞋，上学时，小明从中任意拿 1
【归纳总结】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地 列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图 法适合两步或两步以上完成的事件．概率＝所求情况数与总 情况数之比．
巩固训练
1. 甲口袋中有 1 个红球和 1 个黄球，乙口袋中有 1 个红球和 1
个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取
出两只，恰好能配成一双的概率是 3 ．
4. 某班准备从成绩最好的 4 名同学(男、女各 2 名)中随 机选取 2 名同学去社区宣传社会主义核心价值观，请用列表 或画树状图的方法，求选出的同学恰好是 1 男 1 女的概率．
解：画树状图如图所示：
由图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中 1 名男生和 1 名女生的 情况有 8 种，
北师大版九年级数学第三章 证明(三)
北师大版九年级上册单元测试第三章 证明（三）（说明：本试题总分150分，考试时间为90分钟） 班级： 姓名： 成绩：一、选择题：（每小题4分，共40分）1、已知平行四边形ABCD 中，∠B=4∠A ，则∠C=（ ）A 、18°B 、36°C 、36°D 、144°2、下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）A 、平行四边形B 、正方形C 、等腰梯形D 、矩形3、如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）A 、AB=CDB 、AD=BC C 、AB=BCD 、AC=BD4、如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A 、9B 、10C 、12D 、135、如图，矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BD 、DF ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A 、3对B 、4对C 、5对D 、6对6、顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A 、正方形B 、矩形C 、菱形D 、等腰梯形7、如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（ ）A 、16B 、13C 、12D 、238、如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连接AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（ ）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、梯形第3题图第4题图 第5题图 第7题图 第8题图 第9题图9、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE 绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）A、45°B、120°C、60°D、90°10、如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A、AE=AFB、EF⊥ACC、．∠B=60°D、AC是∠EAF的平分线二、填空题：（每小题5分，共30分）11、平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=60°，则∠A=度，∠B= 度。
浙教版数学九年级上册《3.3垂径定理》说课稿2
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。
这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。
垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。
在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。
首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。
然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。
这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。
他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。
这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。
然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。
首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。
其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。
2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
浙教版九年级《数学》上册
角角边相等
证明三角形全等的条件 之一，即两个角和一边 分别相等，则两三角形
全等。
角边角相等
证明三角形全等的条件 之一，即两个角和一边 的对角分别相等，则两
三角形全等。
边角边相等
证明三角形全等的条件 之一，即两边和一边的 对角分别相等，则两三
角形全等。
四边形中的证明
对角线性质
四边形的对角线互相平分，这 是四边形的一个重要性质。
一元二次方程的应用
总结词：实际应用
详细描述：一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用。例如，在物理学中，一元二次方 程可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，一元二次方程可以用来解决最优化问题，如最大利润 、最小成本等；在工程学中，一元二次方程可以用来进行结构设计、稳定性分析等。
配方法
总结词：具体操作
02 第二章：一元二次方程
一元二次方程的概念
总结词：基础定义
详细描述：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。一 般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
一元二次方程的解法
总结词：求解方法
详细描述：一元二次方程的解法有多种，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等。其中，配方法是常用的方法 之一，通过配方将方程转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
