线性代数第一章(答案)

第一章 行列式
一 填空题
1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！
2.行列式
1
2
n λλλ=
(1)
2
12(1)
n n n λλλ--
3. 行列式11121314222324
333444
00
a a a a a a a a a a 的值11223344
a a a a
4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则
A =
1122nn
a a a
解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10
6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10
7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34
8.在函数x
x x
x x x f 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数为 -2
解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.
9. 行 列 式x
x x x x 2213212
113215 含 4x 的项
410x
解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.
10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变
11. =5
6789012011400
10
3
0200
1000 120 .
解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式
12.行列式c
c
b b
a a ------1111111的值是 1 。

解c
c
b b
a a
------1111111=
10
11111a b b c
c
----=101
111a b c
c
--=1010101a
b
c =1
13. 行 列 式
2100001210000021000012000001210
1
2
-------- 的值是 27 。

解D =-------21122100
1200
0121
0012
=⋅
--⋅
--32
11221
12
==3273
14.行列式n
222223222
2222
2
2
1
的值是 （-2）（n-2）！ 。

解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到1
2
0200
021000202
n --
，
然后再将第二行乘以（-1）分别加到其余各行的到对角矩阵
100002000
1
0002
n --
=（-2）（n-2）！
15.方程02
21
32
13
2
1)(22=+-=x x x D 的解为2,2,1,14321-==-==x x x x 。

解：()D x =-2（x 2-2）（x 2-1）=0
16. 多项式nn
n n
a x a x a x a x x f ++++=
1111)(的次数最多是 n 次。

解：利用行列式性质5
17. 设A 是一个)2(>n n 阶行列式，且已知0≠=a A 。

将A 的每一列都减去其余各列，所得的行列式记作B ，则B ＝ a 。

18. 设A 为n 阶方阵，将A 的第一行与第二行交换，得方阵B ，则B A + = 0 ，B A - = 2A
，B A + = 0 ，B A -=
0 。

19.=1
110110110110
111 -3
解:应用化三角形法:
=
1110110110110111=--1110101011
000111=---11
00101011100111.33
00
21001
110011
1
-=- 20．
=--+---+---1
111
11111
1111111x x x x .4x
解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:
=
--+---+---1111111111111111
x x x x =-----+---1
1
11111
11111x x x x x
x x 1
11111111
1111111-----+---x x x x
=-----x
x
x x
x x x 0
00001
111.0
01
11
42x x
x x =--
21．=
1
111 (110111)
1101
11110 1(1)(1)n n ---
解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:
=0
1111 (1101)
111101
11110 =-0
1
11
1
..........
(1101)
1111011
1111)1( n =
----1
0000
(00100)
00
01011
111)1( n ).1()1(1---n n
22. 已知2
4132
01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .
解：12A =12
1(1)4
2x +-=0得x=2，21A =2102
(1)2
x
+-=4 23. 行列式1
21
1
2
10
000
00
00
k k k k k k k n n n
n
---= i n i n k 1
1
)1(=+∏-
解：行列式按第一列展开得（-1）n+1n
k 1
21
00
n k k k - =i n i n k 1
1
)1(=+∏-
24. 设α
γββαγγ
βα=D ， γβα,,是方程03=++q px x 的三个根，则=D 0 。

25. 在多项式1
1
11
11
1
111111)(23------=
x x x x P 中，x 的一次项的系数为 4-
解：x 的系数为13A =
111
111111
----=-4 26. 设行列式,2
2
3
5
00702
222
0403--=
D 则第四行各元素余子式之和的值为 -28 .
解: 设第四行各元素对应余子式分别为,,,,4321A A A A 则它们对应的代数余子式之和为
=+++4321A A A A 281
112220
43)1(71
111
0702
222
40351-=---⨯-=---=
D
27．=
---------a
a
a a
a a a a a 110
11000
110
00
11
000123451a a a a a -+-+-
解: 按第一行展开,得递推关系式,并依次展开即得.
=
=++--=+-= 323345])1)[(1()1(aD aD D a a aD D a D .15432a a a a a -+-+-
28．
=a
b
b a b a b a 0
00
000 (000)
000 1(1)n n n a b ++-
解: 应用降阶法:按第一列展开,
原式=+a b a a b a a 00000..........................
00000 =-⋅+b
a
a b a
b b n 00
......
(00)
00
0000)1(1.)1(1n n n b a +-+
29 α
β
βαβ
α
β
α
00
00.
0
00
=
n D =
22
(1)2
2
(1)
(1)
n n n n n
n αβ-+--+-
解：应用行列式展开定理,按第一行展开,降阶得
000 0
00)1(0
00
00.
(00)
00
00)1(1
β
βα
β
β
αβα
ββαβ
α
αα
+-+-=n n n D
n n n n n ββα
βαβ
αα
α2)
2)(1(12)1()1(0 (00)
000)1(--+--+-=
n n n n n n n
βα
α2
)1(2
2
)
2)(1(2
)
1()
1()1(-----+--=
n n n n
n n βα2
)1(2
2)
1()
1(2-+--+-=
30.n
n x b
b
b
b
a a x
b b
a a a x b
a a a a x D
........
(321)
== 1
1
1
1
1()[()]
n n n j
i j j i i j
x
a a x a --===≠-+-∏∏∏
解.利用拆行列式法,a a x x n n +-=)(,所以
a
b
b
b
b
a a x
b b a a
a x
b a a a a x a
x b
b
b
b
a
x b b
a a
x b a a a x D n n
........
................................................000321321+-= ∏-=---+-=------+
-=1
11332211)()(0000........
0
000
00
0)(n j j n n n n n b x a D a x a
b
b
b
b
b x b x x a b x x a b x D a x
(1)
同样,由b a ,对称性得 ∏-=--+-=11
1)()(n j j n n n a x b D b x D (2)
当b a ≠时,上两式联立解方程组得 b
a a x
b b x a D n j j n j j n ----=
∏∏-=-=1
1
1
1
)
()(
若b a =,由(1)递推得 ∏∏∏-≠==-=-+-=1
1
1
11
)]([)(n j
i i i n
j n j j n a x a a x D
二 选择题
1.
1
2
21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）。

