把握数学本质,以不变应万变
上海高中数学教学进度
上海高中数学教学进度一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于上海高中数学教学进度，针对高中一年级的学生的数学课程。
教学内容以《上海市高中数学课程标准》为基准，侧重于培养学生的数学基础知识和逻辑思维能力。
具体包括：代数基础、几何初步、函数与方程、概率与统计等模块。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，提高学生解决实际问题的能力。
2、教学对象教学对象为上海某高中一年级的学生。
他们已经完成了初中阶段的数学学习，具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
然而，由于个体差异，学生在数学知识、技能、学习兴趣等方面存在一定程度的差异。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取有针对性的教学方法，提高教学质量。
在教学过程中，教师需关注以下几点：（1）激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到课堂教学中来；（2）注重基础知识的教学，为学生今后的数学学习打下坚实基础；（3）培养学生的逻辑思维能力，提高他们解决问题的能力；（4）关注学生的心理健康，营造轻松、愉快的课堂氛围，使学生在愉悦的情感中学习数学。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握代数基础，包括实数的性质、运算法则、方程与不等式的解法等；（2）了解几何初步知识，如平面几何图形的性质、相似与全等、三角形的判定等；（3）理解函数与方程的概念，掌握函数的性质、图像及其应用；（4）了解概率与统计的基本原理，能运用概率知识解决简单问题；（5）能运用所学的数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
2、过程与方法（1）培养学生主动探究、合作学习的能力，使学生学会与他人交流、分享数学知识；（2）通过问题驱动的教学方式，引导学生发现问题、提出问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；（3）运用数学建模、数学实验等方法，使学生体验数学知识在实际问题中的应用，提高实践操作能力；（4）借助信息技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学的情感；（2）引导学生树立正确的数学观念，认识到数学在科学技术、社会发展中的重要作用；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成勤奋、刻苦的学习习惯；（4）通过数学学习，培养学生团结协作、乐于助人的品质，增强集体荣誉感；（5）引导学生关注社会热点问题，运用数学知识为社会发展贡献自己的力量。
高等数学学习方法技巧总结
高等数学学习方法技巧总结高等数学学习方法技巧总结复习高等数学的四点窍门第一，要理解概念数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
所有的问题都在理解的根底上才能做好。
第二，要掌握定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。
对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
第三，在弄懂例题的根底上作适量的习题要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的根底上作适量的习题。
作题时要擅长总结——不仅总结方法，也要总结错误。
这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。
其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。
微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。
(当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统)数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的方案。
按照方案，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。
其实数学是根底性学科，解题才能的进步，是一个长期积累的过程，因此复习时间就应适当提早，循序渐进。
大致在三、四月分开始着手进展复习，假设数学根底差可以将复习的时间适当提早。
复习一定要有一个可行的方案，通过方案保证复习的进度和效果。
一般可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证方案的可行性。
第一个阶段是按照考试大纲划分复习范围，在熟悉大纲的根底上对考试必备的根底知识进展系统的复习，理解考研数学的根本内容、重点、难点和特点。
这个时间段一般划定为六月前。
第二个阶段是在第一阶段的根底上，做一定数量的题，重点解决解题思路的问题。
一般从七月到十月。
这个阶段要注意归纳总结，即拿到题后要知道从什么角度，可以分几步去求解，每道题并不要求都要写出完好步骤，只要思路有了，运算过程会做了，可以视情况而灵敏掌握，这样省出时间来看更多的题。
数学教学设计的八个步骤
数学教学设计的八个步骤一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“数学教学设计的八个步骤”为主题，旨在让学生通过系统的教学设计过程，掌握数学知识，提高解决问题的能力，并培养其创新思维和合作精神。
教学内容涵盖基本的数学概念、原理及方法，同时注重将数学与现实生活相结合，使得学生能将所学知识应用于实际问题的解决中。
2、教学对象本次教学对象为初中学生，他们已经具备了一定的数学基础，能够进行基本的数学运算和初步的数学推理。
此外，这个年龄段的学生具有较强的求知欲和好奇心，但也存在注意力容易分散、学习自觉性不高等问题。
因此，在教学过程中，需要针对这些特点进行有针对性的教学设计，以提高学生的学习兴趣和参与度。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解数学教学设计的八个步骤的基本概念和内涵，掌握各个步骤的操作方法和应用技巧。
（2）能够运用所学的数学知识，结合实际问题的背景，进行教学设计，形成具有创新性的教学方案。
（3）提高数学运算、逻辑推理、数据分析等基本数学技能，培养运用数学语言进行表达和交流的能力。
（4）掌握合作学习的方法，学会在团队中发挥个人优势，提高团队协作能力。
2、过程与方法（1）通过自主探究、小组讨论、案例分析等多样化的学习方式，培养学生的独立思考和问题解决能力。
（2）引导学生关注数学教学设计的过程，学会总结、反思和调整学习方法，形成适合自己的学习策略。
（3）借助现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效率。
（4）注重实践操作，让学生在实际操作中体验数学的魅力，提高数学实践能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
（2）通过数学教学设计的过程，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学习的责任感。
（3）培养学生严谨、细致的学习作风，使他们形成良好的学习习惯，为终身学习奠定基础。
（4）引导学生树立正确的价值观，将所学知识应用于国家和社会的发展，为实现中华民族伟大复兴的中国梦贡献力量。
高三数学第一轮复习教学设计
