湖南省长郡中学2020届高三下学期第二次适应性考试数学(文)答案
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(二)语文试题
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（二）语文本试卷共四道大题，23道小题。
时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：文学的自觉是一个相当漫长的过程，它贯穿于整个魏晋南北朝，经过大约三百年才实现。
所谓文学的自觉有三个标志：首先，文学从广义的学术中分化出来，成为独立的一个门类。
汉朝人所谓的文学是指学术，特别是儒学，《史记》中“赵绾、王臧等以文学为公卿”，所说的文学显然是指学术。
到了南朝，文学有了新的独立于学术的地位，宋文帝立四学，文学与儒学、玄学、史学并立。
同时又有文笔之分，刘勰《文心雕龙》言：“今之常言，有文有笔，以为无韵者笔也，有韵者文也。
”梁元帝萧绎对文笔之分有进一步说明：“至如不便为诗如阎纂，善为章奏如伯松，若此之流，谓之笔。
吟咏风谣，流连哀思者，谓之文。
”萧绎所说的文笔之别已不限于有韵无韵，而强调了文之抒发感情以情动人的特点，并且更广泛地注重语言的形式美，他所说的“文”已接近我们今天所说的文学了。
其次，对文学的各种体裁有了比较细致的区分，更重要的是对各种体裁的体制和风格特点有了比较明确的认识。
文体辨析可以上溯至《汉书·艺文志》，更为明晰而自觉的文体辨析则始自曹丕的《典论·论文》，他将文体分为四科，并指出它们各自的特点：奏议宜雅，书论宜理，铭诛尚实，诗赋欲丽。
《文赋》进一步将文体分为十类，对每一类的特点也有所论述。
特别值得注意的是将诗和赋分成两类，并指出“诗缘情而绮靡，赋体物而浏亮”的特点。
到了南朝，文体辨析更加深入、系统。
《文心雕龙》和《文选》对文体的区分更系统，讨论更深入。
《文心雕龙》上篇的主要篇幅讨论文体，分33大类。
其《序志》说：“原始以表末，释名以章义，选文以定篇，敷理以举统。
”对每种文体都追溯其起源，叙述其演变，说明其名称的意义，并举例加以评论。
《文选》是按文体编成的一部文学总集，当然对文体有详细的辨析。
2020届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省长郡中学高三下学期第二次适应性考试数学（文）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，m ∈R ，若复数（2-i ）（m+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mii-的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m 的值结合复数虚部的定义进行求解即可． 【详解】（2-i ）（m+i ）=2m+1+（2-m ）i ， 若复数在复平面内对应的点位于实轴上， 则2-m=0得m=2， 复数22(1)22111(1)(1)2mi i i i i i i i i i +-====-+---+， 即复数的虚部是1， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键．2．已知集合{A x y ==，集合{}2B x x =<，则A B =I ( )A ．RB ．∅C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】D【解析】先分别求得集合A 和集合B ，再计算A B I ，即可得到答案. 【详解】由集合{A x y ==得10x -≥，解得1x ≥，∴[)1,+A =∞，由集合{}2B x x =<得2x <，解得22x -<<，∴()2,2B =-，∴[)1,2A B ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的描述法以及集合的交集运算，属于基础题.3．如图统计了截止2019年年底中国电动车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是( ) 中国电动车充电桩细分产品占比情况：中国电动车充电桩细分产品保有量情况：（单位：万台）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】观察两幅图，对照各项中的结论判断即可. 【详解】 观察统计图，对于选项A ，注意增长率与增量的区别，由增长率公式，可计算2016年至2019年各年私人类电动汽车充电桩保有量增长率，分别为687.5%、268.25%、105.60%、26.83%，因此最高的年份应为2016年，A 错误；对于选项B ，由中位数的定义，可得公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B 错误；对于选项C ，由平均数的定义，可得公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.02万台，C 错误；对于选项D ，根据第一幅统计图，可知从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了增长率、中位数以及平均数的求法，考查了利用条形统计图解决实际问题，属于基础题. 4．已知31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．13 B ．13-C．3D．3-【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可. 【详解】 由诱导公式可得：3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1cos 3α=-=，故1cos 3α=-.故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.5．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为53，点(,0)P b ，则12||||PF PF =( ) A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据题意写出1F 与2F 坐标，表示出12||||PF PF ，结合离心率公式计算即可.Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，又(,0)P b ，∴1PF b c =+，2PF c b =-，Q 该双曲线离心率为53，∴53c a =，即2222253c c a c b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 解得54c b =， ∴12511||495||114c PF b c b c PF c b b +++====---， 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查运算能力，属于基础题.6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例.若输入的2019,0,2n v x ===，则输出的v 值为( )A ．15B ．31C ．63D ．127【解析】由题意模拟程序的运行，依次写出每次循环的i ，v 的值，当1i =-时，不满足0i ≥，跳出循环，得到31v =，即可得解. 【详解】模拟程序的运行，输入的2019,0,2n v x ===，可得20154i n =-=， 满足条件0i ≥，执行循环体，1v =，3i =， 满足条件0i ≥，执行循环体，3v =，2i =， 满足条件0i ≥，执行循环体，7v =，1i =， 满足条件0i ≥，执行循环体，15v =，0i =， 满足条件0i ≥，执行循环体，31v =，1i =-， 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 值为31， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的应用，属于基础题. 7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 【详解】易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11A D ，11C D 的中点，过点A 、C 、E 、F 的截面与平面11BDDB 的交线为m ，则异面直线m 、1CC 所成角的正切值为( ) A ．2 B ．324C ．22D ．24【答案】D【解析】作出过点A 、C 、E 、F 的截面与平面11BDD B 的交线，由正方体的性质得11//DD CC ，则异面直线m 、1CC 所成角与共面直线1DD 与m 所成角相等，由此即可求解. 【详解】如图所示，记EF 与11B D 交于点P ，BD 与AC 交于点O ，连结OP ，OP 即为过点A 、C 、E 、F 的截面与平面11BDD B 的交线m ，在正方体1111ABCD A B C D -中，则11//DD CC ，∴直线1DD 与m 所成角与异面直线m 、1CC 所成角相等，记直线1DD 与m 所成角为α，由题可知1DD 与m 都在平面平面11BDD B 上，易知111144D P B D ==，122DO DB ==，由此可求得1124tan 14DO D P DD α--===， 故选：D. 【点睛】本题考查了异面直线所成角，考查了转化能力，属于基础题. 9．对于集合{}12,,,n x x x K ，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n-+-++-℘=L 为集合{}12,,,n x x x K 相对于0x 的“余弦方差”，则集合32,,,105105ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为( ) A ．12B．2C ．14D【答案】A【解析】由定义可得集合32,,,105105ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”℘的表达式，观察到0025210x x πππ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，0031025x x πππ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，利用cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭进行化简即可. 【详解】根据定义，集合32,,,105105ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为： 2222000032cos cos cos cos 1051054x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭℘=，注意到0025210x x πππ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，0031025x x πππ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，Q cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22002cos sin 105x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22003cos sin 510x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22002cos cos 1105x x ππ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22003cos cos 1510x x ππ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11142+℘==. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用以及同角三角函数的平方关系，考查学生的转化能力，另外本题也可以通过取特殊值00x =进行化简求值，较为简洁，属于基础题.10．已知,,A B C 为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC V 的重心，则ABC V 的面积为( )A ．BC ．2D 【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，C 到直线AB 的距离为d ，分直线AB 斜率不存在与存在两种情况讨论：斜率不存在时，求出AB 与d ，计算ABC V 的面积；斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，联立消元，应用韦达定理得到12x x +与12x x ，化简表示出AB 与C ，将点C 坐标代入椭圆方程得到22441b k =+，计算ABC V 的面积.