算法组_第三讲_动态规划
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍动态规划算法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在解决一些复杂的问题时，动态规划算法可以将问题分解成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
本文将详细介绍动态规划算法的难点以及应用技巧。
一、动态规划算法的难点1. 难点一：状态的定义在动态规划算法中，首先需要明确问题的状态。
状态是指问题在某一阶段的具体表现形式。
在进行状态定义时，需要考虑到问题的最优子结构性质。
状态的定义直接影响到问题的子问题划分和状态转移方程的建立。
2. 难点二：状态转移方程的建立动态规划算法是基于状态转移的思想，即通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
因此，建立合理的状态转移方程是动态规划算法的关键。
在进行状态转移方程的建立时，需要考虑问题的最优子结构性质和状态之间的关系。
3. 难点三：边界条件的处理在动态规划算法中，边界条件是指问题的最简单情况，用于终止递归过程并给出递归基。
边界条件的处理需要考虑问题的具体要求和实际情况，确保问题能够得到正确的解。
二、动态规划算法的应用技巧1. 应用技巧一：最长递增子序列最长递增子序列是一类经典的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，找到问题的最优解。
在应用最长递增子序列问题时，可以使用一维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
2. 应用技巧二：背包问题背包问题是另一类常见的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，将问题转化为子问题的最优解。
在应用背包问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
3. 应用技巧三：最短路径问题最短路径问题是动态规划算法的经典应用之一。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，利用动态规划的思想来求解最优解。
在应用最短路径问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的实现及其应用
动态规划算法的实现及其应用动态规划，英文缩写为 DP，是一种算法设计技术，通常用于求解最优化问题。
动态规划是解决一类特殊问题的有效方法。
它通过将原问题转化为若干个子问题的方式，逐个求解这些子问题，最终得到原问题的解。
这种方式具有很强的适用性，能够解决很多实际问题。
动态规划的实现动态规划算法的实现基本上可以分为以下两个步骤：1. 确定状态：将原问题转化为若干个子问题，定义合适的状态量来表示子问题。
状态的定义应该满足无后效性，即状态一旦确定，之后的状态转移不会再受之前的状态影响。
2. 确定状态转移方程：定义状态转移方程，通过状态之间的转移来逐步求解原问题。
状态转移方程可以通过一些简单的规律得到，也可以通过数学方法进行求解。
动态规划的应用动态规划算法有很多应用，下面列举一些常见的应用场景。
1. 最长公共子序列问题：给定两个字符串，求出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都出现的、长度最长的子序列。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在两个字符串的某段位置上的最长公共子序列的长度，状态转移方程比较简单。
2. 背包问题：有一个容量为 V 的背包和 n 种物品，每种物品的重量为 wi，价值为 vi，现在要用这些物品装满背包，使得背包中所装物品的总价值最大。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在前 i 件物品中，体积为 j 的情况下能获得的最大价值，状态转移方程也比较简单。
3. 最短路问题：给定一个带权图，求出其中从起点到终点的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为从起点到某个点的最短路径，状态转移方程可以通过分阶段来进行求解。
4. 求解最大子段和问题：给定一个序列，求出其中连续子段的和的最大值。
这个问题也可以用动态规划算法求解，状态可以定义为以某个位置为结尾的最大子段和，状态转移方程与之前的问题类似。
动态规划算法虽然能够解决很多问题，但是它也存在一些限制。
动态规划算法的计算复杂度较高，需要占用大量的内存空间。
IntroductiontoAlgorithms第三版教学设计
Introduction to Algorithms第三版教学设计一、课程概要1.1 课程名称本课程名称为Introduction to Algorithms，是计算机科学专业必修课程。
1.2 学时安排本课程总共为72学时，每周3学时，共计24周。
1.3 教材《算法导论(原书第3版)》（英文版）（Introduction to Algorithms, Third Edition）。
1.4 教学目的本课程旨在使学生掌握算法与数据结构的基本概念、常用算法设计技巧和分析方法，并培养学生独立思考和解决问题的能力。
1.5 先修课程本课程的先修课程包括数据结构、离散数学、算法分析与设计等。
1.6 课程内容简介本课程包括以下内容：•算法基础知识•分治算法和递归•动态规划•贪心算法•图论算法•字符串匹配•NP完全性理论二、课程教学设计2.1 教学方法本课程采用理论讲授、实验操作、课堂讨论等多种教学方法相结合的方式，重视学生自主学习和动手实践的能力培养。