概率的基本性质
概率具有可加性和有限可加性，即 对于两个互斥事件的并，其概率等 于各事件概率的和。
概率的应用
决策分析
概率可以用于决策分析，帮助人 们评估不同方案的风险和不确定
性。
预测和统计推断
在统计学中，概率用于预测和统 计推断，例如通过大数定律和中
最新浙教版初中九年级《数学》上册第三3章全章总复习知识点考点重难要点整理复习完整完美精品打印版
最新最新浙教版初中九年级《数学》上册第三章复习知识点考点重难点要点综合归类整理复习梳理汇总汇编精品复习资料精品精编精选超级完整版完美版打印版3.圆的基本性质3.1.圆在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径。
以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”。
连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径，直径是半径的两倍。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母）。
半径相等的两个圆能够完全重合，半径相等的两个圆叫做等圆。
能够重合的圆弧称为相等的弧。
如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有d⇔rrdd>r=点在圆内点在圆外；⇔点在圆上；⇔<不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
3.2.图形的旋转一个图形变成另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形的旋转具有以下性质：图形经过旋转所得到的图形和原图形相等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
3.3.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
九年级上数学第三章知识点
第三章证明（三）一．平行四边形的性质1.平行四边形的对边平行。
2.平行四边形的对边相等。
（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
）3.平行四边形的对角相等。
4.平行四边形的邻角互补。
5.平行四边形的对角线互相平分。
6.特别说明：平行四边形是中心对称图形。
二平行四边形的判定方法7..定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
8..定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
9..定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
10..定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
11.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三．等腰梯形的性质12.等腰梯形的两腰相等。
13.等腰梯形在同一底上的两个角相等。
14.等腰梯形的两条对角线相等。
四．等腰梯形的判定方法15.定义：两条腰相等的梯形叫等腰梯形。
16.定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
17.两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
五．矩形的性质(5+2)18.矩形具有平行四边形的一切性质。
19..矩形的四个角都是直角。
20.矩形的对角线相等。
六．矩形的判定方法21.有三个角都是直角的四边形是矩形。
22.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
23.对角线相等的平行四边形是矩形。
七．菱形的性质（5+2）24.菱形具有平行四边形的一切性质。
25.菱形的四条边都相等。
26.菱形的对角线互相垂直。
八．菱形的判定方法27.有四条边都相等的四边形是菱形。
28.邻边相等的平行四边形是菱形。
29.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
九．正方形的性质（5+2+2）30.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
十．正方形的判定方法31.邻边相等的矩形是正方形。
32.对角线垂直的矩形是正方形。
33.有一个角是直角的菱形是正方形。
34.对角线相等的菱形是正方形。
十一三角形的中位线35.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
36．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
湘教版九年级数学上册第3章教案：3.4相似三角形的判定与性质
3． 4相像三角形的判断与性质3．4.1相像三角形的判断第 1 课时相像三角形的判断(1)教课目的【知识与技术】经历三角形相像的判断定理“平行于三角形的一边的直线与其余两边订交，截得的三角形与原三角形相像”和“两角分别相等的两个三角形相像”的研究及证明过程．【过程与方法】让学生经历察看、实验、猜想、证明的过程，培育学生提出问题、剖析问题、解决问题的能力．【感情态度】经过学生踊跃参加，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的研究与创建的快乐．【教课要点】三角形相像的判断定理及应用．【教课难点】三角形相像的判断定理及应用．教课过程一、情形导入，初步认知现有一块三角形玻璃ABC ，不当心打坏了，只剩下∠A 和∠B 比较完好．如果用这两个角去配制一块完好同样的玻璃，能成功吗？【教课说明】选择以旧孕新为切入点，创建问题情境，引入新课．二、思虑研究，获得新知1．在△ABC 中， D 为 AB 上随意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.(1)△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？(2)分别胸怀△ ADE 与△ABC 的边长，它们的边长能否对应成比率？(3)△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行挪动DE 的地点，你的结论还成立吗？【概括结论】平行于三角形的一边的直线与其余两边订交，截得的三角形与原三角形相像．2．如图，D、E 分别是△ABC 的 AB 与 AC 边的中点，求证：△ ADE 与△ABC 相像．证明：∵D、E 分别是△ABC 的 AB 与 AC 边的中点，∴DE∥BC，∴△ ADE ∽△ ABC.3．随意画△ABC 与△ A′ B′，C使′∠A′＝∠ A ，∠B′＝∠B.(1)∠C′＝∠C 吗？