数学理解的本质

数学理解的本质认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征．对知识的理解与知识的表征密切相关，事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征．根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面．(1)对陈述性知识的理解．陈述性知识以命题、表象、线性排序等3种形式作为基本表征单位．命题相当于头脑中的一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小单元．一个命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络．表象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的，模拟的表征．线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码．在人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形成对知识的综合表征—_一图式．Anderson[8]认为：“图式是对范畴的规律性做出编码的一种形式．这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性的．”显然，图式包容了命题网络，因为命题网络并不对可以知觉的规律性做出编码．Gagne 隅】对图式的特征作了更细致的刻画：①图式含有变量；②图式可按层级组织起来，也可以嵌入另一图式之中；③图式能促进推论．对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程．许多学者认为，所谓对一个陈述性数学知识的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命题网络．这种界定将知觉表征排除在外，有偏颇的一面，笔者认为，对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式．(2)对程序性知识的理解．程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分．与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征．所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序．当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识．对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识(Hiebert& Carpenter) ，或称为对象和过程(Thompson 等)，其本质就是陈述性知识和程序性知识．一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a+b，既代表2个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果．因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解．既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得．特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式．双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式．换言之，学习者不仅知道“如果⋯那么⋯”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果⋯那么⋯”．综上所述，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统．(3)对过程性知识的理解．过程性知识与程序知识的共通之处是2者都是动态型知识，但2者的内涵是不同的．其一，过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程．而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得，其动态性表现在学习过程中的知识应用阶段．其二，程序性知识通过一定量的练习后可以习得甚至形成自动化技能，但过程性知识难以通过练习去习得．其三，程序性知识往往是针对某个知识点而言的，而过程性知识则是关注知识点之间的关系．我们将过程性知识的表征分为2个层面，一是关系表征，二是观念表征．关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟．具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以及程序性知识的产生式系统中连结产生式的连线．观念表征则是对知识之间发生关系的缘由的体悟，其成分更多的是一种元认知体验．这2种表征因人而异，不同的学习者对同一对象的关系表征的完善性、观念表征的深刻性都可能不同．综上分析，对过程性知识理解的内核是，学习者形成完善而深刻的关系表征和观念表征．过程性知识（这里即为程序性知识）的认知策略过程性知识告诉我们如何做某件事。

要知道如何做某件事，我们不仅要知道过程的每一步，而且还要知道采取每一步的条件。

过程性知识因此可以被认为是由“如果……那么……”条件陈述句组成的，其形式是：如果某个条件适合，那么就要采取某个行动。

例如，在分数除法中有这样一个过程：如果除以一个分数，那么倒置分数进行乘法，在一个简单的过程中可能只有一个“如果……那么……”陈述句，但在一个相当复杂的过程中，存在着许多这样的步子，这些条件陈述句可能连接在一起，上一步的结果可能成了下一步的条件。

一个复杂的大数目的除法就是这样一个条件陈述句的链条。

过程性知识用于信息的转换，如在除法中，将有关除数和被除数的信息转换成商，过程性知识无论对学校中的还是对日常生活中的基本技能都是至关重要的，成功地执行将一个数字转换成另一个数字、将符号转换成意义这一过程的能力，是学校中任何成功的基础。

过程性知识可分为模式再认知识或动作系列知识两种形式。

（一）模式再认知识模式再认知识涉及对刺激的模式进行再认和分类的能力。

模式再认知识的一个重要的例子是识别某个概念的一个新事例。

比如，再认鲸鱼属于哺乳动物；模式再认知识的第二个重要的例子就是识别符合某个行为的条件或符合应用某个规则的条件，比如，什么时候“倒置分数后相乘”。

和概念一样，模式再认过程是通过概括和分化的过程学习来的。

（二）动作系列知识第二种过程性知识指动作系列知识。

加涅认为，一个动作系列是为了达到某个目标所采取的一系列行为或认知动作，减法中的借位就是一个很好的例子。

动作系列首先是当作构成某个过程的一系列步子来学习的。

学习者必须有意识地执行每一步，一次执行一步，直到过程完成。

一开始，每一步都要有意识地想着去做，这样效率很低。

但是，随着练习，这一过程就会几乎变成自动化。

自动化地执行某个动作系列的好处是腾出工作记忆去完成其他任务，如开动汽车时和乘客交谈，但也可能带来错误，这就是定势效应（set effect），这种定势效应会妨碍处理重要的信息。