2.2 教学内容和教学进度本课程的教学内容和教学进度如下：第一讲：算法基础知识讲授主要内容包括算法的概念、算法的正确性和复杂度分析。
第二讲：分治算法和递归讲授主要内容包括分治算法的适用场景、递归的概念和应用。
第三讲：动态规划讲授主要内容包括动态规划的基本思想、常用动态规划算法和实践应用。
第四讲：贪心算法讲授主要内容包括贪心算法的基本思想、贪心算法设计和分析方法。
第五讲：图论算法讲授主要内容包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
第六讲：字符串匹配讲授主要内容包括朴素算法、KMP算法、Boyer-Moore算法等字符串匹配算法。
第七讲：NP完全性讲授主要内容包括P和NP问题的概念、NP完全性理论、NP问题求解方法等。
2.3 课堂互动与实践本课程还将开展相关实践项目，包括算法设计实验、算法实现与优化、算法竞赛和创新项目等，以培养学生动手实践和解决实际问题的能力。
最新算法设计与分析(霍红卫)_第3章 动态规划教学讲义PPT课件
2 then error “incompatible domensions”
3 else for i ← 1 to rows［A］
4
do for j ← 1 to- columns［B］
5
do C［i, j］← 0
6
for k ← 1 to columns［A］
7
do C［i, j］← C［i, j］+A［i, k］·B［k, j］
第我3们章给矩动阵态加规上划括号的方式会对矩阵的计算开销产生巨大 影响。首先考虑两个矩阵的乘积。 标准计算两个矩阵乘积的算 法MATRIX-MULTIPLY描述如下，其中rows和columns分别表示 矩阵的行数和列数。
MATRIX MULTIPLY(A, B)
1 if columns［A］≠rows［B］
将这个问题形式描述如下：
约束条件为
max vixi
1in
(3.1)
wixi W,xi{0,1} (3.2)
8 11
24
(a)
9 13 ＋ 5
4＋
34 22
(b)
9 13
＋ 7 10
23
(c)
图 3-4 0-1背包问题示例
第3章 动态规划 (1) 刻画0-1背包问题最优解的结构。
图 3-5 算法KNAPSACK-DP示例
第(34)章根据动计态算规的结划果， 构造问题最优解。
KNAPSACK-DP返回的c可用于快速构造背包问题的一个 最优解。如果c［i, w］=c［i-1, w］，表明xi=0，然后考察c ［i-1，w］；否则xi=1，接着考察c［i-1，w-wi］。这个过程初 始调用为OUTPUT-SACK(c, W)。
OUTPUT SACK (c, w)
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
第3章-动态规划算法
算法复杂度分析：
算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
22
3.1.4 构造最优解 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最 优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优 解。 s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在 矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为 (A[i:k])(A[k+1:j)。
21
m[2][5]
min
m[2][2] m[3][5] m[2][3] m[4][5]
p1 p2 p5 p1 p3 p5
0 2500 35 2625 1000
15 35 5
20 20
13000 7125
m[2][4] m[5][5] p1 p4 p5 4375 0 3510 20 11375
}
}
T(Apxq*Bqxr)=O(p*q*r)
10
A, B, C, D
A 5010 B 1040 C 4030 D 305
(A((BC)D)) (A(B(CD))) ((AB)(CD)) (((AB)C)D) ((A(BC))D)
计算量分别为：16000, 10500, 36000, 87500, 34500
矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种 计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩 阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘 积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个 矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
第6章_动态规划ppt课件
第一章 动态规划的基本方法 §1 动态规划的研究对象
特征：包含有随时同变化的因素和变量，整个 过程可以分为若干个相互联系的阶段，而且每个 阶段都要做出决策。
PPT学习交流
1
应用：
企业管理：动态规划可以用来解决最优路径问题、资源 分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序 问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等。
xk(sk)Dk(sk)
PPT学习交流
10
PPT学习交流
11
在实际过程中，可供选择的策略有一定的范围，此 范围称为允许策略集合，用P表示，从允许策略集合中 找出达到最优效果的策略称为最优策略。