综合两种情况，可得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，记C 到直线AB 的距离为d ，Q O 为ABC V 的重心，∴1230x x x ++=，1230y y y ++=，①当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆对称性可知，12y y =-，12x x =，则12AB y =， 由O 为ABC V 的重心知，12312x x x ==-，30=y ，则()2,0C 或()2,0C -，∴133332d x x x =-==，1y ==AB =，∴ABC S =△，②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx b =+，易知0b ≠，联立方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()2214kx x b ++=，化简整理得，()222418440k x kbx b +++-=，()()()222228441446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，由韦达定理得，122841kb x x k +=-+，21224441b x x k -=+， ∴12x x -==，∴12AB x ==- Q O 为ABC V 的重心，∴()3122841kbx x x k =-+=+， ()()()312121221224kx b kx b k x by y y k x b +++=-+--+==-=-+，∴22824141,kbb k C k ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭，∴C 到直线AB的距离为d ==将点C 代入椭圆方程得，222282411441kb b k k ⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭， 整理得22441b k =+，222641616480k b b ∆=-+=>，∴241ABk=+=，∴ABCV的面积为12S AB d==⋅=综上所述，ABCV.故选：C.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查了三角形重心的性质，考查了运算能力，另外,作为选择题，本题可直接通过特殊位置求出ABCV的面积，属于中档题.11．已知数列{}n a满足22164n na a n--=-,21261n na a n++=-,（Nn*∈）则数列{}n a 的前40项和40S=( )A．1121 B．1186 C．1230 D．1240【答案】D【解析】将题中两递推式相减得21213n na a+-+=，由22164n na a n--=-得222121n na a n++=+，从而2221221124n n n na a a a n++-+++=+，然后并项求和计算40S 即可.【详解】Q21261n na a n++=-，22164n na a n--=-，∴两式相减得21213n na a+-+=，又22164n na a n--=-，即22164n na n a-=-+，∴()222212161464121n n n na a n a n a n++-+=+-++-+=+，∴2221221124n n n na a a a n++-+++=+∴()()() 401234567837383940S a a a a a a a a a a a a =++++++++++++L() 12141234121941213194101240=⨯++⨯+++⨯+=⨯++++⨯=L L，故选：D.【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了利用并项法求数列前n 项和，考查了转化能力，属于中档题.12．已知正数,,x y z 满足236x y z ==，给出下列不等式：①4x y z +>；②24xy z >；③2x z >，其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】记236x y z t ===，1t >,将指数式化为对数式得，2log x t =，3log y t =，6log z t =，从而111x y z+=，通过基本不等式判断①、②，对于③通过计算得21log 6122x z =>判断即可，由此可得到正确的个数. 【详解】记236x y z t ===，Q x ，y ，z 为正数，∴1t >,则2log x t =，3log y t =，6log z t =，∴111log 2log 3log 6t t t x y z+=+==, 对于①，()11224x y x y x y z x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取等号），由于x y ≠，故等号取不到，即4x yz+>，因此4x y z +>，①正确； 对于②，2211112214444xy xy y xz x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y =时取等号），由于x y ≠，故等号取不到，即214xy z >，因此24xy z >，②正确；对于③，2226log 11log 6log 422log 22t x z t ==>，即12x z >，故2x z >，③正确. ∴正确的个数为3.故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化以及对数运算的性质，考查了基本不等式的应用，属二、填空题13．过323y x x =-上一点(2,4)-作曲线的切线，则切线方程为_____________. 【答案】9420x y +-=或4y =-【解析】设切点为()00,x y ，表示出切线方程，再将点(2,4)-代入方程，解出02x =或012x =，即可求出切线方程. 【详解】由题可得，236y x x '=-设该切线切点为()00,x y ，则切线斜率为20036x x -，因此切线方程为()()()()2232000000036363y x x x x y xx x x x x =--+=--+- ，又Q 点(2,4)-在切线上，∴()()23200036234x x x xx --+-=-，整理得，()()2002210x x --=，解得02x =或012x =， 代入切线方程，化简得4y =-或9142y x =-+， 整理得，4y =-或9420x y +-=， 故答案为：9420x y +-=或4y =-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键在于分清所给点是否为切点，注意区分在某点处和过某点的切线，考查了运算能力，属于基础题.14．第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行。
【百强校】湖南省长郡中学2020届高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题含答案
长郡中学2020届高三适应性考试（二）数学（理科）试卷本试题卷共8页，共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试建议用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生可能需要输入信息.请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等.2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交.写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.1.已知集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}xB x =∈Z |2≤，若A B I 只有4个子集，则a 的取值范围是（ ）A .(2,1]--B .[2,1]--C .[0,1]D .(0,1]2.已知复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，给出下列命题： ①12z z >；②12||||z z >；③复数1z 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数2z 的虚部为0. 其中真命题的个数为（ ）A .1B .2C .3D .43.已知某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)，则7.5x =的预报值是（ ）A .0.9B .0.9-C .1D .1-4.斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21 n n n a a a ++=+，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）A .14B .13C .23D .125.已知5(1)x的展开式的常数项为a ，则1181(21)a x dx --=⎰（ ）A .5B .6C .7D .96.已知0a b >>，1ab =，设2a b x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（ ）A .log 2log 2log 2x y z x y z >>B .log 2log 2log 2y z x y z x >>C .log 2log 2log 2x z y x z y >>D .log 2log 2log 2y x z y x z >>7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A .B .C .3 D8.将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)ω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A .228(0,][,]939UB .2(0,]9C . 28(0,][,1]99UD .(0,1] 9.已知12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则||OM =（ ）A B C D .10.已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A .310 B.10 C .710D.10 11.函数2()(3)x f x x e =-，关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A .(0,2)B .(2,)+∞C .336(0,)6e e +D .336(,)6e e ++∞ 12.已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A .ln 2[8,)2-+∞ B .ln 25[8,2ln 2]24--- C .ln 2(,8]2-∞- D .5(,2ln 2]4-∞-- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,sin 1)AC α=-u u u r ，(3,1)BA =u u u r ，(2,cos )BD α=u u u r ，若,,B C D 三点共线，则tan(2019)πα-= .14.已知实数,x y 满足约束条件212(2)y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，若(0)z x ty t =+>的最大值为11，则实数t = .15.若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论：①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界； ③函数()2x e f x x =号有上界，无下界；④函数2sin ()1x f x x =+有界. 其中所有正确结论的编号为 .16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角为180︒的扇形.圆锥的内接正四棱柱（底面为正方形的直棱柱） ABCD A B C D -''''的上底面的顶点', ',', 'A B C D 均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 .。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题及答案
