数学本质的语境论解释
从数学学习的本质看
从数学学习的本质看：数学学习离不开情境。
“学习情境的创设”成为与‘知识建构“紧密相连不可或缺的课程隐喻。
大家都知道，数学教材几乎每一部分内容都是由情景图呈现的。
数学应用全方位的发展为数学学习提供了丰富多彩的现实环境素材。
培养学生的应用意识，让数学回归生活，要以解决某种情景中的数学问题为平台。
数学学习的核心是学会数学的思考，掌握数学的思想方法。
数学情境化的设计活动能生动地揭示知识的发生发展过程，并引导学生在这一过程当中掌握数学思想方法
预设是前提，生成是结果，在教学工作中，教师预设的知识点，要通过学生来生成。
因此，处理预设与生成的关系，才能使两者相辅相成、相互促进。
在教学中，我一直做到不简单的把知识传递给学生，而是学生自己建构知识过程。
我尽可能的创设多种数学活动，让学生亲历观察、归纳、分类、猜测、实验、推理等探究发现的过程，引导学生，使他们的数学思维能力得到锻炼和培养。
把握数学本质 促进数学理解(全文)
把握数学本质促进数学理解建构主义者认为学生学习数学的本质是：数学学习不应被看成对教师所授予的被动的接受，而是以学生已有的知识经验为基础的建构过程；理解并不是指学生要弄清教师的本义，而是指学生能联系已有的知识和经验对教师所传授的内容达成数学理解。
在教学实践中我们发现，有部分学生对知识理解深刻，能举一反三，融合贯穿，具有创新能力；而部分学生对知识的理解只停留在表面上，形式地记住了某个概念的词句，但并不知道概念的本质属性，会套用公式、法则，但不知道公式的来龙去脉，往往出现“知其然，而不知其所以然”这样的情况，主要是目前的数学教学中，很多老师只重视知识的结果和通过习题训练形成的技能。
数学教学只有重视引导学生经历数学理解的过程，构建促进学生理解的数学课堂，引导学生关注和把握数学的本质与联系，促进学生在课堂中主动探究、主动建构新的认知结构，才能有效地提高学生的数学素养。
一、创设丰富的情境，设计促进思维的学习任务。
影响学生数学理解的重要因素是学生是否具有“理解”的心向，即是否能通过自己积极的思维活动，实现对所学数学知识本质和规律认识的心理愿望。
具体地说，学生具有学习的好奇心，想投入到某项数学学习的活动中去，那是因为教师在教学中激发学生“理解”的意向，使学生积极主动调动自己认知结构中与所学知识相应或相关的认知图式，全神贯注地投入到学习中去。
在设计学习任务时，应力图有多种多样的呈现形式，以宽松的、开放的活动让学生“大展拳脚”，容许、肯定、接纳多样性的答案而非唯一的理解，并且在此过程中，鼓舞学生大胆表达自己的想法，让他们再相互激发，使他们的理解不断得到提升，从而获得自己独有的，可能是超越教师预知的理解。
例如：在教学长方体和正方体的体积公式推导时，教师可以设计这样的活动情境：用若干个1立方厘米的正方体摆出4个不同的长方体，并填写下表：学生对数学知识的理解往往起源于自我的活动经验，并且在学习过程中自主地建构对知识的理解。
数学的本质和应用
数学的本质和应用数学是一门研究数量、结构、变化等概念的学科，是人们认识和掌握自然科学及其应用技术的重要工具。
数学的本质在于理解和发现模式、规律以及解决问题的方法。
数学的应用则是在科学、工程、经济、社会等领域解决实际问题的过程中，发挥了重要作用。
一、数学的本质数学的本质在于探究事物的本质规律、通过模型抽象表现事物、设计算法解决问题。
数学的各种概念、公理、定义、定理、算法等都是在数学家长期的思考和研究中得到的精美产物。
数学的本质一方面在于培养严谨的思维能力、逻辑能力、数学思维和创造力，另一方面在于为人类认识世界、解决实际问题提供了基础。
例如，数学家通过数学上的证明，证明了勾股定理的正确性，并不是简单得到勾股定理的解答，而是通过一种特定的方法叫做“证明”，从基础原理出发，用几何图形证明了定理的正确性。
这种数学家在数学上提出的严格而有效的证明方式，长期以来受到了全世界数学界的高度赞誉与推崇。
因为这种证明方式严格而有效，不需要人们的直觉和直接体验就能以高准确率的方式证明定理的正确性。
数学的本质为我们提供了一个思考的框架，它使得我们可以用抽象的方法来制定并解决各种问题。
二、数学的应用数学的应用领域较为广泛，从技术应用到社会实践，几乎是无所不包。
以现代科学技术领域为例，网络通信、计算机科学、工程技术等都极大地依赖于数学的发展与应用。
网络通信：网络通信是指将不同条件下的终端设备通过互联网进行连接并进行信息共享、消息传递和资源共享的技术。
网络通信技术非常复杂，需要运用许多高级数学方法和算法，如傅里叶变换，多边形曲线拟合算法等，这些方法都是由数学家研究出来并应用到实践中的。
计算机科学：计算机科学是强相关于数学的一门科学。
计算机科学与数学紧密地相互关联，特别是在算法设计与分析、图像处理与计算机视觉、编译技术与自然语言处理等方向。
很多数学家通过对计算机算法及计算机解决问题过程的研究为计算机科学及其应用做出了极大贡献。
工程技术：自古以来，工程技术领域就需要采用大量数学知识和方法。
聚焦数学本质实现多元建构
聚焦数学本质实现多元建构数学是一门具有普适性和抽象性的科学学科，它是研究数量、结构、变化以及空间的学科。
数学的本质在于其具有普遍性和多元性，可以应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、医学、经济学等。
在数学中，建构是一种重要的方法。
建构是一种通过逐步构建的方式来探索真理和发现新知识的方法。
建构的过程是由一个或多个公理开始，然后通过一系列的推理和证明来得到新的结论。
多元建构是指在数学中同时运用多种不同的建构方法，在不同的方向和角度上来探索问题。
这种方法可以帮助我们更加全面地认识问题，并且找到更多的解决方案。
在多元建构中，关键是要聚焦数学的本质。
数学本质上是一种抽象的学科，它的理论、方法和结论都是按照特定的规律和逻辑进行推导得出的。