五、状态转移方程
在多阶段决策过程中，第k阶段到第（k+1）阶段的 演变规律，称为状态转移方程。当给定了第K阶段的状 态变量sk和决策变量xk时，根据状态转移方程，第 （k+1）阶段的状态Sk+1的值也随之而定。也就是说， sk+1将依某种函数关系与（sk,xk（sk））相对应，这种对 应关系常记为：
一个阶段包含若干个状态，描述状态的变量称为状 态变量。常用sk表示第k阶段的某一状态。所有状态 变量组成的集合，称为状态变量集合。常用Sk表示第 k阶段的状态变量集合。 三、决策和决策变量
决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变 到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量，称为 决策变量。常用xk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时 的决策变量，在实际问题中，决策变量的取值往往 限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，通 常用Dk（sK）表示第k阶段的允许决策集合，显然有：
二、动态规划的基本方程 动态规划函数基本方程的一般形式为：
fk(sk)opvk( tsk,xk(sk) )fk 1(sk 1)
动态规划部分知识点总结
动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。
在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。
以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。
假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。
动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。
1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。
通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。
2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。
最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。
换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。
通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。
它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。
1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。
动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。
五大常见算法策略之——动态规划策略（DynamicProgramming）
五⼤常见算法策略之——动态规划策略（DynamicProgramming）Dynamic Programming Dynamic Programming是五⼤常⽤算法策略之⼀，简称DP，译作中⽂是“动态规划”，可就是这个听起来⾼⼤上的翻译坑苦了⽆数⼈，因为看完这个算法你可能会觉得和动态规划根本没太⼤关系，它对“动态”和“规划”都没有太深的体现。
举个最简单的例⼦去先浅显的理解它，有个⼤概的雏形，找⼀个数组中的最⼤元素，如果只有⼀个元素，那就是它，再往数组⾥⾯加元素，递推关系就是，当你知道当前最⼤的元素，只需要拿当前最⼤元素和新加⼊的进⾏⽐较，较⼤的就是数组中最⼤的，这就是典型的DP策略，将⼩问题的解保存起来，解决⼤问题的时候就可以直接使⽤。
刚刚说的如果还是感觉有点迷糊，不⽤慌，下⾯⼏个简单的⼩栗⼦让你明⽩这句话的意思。
第⼀个数是1，第⼆个数也是1，从第三个数开始，后⾯每个数都等于前两个数之和。
要求：输⼊⼀个n，输出第n个斐波那契数。
还是我们上节讨论递归与分治策略时候举的第⼀个例⼦——Fibonacci数列问题，它实在太经典了，所以将其反复拿出来说。
我们如果深⼊分析⼀下上节说过的递归⽅法解决Fibonacci数列，就会发现出现了很多重复运算，⽐如你在计算f(5)的时候，你要计算f(4)和f(3),计算f(4)⼜要计算(3)和f(2),计算f(3)，⼜要计算f(2)和f(1),看下⾯这个图对f(3)和f(2)进⾏了重复运算，这还是因为5⽐较⼩，如果要计算f(100),那你可能要等到天荒地⽼它还没执⾏完（⼿动滑稽），感兴趣的朋友可以试试，反正我已经试过了。
public static int fibonacci(int n){//递归解法if(n == 1) return 1;else if(n == 2) return 1;else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}上⾯就是递归的解法，代码看着很简单易懂，但是算法复杂度已经达到了O(2^n),指数级别的复杂度，再加上如果n较⼤会造成更⼤的栈内存开销，所以⾮常低效。
动态规划算法及其应用
动态规划算法及其应用动态规划是一种重要的求解优化问题的算法，在计算机科学和应用数学领域都有广泛的应用。
它的基本思想是将大问题分解成小问题，通过记录中间结果来降低计算复杂度，从而达到在合理运行时间内求解问题的目的。
