2013广州调研数学理试题及答案含解析

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广州市2013届高三年级调研测试-数学(理科)答案详解

222N广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i332i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PAB S ∆=⨯⨯= 7. B分析：方程22221x y a b表示焦点在x 轴且离心率小于3的椭圆时，有222232a b c a b e a a ⎧>⎪⎨-==<⎪⎩，即22224a b a b⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a x x a x ，故不等式()2x a x a 化为()(1)2x a x a ，化简得2(1)220x a x a -+++，故原题等价于2(1)220x a x a -+++在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩ 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解得3a 或 37a <，综上可得7a二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a 得11123412a d a d a d ，即13912a d += ，化简得134a d，故7117677(3)73282S a d a d方法二、等差数列中由173542a a a a a 可将34512a a a 化为173()122a a ，即178a a ，故1777()282a a S10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rrax a x x，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a ，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故em =-503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++ 12. 4分析：圆方程2224150x y x y +++-=化为标准式为22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线20x y -=的距离d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=14.分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==故圆C 截直线l 所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =4. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴A cos ==…………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A A cos cos sin sin ππ=+ …………… 10分1528=-⨯-⨯=-…………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. (6)分∴()3501225P M ==27. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， (8)分()0 Pξ==210225CC960=，()1Pξ==111510225C CC=12，()2Pξ==215225CC720=. (11)分∴ξ的分布列为：EMNDCBAPNAP…………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点,∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ，P∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,，∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN//面PAD. …………… 3分∵MN 平面MEN，∴MN//面PAD. …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD . …………… 5分∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分∴NFE ∠是二面角N AM B 的平面角. (9)分在Rt △NEM 中，5MN,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE，得AM ==355AE ME EF AM . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分 389cos 89EF NFE NF . …………… 13分∴二面角NAM B的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN ,3ME AD ==，得4NE ==， (5)分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n ENn EN. …………… 13分∴二面角N AM B . …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为==⋅ (9)S OA OB分=== (11)分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， (12)分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k =. …………… 2分∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分=…………… 10分≥…………… 11分2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >,∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ (2)分()()212311n n b q++++++=⋅ (3)分()()122n n q ++= (4)分222n +=. (5)分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. (14)分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分 ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ (13)分14<. …………… 14分友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

【解析版】2013年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）
•|=|||| +|=|丨（•）（••=||2
解：∵=||||cos|||||
|+||+||，只有当，
∵（是向量，其方向与向量相同，（）与向量
=||||cos0=
22
的距离为=0
3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，
根据根与系数的关系可得，解得
4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）
．．D
5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则
ω×）+，
解：∵函数的一个对称中心是
ω×++=k+
6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
．D
小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，，
截面的面积为
7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即
费用
=15+1.5n++=0.15n
年平均费用：=0.15n++1.652+1.65=2。

2013广东高考数学(理科)试题及详解

2013广东高考数学（理科）试题及详解参考公式:台体的体积公式()1213VS S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}2|20,Mx x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A .{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( A . 4B ．3 C ．2 D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A .()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143 C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V=⨯=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ． 7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立正视图俯视图侧视图第5题图若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B；特殊值法,不妨令2,3,x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()5711133464a a a d a d a +=+++= 或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线. 【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为1 7 92 0 1 53 0第17题图2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆ ,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=. 18．（本小题满分14分）C D OBE'AH如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CDB '--的平面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CDB '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ ,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,5n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；.CO BDEA CDO B'A图1 图2(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,Px y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k hk k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013年高考真题理科数学(广东卷)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式11221()3V S S S S h =++，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35310 110则X 的数学期望()E X = 35图1 正视图俯视图侧视图2 2 1 11i n ≤是图2输出s 结束否输入n开始 1,1i s ==1i i =+(1)s s i =+-DACO E5. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 A ．4 B ．143C ．错误！未找到引用源。

2013年广东高考数学理及答案(解析版)

