勾股定理与几何证明答案(可编辑修改word版)

1、勾股定理与几何证明的综合问题练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理

1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高. 证明：（1）CD2=AD •BD

（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）

1 1 1

（2）AC 2+

BC 2

=

CD2

练习二、将勾股定理应用于四边形

1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD.

（1）证明：若AC ⊥BD ，则AB2+CD2=AD2+BC 2；

2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d.

求证： 2 ≤a2+b2+c2+d 2≤ 4 .

假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形

∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²整理之后得到：

a²+b²+c²+d²=2*(m1-/2)²+1/2+2*(n1-/2)²+1/2+2*(p1-/2)²+1/2+2*(q1-/2)²+1/2=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2 m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1

最小为0 它们都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4

练习三、勾股定理结合图形变换

1、如图，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，CD＝2，求△ABC 的面积。

证明：

分别以AB、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，

D 点的对称点为E、F，延长EB、FC 相交于G 点，

得到四边形AEGF 是正方形，

根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，

设AD=x，则正方形AEGF 的边长是x，

则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，

在直角△BCG 中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，

解得：x=6；

4、已知,如图在四边形ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:

BC 2 +AB2 =BD2

证明：连结AC,

因为AD=DC,∠ADC=60°

则△ACD 是等边三角形.

过B 作BE⊥AB,使BE=BC,

连结CE,AE 则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°

∴△BCE 是正三角形,

又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°

∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°

∴∠ACE=∠DCB 又DC=AC,BC=CE

所以△DCB≌△ACE

所以AE=BD

在直角三角形ABE 中即BD2 =AB2 +BC 2AE 2=AB2+BE 2