本文将介绍动态规划算法的基本概念和面向实际场景的应用。
1. 动态规划算法基本概念动态规划算法简而言之，就是由小问题推导出大问题的解。
通常情况下，我们将一个大问题拆分成若干个小问题，然后对每个小问题进行求解，并进行状态记录，最后将小问题的结果组合起来，得到大问题的最优解。
动态规划算法的核心是状态转移方程。
这个方程的形式通常为：dp[i] = max(dp[i-1], nums[i])其中，dp[i]表示到第i个位置的最优解，nums[i]是输入序列的第i个元素。
对于其他问题，这个状态转移方程可能会有所不同。
2. 动态规划算法的应用2.1 背包问题背包问题是动态规划算法的经典应用之一。
假设有n个物品和一个最大容量为W的背包，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
我们需要选择一些物品放入背包中，使得在满足背包的最大容量限制下，能够得到最大的总价值。
这个问题可以用动态规划来解决。
假设我们用dp[i][j]表示前i 个物品能够放入容量为j的背包中的最大价值。
对于每个物品i，可以考虑两种情况：放入背包和不放入背包。
如果把第i个物品放入背包中，则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；如果不把第i个物品放入背包中，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-wi] + vi, dp[i-1][j])最终的最优解为dp[n][W]。
2.2 编辑距离问题编辑距离应用广泛，它可以度量字符串之间的差异性，用于拼写检查、语音识别、人工智能等领域。
编辑距离问题的目标是，给定两个字符串s和t，通过增加、删除、替换操作，将s转换成t，使得转换的代价最小。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划的基本概念和基本原理
史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。
《动态规划算法》
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7
二项式系数的计算
1
n k
n k
1 1
n k
1
n k
n! k!(n
k )!
由 Stirling 等式，有
if k 0 or k n if 0 k n
n k
n! (( n / 2 )! ) 2
2nn n / en n(n / 2)n / en
2n n
有效计算上式的方法是按行构造帕斯卡三角形
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20
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21
算法的改进
在算法lcs和print-LCS中, 可进一步将数组b省 去. 事实上, 数组元素L[i][j]的值仅由L[i-1][j-1], L[i-1][j]和L[i][j-1]这3个数组元素的值所确定. 对于给定的数组元素L[i][j], 可以不借助于数组 b而仅借助于L本身确定L[i][j]的值是由L[i1][j-1], L[i-1][j]和L[i][j-1]中哪一个值所确定的.
对于Fibonacci序列, 一个明显的方法是从f(1)开 始自底向上地计算到f(n), 只需要(n)时间和(1) 空间.
和前面的方法相比, 可以很大程度降低时间复杂 度.
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9
The longest common subsequence problem最长公共子序列问题
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8
What is dynamic programming
什么是动态规划？
当子问题发生重叠时, 分治法做了很多不必要的 工作——重复对重叠的子问题进行求解.
算法设计与分析_第3章_动态规划1
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题：
如果子问题不是相互独立的，分治方法将重复 计算公共子问题，效率很低，甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案：动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
9
引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解，每个解对应一个 值，需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
15
矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式，可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别 是： A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500
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最长公共子序列
假设两个序列数组分别为a，b 定义f(i,j)为计算到a数组第i个数、b数组第j个数时所得 到的最长公共子序列的长度。这时有两种情况： 1.假如a[i]=b[j]，那么f(i,j)=f(i-1,j-1)+1 2.假如a[i]!=b[j]，那么f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1)) 边界条件为：f(i,0)=0 1<=i<=len(a) f(0,j)=0 1<=j<=len(b) • 算法复杂度：O(n^2) • len(a)表示数组a