长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集U =R ,集合{}2,3,4A =,结合{}02,45B =，，，则图中阴影部分表示的集合为A. {}2,4B. {}0C. {}5D. {}0,52.若1a iz i+=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则a =A. -1B. 0C. 1D. 23.已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程式27y x =-+，则'(3)(3)f f -=A. -2B. 2C. -3D. 34.命题p ：“2,240x ax ax ∃∈+≥R ”为假命题的一个充分不必要条件是A.40a -<≤ B. 40a -≤< C. 30a -≤≤ D. 40a -≤≤5. 当102x ……时,4log x a x <, 则a 的取值范围是A. ⎛ ⎝B. ⎫⎪⎪⎭C. D. 2)6. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有 3 个零点, 则ω的取值范围是A. 81114,4,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B. 111417,4,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C. 111417,5,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 141720,5,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1，4, 8，14, 23，36，54，则该数列的第19项为（注：222(1)(21)126n n n n ++++=……）A. 1624 B. 1024 C. 1198 D. 15608. 已知函数312(),,.,(,)f x x ax b a b x x m n =++∈∈R 且满足()()12(),()f x f n f x f m ==, 对任意的[,]x m n ∈恒有()()()f m f x f n ……, 则当,a b 取不同的值时A. 12n x +与22m x -均为定值B. 12n x -与22m x +均为定值C. 12n x -与22m x -均为定值D. 12n x +与22m x +均为定值二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知奇函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可的导函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是A. 函数()2sin(23g x x π=-B. 函数()g x的图象关于点⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则A. PC BD⊥B. 四棱锥外接球的表面积为8πC. PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D. 当平面α经过侧棱PC 中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3: 111.已知数列{}n a 满足1222,8,1,,n n n n a n a a a T a n +--⎧===⎨⎩为偶数，为奇数为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的有A. n 为偶数时, 22(1)n n a -=- B. 229n T n n =-+C. 992049T =- D. n T 的最大值为 2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为'()f x 和'()g x ，若(2)(1)2f x g x +--=，''()(1)f x g x =+，且(1)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是A.(1)0g =B.函数'()g x 的图象关于2x =对称C.20221()0k g k ==∑ D. 20211()()0k f k g k ==∑三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若22log log 6a b +=, 则a b +的最小值为_____.14. 已知边长为 2 的菱形ABCD 中, 点F 为BD 上一动点, 点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- , 则AF EF ⋅的最小值为_____.15. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====,则数列{}2(2)nn a b -的前n 项和为_____.16. 已知函数ln (),()e x x xf xg x x==, 若存在120,x x >∈R , 使得()()120f x g x =<成立,则12x x 的最小值为_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(文科)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r14．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+49．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝14．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，点C在以AB为直径的上运动，P A⊥平面ABC，且P A＝AC，点D、E分别是PC、PB的中点．（1）求证：PC⊥AE；（2）若AB＝2BC＝2，求点D到平面P AB的距离．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，M∪N＝{x|x＜1}，N⊊M．故选：D．2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，，故选：B．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．4．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：＝（1+λ，2），∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得λ＝．故选：C．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，即为ax﹣by＝0，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心（2，1），半径为1，由直线和圆相切可得，＝1，化为a2+b2＝4a2﹣4ab+b2，可得3a＝4b，∴＝．故选：B．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝故选：A．7．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣＝•+sin2x﹣＝sin （2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+4【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，可得a＝2，∴函数f（x）＝x3+2x，可得f′（x）＝3x2+2，又f（1）＝3；∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为：5，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程为：y﹣3＝5（x﹣1）．即y＝5x﹣2．故选：A．9．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知：S△＝＝24，S白＝π×32＝，记事件A为“该点落在阴影部分”，由几何概型中的面积型得：P（A）＝1﹣＝1﹣＝1﹣，故选：B．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③【解答】解：①中利用GE∥BD，EF∥BB1，可证得平面EFG∥平面BB1D1D，从而确定BD1∥平面EFG；②中利用EF⊥A1B则EF⊥BD1；EG⊥AD1，则EG⊥BD1，可得BD1⊥平面EFG；③设棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，2），G（0，2，1），∴，，，∴＝﹣2﹣2+4＝0，＝2﹣4+2＝0，∴BD1⊥EF，BD1⊥EG，∴BD1⊥平面EFG，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）【解答】解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝25【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5，则f（f（﹣3））＝f（5）＝（﹣5）2＝25；故答案为：2514．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为11．【解答】解：先根据x，y满足不等式，画出可行域，目标函数z＝x+2y，经过点B时z取得最大值，B（1，5），可得z max＝1+2×5＝11，故最大值为：11，故答案为：11．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝±1．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心为C（1，1），半径为1，则圆心到直线的距离为d＝，即＝，解得：k＝±1．故答案为：±1．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为（，2]【解答】解：∵，∴cos B（cos C﹣sin C）＝cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C，可得：sin B sin C＝sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得：tan B＝，∴由B为锐角，可得B＝，∵由正弦定理＝，b＝1，∴a+c＝（sin A+sin C）＝[sin A+sin（﹣A）]＝（cos A+sin A）＝2sin （A+），∵，可得：A∈（，），∴A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．【解答】解：（1）因为2S n ＝3a n ﹣3． 所以2s n ﹣1＝3a n ﹣1﹣3（n ≥2） 所以2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1（n ≥2）， ∴＝3（m ≥2），∵2s 1＝3a 1﹣3， ∴a 1＝3数列{a n }是以首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝3n （2）因为b n ＝＝＝所以∴T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝ ＝1﹣＝18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的上运动，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AC ，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点． （1）求证：PC ⊥AE ；（2）若AB ＝2BC ＝2，求点D 到平面P AB 的距离．【解答】（1）证明：∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，又AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC．∴BC⊥PC，∵DE是△PBC的中位线，∴DE∥BC，∴PC⊥DE，∵P A＝AC，D是PC的中点，∴AD⊥PC，又AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．