2015-2016学年苏教版选修2-2 数学归纳法 课件(19张)

注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
作业：Ｐ１０８ Ａ组３
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
2.是否存在常数a、b、c使得等式 1×2 + 2×3 + + n(n +1)对一切 n∈ N 都成立，并证明你的结论。
* 2 2
思考题
1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. 2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域.
故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
例:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n<n2
当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2 当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立 若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
２．３数学归纳法(２)
回顾
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情 况则有待利用假设及已知的定义、公式、定 理等加以证明
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
注：先猜想，再证明
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平 行,任何三条不过同一点,证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难 点是处理好当n=k+1时利用假设结合几 何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
3a b 1
a 1
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时,
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
2.3数学归纳法(1)
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
一般 an=a1+(n-1)d
完全归纳法
特点: 由特殊 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
……
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
(n∈N*)

请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)

= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
2 2 2 2
n(n +1)(2n +1) 1 + 2 + 3 ++ n = 6
的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例:是否存在常数a、b,使得等式:
12 22 n2 an2 + n + +…+ = 1 3 3 5 (2n -1)(2n +1) bn + 2
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
解:令n=1,2,并整理得{10a 3b 2 ,{b 4 .
以下用数学归纳法证明:
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明：
1）当n = 1式，a1 = a1 +(1-1)d = a1 ,结论成立
2)假设n = k式结论成立，即a k = a1 +(k -1)d ∵ a k+1 = a k + d 那么 ∴ a k+1 = a1 +(k -1)d + d = a1 + kd = a1 +[(k +1)-1]d 所以n=k+1时结论也成立 综合1）、2）知a n = a1 +(n -1)d成立.
12 22 k2 k2 + k + +…+ = . 1 3 3 5 (2k -1)(2k +1) 4k + 2
12 22 k2 (k + 1)2 + +…+ + 1 3 3 5 (2k 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k2 + k (k + 1)2 k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3k + 2 (k + 1)2 +(k + 1) = = . 4k + 6 4(k + 1)+ 2
1）验证=1时， 2）假设n = k时，结论成立，即 1 1 k + 2 (k -1)+ 3 (k - 2)+ + k 1 = k (k 1)(k 2) 6 那么n = k +1时， 1 (k +1)+ 2 (k +1)-1]+ 3 [(k +1)- 2]+ +(k +1) 1 =[1 k + 2 (k -1)+ 3 (k - 2)+ + k 1]+ [(k +1)+ k +(k -1)+ +1] 1 （k 1)(k 2) = k (k 1)(k 2) 6 2
பைடு நூலகம்n-1
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2