聚焦数学的本质，就是要理解这些规律和逻辑，并用它们来推导出更多的结论。
例如，在几何学中，我们可以同时采用构造、比率、相似等不同的建构方法来探索平面几何问题。
通过比较这些不同的建构方法，我们可以更好地理解平面几何的本质，同时也可以发现更多的定理和结论。
在代数学中，我们可以结合不同的运算规律和方程解法来解决代数问题。
通过尝试不同的方法，并比较它们的优缺点，我们可以更好地理解代数学的本质，并且找到更多的解法和算法。
聚焦数学的本质实现多元建构，有助于培养学生的创新能力和综合思维能力。
通过多种建构方法的交替运用，学生可以更加全面地认识数学的本质，并且能够在不同的角度上思考问题，从而找到更多的解决方案。
此外，通过不断的尝试和实践，也能够培养学生的自学能力和问题解决能力。
总之，聚焦数学的本质实现多元建构具有非常重要的意义。
在数学的学习和应用中，我们应该注重理解和掌握数学的规律和方法，同时也应该学会在多种建构方法的交替运用中探索问题，从而更好地玩转数学。
数学学科的本质特征
数学学科的本质特征
数学的本质特征可以理解为它是对结构和关系的描述，以及对这些结构和关系的验证的方法和过程。
数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。
数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。
数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。
数学的本质特征随着数学的发展而发展，不同的观点对其本质特征有不同的理解。
例如，柏拉图认为数学是研究模式的学问，怀特海认为数学的本质特征就是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。
同时，数学也兼有演绎科学和经验科学的特性，因为公理化逻辑演绎系统中存在缺憾，人们开始认识到数学是经验科学。
以上内容仅供参考，可以查阅数学史、数学哲学等相关书籍，以更全面地理解数学的本质特征。
数学学科的五大本质_
数学学科的五大本质(2021-03-16 18:11:11)有位学者曾经这样描述数学的表达形式：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽，因此他说：教材是“教学法的颠倒”。
（这位智者就是弗赖登塔尔）教材所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程。
实际数学教学时，从“形式”开始，学生就容易出现“形式”上的理解。
为了避免“形式”上的教，一线教师需要将“学术形态的数学转化为教育形态的数学（张奠宙）”，为此需要：关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，自然地实现由“生活概念向科学概念的运动（杜威）”；关注数学概念、知识发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力与过程；关注现实问题向数学问题的转化过程，真正让学生经历“建模”的过程，体验到数学之于解决实际问题的重要意义；更需要关注学生的朴素问题与思维过程，真正激发学生探究的愿望，发展理智的好奇。
因此，一个数学教师专业成长的核心是对数学学科本质的把握。
数学的学科本质是什么呢？数学学科本质一：对基本数学概念的理解小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实。
所谓“对基本数学概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念？这一概念的现实原型是什么？这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？以这一概念为核心是否能构建“概念网络图”。
小学数学的基本数学概念主要有：十进位值制、单位、用字母表示数、四则运算；位置、变换、平面图形；统计观念。
数学学科本质二：对数学思想方法的把握基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法。
数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学的思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是在学习数学概念和解决问题中落实的。
回归数学本质
回归数学本质数学本质是指数学的本质特性和原理。
这些特性和原理是不受时间、文化和语言的影响，是数学的永恒基础。
回归数学本质，可以帮助我们更深入地理解和掌握数学，使我们在日常生活和工作中更加自如地运用数学知识。
首先，数学本质在于它的抽象性和逻辑性。
数学是一门非常抽象的学科，它所研究的对象经常不是现实世界中具体的事物，而是更加抽象和概念化的对象，如数字、符号、函数、集合等等。
这些抽象对象是通过逻辑分析和推导得出的。
数学的逻辑性和严谨性使得它即使在不同语言、文化和时间背景下，依然具有通用性和一致性。
其次，数学本质在于它的普适性和应用性。
数学是一门普适的学科，它可以用来研究许多现实生活和工作中的问题，如物理学、金融学、生物学、统计学等等。
这些领域中的问题都可以用数学的方法建立模型，并通过精确的数学计算和推导来解决这些问题。
此外，数学本质还在于它的创造性和探究性。
数学的研究者通常具备创新思维和探究精神，他们通过不断地探究和尝试，在数学领域开发新的理论和方法。
这些理论和方法有时会引起学科范围的扩大，并推动其他学科的发展。
比如，微积分、线性代数等数学分支成为自然科学、工程学等许多领域的基础学科。
最后，数学本质还在于它的美学和哲学。
数学不仅是一门实用的学科，更是一门富有美学和哲学意义的学科。
其中许多数学公式和定理被人们视为艺术品或智慧的经典，深刻地显现了人类的智慧和才干。