高三数学第一轮复习教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高三数学第一轮复习，旨在帮助学生全面回顾和巩固高中数学课程内容，为高考做好充分的准备。
教学内容主要包括：函数与极限、导数与微分、积分、立体几何、解析几何、数列、概率与统计等模块。
通过本轮复习，使学生能够熟练掌握各模块的基本概念、原理和方法，形成完整的知识体系，提高解题能力和数学思维能力。
2、教学对象本教学设计的教学对象为高三学生，他们已经完成了高中数学课程的学习，具有一定的数学基础和解决问题的能力。
但由于学生的个体差异，他们在知识掌握程度、学习方法和兴趣上存在一定差异。
因此，在教学过程中，需要关注每个学生的学习情况，因材施教，提高复习效果。
在教学过程中，教师将充分调动学生的积极性，引导他们主动参与课堂讨论和练习，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
同时，针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和训练，提高他们的数学素养和应试能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）熟练掌握高中数学各模块的基本概念、原理和方法，形成完整的知识体系。
（2）提高数学解题能力，特别是综合应用能力的提升，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
（3）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等，提高学生的数学素养。
（4）掌握一定的数学研究方法，能够对数学问题进行深入探讨和拓展。
2、过程与方法（1）通过课堂讲解、讨论、练习等多种教学活动，让学生在复习过程中主动参与，提高学习积极性。
（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究精神。
（3）运用案例教学，将数学知识与实际应用相结合，提高学生的应用意识。
（4）鼓励学生进行合作学习，发挥团队协作精神，共同解决问题，提高沟通与协作能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在生活中的重要作用，增强学习数学的自信心。
（2）引导学生树立正确的价值观，将数学学习与个人发展、国家利益和社会进步相结合，激发学生的社会责任感。
初中数学有效课堂教学设计要注意哪三个方面
初中数学有效课堂教学设计要注意哪三个方面一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务围绕“初中数学有效课堂教学设计要注意哪三个方面”的主题展开。
具体包括：分析初中数学教学现状，探讨有效课堂教学设计的理念与策略，以及研究在实际教学过程中如何落实这些设计。
教学内容涉及初中数学的基本概念、定理、公式及其应用，旨在通过有效的教学设计，提高学生的学习兴趣，发展其数学思维能力，培养解决问题的能力。
2、教学对象本次教学的对象为初中学生，他们正处于青春期，好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散。
此外，学生在数学学习上存在个体差异，有的对数学兴趣浓厚，有的则感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注不同学生的学习需求，采用多样化的教学策略，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效果。
同时，教师还应关注学生的情感、态度与价值观的培养，使其在学习过程中形成积极向上的人生态度。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握初中数学的基本概念、定理、公式，并能熟练运用解决实际问题；（2）提高数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等方面；（3）培养数学阅读和写作能力，能够理解并撰写数学解题过程；（4）学会运用数学软件或工具辅助学习，提高数学学习效率。
2、过程与方法（1）通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生主动探究、合作学习的能力；（2）运用启发式、问题驱动的教学方法，引导学生发现问题、分析问题、解决问题；（3）设计具有挑战性的数学问题，让学生在解决实际问题的过程中，运用数学知识和方法；（4）注重数学思想方法的渗透，使学生掌握解决问题的策略和技巧。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，使其树立学习数学的自信心；（2）培养学生良好的数学学习习惯，如认真审题、规范解题、及时复习等；（3）引导学生体验数学的简洁美、逻辑美、应用美，提高学生的审美情趣；（4）通过数学学习，培养学生勇于探索、积极进取的精神风貌；（5）结合数学教学内容，进行德育教育，培养学生诚实守信、团结互助的品质；（6）让学生认识到数学在科学技术、社会生活等方面的重要作用，树立正确的价值观。
高中数学教学理念
高中数学教学理念一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高中数学课程，旨在通过系统的教学方法，使学生不仅掌握数学知识与技能，还能培养他们运用数学解决问题的能力，理解数学在生活中的重要性，并激发他们对数学学科的兴趣。
教学任务包括但不限于：传授数学概念、原理和方法；培养学生的逻辑思维能力、空间想象力和问题解决技巧；以及通过数学教学，引导学生形成正确的世界观和价值观。
2、教学对象本教学设计的对象是高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在这个阶段，学生正处在身心发展的关键时期，他们对世界充满好奇，有着强烈的求知欲和探索精神。
然而，他们也可能面临着学习压力，对数学学科存在不同程度的兴趣和接受能力。
因此，在教学过程中，需要针对不同学生的特点，采用多元化的教学策略，以促进每个学生的全面发展。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，能够熟练运用解决实际问题。
（2）培养逻辑推理、空间想象、数学建模等方面的能力，提高数学思维品质。
（3）掌握数学符号、术语和图表的规范使用，提高数学语言的表达和交流能力。
（4）学会运用数学软件和工具，辅助解决复杂的数学问题，增强实际操作能力。
2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生主动探究、发现数学知识，提高自主学习能力。
（2）采用问题驱动法，培养学生分析问题、解决问题的能力，形成系统化的学习方法。
（3）运用合作学习、讨论交流等方式，促进学生之间的互动与协作，提高团队合作能力。
（4）注重数学与现实生活的联系，让学生在实际情境中运用数学知识，培养学以致用的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，树立正确的数学观念，形成积极的学习态度。
（2）培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强克服困难的信心和毅力。
（3）通过数学教学，引导学生认识到数学在科技发展、社会进步中的重要作用，增强民族自豪感和责任感。
（4）培养学生严谨、细致、踏实的学术态度，形成良好的学习习惯和道德品质。
以不变应万变----万变不离其宗
以不变应万变 ---- 万变不离其宗在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的形式，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质这就是变化中有不变的思想。
