1.2.1任意角的三角函数课件

小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-
-
( )
（2）因为 tan( −672°) = tan( 48° − 2 × 360°) = tan 48°， ） 是第一象限角， 而 48°是第一象限角，所以 tan( −672°) > 0 ； π − 是第四象限角，所以 sin − π < 0 . 是第四象限角， （3）因为 ） 4 4
的正弦、 例2 已知角 α 的终边经过点 P0 (−3,−4)，求角 α 的正弦、余 弦和正切值 . y 解:由已知可得 OP0 = (−3) 2 + (−4) 2 = 5 由已知可得 设角 α 的终边与单位圆交于 P ( x, y ) ， P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
α 的终边
y
P ( x, y )
α
x
A(1,0)
p( x, y)
，那么
o
sin α ，即 sin α = y （２）x 叫做 α 的余弦，记作 cos α ，即 cos α = x 的余弦， y y ( x ≠ 0) 的正切， （３） 叫做α 的正切，记作 tan α ，即 tan α =
x x
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐 标 或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数. 或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数 为函数值的函数 三角函数
的正弦， （１） y 叫做 α 的正弦，记作
α 的终边
y
说 明
P ( x, y )
α
x
A(1,0)
o （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 ）正弦就是交点的纵坐标， 正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标， 的横坐标， 横坐标的比值. 横坐标的比值. （2） 正弦、余弦总有意义 当 ） 正弦、余弦总有意义.当
﹒P(a, b)
α
MP tan α = OM
b = a
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P′
P(a,b)
∆OMP ∽ ∆OM ′P′
MP sin α = OP
OM cos α = OP
﹒
M
α
O
M′
x
M ′P′ = OP′ ′ OM = OP′
o
﹒
A
x
﹒B
定义推广： 定义推广： 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 设角α 是一个任意角， (x, y) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r = x 2 + y 2 > 0
y y sin α = 那么① 的正弦， 那么① 叫做 α 的正弦，即 r r x x 的余弦， ② r 叫做α 的余弦，即 cosα = r y α 的正弦，即 tanα = y (x ≠ 0) ③ x 叫做 的正弦， x 有关， 任意角α 的三角函数值仅与 α 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关. 终边上的位置无关 y x y sin α = , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ). 2 2 2 2 x x + y x + y
11π ) （2） tan( − ） 6
9π π π 2 cos = cos( + 2π ) = cos = ：（1） 解：（ ） 4 4 4 2 11π π π π 3 tan( ) = tan( − 2π ) = tan = tan = （2） − ） 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值
19π tan = 3
巩固
提高
练习 已知角 求
θ
的终边过点 P (− 12,5) ，
θ
的三个三角函数值. 的三个三角函数值
解：由已知可得： 由已知可得：
r= x +y =
2 2
(−12)
2
+ 5 = 13
2
y 5 于是，sin θ = = r 13
y 5 tan θ = = − x 12
x 12 cos θ = = − r 13
作业： 作业：报纸
sin θ < 0 tan θ > 0
① ②
如果两个角的终边相同， 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin(α + k ⋅ 2π ) = sin α cos(α + k ⋅ 2π ) = cos α tan(α + k ⋅ 2π ) = tan α
P
a
O y
α
b
M
x
新课
导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数 其中 : MP b sin α = = OM = a
MP = b OP = r = a 2 + b 2
y
OP
r
OM cos α = OP
a = r
MP tanα = OM
M ′P′ = OM ′
若 OP = r = 1，则
Y
P(a,b)
MP sin α = OP
OM cos α = OP
=b
α
O M X
=a MP b tanα = = OM a
2.用单位圆定义任意角的三角函数 用单位圆定义任意角的三角函数 是一个任意角， 设α 是一个任意角，它的终边 与单位圆交于一点
M0P = 4 0
OM0 = 3 ∆OMP ∽ ∆OM 0 P0
OM = − x MP = − y
M0
M
O
P(x, y)
x
P (−3,−4) 0
M 0 P0 y − | MP | 4 于是， α = y = = 于是， sin =− =− ; 1 OP OP0 5
cos α = x = − OM OM 0 x 3 = = − = − ; 1 OP OP 0 5 y sin α 4 tan α = = = x cos α 3
其中
k∈z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值， 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2π
(或0°到360°) 角的三角函数值 .
确定下列三角函数值的符号： 例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 ° 是第三象限角，所以cos 250° < 0 ； 是第三象限角， ）
实例
剖析
5π 的正弦、余弦和正切值. 例1 求 的正弦、余弦和正切值 3 5π ，易知 ∠AOB 在直角坐标系中， 解：在直角坐标系中，作∠AOB =
3
的终边与单位圆的交点坐标为
， ，
1 − 3 ( , ) 2 2
y
5π 3
5π − 3 5π 1 cos = sin = 所以 3 2 3 2
5π tan = − 3 3
y π + k π ( k ∈ z ). 横坐标等于0， 无意义， 横坐标等于 ，tan α = 无意义，此时 α = x 2
α 的终边在 y 轴上时，点P 的 轴上时，
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， ）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 三角函数可以看成是自变量为实数的函数
1.2.1任意角的三角函数 任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P c
a
sin α =
cos α =
tan α =
O
α
b
M
a c b c a b
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1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数