在数学中，表达方式的简洁、理性的推导过程、意料之外的结果都是可欣赏的美学元素。
综上所述，回归数学本质是十分重要的一件事。
通过深入了解和探索数学的本质特性和原理，可以更好地理解和掌握数学知识，在实际应用中更加自如地运用数学，同时还能体会到数学中的美学与哲学。
数 学 的 本 质
数学的本质一、名家论数学的本质和作用伽利略：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
柯尔：数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。
哲学家培根：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。
更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。
数学家本杰明：数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。
数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。
但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张，然后等待数学的裁判。
如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。
怀尔德：数学是一种文化体系。
J.J.尔维尔斯特：数学是推理的音乐柏拉图：上帝总在使世界几何化。
C.迪尔曼：数学是现实中优于任何普通语言的最完美的语言……自然界彷佛用它说话，世界的创造者用它说话，世界的保护者仍在用它说话。
I.巴罗：数学-- 科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富源泉。
柯尔：数学家对数学的了解是，数学可以表达、运算、及发现事实。
数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。
毕达哥拉斯学派：数学统治宇宙。
P.D.拉克斯：数学当做一门艺术来看时最近似于绘画，二者在两种目标间维持一种张力，在绘画中，既要表达可见世界的形状与色彩，又要在一块二维的画布上塑造出赏心悦目的图案；在数学中，既要研究自然的规律，又要编织出优美的演绎模式。
华罗庚：千古数学一大猜！J.J.西勒维斯特：置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净和谐的境界。
J.阿巴思洛特：数学知识使思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。
W.E.羌塞劳尔：正如文学诱导人们的情感与理解一样，数学则启发人们的想象与推理。
I.拿破仑：数学的进步和完美与国家的繁荣和富强是紧密相连的。
小学数学学科本质理解的内涵
小学数学学科本质理解的内涵1.理解《辞海》中将“理解”定义为：“了解、领会，是通过揭露事物间的联系而认识新事物的过程”。
“理解”是人的主观意识对客观事物的反应，其重点在理解的“过程”上，体现的是动态的发展。
认识的越深刻，理解的越透彻。
2.理解的特征基于对“理解”的意义把握，指导教学还需要掌握其特征：主体性、差异性、阶段性。
理解的过程不断地经历发生、重构、再发生的过程，是动态变化的。
3.数学理解的内涵英国当代数学教育家斯根普将理解分为工具性理解和关系性理解两种模式，前者“知其然”，后者“知其所以然”，揭示了数学学习中知识发生的过程及逻辑联系。
首先，从认知方面来看，数学理解是一种由概念、判断、推理组成的思维形。
其次，从性质方面来看，数学理解是动态的、层次的、非线性的一种过程。
最后，从学生方面来看，学生数学理解是学生对数学知识本质的理解，对数学概念、定理、法则、公式等有正确的认识和理解。
内涵建构对于数学学科的理解，要站在学生的角度去帮助他们理解数学知识的本质。
即让学生理解数学知识的来源、发展及价值。
而对于教师来说，要按照上述三个维度综合分析、整体把握数学文化、知识体系以及认知水平。
1.学生角度的数学本质建构一是数学知识的来源。
数学知识来源于对现实世界的抽象，要帮助学生建立起数学对象与现实原型之间的联系；二是数学知识的发展。
通过观察和思考，能发现客观事物的本质属性，构建起数学对象之间的逻辑联系以及知识发展的逻辑法则。
三是数学知识的价值。
认识到现实生活中许多问题都和数学有关，解决一类实际问题。
2.教师角度的数学本质建构教师把握数学知识本质，是有效培育学生核心素养的先决条件。
一是从数学文化的角度把握数学知识的来源，有助于帮助学生清晰的看到某一知识的起源、发展，准确的把握知识发展的脉络，逐渐呈现数学学科的概貌。
二是从知识体系的角度把握数学知识的发展。
知识的发展都有一定的演绎逻辑联系，数学知识的本质需要从知识的结构和体系中去探寻。
数学学习的精髓如何理解数学公式的本质
数学学习的精髓如何理解数学公式的本质数学是一门抽象而又精密的学科，它以公式为核心，通过公式来描述和解决问题。
理解数学公式的本质是数学学习的重要一环，本文将探讨数学公式的本质及其理解方法。
一、数学公式的本质数学公式是数学语言中的重要表达方式，它通过符号与符号之间的关系，准确地描述了数学对象之间的联系和性质。
数学公式展现了数学的逻辑思维和抽象推理，它是数学规律的表达和呈现方式。
数学公式的本质可以概括为以下几个方面：1. 抽象的符号表示：数学公式采用符号来表示数学对象和它们之间的关系，这些符号通常代表特定的数、变量、运算符和关系符号等。
2. 精准的描述：数学公式具有明确的语法和语义结构，可以准确地描述数学对象之间的数量关系、性质和规律。
3. 逻辑推理：数学公式是通过逻辑推理建立的，其中每一步推导都有其严格的逻辑依据和推理规则。