（2）解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥P A，又DF⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴DF∥平面P AB，∴D到平面P AB的距离等于F到平面P AB的距离．∵P A⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥P A，又FM⊥AB，P A∩AB＝A，∴FM⊥平面P AB，∴F到平面P AB的距离为线段FM的长．在Rt△ABC中，∵AB＝2AC＝2，∴AC＝，∴C到AB的距离为＝，又F为AC的中点，∴FM＝．∴点D到平面P AB的距离为．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．【解答】解：（1）样本中图书的销售单价在[14，16）内的图书数是x•2×100＝200x，样本中图书的销售单价在[18，20）内的图书数是y•2×100＝200y，依据题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知（0.1×2+0.025+x+0.05+y）×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075．（3分）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为×0.025×2+×0.05×2+×0.1×2+×0.15×2+×0.1×2+×0.075×2＝0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85＝14.9（元）（6分）（2）因为销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]内的图书分别为40×＝2，40×＝4，40×＝8，40×＝12，40×＝8，40×＝6 （本）（8分）（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为A1，A2，另外4本记为B1，B2，B3，B4，从中抽取2本的基本事件有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：这2本书价格都不低于10元的概率P＝＝．（12分）20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点（0，1）与椭圆C的一个焦点重合，∴c＝1，又∵椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，则a2＝b2+c2＝2．故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＝4（2k2﹣2m2+4）＞0，即k2﹣m2+2＞0．，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝．由条件OA⊥OB，得3m2﹣2k2﹣2＝0，原点O到直线l的距离是d＝，由3m2﹣2k2﹣2＝0，得d＝为定值．又圆心到直线l的距离为，∴直线l与圆由公共点P，满足条件．由△＞0，即k2﹣m2+2＞0，∴＞0，即m2+2＞0．又，即3m2≥2，∴，即m或m．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，∴，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x＝a取得极小值0，∴f（a）＝a﹣alna﹣1＝0，令p（a）＝a﹣alna﹣1，p'（a）＝﹣lna，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）＝0，∴f（a）＝0的解为a＝1，故a＝1．证明：（2）证法1：由，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，恒成立，令，由（1）可知x﹣lnx﹣1≥0，令x＝e t得e t﹣t﹣1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）＝0，故．证法2：，设（t＞0），则g'（t）＝e t﹣at﹣a，则g''（t）＝e t﹣a，又e t＞e0＝1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）＝1﹣a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）＝0，故．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x，由消去参数t得直线l得普通方程为y＝x﹣2．（2）证明，将直线l的参数方程代入y2＝2x中，t2﹣10t+40，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2＝10，t1t2＝40．第21页（共22页）所以|MN|2＝|t1﹣t2|2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝40，因为|PM|×|PN|＝|t1t2|＝40＝|MN|2，∴|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜|x﹣1|，可得|x+3|﹣2＜|x﹣1|，当x≥1时，x+3﹣2＜x﹣1不成立，当﹣3＜x＜1时，x+3﹣2＜1﹣x，∴﹣3＜x＜0，当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣2＜1﹣x，﹣5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x﹣1|的解集为{x|x＜0}．（2）依题意，|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2≥b，令g（x）＝|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2＝，易知g（x）max＝g （）＝，则有≥b，即实数b 的取值范围是（﹣∞，]．第22页（共22页）。
学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文(含解析)
学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先解不等式得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴．故选D．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．2. 复数，则z的模为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的模的求法求解即可.【详解】复数,则z的模为:.故选：D.【点睛】本题考查复数的模的求法.属于基础题.3. 已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A．4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【答案】C【解析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5. 在中，是上一点，且，则（）A. B.C. D.【解析】【分析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．【详解】因为是上一点，且，则．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．6. （）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化为的正切值即可得到答案.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式，属于基础题.7. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案.【详解】，，.故选:B【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.8. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，，则下列结论中错误的是（）A. 若m//n，则B. 若，则C. 若相交，则相交D. 若相交，则相交【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的命题是否正确即可.【详解】逐一考查所给的命题：A.若m//n，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；B.若，由面面垂直的性质定理推论可得，题中的命题正确；C.若相交，则可能是异面直线，不一定相交，题中的命题错误；D.若相交，结合选项A中的结论可知不成立，故相交，题中的命题正确；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题、面面关系有关命题的判定等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 9. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.10. 已知，则A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案．【详解】因为，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11. 若存在，满足，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故选D.点睛：本题的难点有一个，就是对的化简变形，由于已知里只有的范围，所以要消掉y,，后面想到换元求导，就是比较自然了.12. 已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由圆的切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为又由点是椭圆的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 袋中共有4个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、1个白球和2个黑球.从袋中任取两球，则两球颜色为一白一黑的概率为______；【答案】【解析】【分析】利用列举法求出任取两球的基本事件个数，再求出一白一黑的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记1个红球为，1个白球为，2个黑球为,从袋中任取两球的基本事件为，，，，，，共种；两球颜色为一白一黑的为，，共种，所以两球颜色为一白一黑的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.14. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程．【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15. 函数（是正实数）只有一个零点，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析】先由二次函数零点个数，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为二次函数（是正实数）只有一个零点，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式，以及二次函数的零点个数问题即可，属于常考题型.16. 在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .【答案】【解析】【分析】将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.【详解】解：将两边同时减去得，，，即是等比数列，其首项为2，公比为2，所以，从而当n≥2时，.又，故故答案为：.【点睛】考查已知递推数列求数列通项，这种题一般是通过构造新的等比数列或等差数列，再借助于累加或累乘解决，基础题.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17. 如图，在梯形中，．（1）求长；（2）求梯形的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出的余弦值，再由余弦定理求出线段的长；（2）根据图中角之同的关系求出，再由正弦定理求的长，最后根据梯形的面积为与的面积和求解．【详解】解：（1）因为，所以，即．因，所以，所以．