所谓“万变不离其宗”，恰当通俗的概括了这个思想，数学教学，无论是让学生获得知识技能，还是掌握思想方法，都需要学生透过情境、信息等现象去抓住数学中不变的本质。
数学是一门逻辑性、严密性极强的学科，它的知识系统性强，前面的知识是后面的基础，后面的知识是前面知识的延伸与发展，所以老师必须紧紧抓住前后知识的内在联系，利用迁移巧设铺垫引入新知识。
一、利用迁移，巧设冲突教学过程当中经常会利用迁移，如两三位数乘一位数的乘法，在教学的过程中循序渐进，先从整十数乘一位数开始迁移到整百数乘以位数，再从两位数乘一位数（不进位）的笔算迁移到三位数乘一位数（不进位）的笔算，紧接着再从两位数乘一位数（进位）的笔算迁移到三位数乘一位数（进位）的笔算。
这虽然是两个单元的知识点，但是万变不离其宗，它们的方法是相通的，数学学科就是这样，透过现象看本质，这是很多数学思想方法所主张，包括抽象思想、模型思想、变化中有不变的思想等，因此要重视这一思想的渗透。
《三位数乘一位数》是在学生已经了解了乘法的意义掌握了《两位数乘一位数》的乘法的基础上进行教学的，是今后继续学习四则混合运算和解决问题的基础。
课堂上我从学生已有知识经验出发，给学生创设了思考与交流的空间，新课标提出“引导学生独立思考与合作交流”，在探索笔算乘法的过程中，我先让学生讨论交流感知一题多解的解题思路，接着，放手让学生用自己已有的知识经验去计算去练习巩固，学生积极地投入到交流讨论当中，不少同学的口算能力很强，用口算的方法算出了结果，在交流中学生充分的体验到了成功的喜悦，再由此引出课题，让学生自己去发现笔算三位数乘一位数与以前所学的两位数乘一位数的相同与不同点，利用迁移的方法概括总结出计算法则。
二、批判性学习，培养思维的严谨性思维的严谨性是指研究问题时要严格遵守逻辑规则，做到概念清晰、判断正确、推理有据，它反映了思维活动中的严谨和缜密程度，培养学生思维的严谨性可以利用批判性学习的方法。
高中数学教学环节
高中数学教学环节一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕高中数学教学环节展开，旨在提高学生的数学思维能力、解题技巧及实际应用能力。
教学内容主要包括：数学基础知识、数学方法、数学思想以及数学在实际问题中的应用。
通过本教学任务，使学生能够掌握高中数学的核心知识，形成系统的数学观念，提高解决问题的能力，为今后的学习及工作打下坚实基础。
2、教学对象本教学任务针对的是高中阶段的学生，他们已经具备了一定的数学基础，但在数学思维、解题方法和实际应用方面仍存在不足。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，针对不同层次的学生制定合适的教学计划，使他们在原有基础上得到提高。
同时，注重培养学生的团队合作精神，鼓励他们积极参与课堂讨论，形成良好的学习氛围。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，形成完整的知识体系。
（2）熟练运用数学方法解决实际问题，提高数学解题能力，特别是对代数、几何、概率统计等领域的应用。
（3）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、抽象概括等，提高数学素养。
（4）掌握数学软件和信息技术在数学学习中的应用，提高数学实践操作能力。
2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生主动探究、发现和解决问题，培养学生的自主学习能力。
（2）采用案例教学、分组讨论等方法，让学生在实践中学习，提高合作能力和沟通能力。
（3）注重数学思想方法的传授，使学生能够运用数学观点和方法分析、解决实际问题。
（4）定期进行数学竞赛、研究性学习等活动，提高学生的创新意识和实践能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、追求卓越的情感态度。
（2）引导学生树立正确的数学价值观，认识到数学在自然科学、社会科学等领域的重要作用。
（3）培养学生严谨、勤奋、求实的科学态度，形成良好的学习习惯。
以不变应万变
教学导航２０２３年４月下半月㊀㊀㊀以不变应万变:探究函数中的动点运动路径问题◉福建省厦门外国语学校石狮分校㊀晏海斌㊀㊀动态问题是近几年几何综合题型中常见的考点．动点问题是研究在几何图形中,一个动点经过运动之后形成的几何图形或者线段,或者求动点运动路径的长度的问题．这类题型难度较大,学生常常无从下手,失去解题的信心．动点问题常见的解题思路是选取动点运动的临界点,进而通过猜想㊁证明运动路径完成解题．但是,学生在实际运用过程中还是觉得困难重重,因为在证明猜想过程中需要用到几何图形的多种性质,如 三点共线 同一法 等,对于学生的能力要求较高,运用起来有一定的难度．因此,在教学中,笔者一直在思考有没有更加简便的方法,可以帮助学生更加便捷地解决这类问题下面结合具体实例运用数形结合的方法,借助直角坐标系将动点问题回归到函数问题进行探讨,与大家共享．１教学片段在求线段中点的坐标时,学生可以利用直角坐标系来推导公式,再进行熟练运用．中点坐标公式对于解决动点问题将会产生很大作用,推导过程如下．图１导入㊀如图１,已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(x １,y １),点B 的坐标是(x ２,y ２),求线段A B 中点M 的坐标．解析:如图１,分别过点A ,点B 作x 轴㊁y 轴的平行线,相交于点C ,作MH ʅA C 于点H ,则A C 的长度等于x ２与x １的差．由三角形的中位线定理,可得点M 的横坐标与点H 的横坐标相同,即x M ＝x １＋x ２－x １２＝x １＋x ２２;同理可证,点M 的纵坐标y M ＝y １＋y １－y ２２＝y １＋y ２２．由此可以得到线段A B 中点M 的坐标是(x １＋x ２２,y １＋y ２２)．运用直角坐标系求线段中点坐标的思路,可以为求动点路径长度助力,接下来研究例１．图２例１㊀如图２,已知正方形A B C D 的边长为２,M 是A D 的中点,点E 从线段A B 的端点A 出发,沿A B 运动到点B 停止．连接E M 并延长与C D 的延长线相交于点F ,过点M 作E F 的垂线与射线B C 于点G ,连接E G 和F G ．(１)设A E 的长度为x ,ΔE G F 的面积为y ,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(２)若P 是线段M G 的中点,求动点P 的运动路径的长度．解析:(１)略．图３(２)建立如图３的平面直角坐标系,作MH ʅB C ,垂足为H ．由M G ʅE F ,可得øAM E ＝øHM G ．又因为øM A E ＝øMH G ＝９０ʎ,所以әAM E ʐәHM G ,可得A EH G＝AM HM ,即x H G ＝１２,所以H G ＝２x ．因此O G ＝O H ＋H G ＝AM ＋H G ＝１＋２x ,所以点G 的坐标为(１＋２x ,０)．又因为点M 的坐标为(１,２),根据导入例题的中点坐标公式,可得M G 中点P 的坐标为(１＋x ,１)．由点P 的纵坐标为１可知,点P 在直线y ＝１上运动．由点P 的横坐标为１＋x 可以得到,点P 的横坐标随着x 的增大而增大的．点E 从线段A B 的端点A 出发,沿A B 运动到点B 停止,所以当x 取最小值０时,点P 在路径的最左端,坐标为(１,１);当x 取最大值２时,点P 在路径的最右端,坐标为(３,１)．由此可知,点P 的运动路径长为３－１＝２．本例通过构造直角坐标系结合相似三角形的性质来解决,使复杂的问题变得简便清晰．在解答过程中,由点P 的纵坐标确定了点P 的运动路线,避免了几何证明中学生并不擅长的 三点共线 问题,使学生更易于理解,并且过程简便,避免了繁琐的计算．经过这道题的应用,笔者思考例２是否也能类比例１的方法来解决．