⎛ ⎝
3 4 ⎛ 3π ⎞ ,θ ∈ ⎜ , 2π ⎟ ,所以 sin θ = − , 5 5 ⎝ 2 ⎠
24 7 2 2 , cos 2θ = cos θ − sin θ = − 25 25 π⎞ 7 ⎛ 24 ⎞ 17 ⎛ 所以 f ⎜ 2θ + ⎟ = cos 2θ − sin 2θ = − . −⎜− ⎟ = 3⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ 25 ⎝
二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 (9 ～13 题) (一)必做题必做题(9 (9～
9．不等式 x + x − 2 < 0 的解集为___________．【解析】 ( −2,1) ；易得不等式 x 2 + x − 2 < 0 的解集为 ( −2,1) . 10．若曲线 y = kx + ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于 x 轴,则 k = ______. 输入n
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解
:台体的体积公式 V = 参考公式参考公式:
积, h 表示台体的高.
1 下底面 S1 + S1S2 + S2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、 3
(
)
:本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 , 一、选择题选择题: 本大题共小题, 每小题在每小题给出的四个选项中, . 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.
z < x < y …③三个式子中恰有一个成立； z < w < x …④， w < x < z …⑤， x < z < w …⑥

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( ) A . 214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 5是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆:,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.CD OBE 'AH(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '-向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=u u u r ,(1,DA '=-u u u u r. C O BD E A C D OBE'A图1 图2设(),,n x y z =r为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u uu r ,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-r 由(Ⅰ) 知,(OA '=u u u r为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ,即二面角A CD B '--.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013届广州市高三年级调研测试数学(理科)试题及参考答案详解

俯视图侧视图正视图图1广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+xD ．()f x =)32cos(π+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．8 7．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x ya b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为图3A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .图2图4M NBCDAP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值.17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. （苏元高考吧：）(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.222N 2013届广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i 332i--=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x?-+=，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=¿，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PADS S∆∆==⨯⨯=，14362PABS∆=⨯⨯=7. B分析：方程22221x yab+=表示焦点在x轴且离心率小于222a bcea a⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a ba b⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a∈，[2,4]b∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +== 10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x yx y +++-=化为标准式22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线2x y -的距离5d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=4个． 13.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=， …20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =15.分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d == 故圆C 截直线l 所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =. …………… 3分 (2)解:∵a b<，∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分 ∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=,∴23C Aπ=-. …………… 8分∴4223C Acos cosπ⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A Acos cos sin sinππ=+…………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为501 1002=.∴应从,,,A B C D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C215+C220+C210+C25=350. …………… 6分∴()350 1225P M==27.答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，…………… 8分E MNDCBAPMNDCBAP()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为：…… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分FEMNDCBAP∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ， ∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n EN nEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ ……………9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q++=,即12n q+=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分 ∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14<. …………… 14分。

2013年高考理科数学广东卷-答案

M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。

2013年高考广东卷数学(理)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(),,x y z和正视图俯视图侧视图第5题图(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y =+在D上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________..AED CBO第15题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---, *n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；[来源:学。