4. 普适性和一般性：数学公式不仅仅适用于某个具体的问题，更具有普适性和一般性，可以应用于各种相关的数学领域。
了解数学公式的本质，是深入理解和掌握数学知识的基础，下面将介绍几种常用的理解数学公式本质的方法。
二、数学公式的本质理解方法1. 符号的解释：数学公式中的每个符号都代表着特定的含义和概念，首先要理解每个符号所代表的数学对象或运算意义。
通过学习相关的定义和概念，将符号与其对应的实际意义联系起来，从而理解数学公式的含义。
2. 推导与证明：数学公式是通过一系列的推导和证明得到的，推导过程中每一步的变化都有其逻辑性和合理性。
通过分析和理解公式的推导过程，可以揭示数学公式所表达的数学原理和规律。
3. 关联性分析：数学公式涉及多个数学概念和对象之间的关系，通过分析公式中各个符号和数学对象之间的关联性，可以理解公式反映的问题和结论。
4. 实例的应用：数学公式通过解决实际问题来展现其本质，通过应用具体实例来理解公式的作用和意义，可以使抽象的公式变得具体起来。
5. 直觉和几何形象：数学公式往往具有一定的几何形象，通过直觉和几何图形等感性认识，有助于更好地理解公式的本质。
关于数学学科本质的理解
关于数学学科本质的理解能够提出问题代表学生有真正的思考，代表学生的学习真正是自主建构，但往往是学生的这些朴素问题，有时甚至是一些“傻问题”，给教师教学带来了许很多多的挑战，也迫使我们真正思考：作为教师，我们到底欠缺什么？也正是这样,使我们深刻理解到：作为数学教师首先应该领会新课程理念，深入钻研教材，把握学科教学的本质。
1.数学学科本质一：对数学基本概念的理解。
所谓“对数学基本概念的理解”是指理解为什么要学习这个概念，这个概念的现实原型是什么，这个概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这个概念为核心是否能构建一个“概念网络图”。
小学数学的基本概念主要有：十进位制、单位（份）、用字母表示数、四则运算，位置、变换、平面图形，统计。
我们来看一则案例：《用字母表示数》首先编儿歌：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……老师你能用一句话就把这首儿歌读完吗？学生思考，师收集学生的典型想法。
全班交流时，师有序表现：方法一：x只青蛙x张嘴，x只眼睛x条腿。
老师没有做出评价，而是让学生来评价这种方法的优劣。
生1：假如x代表1，就成了1只青蛙1张嘴，1只眼睛1条腿，这是一只残废的青蛙。
（众笑）方法二：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。
师：这种方法用不同的字母来表示不同的数量，就避免了上面的问题，好不好？生2：这个方法也不好。
我也举个例子：a代表1，b代表3，c代表5，就成了“1只青蛙1张嘴，3只眼睛5条腿”，也是一只残废的青蛙。
（众笑）同学们又一次在笑声中明白了必须用字母表示出数量之间的准确关系。
师：你是说这样的写法没有反映出儿歌中几个数量之间的关系，所以不太好。
其实这里的b和c分别表示什么？生：b表示a×２，c表示a×４。
表现方法三：a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛a×4条腿。
……学生至此真正理解了了用字母表示数的真正含义。
论数学的本质
论数学的本质林夏水学的本质是一个数学认识论问题。
不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度提出不同的理论和观点。
但随着数学的发展又暴露出它们的片面性或性，特别是，当计算机引起数学研究方式的变革时，又提出有关数学本质更深层次的问题，从而推动着人们全面而辩证地认识数学的本质。
、数学认识的一般性与特殊性学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践——认识——再实践的认识路线。
但是，数学对象（量）殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。
由此产生数学认识论的特有问题。
学认识的一般性识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。
数学作为对事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的路线。
实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。
最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的事实。
数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，或概括出新的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成数学研究的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。
这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分科的产生，例如，17世纪的微积分。
由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。
时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。
因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升条理的、系统的理论知识。
学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。
清晰认识概念理解数学本质