图４例２㊀如图４,已知A B 的长度为１０,线段A B 上有两点C ,D ,且A C ＝D B ＝２,线段C D 上有一动点P ,分别以A P ,P B 为边在线段A B 的同侧作等边三角形A E P和等边三角形P F B ,连接E F ．若G 为E F 的中点,当点P 从点C 开始运动,到点D 结束,点G 运动路径的长度是多少?解析:建立如图５的平面直角坐标系,作E M ʅ４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀图５A P ,F N ʅPB ,垂足分别为M ,N ．设A P 的长度为x ,则B P 的长度为１０－x ．由等边三角形 三线合一 的性质可得,AM ＝１２A P ＝x２,E M ＝３AM ＝３x ２,所以点E 的坐标为(x ２,３x２)．同理可得,点F 的坐标为(５＋x ２,５３－３x２)．由中点坐标公式可以得到E F 的中点G 的坐标为æèççx ２＋５＋x ２２,３x ２＋５３－３x ２２öø÷÷,即(５＋x ２,５３２)．由点G 的纵坐标可知,点G 在直线y ＝５３２上运动．通过点G 的横坐标可得,点G 的横坐标随着x 的增大而增大．由于点P 的运动路径是从点C 开始到点D 结束,所以当点P 和点C 重合时,x 取最小值２,此时点G 在路径的最左端,坐标为(７２,５３２);当点P 与点D 重合时,运动结束,x 取最大值８,此时点G 在路径的最右端,坐标为(１３２,５３２)．由此可得,点G 运动路径的长度为１３２－７２＝３．根据上述解析可知,利用平面直角坐标系确定动点路径的方法同样适用于例２．通过观察两道例题我们发现,两道例题在解决过程中都运用了线段中点坐标公式,得到中点的坐标值均有定值,因此得到中点的运动路径是一条线段．那么有没有例外呢会不会有不是定值的情况,如果有这种情况,还能利用平面直角坐标系进行解决吗?于是,笔者又发现了例３．图６例３㊀如图６,在R tәA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝６,B C ＝８,动点P 沿线段A C 从点A 开始向点C 运动,速度为每秒１个单位,动点Q 沿线段C B 从点C 向点B 运动,速度是每秒２个单位,过点P 作P D ʊB C 交A B 于点D ,连接P Q ,点P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一动点随之停止运动,设运动的时间为t s (t ȡ０)．(１)请用含t 的代数式表示Q B 和P D 的长度．(２)当t 的值是多少时,四边形P D B Q 为菱形?若不存在这样的值,说明理由．探究能否通过改变点Q 的速度,使四边形P D B Q 存在菱形的时刻,并求出点Q 的速度．(３)在整个运动过程中,求点M 运动路径的长度．解析:(１)(２)略．图７(３)建立如图７的平面直角坐标系,根据题意可知C Q ＝２t ,A P ＝t ,则C P ＝６－t ,所以点P 的坐标为(６－t ,０),点Q 的坐标为(０,２t )．根据中点坐标公式可得,P Q 的中点M 的坐标为(６－t ２,２t ２),即(６－t２,t )．由此我们发现x M 和y M 都不是定值,不能像例１和例２一样直接说明中点M 在一条定直线上运动．由于x M ,y M 都是随着t 的变化而变化,因此可以建立方程组x M ＝６－t２,y M ＝t ,{对方程组消元,可以得到x M ,y M 之间满足函数关系式y M ＝－２x M ＋６,因此点M 的运动路线为直线y ＝－２x ＋６,如图７中直线l ．根据题意,可知０ɤt ɤ４．当t ＝０时,x M ＝３,y M ＝０,此时点M 在运动路径的最右下端,坐标为(３,０),即M １;当t ＝４时,x M ＝１,y M ＝４,点M 在运动路径的最左端,坐标为(１,４),即M ２．由勾股定理可以求得,在整个运动过程中,线段P Q 的中点M 所经过的路径长为M １M ２＝(３－１)２＋(０－４)２＝２５．根据例３可以发现,即使动点的坐标不是定值,但只要与变量有关,也可以建立方程组通过消元找到动点的函数关系式,从而确定动点的运动路线,从而求出动点运动的路径长度．２教学反思通过本文中的几道例题,我们发现利用平面直角坐标系可以更加便捷地解决几何图形中动点的运动路径问题．在解决问题的过程中,动点的坐标使几何问题与代数方法相结合,将变量㊁函数以及图形与代数相结合,充分体现了数形结合思想．经过这样的尝试,我们发现几何中的复杂题型都可以运用代数方法进行转换,使问题变得简单㊁清晰．这样的转换方法拓宽了学生的视野,使学生在遇到类似的问题时也能快速进行联想,充分运用已知条件和所学知识解决问题,为学生今后进一步深入学习解析几何知识打下良好的基础．总之,数学学习需要教师不断创新教学思路,从多个角度思考问题,打破常规束缚,寻找更加简便的方法．教师只有不断钻研和增长教学能力,才能使学生在学习中不断发展思维的灵活性和创新性,灵活运用数学知识,提升解题能力,从而在不断创新的解题思路中,掌握数学方法和数学思想,理解数学的本质,提升学习数学的兴趣．Z５４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学教学设计的八个环节
高中数学教学设计的八个环节一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高中数学课程，以“高中数学教学设计的八个环节”为主题，旨在通过系统化的教学策略，帮助学生深入理解数学知识，掌握解题技能，并培养其数学思维能力。
具体任务包括：引入新概念、巩固旧知识、探讨数学问题、激发学生的探究兴趣、提高解题技巧、形成良好的数学学习习惯以及培育学生的团队协作能力。
2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但在面对复杂问题时，可能仍存在思路不清晰、解题方法单一等问题。
因此，本教学设计将针对这些问题进行有针对性的指导，帮助学生突破学习瓶颈，提升其数学素养。
同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，能够熟练运用这些知识解决实际问题。
（2）掌握数学解题技巧和方法，如分析法、综合法、归纳法等，提高解题速度和准确率。
（3）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数学建模等，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
（4）学会运用数学软件和工具，如几何画板、数学公式编辑器等，辅助数学学习和研究。
2、过程与方法（1）通过自主探究、小组合作、课堂讨论等多种学习方式，激发学生的学习兴趣，提高其主动参与度。
（2）引导学生运用已知知识探索新问题，培养其自主学习能力和探究精神。
（3）采用问题驱动、案例教学等方法，帮助学生掌握数学知识的应用，提高解决实际问题的能力。
（4）注重课后总结与反思，培养学生良好的学习习惯，形成系统的知识体系。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热爱，使其树立正确的数学观念，认识到数学在生活中的重要性。
（2）培养学生在面对困难和挫折时，保持积极的心态，勇于克服困难，不断追求进步。
（3）通过数学学习，引导学生形成严谨、细致、踏实的作风，培养良好的学习态度。
在变中求不变，以不变应万变
在变中求不变，以不变应万变作者：张亚新来源：《教育·教学科研》2022年第02期数学问题千变万化，但是万变不离其宗，许多问题可以通过对比找到其中变化的量，通过变化来激活学生的思维，发现一定的数学规律，对问题进行深入思考，从而把握问题的本质，再以不变的本质应对万变的形式以及具体问题。
《义务教育数学课程标准》明确提出学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，在我们平时的教学实践中尤其是低段教学中，对于基础知识和技能，教师往往是比较重视的，也比较容易把握教学目标，但一些教师可能就不会再有所延伸或者拓展，这样很容易忽视学生数学思想的培养。