2013广州增城调研数学理试题及答案

增城市2013届高中毕业班调研测试理科试题数学试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：24R S π=球,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'====柱锥台球如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P =⋅.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{9},{1,2,3},={U x x A B ==是小于的正整数集合集合则=⋂B C A C u u（A ） {3} （B ） {7,8} （C ）{4,5,6,7,8} （D ）{1,2,7,8} 2.复数5-2+i的共轭复数是（A ） 2+i (B) 2i -+ (C) 2i -- (D) 2i -3.已知函数2()f x x -=，则(A) ()f x 为偶函数且在),0(+∞上单调增 (B) ()f x 为奇函数且在),0(+∞上单调增（C ）()f x 为偶函数且在),0(+∞上单调减 (D) ()f x 为奇函数且在),0(+∞上单调增4.函数x x f 3log )(=的定义域是(A) ]1,0( (B) ),1[+∞ (C) ),3(+∞ (D) ),3[+∞ 5.已知实数x 满足,31=+-xx 则=--22x x（A ） 53 （B ）5 （C ）53± （D ）5± 6.给出三个命题：（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行. （2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行. （3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）37.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是（A ）甲射击的平均成绩比乙好（B ）乙射击的平均成绩比甲好（C ）甲比乙的射击成绩稳定（D ）乙比甲的射击成绩稳定8.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则=+++ （A ）OM （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知非空集合},{2R x a x x A ∈==，则实数a 的取值范围是 .10.有一问题的算法程序是 1=i 0=SWHILE 100<=i i S S += 1+=i i WEND PRINT S END则输出的结果是 .11.二项式9)1(xx -的展开式中3x 的系数是 .12.曲线x y =2与2x y =所围成的图形的面积是 .13.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元，那么如何安排生产，可产生的最大利润是 .（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）已知圆O 割线PAB 交圆O 于B A ,)(PB PA <两点，割线PCD经过圆心O )(PD PC <，已知6=PA ,317=AB ,10=PO ;则圆O 的半径是 . 15（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩⎨⎧+==1t y t x （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16（12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=（1）求()f x 的最小正周期及最大值；（2）用五点法画出)(x f 在一个周期上的图像. 17（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；（2）质检人员从中随机抽出2听，设ξ为检测出不合格产品的听数，求ξ的分布列及数学期望. 18（14分）如图，在三棱锥V ABC -中，⊥VA 平面ABC , ︒=∠90ABC ,且422===VA BC AC .（1)求证：平面⊥VBA 平面VBC ;（2）求二面角B VC A --的平面角的余弦值. V A B19（14分）在等比数列{}n a 中，已知29,2333==S a . （1）求{}n a 的通项公式；（2）求和122n n S a a na =+++ .20（14分）已知点P 是圆16)1(22=++y x 上的动点，圆心为B ，)0,1(A 是圆内的定点；PA 的中垂线交BP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 交轨迹C 于N M ,MN (与x 轴、y 轴都不平行）两点，G 为MN 的中点，求OG MN k k ⋅的值（O 为坐标系原点）.21（14分）圆221x y +=内接等腰梯形ABCD ，其中AB 为圆的直径（如图）. （1）设(,)(0)C x y x >，记梯形ABCD 的周长为()f x ，求()f x 的解析式及最大值；（2）求梯形ABCD 面积的最大值.增城市2013届高中毕业班调研测试理科数学试题参考答案及评分标准8.选择题：BBCBC BDD9.填空题：9. ),0[+∞ 10. 5050 11. -84 12. 3113.30000元 14. 52 15. （1,2）三、解答题：16.）（1）x x x x f cos sin 2sin 2)(2+= 1分 x x 2sin 2cos 1+-= 3分 =)2cos 4sin4cos 2(sin 21x x ππ-+ 4分=)42sin(21π-+x 5分)(x f ∴的最小正周期是π，最小值是12+ 7分7.列表 9分画图 10分特征点 11分坐标系 12分三、（1）在6听中随机抽出1听有6种方法 1分在2听中随机抽出1听有2种方法 2分所以3162==P 4分答： 5分（4）2,1,0=ξ 6分当0=ξ时，52)0(2624===C C P ξ 7分当1=ξ时，158)1(261412=⋅==C C C P ξ 8分当2=ξ时，151)2(2622===C C P ξ 9分分布列为： 10分15121581520)(⨯+⨯+⨯=ξE 11分=3212分18.