动Байду номын сангаас规划
1.<< 么 动态规划 < 2. 楼 问题 3. 4. 长 长公共
什么是动态规划呢？
• 和分治法一样，动态规划（dynamic programming）是 通过组合子问题而解决整个问题的解。 • 分治法是将问题划分成一些独立的子问题，递归地求解 各子问题，然后合并子问题的解。 • 动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问 题包含公共的子子问题。 • 此时，分治法会做许多不必要的工作，即重复地求解公 共的子问题。动态规划算法对每个子问题只求解一次， 将其结果保存起来，从而避免每次遇到各个子问题时重 新计算答案。
爬楼梯问题
自顶向下的解法： 自底向上的解法：
long long dp[81]; long long dp[81]={0};/*用于保存中间结果 dp[1]=1; 否则会重复计算很多重复的子问题*/ long long DP(int n) dp[2]=2; { for(int i=3;i<=80;i++) if(dp[n])return dp[n]; dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]; if(n==1)return 1; if(n==2)return 2; dp[n]=DP(n-1)+DP(n-2); return dp[n]; } 请注意当n超过75时，结果值将超过int范围，故将数组 声明为long long类型。关于long long类型，请关注 /onlinejudge/faq.html
作业
• • • • • • • • 必做题： Boj1093 Boj1134 Boj1092 提升题： Boj1274 Boj1074 Boj1431 各位在11月20日前至少完成三 道必做题，有能力的同学多多 益善，将代码发到我邮箱就可 以。祝大家学习愉快 O(∩_∩)O~
动态规划
Thanks
• • • • • • • • • • • • • • for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<i;j++) { if(a[j]<a[i]&&dp[j]+1>dp[i]) dp[i]=dp[j]+1; } } ans=dp[1]; for(i=2;i<=n;i++) if(ans<dp[i])ans=dp[i]; printf("%d\n",ans); } return 0;
最长上升子序列
• • • • • • • • • • • • • • #include<iostream> using namespace std; int main() { int t,n,a[301],i,j,dp[301],ans; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",a+i); dp[i]=1; }
最长上升子序列
什么是最长上升子序列？ 看看这道题： /onlinejudge/showproblem.php?problem_id=1093 对于序列： 41224 它的最长上升子序列是1 2 4 ，长度为3 对于序列： 424256 它的最长上升子序列是2 4 5 6，长度为4
动态规划算法的设计
两种方法： • 自顶向下（又称记忆化搜索、备忘录）： 从大范围开始计算，不断保存中间结果，避免重复计算 • 自底向上（递推）： 从小范围递推计算到大范围 动态规划的重点： 递归方程+边界条件
爬楼梯问题
• 这是俱乐部笔试的第二题。 题意：一个人每次只能走一层楼梯或者两层楼梯，问走到第80层 楼梯一共有多少种方法。 • 设DP[i]为走到第i层一共有多少种方法，那么DP [80]即为所求。 很显然DP[1]=1, DP[2]=2（走到第一层只有一种方法：就是走一 层楼梯；走到第二层有两种方法：走两次一层楼梯或者走一次两 层楼梯） • 同理，走到第i层楼梯，可以从i-1层走一层，或者从i-2走两层。 很容易得到： 递推公式：DP[i]=DP[i-1]+DP[i-2] 边界条件：DP[1]=1 DP[2]=2
最长上升子序列
• 设a[i]表示原序列 • 设DP[i]表示以第i个数结尾的最长上升序列的长度 • 那么很显然想导出DP[i]的值，需要在DP[k](1<=k<i)中找出满足 a[k]<a[i]最大的一项。假设第kk项是我们找到的答案，那么第i 个数就可以接在第kk个数之后，成为以第i个数结尾的最长升序列。 如果没有找到答案，换言之第i个数比前面的数都要小，那么 DP[i]=1，也即生成了从自己开始又以自己结尾的最长升序列。 • 综上，我们很容易得出： • 递推公式：DP[i]=max(DP[k]+1,DP[i]) 1<=k<i 边界条件：DP[i]=1 1<=i<=n 注意：max表示取两个数中最大的那个数 算法复杂度为O(n^2)
最长公共子序列
给定两个序列X和Y，称序列Z是X和Y的公共子序列如果Z既是X的一个子序列 又是Y的一个子序列。 例如，如果X={a,b,c,b,d,a,b} Y={b,d,c,a,b,a} 那么序列 {b,c,a}就是X和Y的一个公共子序列，但是它并不是X和Y的最长公共子序列，因 为它的长度为3。而同为X和Y公共子序列的{b,c,b,a}，长度为4，因为找不到长 度为5或更大的公共子序列，所以X和Y的最长公共子序列长度就为4 看看这道题 /onlinejudge/showproblem.php?problem_id=1134