而在后面高段学习中，其实数学思想的体会与运用尤其重要。
低段学生可能对复杂深度的数学思想理解有困难，但是教师不能“知难避难”，应该结合低段学生的年龄特点设计课堂教学，采用简单活泼的活动形式让学生初步感悟以及理解数学的基本思想与方法。
“变与不变”思想是小学数学的学习中一个重要的思想方法，许多数学问题的解决正是运用了这种思想。
在小学数学教材中，“变与不变”的思想贯穿所有年级，也有很多“变与不变”的素材值得教师好好学习利用，促使学生获得基本的数学思想。
下面，从笔者的几个教学案例看如何在小学低段的教学中渗透“变与不变”的数学思想。
（一）运用“变与不变”思想体会数学概念在小学数学的教学当中，数学概念是基础知识，也是教学的核心内容，想要学习好数学的内容，前提是要有对数学概念的正确理解。
数学的概念比较抽象难懂，小学数学学习中概念性知识比较多，小学生尤其低段学生由于其年龄特点，很难长时间集中注意力，对概念性内容兴趣不高，可能会感觉枯燥乏味。
在教学中，教师应该一边渗透“变与不变”思想，一边把学生的认知以及教学要求紧密地结合起来。
在数学问题中可以找出其中的不变量，利用这些不变量来引导学生观察分析变化量，学生在观察分析对比的过程中，了解概念的内涵，能够更好地体会概念的本质，并将之内化为自己的知识和经验，灵活运用到解决问题的具体情境中去。
以不变应万变和大处着眼小处着手等数学方法
不变应万变和大处着眼小处着手等数学方法数学是一门严谨的科学，它帮助人们理解世界，解决问题，推动科学技术的发展。
在数学研究和实际应用中，有一些重要的方法被广泛应用，其中包括不变应万变和大处着眼小处着手等数学方法。
这些方法不仅在数学研究中发挥重要作用，也在实际问题的解决中具有广泛的应用价值。
本文将分别介绍不变应万变和大处着眼小处着手等数学方法的定义、原理、应用和意义。
一、不变应万变的数学方法1. 定义：不变应万变是一种数学方法，即通过找到问题中的不变量，通过这些不变量来控制问题的变化。
在问题变化的过程中，不变量始终保持不变，成为解决问题的关键。
2. 原理：不变应万变的方法本质上是一种控制变量的思想。
在一个复杂的问题中，我们往往无法完全掌握所有变量的变化规律，但通过找到不变量，我们可以控制问题的变化，从而找到问题的解决办法。
3. 应用：不变应万变的方法在数学研究中被广泛应用。
在代数、几何、概率论等领域，都可以看到不变应万变的方法的身影。
在求解一个代数方程组时，我们可以通过找到不变量来简化问题，从而使问题得以解决。
4. 意义：不变应万变的方法在数学研究和实际问题的解决中具有重要意义。
它帮助我们理解复杂问题的本质，找到问题的核心，从而更好地解决问题。
二、大处着眼小处着手的数学方法1. 定义：大处着眼小处着手是一种数学方法，即通过对一个大的复杂问题进行分解，找到其中的关键部分，从而逐步解决问题。
这种方法是一种分而治之的思想，可以大大简化问题的求解过程。
2. 原理：大处着眼小处着手的方法本质上是一种分解问题的思想。
在一个大的复杂问题面前，我们往往束手无策，但通过将问题分解为若干小的子问题，我们可以逐个解决，最终得到整个问题的解决办法。
3. 应用：大处着眼小处着手的方法在数学建模和实际问题的求解中被广泛应用。
在数值计算、优化问题、图论等领域，都可以看到大处着眼小处着手的方法的应用。
在求解一个复杂的优化问题时，我们可以将问题分解为若干个小的子问题，逐个解决，最终得到整个问题的最优解。
万变不离其宗，以不变应万变
万变不离其宗，以不变应万变作者：毕美好来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第05期[摘要] 新课程理念下，高三复习的主旋律是“优效教学、减轻学生负担”. 变式题组的教学能优化复习、提升教学效率. 文章主要探讨了三种变式教学：对比性变式有的放矢，突破知识易错点效果立竿见影;强化性变式熟能生巧，有效提升熟练度;开放性变式拓展创新，提高学生思维的灵活性.[关键词] 变式;高三复习;优化;数列;通项新课程理念下，高三复习课不搞“题海战术”，而是精选题、巧设计、精讲题，以少胜多.尽管高考的题目形式上是变化多端的，但其考点是明确的，有既定法则——通性通法可寻的. “万变不离其宗”，只要我们帮助学生练就一双“慧眼”，识破其“宗”，便能“以不变应万变”，笑傲于“高考”这个变幻莫测的“江湖”了.变式题组的教学就是能帮助学生识破“宗”的有效教学策略. 教师在教学时，采用科学合理的手段，从不同的角度、层次、背景对知识点的非本质条件进行变换，保留其本质、宗旨不变，揭示不同知识点的内在联系，使学生抓住问题本质这个不变的关键，提高课堂教学效率. 针对不同的教学效果有不同的变式方式对应，对比性变式能很好地突破学生的易错点，纠正学生的潜意识错误;强化性式变式有利于学生认清并掌握一类题型;开放性变式有利于学生知识方法的拓展和迁移，梳理知识网络的同时提升学生分析、解决问题的能力.对比性变式有的放矢，以柔克刚对比性变式突出差异，在学生的易混淆不清的概念、法则等知识点处命制变式题组，通过学生的碰错、质疑、对比辨析、归纳总结，抓住不同概念、法则的本质，区分好易错的知识点. 这样的变式题组设计犹如“化骨绵掌”，以柔克刚，轻松击中学生要害，使学生险处求生、印象深刻. 对比性变式能避免学生思维过于单一，教学效果立竿见影.案例1：已知数列{a }中，当n≥2时，a -a =3，a =-2，a =________.变式1：数列{a }中，a -a =n，a =-2，a =________.变式2：若b -b =2，b1=3，bn=_____.变式3：若数列{a }各项为正数，且a =4， =2（n≥2，n∈N*），则a =________.学生对于等差数列定义“从第二项起，后项与前一项的差是同一个常数”中的“常数”及“后项、前一项的结构特征”理解不好，容易出现学生犯错的借口“眼盲”，其实就是他们思维盲目，缺乏对概念的消化.变式1针对定义中的“常数”理解进行设计，帮助学生理解带有项数n这个变量就不符合定义中“常数”的要求了;变式2、3则是针对定义中“后项、前一项的结构特征”进行设计，后项f （n）可以是b ， +3等与n有关的式子，前一项f（n-1）则是用n-1代入f（n）中的n，满足式子结构即可. 在此基础上，教师可以让学生进一步举例，从而归纳出：尽管其形式千变万化，但不变的是其本质，若f（n）-f（n-1）=常数（n≥2），则{f（n）}是等差数列. 此时，等比数列的本质定义学生也能脱口而出了.案例2：已知数列{a }的前n项和S =n2+n+3，求a .变式：已知数列{a }的前n项和S =n2+n，求a .此题组考查“利用Sn与a 的关系求通项”，学生不陌生，但容易漏了“求首项及检验”环节，设计这样的对比变式题组，使学生关注“首项、结果a 是否分段”两个易错点. 此题组还能提炼出：前n项和是无常数项的二次函数？圳数列为等差数列（d≠0），a 是一次函数;前n项和是有常数项的二次函数？圳数列不是等差数列，a 是分段函数.强化性变式熟能生巧，巧能生慧学生经常感到很迷惑：“老师上课讲的我都听明白了，但课后自己做又不懂了.”究其原因，是学生理不清在什么特定条件下采用什么解决办法，即对不同类型题目的本质特点不能熟练掌握. 一节课的时间短，要提升学生的熟练度，巧妙解答，强化性变式非常适用. 教师局部调整问题的构成要素，使问题虽形式多样，但解题方法类似，通过这样的强化训练，促使学生熟练掌握特定的解法，遇到此类题目能快速巧妙地完成解答，并逐渐编好数学方法这张网.案例3：已知数列{a }中，a =1，a =a +2n，求a .变式1：已知a -a =3n+1，a =1，求a变式2：已知a =a + （n≥2），a =1，求a .变式3：已知a -a =ln （n≥2），a =1，求a学生不难接受累加法求通项，但学生不能熟练地运用，究其原因，是学生对其形式见得少，强化训练不够，不能形成条件反射. 