（1）⊥VA 平面BC VA ABC ⊥∴ 1分 AC BC ABC ⊥∴︒=∠90 2分 ⊥∴BC 平面VBA 4分 ∴平面⊥VBA 平面VBC 5分四、过点B 作VC MB ⊥于M ，过点A 作VC AN ⊥于N ，过点M 作VC MD ⊥交CA 于D ，则MD //NA 7分2422,90==∴===︒=∠VB VA VA BC AC ABC 32=∴AB 8分⊥VA 平面4,52,,==∴⊥⊥∴VB VC AB VA AC VA ABC 9分 554,852,852==∴==⋅∴AN BM NA BM 10分 55855252,552)554(42=-=∴=-==CN VN CM 11分1,55,41==∴===CD MD CA CD CN CM NA MD12分在ABC ∆中，︒=∠∴︒=∠∴=60,30,2ACB CAB BC AC 360cos 12214=︒⨯⨯⨯-+=∴BD 13分在BMD ∆中，41555542351516cos =⨯⨯-+=∠BMD所以所求二面角的平面角的余弦值是4114分或解：过点B 作⊥'B B 平面ABC ，建立直角坐标系如图 6分则)2,32,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,0(V C A B 7分)2,32,0(),0,0,2(),0,32,2(),2,0,0(==-==∴ 8分设y x ⊥⊥=,),,,2( 9分则)0,332,2(0332020324=∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==-m y x y x 10分同理设BV n BC n s t n ⊥⊥=,),,2,( 11分则)32,2,0(320023402-=∴⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+=s t s t 12分设与的夹角为θ，则41124344334cos =+⨯+==θ 13分所以所求二面角的平面角的余弦值是4114分 19.（1）解：由条件得：2321=q a 1分 292111=++q a q a a 2分212=+∴q q3分1=∴q 或21-=q 4分当1=q 时，23,231==n a a 5分当21-=q 时，11)21(6,6--==n n a a 6分所以 7分或解：当1≠q 时由条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=291)1(233121q q a q a 2分 3)1(123=--q q q ，即013223=+-q q 3分0)1)(12(2=--∴q q 21-=∴q 4分 61=∴a 5分当1=q 时，231=a 符合条件 6分所以 7分（2）当1=q 时，)21(23n S n +++= 8分 4)1(3+=n n 9分当21-=q 时,])21()21(3)21(2)21[(6120--++-⨯+-⨯+-=n n n S 10分])21()21(3)21(2)21[(62132n n n S -++-⨯+-⨯+-=-∴ 11分])21()21()21()21(1[62312n n n n S ---++-+-+=∴- 12分 ])21(211)21(1[623n nn n S --+--=∴ 13分 n n n S )21)(23(3438-+-=∴ 14分一、（1）解：由条件知：QP QA = 1分4=+QP QB 2分4=+∴QA QB 3分 42<=AB 4分所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点的椭圆 5分322,422=∴==b c a 6分所以点Q 的轨迹C 的方程是13422=+y x 7分（2）解：设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠，则)2,2(2121y y x x G ++ 8分 134,13422222121=+=+∴y x y x 9分 0)(31)(4122212221=-+-∴y y x x 10分 4322212221-=--∴x x y y 11分 21212121,x x y y k x x y y k OG MN ++=--=13分4322212221-=--=⨯∴x x y y k k OGMN 14分或解：设),)(,(),,(21212211y y x x y x N y x M ≠≠，直线MN 的方程为)0(≠+=k b kx y 则)2,2(2121y y x x G ++ 8分 b x x k y y b kx y b kx y 2)(,,21212211++=+∴+=+= 9分2121212x x bk x x y y k OG ++=++=∴ 10分将b kx y +=代入椭圆方程得：01248)34(222=-+++b kbx x k 11分348221+-=+∴k kbx x 12分 k k k k k b k k OG4343434222-=+-=++=∴ 13分所以43)43(-=-⋅=⋅k k k k OG MN 14分21.解：（1）过点C 作AB CE ⊥于E 则)10(<<=x x OE x EB -=∴1 1分2222)1(,1x y CB y x -+=∴=+ 2分x 22-= 3分)10(22222)(<<-++=∴x x x x f 4分令t x =-22，则)20(222<<-=t t x 5分55)1(24)(22≤+--=+-=∴t t t x f 6分当1=t ，即21=x 时)(x f 有最大值5 7分 14.设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(21)(+= 8分)10(1)1()22(212<<-+=+=x x x y x 9分221221)1(1)(xx x x x S --⨯+++-='∴ 10分22112xx x -+--==0 11分21,0)1)(12(,0122=∴=+-=-+∴x x x x x 12分且当210<<x 时，0)(>'x S ，当121<<x 时，0)(<'x S 13分所以当21=x 时，)(x S 有最大值433，即 14分或解：设)900(︒<<=∠ααBAC ，过点C 作AB CE ⊥于EAB 是直径，︒=∠∴90ACBαcos 2=∴AC 8分αααααc o s s i n 2s i n ,c o s 2c o s 2=⋅==⋅=∴AC CE AC AE 9分 1c o s s i n 2-=∴ααOE 10分αααααααc o s s i n 4c o s s i n 2)2c o s s i n 42(21)(3=-+=S 11分 )s i n (s i n 4c o s c o s s i n 34)(32αααααα-+⨯='S0)tan 3(cos sin 4)sin cos 3(sin 4222222=-=-=αααααα 12分 ︒=∴=∴60,3tan αα 13分当︒<<600α时，0)(>'αS ，当︒<<︒9060α时，0)(<'αS所以当︒=60α时)(αS 有最大值433 14分或解：设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(21)(+=8分 )10(1)1()22(212<<-+=+=x x x y x 9分)1()1(3x x -+= 10分)33)(1)(1)(1(31x x x x -+++=11分 433)26(314=≤ 12分当且仅当331-=+x x ，即21=x 时等号成立 13分所以 14分。