在中，由余弦定理得，，即，解得．（2）由（1）可得，所以，所以．因为且为锐角，所以，所以．由，得．所以．在中，由正弦定理得，，所以，所以梯形的面积．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．18. 按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）：用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.（1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B 种植户的收益更高，详见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得，解方程求得n=51后，即可得解；（2）分别计算出选择两个方案的的收益，比较大小即可得解.【详解】（1）由题意，解得m=12，n=51，所以特级品的频率为，所以可估计这批水果中特级品的比例为58%；（2）选用方案A，种植户的收益为（元）；选用方案B，由题意可得种植户的收益为：；由可得选择B方案种植户的收益更高.【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，考查了利用频率估计样本总体的应用，关键是对于题意的理解，属于基础题. 19. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，点F为棱上的点.（1）若F为中点，求证：平面；（2）若，，三棱锥的体积为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点M，连结，，易得是平行四边形，则，再利用线面平行的判定定理证明.（2）易知，则，又，利用线面垂直的判定定理得到平面，再由，得到平面，即A、D到平面距离相等，再利用等体积法解得即可.【详解】（1）如图所示：取中点M，连结，，，所以是平行四边形，平面，平面，平面.（2）因为，，，为等边三角形，所以，，又，，平面，又，所以平面平面，平面，平面，即A、D到平面距离相等，所以解得，所以.【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直的判定定理以及等体积法的应用和分点问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理运算求解的能力，属于中档题.20. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式，当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．【详解】解：（1）由题意得椭圆的方程为；（2）由（1）得，，，设直线的方程为，，，由，得，，，，直线的方程为，直线的方程为，，，，直线与的交点在直线上.【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题．21. 已知函数的导函数为，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数区间上存在非负的极值，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）令可求得，求导后再令即可求得，即可得解；（2）对函数求导后，根据、分类讨论，求出函数的极值，进而可得，令，求导后，得出的最大值，即可得解.【详解】（1）令，，∴，∴，∴，代入可得，∴，∴.（2）由题意，∴，当即时，在上恒成立，∴在区间上单调递增，无极值，不合题意；当即时，令，则，∴当，，函数单调递减；，，函数单调递增；∴在存在唯一极值，又函数区间上存在非负的极值，∴存在，∴存在即，令，∴，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，∴当即时，取最大值，∴的最大值为.【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．(1)写出的参数方程和的直角坐标方程；(2)若直线与曲线交于两点，且，求的值．【答案】（1）为参数），；（2）或【解析】【分析】（1）由直线过定点，且倾斜角为（）可写出直线的参数方程．利用可求出曲线的参数方程．（2）把直线的参数方程代入（1）中所求的抛物线方程，利用t的几何意义，可求解．【详解】（1）直线过定点，且倾斜角为（）直线的参数方程为为参数）；曲线的极坐标方程为，化为即为曲线的直角坐标方程；（2）把直线方程代入抛物线方程得：，设对应的参数分别为，，此时，满足或.[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）去绝对值，分、、三种情况解不等式，由此可得出该不等式的解集；（2）由题意可得出，进而得出，然后将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】（1）因为，当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时.所以不等式的解集为；（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，所以.，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题考查利用绝对值不等式的求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先解不等式得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴．故选D．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．2. 复数，则z的模为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的模的求法求解即可.【详解】复数,则z的模为:.故选：D.【点睛】本题考查复数的模的求法.属于基础题.3. 已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A．4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【答案】C【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5. 在中，是上一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．【详解】因为是上一点，且，则．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．6. （）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化为的正切值即可得到答案.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式，属于基础题.7. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案.【详解】，，.故选:B【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.8. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，，则下列结论中错误的是（）A. 若m//n，则B. 若，则C. 若相交，则相交D. 若相交，则相交【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的命题是否正确即可.【详解】逐一考查所给的命题：A.若m//n，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；B.若，由面面垂直的性质定理推论可得，题中的命题正确；C.若相交，则可能是异面直线，不一定相交，题中的命题错误；D.若相交，结合选项A中的结论可知不成立，故相交，题中的命题正确；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题、面面关系有关命题的判定等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.9. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.10. 已知，则A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案．【详解】因为，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11. 若存在，满足，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故选D.点睛：本题的难点有一个，就是对的化简变形，由于已知里只有的范围，所以要消掉y,，后面想到换元求导，就是比较自然了.12. 已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由圆的切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为又由点是椭圆的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 袋中共有4个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、1个白球和2个黑球.从袋中任取两球，则两球颜色为一白一黑的概率为______；【答案】【解析】【分析】利用列举法求出任取两球的基本事件个数，再求出一白一黑的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记1个红球为，1个白球为，2个黑球为,从袋中任取两球的基本事件为，，，，，，共种；两球颜色为一白一黑的为，，共种，所以两球颜色为一白一黑的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.14. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】【解析】【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程．【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15. 函数（是正实数）只有一个零点，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析】先由二次函数零点个数，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为二次函数（是正实数）只有一个零点，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式，以及二次函数的零点个数问题即可，属于常考题型.16. 在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .【答案】【解析】【分析】将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.【详解】解：将两边同时减去得，，，即是等比数列，其首项为2，公比为2，所以，从而当n≥2时，.又，故故答案为：.【点睛】考查已知递推数列求数列通项，这种题一般是通过构造新的等比数列或等差数列，再借助于累加或累乘解决，基础题.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17. 如图，在梯形中，．（1）求长；（2）求梯形的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出的余弦值，再由余弦定理求出线段的长；（2）根据图中角之同的关系求出，再由正弦定理求的长，最后根据梯形的面积为与的面积和求解．【详解】解：（1）因为，所以，即．因，所以，所以．在中，由余弦定理得，，即，解得．（2）由（1）可得，所以，所以．因为且为锐角，所以，所以．由，得．所以．在中，由正弦定理得，，所以，所以梯形的面积．【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．18. 按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）：用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.（1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B种植户的收益更高，详见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得，解方程求得n=51后，即可得解；。