通过上述变式题组训练，使学生熟能生巧，巧能生慧，抓住累加法求通项的精髓：后项与前一项的差是一个可求和的式子，即a -a =g（n），g （n）是可求和的式子，用累加法. 有了这样的认识，学生易知累积法求通项的本质.案例4：已知数列{a }的前n項和S =3-3×2n，n∈N*，a =________.变式1：S 为数列{a }的前n项和，已知a >0，a +2a =4S +3，求{a }的通项公式.变式2：若数列{a }满足：a +3a +5a +…+（2n-1）·a =（n-1）·3n+1+3（n∈N*），则数列{a }的通项公式a =________.学生对于“利用S 与a 关系求通项”这个方法不陌生，知道a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但是辨不清什么时候用. 上述例题，S 给出了具体的形式，学生很容易按照公式求出a . 对于变式1开始有点无所适从了，更难看出变式2其实与例题是一样题型的题目了. 其实变式1是S 的抽象形式，变式2中“a +3a +5a +…+（2n-1）·a ”就是“S ”这个“和”的形式，只是它不是{a }的前n 项和，而是{（2n-1）·a }的前n项和，但采用的解决方法是一样的，因为它也是“和与项的关系”的题型. 通过设计层次递进的强化性变式题组，强化利用S 与a 关系求通项这个方法，使学生抓住问题的共同属性，用相同的方法解决，以不变应万变.开放性变式拓展创新，常胜不败开放性变式指的是从一个题目出发，通过改变题目中的条件、结论，从而使题型得到深化或延伸. 一种利用同一个知识点解决难度不同的问题，或含参待讨论，或舍弃中间提示环节直奔主题等等;另一种是找到不同题目之间的潜在联系，或方法相似或结构相似等. 通过深化、延伸，从一类题目转变成多种类型的题目，从而逐渐形成一个系统、完整的知识体系.案例5：已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，S =2a ，求a .变式1：已知数列{a }的前n项和S =1+λa ，其中λ≠0，证明：{a }是等比数列，并求其通项公式.变式2：已知数列{a }的前n项积为n2，那么当n≥2时，a 等于（）A. 2n-1B. n2C. D.变式1是例题的深化，考查与例题相同的知识点a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但变式1含有参数λ，解答过程涉及对λ取值的分析讨论，对学生来说是很大的挑战，不能与例题相提并论. 变式2改变条件由前n项“和”变为“积”，是不同类型的题目，但是它们两者又有潜在联系，容易实现迁移，方法上由“作差”变为“作商”即可解决. 开放性变式题组旨在提高学生的综合实践能力和知识迁移能力，这是学生灵活创新、常胜不败的能力.案例6：已知数列{a }满足a =1，a =3a +1，证明：a + 是等比数列，并求{a }的通项公式.变式1：设数列{a }满足：a =1，a =3a +2，求数列{a }的通项公式.变式2：在数列{a }中，a =1，a =3a +n，求数列{a }的通项公式.变式3：已知数列{a }中，a =1，a =3a +2n，求數列{a }的通项公式.变式4：已知数列{a }中，a =1，a =2a +2n，求数列{a }的通项公式.例题是定义法求通项，为变式1搭建了“脚手架”，指引变式1改变递推关系式的结构，使其能构造出公比为3的等比数列，通过拆分“2”，满足“a +A=3（a +A）”，然后用待定系数法求“A”. 变式2、3与变式1形式相似，引导学生参考变式1的解法进行方法迁移，把“n”“2n”进行拆分，构造公比为3的等比数列，同样是用待定系数法去解决，但难度较变式1大，等比数列的前后项形式的变化的把握是难点，是不同于变式1但又有联系的题型. 对于变式4，学生基本会参考前面三个变式的解法用待定系数法构造等比数列，碰壁后在老师的帮助下梳理出“a =pa +qn”型的通性通法应该是同除以“qn+1”后回归到变式1的题型. 通过开放性变式题组可以实现知识整合、知识梳理，优化了课堂的教学，提高了高三的复习效率.荀子曰：“千举万变，其道一也. ”庄子曰：“不离于宗，谓之天人. ”这两句名言都是说某些事物尽管形式上变化多端，其本质或目的是不变的. 在数学教学上亦是如此，教师应抓住问题本质，精选题、巧设计，利用对比性变式突破易错点;利用强化性变式巩固题型解法，提升知识熟练度;利用开放性变式梳理知识网络，培养思维灵活度，帮助学生解决千变万化的问题，以不变应万变.。
高中数学关键能力与学科核心素养的关系
高中数学关键能力与学科核心素养的关系一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是探讨高中数学关键能力与学科核心素养的关系。
在高中数学教学中，关键能力通常指的是逻辑推理、空间想象、数学建模、运算求解等基本技能，而学科核心素养则包含数学思维能力、问题解决能力、数学情感与态度等方面。
本节课旨在引导学生理解这些能力之间的相互作用和转化，认识到关键能力是学科核心素养的基础，学科核心素养是关键能力的升华。
通过本节课的学习，学生能够更好地把握数学学习的本质，提高数学学科综合素质。
2、教学对象本节课的教学对象为高中二年级学生。
经过一年的数学学习，他们已经掌握了基本的数学知识和技能，但对数学学科核心素养的认识还不够深入。
因此，在本节课中，教师需要从学生的实际出发，引导他们探索数学关键能力与学科核心素养的关系，激发学生的学习兴趣和动力，提高他们的数学学科综合素质。
同时，针对不同学生的学习特点和需求，采用适当的教学策略，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解高中数学关键能力的内涵，包括逻辑推理、空间想象、数学建模、运算求解等基本技能；（2）掌握学科核心素养的要素，如数学思维能力、问题解决能力、数学情感与态度等；（3）能够运用所学知识分析数学问题，将关键能力与学科核心素养相结合，提高数学解题能力；（4）学会运用数学思维方法，如归纳、类比、演绎等，提升数学关键能力和学科核心素养。
2、过程与方法（1）通过小组合作、讨论交流，培养学生主动探索、合作学习的能力；（2）引导学生从实际问题出发，运用数学知识进行问题分析，提高问题解决能力；（3）采用案例分析法，让学生从具体实例中抽象出数学关键能力和学科核心素养；（4）设计具有梯度的问题，使学生在解决问题的过程中逐步提高数学关键能力和学科核心素养。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的内在动力；（2）引导学生认识到数学学习的重要性，树立正确的数学学习态度；（3）培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，增强学生的自信心；（4）通过数学学习，培养学生严谨、求实的科学态度和价值观；（5）使学生认识到数学关键能力与学科核心素养在个人发展和社会进步中的重要作用，培养学生的社会责任感。
变式训练的重要性
变式训练的重要性
变式训练的⽬的是使学⽣在练习过程中把握题⽬的本质特征，达到“以不变应万变”。
变式训练有两个好处：⼀是通过变化了⾮本质特征的题组训练，使学⽣熟悉技能的操作程序；⼆是通过变式训练，学⽣在形式变化中把握不变的东西，将程序性知识内化，从⽽促进技能向纵深⽅向迁移。
变式训练能够提⾼初中学⽣的数学综合技能，主要表现为：
1.变式训练能够培养学⽣的练习兴趣。
变式训练是提⾼数学技能的源动⼒。
兴趣是学⽣主体探索数学知识的⼼理基础和内动⼒，对训练数学技能起着重要作⽤。
明确变式练习的⽬的，根据内容的内在联系，通过针对性的变式训练让学⽣了解每⼀种变式都有它的特定⽬的，从⽽激发学⽣的练习兴趣，使他们⾃觉地产⽣完成练习的内动⼒，提⾼练习效率。
2. 变式训练能够培养学⽣的练习技巧
变式训练是提⾼数学技能灵活运⽤的关键。
训练要讲究技巧并要有针对性，训练得巧可以达到事半功倍的效果。