清晰认识概念理解数学本质——对“⽅差”概念的分析与思考【专题名称】中学数学教与学（⾼中读本）【专题号】G35【复印期号】2009年06期【原⽂出处】《中学数学教学参考》(西安)2009年3中期第21～23页【作者简介】万荣庆，江苏常州市新北区教研室。
在中学统计内容教学中有两类描述数据特征的概念：⼀类是描述数据集中程度的，如平均数、中位数、众数；另⼀类是描述数据离散程度的，如极差、⽅差、标准差。
教师在讲授这些概念时，常常由于⾃⼰对概念认识较浅，导致学⽣学习这些概念时不明不⽩。
甚⾄有时因教师⾃⼰对概念的错误理解，⽽直接影响学⽣的后续学习或实际应⽤。
现以统计中“⽅差”概念的教学为例作些分析与思考，以便教师在概念教学中引导学⽣清晰地认识数学概念，从⽽真正理解概念，正确应⽤概念。
⼀、清晰地引⼊“⽅差”概念当我们描述⼀批数据时，有时考虑它们的集中程度，有时还要考虑它们的离散程度。
如某次数学单元检测，A组成绩：95，85，75，65，55，45；B组成绩：73，72，71，69，68，67。
这两组成绩中，A组数据给⼈的感觉波动范围较⼤，较“散”，B组数据给⼈的感觉波动范围较⼩，没A组“散”。
如果将上述两组成绩⽤图形（如图1）描述的话，将更直观地看出A组数据⽐B组数据“散”。
图1那么我们接着要考虑的是，这⾥的“散”是对于谁⽽⾔的呢？我们需要找到⼀个可以进⾏⽐较的参照对象，这个⽐照对象就是反映数据集中程度的平均数。
为什么找平均数，不找别的呢？⼀是平均数本⾝是这批数据最集中的“地⽅”，视觉中的“散”与“不散”就是围绕这个集中“地⽅”作⽐较的；⼆是如果以别的作⽐较的话，如图1，若A、B两组数据均以0分作⽐较对象，感觉A、B 两组数据对0来说都较“散”，很难对两组数据的离散作判断。
当把⽐照对象“平均数”确定以后，我们更重要的任务是如何⽤具体的量来描述这批数据对于“平均数”这个⽐照对象来说的离散程度，这是我们最本质的问题，因为数学很重要的任务就是如何⽤数量或数量关系描述我们所⾯对的问题。
我理解的“数学本质”
我理解的“数学本质”我理解的“数学本质”2009-9-17 16:08:04晋江市教师进修学校蔡福山要解读这个概念，先得弄清楚“本质”的含义。
我们常说“透过现象看本质”，“看问题要抓本质”，“本质”就是指事物本身所固有的、决定事物性质、面貌和发展的根本属性。
由此出发，“数学本质”就是指数学本身所固有的、决定数学学科性质、面貌和发展的根本属性。
因此数学本质在宏观上就是指“什么是数学”“数学是什么”。
正如人的本质一样，是指这个人是个怎样的人。
对于什么是数学，不同的人，不同的历史时期，有不同的看法。
“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。
（恩格斯）这是对数学研究对象的一种经典的解释。
“数学是一门自然科学、经验科学”。
19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。
“数学是一门演绎科学”。
随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。
事实上，上述对数学的认识主要是从数学研究的结果来看的。
显然，数学作为一种理论的演绎体系，更多是以结果形式呈现，但这并不能反映数学的全貌。
数学既是数学研究的结果，数学又是一个数学研究的过程。
在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示，数学内涵才能被充分挖掘。
正如弗赖登塔尔所说的：“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”。
还有一种广义的理解：数学是人类的一种文化。
还有专家强调要把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。
《数学课程标准》对数学又是怎么理解的？《数学课程标准(实验稿)》在前言部分指出: “数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
”在基本理念部分指出：“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
”《数学课程标准(修订稿)》在设计理念部分指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学本质的语境论解释
A Contextualist Account of the Nature of
Mathematics
作者： 康仕慧
作者机构： 山西大学科学技术哲学研究中心,太原030006
出版物刊名： 科学技术哲学研究
页码： 26-32页
年卷期： 2011年 第2期
主题词： 数学本质;对象柏拉图主义;结构主义;语境论;数学实践
摘要：＂数学本质究竟是什么＂是当代数学哲学争论的核心问题之一。
对象柏拉图主义认为数学的本质在于研究一些独立的个体对象,结构主义主张数学本质的核心是抽象结构。
语境论在阐明传统解释存在缺陷的基础上,运用语境分析对＂数学本质＂给予了新的解释———在形而上学层面,数学本质是概念;在数学实践层面,数学本质是开放的。
更重要的是,如何理解＂数学本质＂本身就是一个依赖语境的问题。
数学的本质是什么？
数学的本质是什么？人择原理中，或许也隐含了宇宙结构与人的逻辑的对应性。
但这种对应性是来自人的感应，来自经验。
逻辑本质也是经验，感应的一种，可以说逻辑是一种特殊的方法论。
任何数学理论，就是先建立某种观念（这个过程是任意的，无所谓的，可以说人人都可以建立起自己的观念），在这个观念下产生概念，概念是发明的过程。
然后才是关键的下一步：用经验（方法和逻辑）来构建概念之间的关联，这个属于发现的过程，所以很多数学家到这一步就会欢呼。
数学是发明和发现的综合，是观念和经验的综合。