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(文)试卷附答案详析
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（文）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．204．已知命题p :“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x ≤+”；命题q :“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．q ⌝ C ．()p q ∨⌝ D ．()p q ⌝∧5．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．836．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =-B ．12x =C ．34x =D ．54x =7．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛8．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．610．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．611．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697D ．169812．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78二、填空题13．过抛物线C :2y x =上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.16．已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2.动点P 在四面体的内部或表面，P 到四个面的距离之和记为s .已知动点P 在1P ，2P 两处时，s 分别取得最小值和最大值，则线段12PP 长度的最小值为______. 三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，11BC CC ==，点D 为1AA 的中点.（1）求证:1BC ⊥平面1B CD ； （2）求点1B 到平面BCD 的距离.18．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率22e =，且经过圆O :2220xy y +-=的圆心.过点F 作不与坐标轴重合的直线l 和该椭圆交于M ､N 两点，且直线AM ､AN 分别与直线2x =交于P ､Q 两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明:PFQ ∆为直角三角形.19．定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”.（1）若首项为1的等差数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，其前n 项和n S 满足22n S n n <+(n *∈N )，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，213a a -<，设()261nn nb n a ⨯=+⋅(n *∈N )，试判断数列{}n b 是否为“D 数列”，并说明理由.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈.（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 62sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21019sin ρθ=+.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题. 23．已知函数()2725f x x x =-+-.(1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥. 解析湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（文）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 解：{}{}2200,1,2A x xx =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=，∵B A ⊆，∵集合A 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题.2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+【答案】B【解析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r的坐标，则2AC u u u r 可求. 【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r，(4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r ，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4．已知命题p :“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x ≤+”；命题q :“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．q ⌝ C ．()p q ∨⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】D【解析】根据条件分别判断命题,p q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】命题p ：“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x <+或10x +=”. 则命题p 是假命题.命题q ：“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，为真命题. 则()p q ⌝∧为真命题，其余为假命题.故选：D ． 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题,p q 的真假是解决本题的关键．属于基础题.5．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C 【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题. 6．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =- B ．12x=C ．34x =D ．54x =【答案】D【解析】根据三角函数平移关系求出()gx 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】 解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立，即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-，则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∵当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭， 3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-， 即14ϕ=或74ϕ=（舍）， 即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k=时，对称轴方程为54x =. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.7．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛【答案】D【解析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D. 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大. 8．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P == B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>【答案】C【解析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解． 【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r ，所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GABGA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．6【答案】A【解析】设点2,a A t c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可. 【详解】 解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛⎫∴-++ ⎪ ⎪⎝⎭2222222(1)1a a c b c c a b ∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪∵ ， 又221315122a cbc ⨯⨯+=∵， 222c a b -=∵，∵由∵∵∵得3,3,23a b c ===.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题. 10．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果. 【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()gx 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =；…综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点，即方程()()f x g x =的根的个数为6.故选：D. 【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题. 11．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697 D ．1698【答案】A【解析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可.解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：9(987654321)8(887654321)⨯+++++++++⨯++++++++ 7(777654321)1(111111111)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++945844742639217191695=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题. 12．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78【解析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行j c 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，计算得到()()()3311()iiji j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i nA nB ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中， 从而363ab ≥， 所以()()223633839(1,2,3)j j nc a b ab n c j =+≥≥>⇒≥=∵，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑∵()3166j j n c ==-∑∵下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=∵由∵∵∵得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式∵知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B. 