利⽤变式训练设置合适的梯度，然后逐步增加技巧性因素，从⽽在变式的过程中掌握、保持和巩固数学技能。
3. 变式训练能够适当延伸所学知识。
变式训练是提⾼数学技能的有效途径。
学⽣在变化的题⽬的探究过程中巩固所学知识并拓展思维，不但能有效促进数学技能按正确的⽅向发展，⽽且能使数学技能之间的组合优化，从⽽提⾼了数学技能形成的效率。
综上所述，变式训练可以把⼀个看似孤⽴的问题从不同⾓度向外扩散，并形成⼀个有规律可寻的系列，帮助学⽣在解答问题过程中寻找解决类似问题的思路、⽅法。
我们应以变式训练为载体，坚持从提⾼学⽣练习质量和效率⼊⼿，切实提⾼学⽣的数学技能。
以“不变”应“万变”
初数学•数学写作以“不变"应“万变”江苏省苏州市阳山实验初级中学九(9)班许辰宇【问题背景】已知y关于x的函数表达式y=2kx-3k+2,观察这个函数表达式，你有什么发现？面对这个问题，一开始或许你毫无头绪,仔细思考后，可能你会有所发现,甚至发现独特之处。
［思考探索】不难发现，这是一个含参数鮒的一次函数解析式。
为了研究它的特殊性，我们不妨取一些科直(如表1),并画出它的图像(如图1)。
表1y=2kx~3>k+2k值11.232函数表达式j-2.V-1—-2y=3x-42观察图像，我们可以得知，一次函数尸2kx-3k+2的图像总经过点(|,2)o这是什么原因呢？于是，我对原来的表达式进行恒等变I51形,看看能否找到问题的答案。
由 y=2kx~3>k+2,可得 y=b (2x~3) + 2,即厂2=畑-3)。
既然原函数表达式y=2hc-3k + 2是成立的，那么变形后的表达式也是成立的，而我们 知道,k 作为一个系数是可以取不为0的任何 实数的，要使原式成立，需满足(厂2)和(2%-3)的值分别为0。
这就是为什么函数图像总经 过点(| ,2)的本质原因。
结论应用如图2,在平面直角坐标系中,以原点。
为圆心的圆过点4(13,0),直线 y=kx-3k+4与G )O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长 的最小值是多少？本题是一道有关线段最值的问题。
在圆 内求线段的最值，需确定线段的两个端点的位置。
从这个角度分析,即使我们知道M 直，也 很难确定点B 与点C 在平面直角坐标系中的 位置。
因此，我们要从函数表达式入手，将其进行适当的变形,发现函数图像总过点(3,4),此时可求得圆心0到点(3,4啲距离为5，问题 就转化成求过00内一点的最短弦问题。
运 用垂径定理和勾股定理,求解步骤如下：解:y-kx~'3k+4,.•./c(x-3)=y-4,k 有无数个取值,由x-3=0、厂4=0,可得 x =3,y=4,•••直线一定过点0(3,4)。
以不变应万变四年级奥数题讲解
以不变应万变四年级奥数题讲解
这道四年级奥数题可以这样讲解：
题目中提到“以不变应万变”，那么我们首先需要找到这个“不变”的部分。
观察题目，我们发现三道算式的被减数和减数都是相同的，只是顺序不同。
因此，我们可以推断出这三道算式的结果应该是相等的。
我们可以用字母表示出这三个算式。
假设被减数是a，减数是b。
第一个算式是a-b，第二个算式是b-a(这个算式的值与第一个算式的值互为相反数)，第三个算式是a-b(这个算式的值与第一个算式的值相同)。
根据上述分析，我们可以得到以下结论：
第一个算式和第三个算式的值是相等的，即a-b = a-b。
第二个算式的值是第一个算式的值的相反数，即b-a = -(a-b)。
因此，我们可以得到以下方程组：
a-b = a-b
b-a = -(a-b)
通过解这个方程组，我们可以得到a=0，b=0。
因此，第一个算式的值是0。
为了检验我们的答案是否正确，我们可以再次检查题目中的条件。
题目中说“万变不离其宗”，这意味着虽然形式有所变化，但本质还是相同的。
因此，我们的答案是正确的。
综上所述，这道题的解法是通过找到题目中的“不变”部分，然后利用这个“不变”部分来求解。
这种方法在数学中是非常常见的，它可以帮助我们找到规律，简化问题。
单元教学设计高中数学
单元教学设计高中数学一、教学任务及对象1、教学任务本单元的教学任务是围绕高中数学的核心知识点进行深入讲解和实践应用，旨在帮助学生掌握数学的基本概念、原理和方法，培养其逻辑思维、问题解决和数学应用能力。
具体包括以下内容：数的概念与运算、方程与不等式、函数与图像、几何图形与测量、概率与统计等。
通过本单元的学习，学生将能够运用数学知识解决实际问题，提升数学素养。
2、教学对象本单元的教学对象为高中一年级学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算、代数知识和几何图形。
在此基础上，学生需要进一步拓展和深化数学知识，提高数学思维能力。
此外，考虑到学生的个体差异，教学中需关注不同层次学生的需求，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和方法，如函数、导数、积分、立体几何、解析几何等。
（2）能够运用数学知识解决实际问题，如求解方程、不等式、几何图形的面积、体积等。
（3）熟练运用数学符号、公式和图表进行表达和计算。
（4）培养逻辑思维能力和数学推理能力，能够从特殊到一般、从具体到抽象地进行思考和总结。
（5）提高数学运算速度和准确性，养成良好的学习习惯。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，让学生在解决问题的过程中掌握数学知识。
（2）运用比较、分析、综合、归纳等思维方法，培养学生的逻辑思维和创新能力。
（3）采用问题驱动法、案例分析法、实验探究法等教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
（4）结合信息技术手段，如数学软件、网络资源等，辅助教学，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使其认识到数学在科学、技术和社会发展中的重要作用。
（2）引导学生树立正确的数学观念，认识到数学学习的长期性和艰巨性，培养其坚持不懈、勤奋好学的精神。
（3）培养学生团队合作精神，学会倾听、表达、沟通和协作，增强集体荣誉感。
初中数学项目化教学设计
初中数学项目化教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计以初中数学项目化教学为主题，旨在通过项目化学习方式，让学生在解决实际问题的过程中掌握数学知识，提高数学思维能力。
教学任务包括：培养学生的自主学习能力、合作能力、问题解决能力和创新意识；通过项目设计，将数学知识与学生生活实际相结合，使学生在实践中感受数学的魅力；引导学生运用数学知识分析问题，培养他们的逻辑思维和批判性思维。
2、教学对象本教学设计面向初中学生，他们具有一定的数学基础和初步的思维能力。
在这个阶段，学生对新鲜事物充满好奇，具备较强的探索欲望，但同时也可能存在注意力分散、学习兴趣不足等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与项目化学习，提高数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握初中阶段的基本数学知识，包括代数、几何、概率和统计等方面；（2）具备运用数学知识解决实际问题的能力，例如在项目中能够运用所学的数学公式、定理和概念进行分析和计算；（3）提高数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、抽象概括和创新能力；（4）培养数学表达和交流能力，能够清晰地阐述自己的观点，理解他人的思路。