逻辑本质也是经验，逻辑是一种特殊的方法论，其他认知方法论更是经验。
而人的经验源自感应信息，是群体性的。
逻辑指的是思维的规律和规则，逻辑包括形式逻辑与辩证逻辑，形式逻辑包括归纳逻辑与演绎逻辑。
逻辑的基础规则来自经验，应该说逻辑是一种特殊的方法论。
方法论一定是经验的。
也就是感应信息，感应不仅指对事物本身的，还有事物之间的联系和事物变化的，更有人与事物、人与人之间的认知本身的。
最早的数学，一定是对已知经验的意识再加工，对于已知经验是群体性的感应信息，如何确定这些信息内部的规律？就是从思考产生出某种观念开始，观念虽然是虚构的，但是观念中概念之间的联系却是符合已知经验的，这种符合其实也是人为的确定了概念之间的规则必须满足已知的感应信息。
这种联系、规则产生了认知方法论，更进一步产生了逻辑学。
沿着前人建立的概念，走到后来会出现矛盾，于是会再次思考产生出新的观念，从观念中产生新的概念，继续上述数学理论的建立，模式和对已知经验的意识工具化相同，但这时已经不是对已知经验的意识加工了，而是完全在原有概念基础上做外延，观念也就发生了变化，如有理数到无理数，实数到虚数，欧式几何到非欧几何，都是如此。
概念可以发明，但逻辑规则没有改变，所以即使后来有不同于早期的看上去是“可见的数学”的理论，其实本质和早期“可见的数学”是一样的，即先虚构概念（发明），然后用逻辑将新虚构的概念和旧的原有概念关联起来（发现），整合成一个新的体系（综合成理论发明）。
把握数学概念本质,促进学生深度体验
把握数学概念本质，促进学生深度体验数学是一门独特的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和逻辑推理的艺术。
很多学生在学习数学时往往只是为了应付考试，而忽略了数学概念的本质和深层次的体验。
教师在教学中应该注重引导学生把握数学概念的本质，促使他们在学习数学的过程中得到深度的思考和体验。
要把握数学概念的本质，就需要理解数学的基本特征和内在规律。
数学的本质是逻辑严谨、抽象精细、普适性强等特点，这些特征决定了数学是一门严肃的科学，它离不开逻辑推理和数学模型。
在传统的数学教学中，教师往往只注重传授数学公式和计算方法，而忽略了数学概念的深刻内涵。
教师在教学中应该注重启发学生思考，引导他们探究数学概念的本质，帮助他们建立系统的数学知识结构和思维方式。
促进学生深度体验数学，需要以问题为导向，激发学生兴趣和求知欲。
数学是一门既抽象又具体的学科，它蕴含着丰富的问题和挑战。
教师可以通过设计各种富有启发性的数学问题，引导学生主动思考和探索，让他们在解决问题的过程中体验数学的美妙和乐趣。
通过让学生发现等差数列和等比数列的规律，引导他们思考数列的性质和应用，从而深入理解数列的概念和本质。
这种以问题为导向的教学方法，可以激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维能力，提高他们对数学的理解和体验。
提倡多种形式的数学表达，帮助学生深度理解和体验数学知识。
数学是一门丰富多彩的学科，它不仅有文字表达，还有图形、符号、公式等多种表达方式。
而传统的数学教学往往只注重一种表达形式，限制了学生对数学概念的理解和体验。
教师应该采用多样化的教学手段，帮助学生从多个角度理解和感受数学知识。
通过观察和绘制图形，让学生感受几何图形的美丽和神奇；通过游戏和实验，让学生体验数学规律和定理的真实意义。
这种多样化的数学表达方式，可以促进学生全面发展，提高他们对数学的感受和体验。
把握数学概念的本质，促进学生深度体验，是数学教育的重要目标和使命。
教师应该以问题为导向，多样化表达，注重数学实践，帮助学生从多个角度理解和感受数学知识，引导他们建立扎实的数学基础和丰富的数学思维。
谈对数学本质的认识
谈对数学本质的认识对数学的本质应该怎样认识，这不仅是数学哲学的一个基本问题，而且是一个具有时代性、前瞻性、发展性、综合性的数学哲学核心问题．对数学本质的认识不应该从传统数学哲学的角度退缩到方法论的一个狭隘的层面，而应该从更广阔的、更为多样的角度进行透视。
从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。
19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。
与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。
”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
而数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问等这些观点既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。
波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。
由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。
”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。
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的个体对象还是数学结构？自贝纳塞拉夫（Ｐａｕｌ Ｂｅｎａｃｅｒｒａｆ）１９６５年发表“数不能是什么”一文以来， 关于数学的这个本体论难题，就一直占据着当代数 学哲学论争的核心。但是迄今为止，数学对象柏拉 图主义与反柏拉图主义和数学结构主义的解释之间 的争论似乎从未休止过。每一种解释都有哲学家为 之辩护，这种局面为什么会出现？ 按照语境论，要理解“数学本质”就要把其置于 适当的语境中进行分析。实际上我们通过仔细观察 就可以发现，造成这一困惑的根源与哲学家们对 “数学本质”内涵的不同理解有关。人们对“对象” 一词的混乱用法直接导致了这一难题迟迟得不到解 决。因此，说明“数学本质是什么”，关键是要明确 “对象”这个语词的含义，即我们究竟在什么意义上 谈论和使用“对象”这个语词。 根据《美国传统词典》对“对象（ｏｂｊｅｃｔ）”一词的 解释，共七种含义：“（１）通过一种或多种感官，特别 是通过视觉或触觉可以感觉到的东西；一种物质性 的事物；（２）注意力、感情、思想或行为关注的焦点； ……（７）【哲学】能被头脑理解或者感觉得到的事 物。”就数学的研究对象而言，主要有两层含义：其