(2)分别胸怀这两个三角形的边长，它们能否对应成比率？(3)把你的结果与同学沟通，你们的结论同样吗？由此你有什么发现？【教课说明】此时，教师鼓舞学生勇敢猜想，得出命题．假如学生还可以从不同角度研究，也许还有新的方法进行证明，要勇敢鼓舞．【概括结论】两角分别相等的两个三角形相像．4．如图，在△ABC 中，∠ C＝ 90°，DE⊥AB 于 E， DF⊥ BC 于 F.求证：△DEH ∽△ BCA.证明：∵DE⊥AB ，DF⊥BC，∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠ HED＝∠C＝90°，∴△ DEH ∽△ BCA.三、运用新知，深入理解1．赐教材 P78 例 2、P80 例 4.2．判断题：(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相像．()(2)全部的直角三角形都相像．()(3)有一个角相等的两个等腰三角形相像．()(4)顶角相等的两个等腰三角形相像．()【答案】 (1) ；√(2) ×；(3) ×； (4) √3．如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上， AG 交 BC、BD于点 E、F，则△ AGD ∽______∽________．分析：要点是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的之外，还应联合详细的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G 外，由 BC∥AD 可得∠1＝∠2，所以△AGD ∽△ EGC.再∠1＝∠ 4(对顶角 )，由 AB ∥ DG 可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△ EAB.【答案】△EGC△EAB4．已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.求证：△ABC ∽△ DEF.证明：∵在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180 °－40°－80°＝60°，∵在△DEF 中，∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ ABC ∽△ DEF.(两角对应相等，两三角形相像)5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角均分线，求证：△ABC ∽△ BCD.剖析：证明相像三角形应先找相等的角，明显∠C 是公共角，而另一组相等的角则能够经过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ ABC ＝∠ C＝ 72°，又BD 均分∠ABC ，则∠DBC＝36°，在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ ABC ∽△ BCD.6．已知：如图，在Rt△ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高．求证：△ACD ∽△ ABC ∽△ CBD.证明：∵∠A＝∠A，∠ADC ＝∠ACB＝90°，∴△ ACD ∽△ ABC ， (两角对应相等，两三角形相像 )同理△ CBD∽△ ABC ，∴△ ABC ∽△ CBD∽△ ACD.【教课说明】学生在独立思虑的基础上，小组议论沟通，让学生随时展现自己的想法．进而获得提升．四、师生互动、讲堂小结先小组内沟通收获和感想，尔后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业部署作业：教材“习题 3.4 ”中第 2 题．教课反省经过这节课的教课，绝大多半学生能运用本节课所学的知识进行有关的计算和证明；少量学生在研究两个三角形相像的定理时，不会用学过的知识进行证明．第 2 课时相像三角形的判断(2)教课目的【知识与技术】经历三角形相像的判断定理“两边成比率且夹角相等的两个三角形相像”和“三边成比率的两个三角形相像”的研究及证明过程．【过程与方法】让学生经历察看、实验、猜想、证明的过程，培育学生提出问题、剖析问题、解决问题的能力．【感情态度】在合作、沟通、商讨的学习气氛中，体验学习的快乐，建立学习的信心．【教课要点】 [根源 :Z。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点第三章: 函数与方程1. 函数定义和表示：- 函数是一种特殊的关系，表示两个变量之间的依赖关系。
- 一般用 f(x) 或 y 表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
- 函数还可以用映射法、列表法、图象法等表示。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
- 奇偶性：如果对于任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
- 单调性：如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)，则函数是增函数；如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，则函数是减函数。
- 周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。
3. 一次函数：- 函数的形式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 都是常数。
- k 是斜率，表示函数的倾斜程度。
- b 是截距，表示函数与 y 轴的交点。
4. 二次函数：- 函数的形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 都是常数且 a ≠ 0。
- a 决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
- (h, k) 是二次函数的顶点，其中 h 和 k 分别是顶点的 x 坐标和 y 坐标。
5. 反比例函数：- 函数的形式为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
- 函数的图象为一条经过原点的开口向右下方的曲线。
6. 线性方程与一次不等式：- 一次方程的形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数且 a ≠ 0。
- 方程的解为 x = -b/a。
- 一次不等式的形式为 ax + b > 0 或 ax + b < 0。
- 方程的解为 x > -b/a 或 x < -b/a。
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O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.