【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目.二、填空题13．过抛物线C :2y x =上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 【答案】12【解析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果. 【详解】 由2y x =，则2y x '=.设点()()200,0M x x x≠,则曲线C 在M 处的切线的斜率为02k x =.所以曲线C 在M 处的切线方程为：20002()y x x x x -=-. 即2002y x x x =-. 所以()2000,0,2x A B x ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由,,M A B 三点的坐标可得，A 点为BM 的中点.所以12MA MB =. 故答案为：12【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题.14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积.【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sincos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰， 所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.【答案】2216【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a 的公差d ，写出数列{}n a 的前13项和13S ，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，则1()918y x d y x -==--，所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值， 所以13S 的最大值为134********⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题. 16．已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2.动点P 在四面体的内部或表面，P 到四个面的距离之和记为s .已知动点P 在1P ，2P 两处时，s 分别取得最小值和最大值，则线段12PP 长度的最小值为______. 【答案】9714【解析】设四面体为ABCD ,其中3AD BD BC AB AC =====，取,CD AB 的中点分别为,E F ，求出EF 的长，将点P 到四个面的距离之和记为s ，转化为到其中两个面的距离，利用等体积的方法分析出距离之和的最值，从而得到线段12PP 长度的最小值为CD ，AB 上两点间的距离的最小值，得到答案. 【详解】四面体为ABCD ,其中3AD BD BC AB AC =====,设2CD x =.取,CD AB 的中点分别为,E F ，连接,DF CF ,如图.在等腰三角形,ABD ABC 中，有,FD AB FC AB ⊥⊥. 所以AB ⊥平面CDF ，又F 为AB 的中点.则四面体ABCD 的外接球的球心O 一定在平面CDF 上. 同理可得四面体ABCD 的外接球的球心O 一定在平面ABE 上. 所以四面体ABCD 的外接球的球心O 一定在EF 上. 连接,OC OB ，设EFC θ∠=.在直角三角形OBF 中，2297442OF OB BF =-=-=. 在三角形OCF 中，2227274344cos 273321222OF CF OC OF CF θ+-+-===⋅⋅⨯⨯. 在直角三角形EFC 中,97cos 14EF CF θ=⋅=. 所以CE 长为定值，CD 的长为定值.根据条件有=V V ACD BCD S S ,设为1S , ABD CAB S S =V V ,设为2S设点P 到四个面ACD ,BCD ,DAB ,CAB 的距离分别为1234,,,d d d d . 设四面体ABCD 的体积为V (为定值) 由等体积法有：()()1213421[]3V d d S d d S =+++ 所以()1213423V d d S d d S -++=所以()11234122231S V s d d d d d d S S ⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭当点P 在CD 上时，120d d +=最小. 当点P 远离CD 时，12d d +的值增大，由等体积法可得当点P 在AB 上时，12d d +的值相等，且此时12d d +的值最大. 所以当点P 在CD 或AB 上时，s 取得最值.故线段12PP 长度的最小值为CD ，AB 上两点间的距离的最小值. 由上可知，,EF CD EF AB ⊥⊥.所以CD ，AB 上两点间的距离的最小值为9714EF =. 故答案为：9714. 【点睛】本题考查球的内接问题和空间点到面的距离之和的问题，以及等体积的方法的应用，属于难题.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，11BC CC ==，点D 为1AA 的中点.（1）求证:1BC ⊥平面1B CD ； （2）求点1B 到平面BCD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】（1）设1BC 1与1B C C 交于点E ，连接DE ，可得1BD C D =，1BC DE ⊥，即可证明1BC ⊥平面1B CD .（2）利用等体积法求点1B 到平面BCD 的距离． 【详解】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DE .∵多面体11ABCDB C 是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除部分所得，1BC CC =，∵四边形11BB C C 是正方形，四边形1CC DA ､1ABB D 均为直角梯形，其中AB AD ⊥，AC AD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1BB ，∵2252BDBA AD =+=.又()221152DC CC AD AC =-+=，∵1BD C D = .∵E 为1BC 的中点，∵1BC DE ⊥. 又∵11B CBC ⊥，1B C DE E =I ，∵1BC ⊥平面1B CD ；（2）设点1B 到平面BCD 的距离为d ， ∵11B BCD D BCB V V --=，点D 到平面11BCC B 的距离即为ABC ∆边BC 上的高，即为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵1113332BCD B BC S d S ∆∆⋅=⨯.又∵52DC BD ==，1BC =， ∵121122B BCS BC ∆=⨯=，22111242BCD S BC BD BD ∆=⨯⨯-=. ∵13133222122B BC BCDS d S ∆∆⨯⨯===，即点1B 到平面BCD 的距离为32. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．18．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率22e =，且经过圆O :2220xy y +-=的圆心.过点F 作不与坐标轴重合的直线l 和该椭圆交于M ､N 两点，且直线AM ､AN 分别与直线2x =交于P ､Q 两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明:PFQ ∆为直角三角形.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】根据条件椭圆过点()0,1，即1b =，由22e =以及222a b c =+，可求椭圆方程. （2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，根据点共线求出点,P Q 坐标，设直线的方程1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可得到1FP FQ k k =-，即证明结论成立. 【详解】(1)由题意知，圆O :2220x y y +-=的圆心为()0,1.∵椭圆22221x y a b +=(0a b >>)过圆O :2220x y y +-=的圆心()0,1， ∵1b =.又22c e a ==，222a b c =+，∵22a = .∵所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，可设直线l 的方程为1x my =+.联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222210m y my ++-=. ∵1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.根据A ､M ､P 三点共线可得11222P y y x =++.∵()11222P y y x +=+.同理可得()22222Qy yx +=+.∵P ､Q 的坐标分别为()11222,2y x ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，()22222,2y x ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 设直线FP 的斜率为1k ，直线FQ 的斜率为2k ，则()()121212222200212122Q P P Q y y y y k k y y x x ++--=⋅==⋅--++ ()()()21212221212y y my my+=++++()()()2122121222112322y y m y y m y y +==-+++++∵PF QF ⊥. ∵PFQ ∆为直角三角形.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，在做题时，选择合适的直线方程，能够起到事半功倍的效果，考查计算能力，属于难题．19．定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”.（1）若首项为1的等差数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，其前n 项和n S 满足22n S n n <+(n *∈N )，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，213a a -<，设()261n n nb n a ⨯=+⋅(n *∈N )，试判断数列{}n b 是否为“D 数列”，并说明理由.【答案】（1）()11221na n n =+-⨯=+（2）是，理由见解析【解析】(1) 设{}n a 的公差为d ,则()2122n n n S n d n n -=+<+，由{}n a 每一项均为正整数，即*d N ∈ ，可求出n a . (2).根据条件有()1120n nn n n a a a q a a q +-=-=-≥>，1q >，，所以()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-，在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥，可求出11a =，3q =或12a =，2q =，然后再分别 判断()12*n nb b n N +-≥∈是否恒成立.【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则2d ≥，由11a =，得()12n n n S n d -=+. 由题意得，()2122n n n d n n -+<+对n *∈N 均成立， 当1n =时，上式成立.当2n ≥时，224211n d n n +<=+--， 又d N *∈，∵2≤d ，∵2d =∵等差数列{}n a 的通项公式为()11221n a n n =+-⨯=+.