比如，从单位骑车回家，忘了到某个商店买东西，这是因为，从单位骑车回家这一动作系列一旦启动，就很难中断。

因此，在教动作系列时，我们要小心避免定势效应带来的错误。

最简单的矫正方法就是只对那些不容易变化或用得比较频繁的过程实现自动化，这样，速度高才有价值。

基本的学业技能如阅读、计算机，书写等过程就要达到自动化水平。

在阅读过程中，当字词的识别、解码等达到自动化后，才能空出工作记忆去完成理解等任务。

在学习某一个过程时，存在两个主要的障碍。

第一个就是工作记忆存贮量的限制。

尤其在学习一个长而又复杂的过程时，困难更大，任何一个过程如果步子长达９步以上，超过短时记忆的容量（７＋２），那么就很难保持在工作记忆中。

为了克服这一局限，可以利用一些记忆辅助手段，如把这些步子写下来给学生。

当然，重要的是成功地完成这一过程，而不是记住这些步子。

第二个潜存的问题就是学生缺少必备的知识，在学习某一过程时，要确保学生已经具备所必需的知识和技能，这一点是非常重要的，俗话说“难者不会，会者不难”。

我们都知道，学习某个过程，刚学时似乎很难，但随着不断地练习，看起来却越来越容易了。

但是，“习拳容易改拳难”，好的动作来自好的练习，对过程的不正确的练习，只会导致这一过程的不正确的执行。

因此，在练习中反馈是必不可少的，并且不仅要找出反应的对错，而且要纠正错误。

下面，我们举一个完整的例子，来说明动作系列的学习过程，看看教师应当如何根据动作系列的学习过程采用相应的学习和教学策略。

假如现在我们要教学生“除数为分数的除法”，那么我们把教学程序分为四个方面：第一，给学生写出这一过程：“颠倒除数，然后相乘”；第二，对学生进行前测，评估学生的必备知识，学生必须知道“颠倒除数”的意义，必须知道如何乘以分数，才能完成这一过程；第三，给学生演示这一过程，并且确保学生每天都做一小会儿练习；第四，对练习给以正确的反馈。

要想确定学生错在哪儿，我们可以用这样三种方法：一种方法，让学生口头描述在解决问题时所采取的每一步，从而解释他们是如何获得一个不正确答案的。

另一种方法是让学生演示他们的作业。

这两种方法都能使我们指出并改正学生解题过程中的错误的步子。

但是，这两种方法并非都能实现，因为，我们是在课后批改作业，学生也不可能都能演示所有的作业。

于是，我们可以采用错误分析的方法，来检查学生的错误，以确定他们在哪儿做错了。

请记住，我们一定要尽快地给学生提供反馈，以便他们停止不正确的练习。

尽管我们分别讨论了模式再认和动作系列过程，但实际上很少将它们截然分开。

正确运用一个动作系列离不开对动作条件的再认，再认条件就是一个模式再认的过程。

同样，过程性知识和陈述性知识也是相互作用的，陈述性知识通常提供过程所需的材料，理解符合某个过程的条件需要陈述性知识，在前面的例子中，学生必须理解“除数”、“倒置”和“÷”的意义才能成功地执行这一过程。

再比如，学生做一个化学实验（过程性知识），他必须知道各种药品的信息（陈述性知识），当他要解决一个化学问题时，既需要陈述性知识，又需要过程性知识。

程序性知识的获得过程根据认知心理学家安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)等人的观点，程序性知识的获得通常要包括以下三个阶段：第一阶段：陈述性阶段。

学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。

比如陈述分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。

在此阶段，学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规则，并缓慢地操作每一步骤。

第二阶段：联合阶段。

在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完成有关的活动。

第三阶段：自动化阶段。

随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。

在此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的活动步骤。

例如，一个人在开车时可以一边说话，一边流利地换挡，在交通拥挤的路面上连续地改变方向；或者一个学生不用想着分数加法的各项规则就能快速准确地计算分数加法题，表明他们已达到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。