广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试数学理试题

秘密★启用前试卷类型：A广东省广州市越秀区2013-2014学年高二下学期期末水平调研测试数学理试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|280A x x x =--<，{}|1B y y =≤-，，则A B =（ ▲ ）A ．(]2,1--B ．[)1,4-C ．(),4-∞D ．∅2．复数()21i 1iz +=-（其中i 是虚数单位）所对应的点位于复平面的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设,R a b ∈，则“()20a b a -<”是 “a b <”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数)(x f 对任意的实数x ，都有(2)(2),(1)()f x f x f x f x +=-+=-，且)(x f 不恒为0，则)(x f 是（ ▲ ）A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ▲ ）A ．π()2tan()134x g x =-+B ．π()2tan()134x g x =+-C ．π()2tan()1312x g x =-+D ．π()2tan()1312x g x =--6．下列命题中，正确的是（ ▲ ）A ．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行B ．平面α⊥β，直线m ⊥β，则m //αC ．直线l 是平面α的一条斜线，且l ⊂β，则α与β必不垂直D ．直线l ⊥平面α，直线l //平面β，则α⊥β7．如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（ ▲ ）A ．17B ．16C ．15D ．148．已知双曲线12222=-b y a x 的焦距长为c 2，过原点O 作圆：222)(b y c x =+-的两条切线，切点分别是B A ,，且︒=∠120AOB ，那么该双曲线的离心率为（ ▲ ）第7题图A9. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x xx x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g （a 为正实数）的根的个数不可能为（ ▲） A ．6个B ．2个C ．4个D ．3个10．用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ▲ ）A ．10种B ．12种C ．24种D ．48种二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__ ▲ cm 3． 12．二项式1332()nx x +的展开式中各项系数和是256，则展开式中5x 的系数是__ ▲ ．（用数字作答）13. 若实数,x y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值为__ ▲ ．14. 已知,A B 是抛物线C :x y 42=上的两点，O 为坐标原点，若△OAB 的垂心恰好是抛物线C 的焦点F ，则直线AB 的方程为__ ▲ ．15. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球, 设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望为__ ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边，且(3)cos b b c A -CA CB =⋅.（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，并且边AB 上的中线CM 的长为217，求,b c的长.左视图主视俯视图第11题19.（本题满分14分）已知等差数列{}n a 中，满足35a =且124,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}n a 的公差为非零的常数，且125n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，当n T λ≤恒成立，求λ的最小值.20.（本小题满分15分）如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =, 现将梯形沿,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,M N 分别为,AF BD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.21.（本小题满分15分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.第20题图（1）A B EF DC第20题图（2）22.（本小题满分14分）已知函数xax x f ln )(-=，其中a 为实数. （Ⅰ）当1≥a 时，判断函数)(x f y =的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意()(),,11,0+∞∈ x x x f >)(恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值.参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．11．________21627π+_______ 12．__________28_____________ 13．_ 5 14．_________5x=___________15．22 15三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．cos A∴=(1 n --AE A =上的射影是. (0,0,2),2,2,0),2,2,2),(22,0,0)---设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量,00m AD n DC m AE n DE ⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 20220,2202z x x y x ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨-+=-+⎪⎪⎩1cos ,2m n m n m n<>==ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为sin sin CD AE AEC CD EB BEC ∠∠(1,)+∞2ln (ln )ax x x +-=。