（A ）1-≠k ； (B) 3≠k ； (C) 1-≠k 且3≠k ； (D) 1-≠k 或3≠k 。

解：（k-1）2-4≠0
2.01
1102
1
2
=-k k
的充分条件是（ B ）。

（A ）2=k ； （B ）2-=k ； （C ）0=k ； （D ）3-=k 。

解：k 2*1-2*2*1+1*（-2-k ）=0 3.下列（ C ）是偶排列。

（A ）4312； (B) 51432； (C) 45312； (D) 654321
4.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为(D ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n 解：234…n1的逆序数为n-1
5.已知n 阶行列式A = 0
...
1
00 (10)
1...1...1,12221
1,11211
--n n a a a a a a
， 则A =（ D ）。

（A ）1； (B) －1； (C) 1)1(--n ； (D) 2
)1()
1(--n n 。

6. 方程
088
144122
111113
2
=--x x x
的根为（ B ）. （A ）1，2，3; （B ）1，2，-2; （C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.
7.如果033
32
31
232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，23
22
21
3332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么=1D （ D ）。

（A ）2M ； (B) －2M ； (C) 8M ； (D) －8M 。

解：行列式性质2，3
8.如果133
32
31
232221131211==a a a a a a a a a D ，=1D 33
32
3131
2322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么=1D （ B ）。

（A ）8； （B ）－12； （C ）24； （D ）－24。

解：行列式性质2，5
9.下列)2(>n n 阶行列式中，值必为零的有（ D ）。

（A ）行列式主对角线上的元素全为零； (B)行列式次对角线上的元素全为零； (C)行列式零元素的个数多于n 个； (D)行列式中各行元素之和为零。

解：行列式性质6
10.03
47534453542333322212223
212=---------------x x x x x x x x x x x x x x x x 的根的个数为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解对行列式进行列变换: 3
7
342223310
1221
012347534453542333322212223212----------=
---------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 观察可见: 以上为x 的二次多项式,故选B.
11. 112233
44
00(
)0
00
a b a b D D
b a b a =
=
A.43214321b b b b a a a a -
B. 43214321b b b b a a a a +
C.))((43432121b b a a b b a a --
D. ))((41413232b b a a b b a a -- 解: 将行列式依第一行展开:
3
32
24
13322
4
14
332
2143322100000000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a D -=-=
))((41413232b b a a b b a a --=
12. 如果122211211=a a a a ，则下列（B ）是方程组⎩⎨⎧
=+-=+-0
022221211212111b x a x a b x a x a 的解
（A ）22212
11a b a b x =，2
211
112b a b a
x =；
（B ）2221211a b a b x -=，2
211
11
2b a b
a x =；
（C ）2221211a b a b x ----=，2
211
11
2
b a b a x --=； (D) 22212
11a b a b x -----=，2
211
11
2b a b a x -----=。

解：克拉默法则
13. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0
030
z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（ A ）.
（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ;
（C ）0=λ; （D ）1=λ.
解：方程组仅有零解11
31001λλλ⇔-≠-
14.已知方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x a z y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （ D ）.
（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4.
解：x=1111
11111
111
11
1a
b c ----=1 15.如果21kx y z x ky z k x y kz k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
有唯一解，则对k 的要求是（ C ）。

（A ）2,1≠≠k k (B)2,1≠-≠k k (C) 2,1-≠≠k k (D)2,1≠=k k 。

解：方程组有唯一解11
11011k k k
⇔≠
16.当（ A ）时，⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 仅有零解。

（A ）2≠k ； (B) 1-≠k ； (C) 0≠k ； (D) 2-≠k
解：方程组仅有零解0
12
1021
k k k ⇔≠- 17.已知A =1
1111
11111111
01-------x ，则A 中x 的一次项系数是（ D ）。

(A) -1； (B) 1； (C) 22； (D) －22。

解：A 中x 的一次项系数是1+313111
A =(-1)11111
1----=-4
18.已知x 的一次多项式1
111
11111111
111)(------=x x f ，则0)(=x f 的根为（ B ）
（A ）0； (B) －3； (C) －2； (D) －1。