（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，∵数列{}n a 的每一项均为正整数，且()1120n n n n n a a a q a a q +-=-=-≥>，∵1q >，且q 为整数 ∵()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-.∵在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥.即()112a q -≥，又213a a -<，即()113a q -<. 由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=，∵11a =，3q =或12a =，2q =.∵当11a =，3q =时，13-=n n a ，则()112632131n n n n b n n +-⨯==⨯+⋅+. 令1+=-n n n c b b (n *∈N )， 21332221n n n c n n ++=⨯-⨯++ 则1213221n n n +⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭()()13221n n n n +=⨯⨯++ ∵()()()()211132323221n n n n n nc c n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++.()()()212320321n n n n n n +++=⨯⨯>+++ ∵数列{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>L.又1212c b b =-=.∵对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥. ∵数列{}n b 是“D 数列”. ∵当12a =，2q =时，2nn a =，则()2623121n n n nb n n ⨯==⨯+⋅+. 令1n n n d b b +=-(n *∈N ).1223321n n n d n n +=⨯-⨯++312321n n n ⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭=()()212321n n n n +⨯⨯++ ∵()()()()11232123233221n n n n n n d d n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++()()()2486230321nn n n n n ++=⨯⨯>+++∵数列{}n d 为递增数列，即0121n n n d d d d ->>>>L.又1213d b b =-=.∵对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥，∵数列{}n b 是“D 数列”.综上，数列{}n b 是“D 数列”【点睛】本题考查了数列递推关系、新定义“D 型数列”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利. 【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭； ()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵X 的分布列为。
2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试文 科 数 学 试 卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x |11≤≤-x }，则A ∩B =（ ） A. (]1,0B . []1,1-C. {}1D. {}1,1-2．已知复数z 满足（1+i ）z =3+i ，则复数z 的模是（ ） A. 1B. 5C. 2D. 43．已知函数⎩⎨⎧=≥-+<+)1(32)1)(1lg(2)(x xx x x x f ，则f （f （-3））的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34．若抛物线y =ax 2的焦点坐标是（0，1），则a =（ ） A. 1 B.21 C.2 D.41 5．“x ＜1”是“log 2x ＜0”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知角α在第二象限，若53sin =α，则tan2α=（ ） A. 32 B.724 C.724- D.43-7. 在等差数列{}n a 中，已知1071=+a a ，则=+53a a （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 39．已知点P 的坐标（x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+-≥-+0620202y x y x y x ，则1+x y 的最大值（ ） A. 2B.21 C.34 D. 810．在平面直角坐标系中，经过点P ），（2-22，渐近线方程为y =x 2±的双曲线的标准方程为（ ）A. 12422=-y xB. 114722=-y xC.16322=-y xD.171422=-x y 11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角B -AD -C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A.π3B.π4C.π5D.π612. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间[]2,1--上是减函数，且满足()()2f x f x -=-．令()()()ln 2ln3ln5,,,,235a b c f a f b f c ===，则的大小关系为 A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()b f c f a f >>二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1312nn S =-，则4a =______． 14.曲线x y =在点（4，2）处的切线的斜率为______．15.将函数f （x ）=2cos （2x +6π）的图象向左平移t （t ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______． 16.若lg a +lg b =0，则ba 12+的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分12分）已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18．（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =2，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PB ⊥ED ； （Ⅱ）求三棱锥A -PBE 的体积．19．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
VQAPD
1 1 2 a1 1， 32
解得 a＝3．………………………………………………………………（12 分）
19．解：（Ⅰ）设这 6 人中花 150 元/袋的价格购买 A 蔬菜的顾客为 a，b，其余 4 人为 c，d，
e，f．
则从 6 人中任选 2 人的基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，
e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，
e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共 15 个．
其中至少选中 1 人是以 150 元/袋的价格购买的基本事件有：（a，c），（a，
d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（a，
故 OB＋OC 的最大值为 2．……………………………………………（12 分） 18．解：（Ⅰ）在直角梯形 PABC 中，点 A 恰好在线段 PC 的垂直平分线上，AD⊥PC．
∴AD 即为线段 PC 的垂直平分线， 即 D 是线段 PC 的中点， ∴PD＝CD．………………………………………………………………（2 分） 又 AB⊥BC，AB∥PC，AD⊥PC， ∴四边形 ABCD 为矩形． ∵P′D⊥AD，平面 ADP′⊥底面 ABCD，平面 ADP′ 底面 ABCD＝AD，
适应考（二）文数答案—2
∵椭圆 C 的离心率为 2 ，∴ c 2 ．①……………………………（1 分） 2 a2
又椭圆 C 经过点 1,
6 2
，
2
6
∴ 12
2
1．②…………………………………………………（2 分）
a2
b2
结合 a2 b2 c2 ，③
当购进 A 蔬菜 5 袋时，每天所获平均利润为 x2 ＝（100×4－50）×0.3
＋100×5×0.7＝455（元），
当购进 A 蔬菜 6 袋时，每天所获平均利润为 x3 ＝（100×4－50×2）×
0.3＋（100×5－50）×0.6＋100×6×0.1＝420（元）． 综上，该批发商明年每天购进 A 蔬菜 5 袋，所获平均利润最大．…（12 分） 20．解：（Ⅰ）设椭圆 C 的半焦距为 c．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DC⊥P′D，DC⊥AD，
又 AD P′D＝D，∴CD⊥平面 P′AD．
∵Q 是线段 P′C 的中点，
∴三棱锥 Q－P′AD 的高等于 1 CD．……………………………………（8 分） 2
由（Ⅰ）及 PC＝4，得 P′D＝CD＝2．…………………………………（9 分）
而 VP ADQ
3
sin
sin
OB
3
sin
3 2 3
2，
∴
OC
2 sin , OB
2 sin
3
．
∴
OB
OC
2 sin
2 sin
3
2 sin
3
2
．
当且仅当 ，即△ABCபைடு நூலகம்为等边三角形时取等号， 6
此时点 A1,
6 2
14．丙
15．3
16． 10 －1
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（Ⅰ）∵ a cosC c cos A tan A 3b ，
∴ sin AcosC sin C cos A tan A 3 sin B ，
即 sin A C tan A 3 sin B ．
又∵ A B C ，∴ sin A C sin B 0 ．
∴ tan A 3 ，故 A ．……………………………………………（5 分） 3
（Ⅱ）设 OBC ，∵O 为△ABC 的内心，且 A ，∴ BOC 2 ．
3
3
∴ OCB ，在△OBC 中， OC
b），共 9 个．
∴至少选中 1 人是以 150 元/袋的价格购买的概率为 P＝ 9 ＝ 3 ．…（6 分） 15 5
（Ⅱ）（i）该蔬菜批发商经销 A 蔬菜的总盈利值为 100×［（100×4－50×2）×
0.3＋（100×5－50）×0.6＋600×0.1］＝42000（元）．………（8 分）
（ii）当购进 A 蔬菜 4 袋时，每天所获平均利润为 x1 ＝100×4＝400（元），
适应考（二）文数答案—1
∴P′D⊥底面 ABCD，∴P′D⊥BC．……………………………………（3 分） ∵P′D⊥BC，CD⊥BC，CD P′D＝D， ∴BC⊥平面 P′CD，∴BC⊥DQ．………………………………………（4 分） 又∵Q 是线段 P′C 的中点，P′D＝DC， ∴DQ⊥P′C．………………………………………………………………（5 分） 又 P′C BC＝C，∴DQ⊥平面 P′BC．…………………………………（6 分）
绝密★启用前
2020
数学（文科）试卷参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D B C B B D A C D D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 9x 4y 2 0 或 y 4
由①②③，解得 a 2,b c 2 ．……………………………………（3 分）
故椭圆 C 的标准方程是 x2 y2 1．…………………………………（4 分） 42
OA 2 OB 2 OAOB 2 OA 2 OB 2 OA OB cos AOB 2
OA 2 OB 2 sin2 AOB
（Ⅱ）
4 1 OA 2 OB 2 sin2 AOB
，
4
4
1 2
OA
OB
2
sin
AOB
4 SAOB 2
①当直线 l 的斜率不存在时，不妨设 x＝t，t＞0，根据对称性知两平行线的 交点在 x 轴上，又因为交点刚好在椭圆 C 上，所以交点为长轴端点，则满 足条件的直线的方程是 x＝1．