2013广东高考数学(理科)试题答案(word)完整官方版-推荐下载

或: 3a5 a7 2a3 a8 20
y
x 4y 4
x y 4
4
13. 给定区域 D : x 0
,令点集T {x0, y0 D | x0, y0 Z ,x0, y0
是 z x y 在 D 上取得最大值或最小值的点} ,则T 中的点共确定____1__
()
x2 y2 1 A. 4 5
x2 y2 1 B． 4 5
x2 y2 1 C． 2 5
D．
x2 y2 1 25
【解析】B；依题意 c

e 3,

3 2
,所以 a

2 ,从而
a2

4 ,b2

c2

a2

5
,故选
B．
8．设整数 n 4 ,集合 X 1, 2,3,, n.令集合
A . 若 , m , n ,则 m n B．若 // , m , n ,则 m // n
C．若 m n , m , n ,则 D．若 m , m // n , n // ,则
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2013广东高考数学理试题及参考答案

14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为 L，一座标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则 L 的极坐标方程为_______. 15.（几何证明选讲选做题）如图 3，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 是 BC=CD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E。若 AB=6，ED=2，则 BC=______.
17．（本小题满分 12 分）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示，其中茎为十位数，叶为个位数。
（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率
1 4
1 1 1 7 1 7 + +。。。+ = ＜ 3 * (3 1) 4 * (4 1) n * (n 1) 4 n 1 4
9 2
20．（1）方程：x2=2y, (2)直线方程：x0x=y+y0 (3)
ห้องสมุดไป่ตู้
21．单调区间：（-∞，0），[0，ln2]，（ln2，+∞），最大值为-1。
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则 M∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 3 x 2 2.定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2sinx 中，奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.1 3.若复数 z 满足 iz=2+4i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2) 4.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P X P 则 X 的数学期望 E（X）= A. 错误！未找到引用源。 B. 2 C. 错误！未找到引用源。 D 3 1 2 3

2013年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案

广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121, 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x 的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0≠>a a ,函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(πA ,点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______.15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(πω+=x A x f (其中0,0,>>∈ωA R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ ∆的面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC ∆是边长为2的等边三角形,⊥1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点,并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =,即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知, ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=.…………3分 (2)由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=, ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====, ……………5分整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. ……………7分 (3)由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14, ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点,∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ,CE ⊥平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ,1A B ⊂平面1A AB , ∴BF ⊥AB ,BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). ……………12分在R t △EHB 中,BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为5. ……………14分解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点, ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分在R t △EHB 中,BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BHAA AB =,即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B )10,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B=)14,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n A 1⋅,n 01=⋅A ,得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角) ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法:法1:由③式得:11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+,即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+, ……………5分∵112240S a +=+=≠,∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=, ……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2:由③式得:()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得:12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列,∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列, 则()()()2111p r q a a a --=-, …………10分即()()()2212121prq--=-,化简得:2222p r q +=⨯. (*) ……………11分 ∵p r ≠,∴2222p r q +>=⨯,这与(*)式矛盾,故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =, ……………10分则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>, ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++,则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412nnn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>,∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说,当1n k =+时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

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