第２８卷，第２期 ２０１ １年４月
科学技术哲学研究
Ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．２８
Ｎｏ．２
Ａｐｒ．，２０１１
数学本质的语境论解释
康仕慧
（山西大学科学技术哲学研究中心，太原０３０００６）
摘要：“数学本质究竞是什么”是当代数学哲学争论的核心问题之一。对象柏拉图主义认为数学的本质在 于研究一些独立的个体对象，结构主义主张数学本质的核心是抽象结构。语境论在阐明传统解释存在缺陷的基础 上，运用语境分析对“数学本质”给予了新的解释——在形而上学层面，数学本质是概念；在数学实践层面，数学本 质是开放的。更重要的是，如何理解“数学本质”本身就是一个依赖语境的问题。 关键词：数学本质；对象柏拉图主义；结构主义；语境论；数学实践 中图分类号：Ｎ０２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７０６２（２０１１）０２—００２６—０７
ｔｅｒｍ）指称的事物……”。【３”因此，２这个数要是
一个对象，它就必须被单称词项“２”或者某个限定 摹状词“最小的素数”指称。在此基础上，可以得到 如下具体的语义论证： （１）如果存在一个包含单称词项“２” 的数学陈述为真，那么由该单称词项“２” 指称的对象存在，即数字“２”指称的２这 个数存在； （２）“２是素数”为真； 因此， （３）２这个数存在。 总之，弗雷格努力辩护的观点“数是对象”以及 采用的语言分析方法，为当代数学哲学的本体论、认 识论和语义学探讨开辟了空间。至于数的本质究竟 是不是对象，“数是对象”的本体论观点是否能够说 明现实实践中的数学，这还需要检验。 与弗雷格不同，贝纳塞拉夫基于数学实践的立 场，认为数的本质是结构，对弗雷格的数学本体论论 证提出了挑战。继而“数学本质”的各种结构主义 解释相继出现。 从实际的数学情形来说，我们可以对数学结构 采取两种理解。以自然数结构为例，一方面，冯・诺 依曼序数（‘１）。＝｛Ｄ，｛Ｄ｝，｛Ｄ，｛Ｄ｝｝，｛Ｄ，｛Ｄ｝，｛Ｄ， ｛Ｄ｝｝｝，……｝）、策梅罗数（ＯＪ：＝｛Ｏ，｛Ｄ｝，｛｛Ｄ｝｝， ｛｛｛Ｄ｝｝｝－…・・｝）或者还有其他满足自然数条件的 集合论结构都是具体的、用集合论语言加以刻面的 自然数；另一方面，它们都共有一个由自然数结构的 公理刻画的抽象结构（记为∞：∞＝｛０，ｌ，２，３，……｝ ）。这样，我们立即就遇到一个问题：算术研究的是 像冯・诺依曼序数和策梅罗数这样具体的自然数， 还是它们共有的由抽象公理刻画的自然数？如果我 们把上述这些具体的例子都称为系统或者模型，而 把它们共有的由抽象公理刻画的称为结构，那么对
除式结构主义（ｅｌｉｍｉｎａｔｉｖｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｉｓｍ）ｏ 先物结构主义者夏皮罗（Ｓｔｅｗａｒｔ Ｓｈａｐｉｒｏ）对数 学本质的解释是，数学的核心是抽象结构。他声称： “结构作为合法的研究对象独立地存在。按照这个 观点，一个特定的结构独立于任何作为其例子的系 统而存在。让我们称这种观点为先物结构主义。它 寻求的是对于共相的一种类似观点。像自然数这样 的数学对象是这些结构中的位置。因此，比如，数字 就是指称真实对象的真正的单称词项，这些对象就
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是一个结构中的位置。”［５¨机啪按照这种解释，算术
研究的是自然数结构，每一个自然数是结构中的位 置，结构先于位置而存在。 消除式结构主义的解释则与此不同，他们认为： “一个算术陈述并不能被字面地认为是关于一个特 殊的对象集的陈述。相反，一个算术陈述是关于具 有一个特定类型的所有系统的一种概括。……谈论 数是谈论那些作为该结构的例子的所有系统的一种 方便而简单的方法。”＂¨５０因此，数学的本质并不是 抽象结构，而是例示该结构的系统或模型。 由上述论述可看出，无论是数学对象柏拉图主 义还是数学结构主义，都试图在“本体论”、“形而上 学”或者“存在”的意义上给数学本质一种说明。这 样的说明是否合理应以数学哲学的根本任务为出发 点和最后的归宿。数学哲学的任务在于，“它试图 寻求提出一种对数学本质的连贯的、整体的、普遍的 说明（这里的数学，我指的是由当前数学家们实践
１ａｒ
上述问题的回答就会有两种答案。 一种认为数学研究的核心是抽象结构，这种观 点被称为“先物结构主义”（ａｎｔｅ
ｒｅｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｉｓｍ）；
另一种主张数学研究的核心是一类具体的数学结 构，也就是具有抽象结构形式的模型和系统，这种观 点被称为“在物结构主义”（Ｉｎ
ｒｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｉｓｍ）或消
一“数学本质”的内涵与哲学家的目标
数学的本质是什么？准确地说，数学研究独立
【收稿日期】２０１０—１２—１９ 【基金项目】 【作者简介】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ２６