求矩形对角线的长.
ADຫໍສະໝຸດ 解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OAOC1AC.
OBOD1BD.
2
2
OA OD .
∵∠AOD=1200,
O
B
C
你认为例1还可以 怎么去解？
∴∠ODA=∠OAD=
1800 1200 300. 2
∵∠DAB=900,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm
求证:△ABC是直角三角形 分析:要证明△ABC是直角三角形,
2
A
D
E
可以点A,B,C构造平行四边形,然后
证明其对角线相等,即可证明是矩形.C
B
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∵ AD=BD,CD=ED,
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD,
∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.
驶向胜 利的彼
岸
独立 作业
P88习题3.4 3题. 祝你成功！
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是 CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB 和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多 少? △APB的面积是多少?
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
D
C
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步4
直角三角形的判定
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一
半,那么这个三角形是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 CD 1 AB.
求证：DE=EF。
B
D EC
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
结束语
谢谢大家聆听！！！
21
A
D
定理:如果一个三角形一边上的中
线等于这边的一半,那么这个三角 B
形是直角三角形.
在△ABC中,
A
∵AD=BD=CD,
D
∴∠ACB=900.
C
B
C
驶向胜利 的彼岸
独立 作业
思考题
A
1、如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O， AB=2，∠AOB=60º，AE⊥BD于E。
D O
求BC、BD、BE的长和∠ADB、∠BAE的 度数。
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步2
矩形的判定
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中,
A
D
∠A=∠B=∠C=900.
求证:四边形ABCD是矩形.
B
C
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形
是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
E B
C
A
2 、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， O 为 AB 边 的 中 点 ， OA=OB=OC=5，AC=6。 求BC的长及△ABC的面积。
3、如图，M、N分别是 ABCD的对边AD、 BC的中点，且AD=2AB， 求证：PMQN是矩形。
O
C
B
A
M
P
D Q
B
N
C
A
4、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，AE F 交BC于E，连接DE，EF⊥DE于E，EF交AB于F。
D
P
C
A
Q
B
回顾 思考
矩形的性质,推论
定理:矩形的四个角都是直角. A
D
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
B
C
A
D
定理:矩形的两条对角线相等. ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
∴AC=BD.
B
C
A
推论(直角三角形性质):直角三角形
D
斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900,
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
它与AC有什么大小关系?为什么? A
D
BE等于AC的一半.
∵ AC=BD,BE=DE,
BE 1 BD. 2
BE 1 AC. 2
E
B
C
由此可得推论:直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半.
驶向胜 利的彼
岸
例题欣赏 4
矩形性质的应用
例1、已知，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点
C
B
∵AD=BD,
CD 1 AB. 2
驶向胜利 的彼岸
回顾 思考 矩形的判定,直角三角形的判定
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=900,
A
D
∴四边形ABCD是矩形.
定理:对角线相等的平行四边形是矩B 形.
C
∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.
∴四边形ABCD是矩形.
求证: AC=BD.
A
分析:根据矩形的性质性质,可转 化为全等三角形(SAS)来证明.
B
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
D C
驶向胜利 的彼岸
我思,我进步4
直角三角形的性质
议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE 是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步2
矩形的判定
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
分析:要证明□ABCD是矩形,只
要证明有一个角是直角即可.
证明:
B
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB,
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
想一想:正方形的四 个角都是直角吗?
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900.
∴四边形ABCD是矩形.
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步3
矩形的性质
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
九年级数学上三章证明 三
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.2特殊的平行四边形(1) 矩形的性质及判定
我思,我进步2
矩形的性质
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形. A
D
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.
分析:由矩形的定义,利用对角 B
C
相等,邻角互补可使问题得证.