2、过程与方法（1）学会运用项目化学习的方法，包括问题提出、资料搜集、方案设计、实施验证和总结反思等过程；（2）掌握合作学习的技巧，能够在小组内进行有效分工、协作和沟通；（3）培养自主学习能力，形成探究性学习习惯，善于在问题解决中总结经验和教训；（4）学会运用信息技术手段，如网络资源、数学软件等，辅助数学学习和项目实施。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、主动探索的精神；（2）引导学生认识到数学在生活中的广泛应用和价值，增强数学学习的责任感；（3）培养学生面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于尝试和克服；（4）通过项目化学习，培养学生团队合作精神，尊重他人意见，学会倾听和表达；（5）引导学生树立正确的价值观，将数学知识应用于实际生活，关注社会发展，具备良好的社会责任感。
二年级数学大单元教学设计
二年级数学大单元教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务围绕二年级数学大单元进行设计，旨在让学生掌握基本的数学知识和技能，提高解决问题的能力。
教学内容包括数的认识、加减乘除运算、几何图形、时间货币计量等。
通过本单元的学习，使学生能够熟练运用数学工具，解决生活中的实际问题，培养他们的逻辑思维和创新能力。
2、教学对象本教学设计针对的对象为二年级学生，他们已经具备了一定的数学基础，但个体差异较大。
在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性，使他们在愉快的氛围中掌握数学知识。
此外，针对学生的年龄特点，教学活动应注重游戏化、情境化，以提高学生的学习兴趣和参与度。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握数的概念，能够正确读写100以内的数字，理解数位的意义，进行简单的数位计算。
（2）熟练运用加减乘除运算，解决100以内的数学问题，并能够应用于实际生活。
（3）认识基本的几何图形，如三角形、正方形、长方形、圆形等，能够区分平面和立体图形。
（4）理解时间、货币、计量单位等概念，能够进行简单的时间、货币换算和计量。
（5）通过数学实践活动，提高观察能力、分析能力和逻辑推理能力。
2、过程与方法（1）采用情境教学法和问题驱动法，引导学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
（2）运用合作学习法，让学生在小组讨论、交流中相互启发，提高团队协作能力。
（3）运用游戏化教学策略，设计有趣的数学游戏，激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
（4）通过课堂讲解、示范、练习、评价等环节，让学生掌握数学学习方法，形成良好的学习习惯。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们热爱数学，乐于探索数学问题。
（2）培养学生积极的学习态度，使他们充满自信地面对数学挑战，不怕困难，勇于克服。
（3）培养学生严谨、细致的学习作风，使他们养成认真检查、自觉订正的好习惯。
（4）培养学生合作、互助的精神，让他们学会倾听、尊重他人，形成良好的人际关系。
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把握数学本质，以不变应万变我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。
下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。
一、“牛吃草”问题
牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。
形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。
问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。
因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。
我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。
求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。
我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。
200份草=原有的
草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。
两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。
最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。
可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。
至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。
最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。
两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。
至此，整道题就解完了。
解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。
二、“牛吃草”问题的运用
在生活中，我们有时也会遇到“牛吃草”问题。
比如：火车站的检票口，在检票开始前就已有人在排队，以后每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？这类问题是“牛吃草”问题的变形，与“牛吃草”问题的本质特征是相同的。
我们不妨也先分析一下题意，找出其中的不变量：（1）检票刚开始的一刹那等候的人数是不变的，这相当于牧场上原来的草；（2）每分钟新来的人数是不变的，这相当于牧场上每天新长出的草；（3）每个检票口每分钟检票的人数是不变的，这相当于牧场上每头牛每天的吃草量。
在这题中，检票口相当于牛，人相当于草，我们先求出以上这些不变量，最后的问题就容易解决了。
我们不妨假设每个检票口每分钟检票的人数为1份，从而我们可以求出4个检票口30分钟的检票人数为：4×30=120（份）；5个检票口20分钟的检票人数为：5×20=100（份）。
120份人=原有的人+30分钟新来的人；100份人=原有的人+20分钟新来的人。
两者都包含原有的人，区别在于新来的人，为什么前者会比后者多出120-100=20（份）的人？我们不难发现，是因为前者比后者多了30-20=10（分钟），也就是说多出的20份的人就是10分钟新来的，从而可以求
出每分钟新来的人为：（120-100）÷（30-20）=2（份）。
最后利用“每分钟新来的人为2份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的人。
可利用4个检票口30分钟的检票人数为120份求出原有的人为：120-2×30=60（份）；或者也可用5个检票口20分钟的检票人数为100份求出原有的人为：100-2×20=60（份）。
至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。
最后要求同时打开7个检票口，需要几分钟，主要有两种想法：（1）7个检票口每分钟可检票7份人，同时每分钟会新增2份人，也就是说每分钟净减少7-2=5（份），原有的60份人，60÷5=12（分钟）就被检完；（2）由于每分钟新增2份人，我们可以让其中的2个检票口专门去检每分钟新来的人，剩下的7-2=5（个）检票口只能检原有的60份人，60÷5=12（分钟）检完。
在数学解题中，我们只有把握数学本质，以不变应万变，才能得心应手，处于不败之地。
编辑谢尾合。