教育部人文社会科学研究基金青年项目“基于数学实践的＂－３代数学实在论研究”（０８ＪＣ７２０００８）；国家社会科学 基金青年项目“数学的本质与实在世界：一种语境论世界观的哲学探索”（０９ＣＺＸ０１３） 康仕慧（１９８０一），女，山西太原人，哲学博士，山西大学科学技术哲学研究中心副教授，研究方向为数学哲学。
二传统解释的困境与语境论诉求
到目前为止，学界关于“数学本质”的解释主要 有两类：一类把数学的本质看做是个体对象；另一类 把数学的本质看做是结构。 关于“数学对象”本质的哲学论述最初起源于 数学家和哲学家弗雷格（Ｇｏｔｔｌｏｂ Ｆｒｅｇｅ）的《算术基 础》（１８８４）一书。由于“弗雷格第一次把对象的概 念引入到哲学中”［３１３，关于数学对象本体论的哲学 说明正式进入了当代哲学家们的视野。弗雷格把数 视为抽象的、作为个体的对象而不是概念的观点，使 他成为一个名副其实的数学柏拉图主义者。在历史 的进程中，除弗雷格之外，蒯因（Ｗ．Ｖ．０．Ｑｕｉｎｅ）、哥 德尔（Ｋｕｒｔ Ｇｏｄｅｌ）、赖特（Ｃｒｉｓｐｉｎ Ｒｉｇｈｔ）、黑尔（Ｂｏｂ Ｈａｌｅ）一直到麦蒂（Ｐｅｎｅｌｏｐｅ Ｍａｄｄｙ），这些哲学家们 都曾在不同程度上为数学对象柏拉图主义进行过辩 护。但无论如何，弗雷格作为数学对象柏拉图主义 的奠基性人物，他的哲学立场及其论证对于当代哲 学而言，有着重要而持久的影响力。弗雷格把数作 为一种个体对象的论证成为后来哲学家们探索数学 本体论本质论证的核心例证。数是个体对象且客观 存在，弗雷格对此进行了语言分析的辩护： “由算术研究的数一定不能被认为是 一个附属的属性．而是一种独立存在的实 体。这样，数作为一种对象出现，能被再一 次地识别，尽管它不是作为一种物质的或 者甚至仅仅是空间的对象，也不是作为一 种通过我们的想象就能形成的一种图像而 出现的。下面，我们制订了基本的原则，即 我们一定不要试图孤立地定义一个词的意 义，而只能在＂－３它被用于一个命题的语境
“数学是什么”一直是吸引数学家和哲学家们 为之思考的核心问题。自２０世纪６０年代中期之 后，“数学是什么”更是成为当代数学哲学界讨论的 两大主导性问题之一。２０世纪之前，人们普遍认为 数学研究各种特殊的数学对象及其性质，如算术研 究自然数、代数研究方程、几何研究空间和图形、分 析研究函数等等。到１９世纪末，数学依然按照其研 究的对象分为几何、代数和分析三大领域。然而，随 着代数数论、微分几何、群论、拓扑学等新学科的出 现，数学的研究对象发生了重大转变，传统的数学分 类已不能准确刻画现代数学的发展，此时“结构”的 概念和思想进入了数学。那么，数学的核心究竟是 研究独立的个体对象还是抽象结构？这个问题引起 了哲学家们在“数学本体”解释上的激烈争论。我 们的目标是从语境论的视角出发，批判地分析数学 对象柏拉图主义和数学结构主义的本体论解释及其 遇到的困境，在此基础上，尝试提出并阐明“数学本 质”的语境论解释。
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万方数据
中时才能定义：我相信，只有坚持这一点， 我们才能够避免把数视为物质对象的观 点，同时又不用滑向数的心理学观点。如 今，对于每一个对象，都存在其一定具有一 种含义或者意思（ｓｅｎｓｅ）的一类命题，也就 是，识别陈述，在数的情形中，这种识别陈 述被称为等式（ｉｄｅｎｔｉｔｙ）。我们看到，数的 陈述也被认为是等式。”１４…６ 以“２这个数存在”为例。首先，数作为一种对 象的识别标准是能被单称词项指称，即“要是一个 对象，……就是要成为能通过一个单称词项（ｓｉｎｇｕ．
万方数据
一，“对象”被理解为思想的对象。在这个意义上， 各种数学概念（比如数、集合、无穷、函数、空间、数 学模型、数学结构等等）都可以成为数学的研究对 象。换言之，数学家们日常思考或者着手研究的主 题就是数学研究的对象，即数学对象。其二，“对 象”被理解为哲学的专业术语。哲学家们所探讨的 数学对象是指主客体、世界观或者本体论意义上的 对象。哲学家们在本体论上谈论“对象”，就相当于 谈论“事物（ｔｈｉｎｇ）”或“实体（ｅｎｔｉｔｙ）”。他们是在把 握实在世界的各种不同的基本范畴的事物的是（或 存在）的意义上谈论“对象”。 关于“对象”的探讨，上述两种含义的分析中， 前者属于形而下的研究，是数学家们的任务；后者属 于形而上的研究，是哲学家们努力探求的目标。有 了这种明确的区分，我们就能确定数学哲学家们在 讨论“数学对象”时，究竟想要达到什么目标。 首先，就数学家们关注的焦点是作为个体的数 学对象还是数学结构来说，这个问题的答案首先应 该通过考察数学家们的现实实践或者数学的真实历 史来获得。因为，只有数学家们或数学史家们才能 最为深刻地理解不同时代的数学究竟处理什么样的 主题。历史地看，在数学的发展初期，数学家们研究 的数学对象往往与现实生活中的问题紧密相关。算 术可以用来计数，几何学可以用来测量土地的面积 等。直到１９世纪，数学的研究主题仍然没有突破现 实经验的束缚。数学的本质被恩格斯描述为：“纯 数学的对象是现实世界的空间形式与数量关 系。”…３５ ２０世纪以后，随着数学公理化和形式化的 发展，数学家们开始关注抽象的结构。比如在希尔 伯特的几何学中，人们可以用桌子、椅子和啤酒杯代 替点、线和面的讨论。现代数学已经不再把像数、点 和线这样单个的数学对象及其性质看做它的核心， 而是关心不同的数学结构，只要满足公理条件的都 是数学的对象。总之，关于数学对象的讨论，“当我 们在数学层次考虑问题，或是我们只涉及数学理论 表述体系时，通常就理解为数学概念、数学中基本的 思维形式这一意义。”旧州１ 其次，与数学家们的探讨目标不同，哲学家们不 仅要关心数学或者数学家们的研究主题究竟是作为 个体的数学对象还是数学结构，而且，他们还要进一 步追问：这些作为个体的数学对象或者数学结构的 本质是什么，是我们实在世界的基本范畴抑或仅仅 是对实在的一种描述，还是数学家们的虚构？这样， 他们的最终目标是要对数学研究的主题作出本体论