4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)

6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不
平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相
分割成n2条线段(或射线) 证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割 成4条射线，命题成立。 (2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼 此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取 出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条
数学归纳法 (1)数学归纳法的概念：
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成
立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证 明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法叫做数 学归纳法． (2)数学归纳法适用范围：
数学归纳法的适用范围仅限于与 正整数有关 的数
学命题的证明．
(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步
1 2 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n ＋n＋2) 2 个区域．
[思路点拨]
用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k
条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
[证明]
(1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两个区域，
线段(或射线)
直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又 被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分 割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时， 命题成立．
由(1)，(2)知，命题成立．
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1 又 ×(12＋1＋2)＝2， 2 ∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把 1 2 平面分割成了 (k ＋k＋2)个区域．那么当 n＝k＋1 时，k＋1 2 1 2 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k ＋k＋2)个区域，第 k 2 ＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区
nn－3 5．求证：凸 n 边形对角线条数 f(n)＝ (n∈N＋， 2 n≥3)．
证明：(1)当 n＝3 时，即 f(3)＝0 时，三角形没有对角线， 命题成立． (2)假设 n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸 k 边形对角 kk－3 线条数 f(k)＝ .将凸 k 边形 A1A2…Ak 在其外面增加 2 一个新顶点 Ak＋1，得到凸 k＋1 边形 A1A2…AkAk＋1，Ak＋1 依次与 A2，A3，…，Ak－1 相连得到对角线 k－2 条，原凸
＝x2(x2k－1＋y2k－1)－y2k－1(x＋y)(x－y)，
根据归纳假设x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，另一项有因 式x＋y， 因此也能被x＋y整除， 所以，当n＝2k＋1时，命题仍然成立．
根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
[例 3]
平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任
1 1 1 解：(1)n0 为 2.此时左边为 1－ ，右边为 2× ＝ . 2 4 2 (2)假设 n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明 n＝2k＋ 2(即下一个偶数)时，命题也成立． (3)若假设 n＝k(k 为正偶数)时，等式成立，就需证明 n ＝k＋2(即 k 的下一个正偶数)时，命题也成立．
即n＝k＋1时命题成立．
则①②可知对所有正整数n命题成立．
4．用数学归纳法证明：
当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除． (2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝ 2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1
k 边形的边 A1Ak 变成了凸 k＋1 边形的一条对角线， 则凸 k ＋1 边形的对角线条数为： kk－3 k＋1k－2 f(k)＋k－2＋1＝ ＋k－1＝ 2 2 k＋1[k＋1－3] ＝ ＝f(k＋1)， 2 即当 n＝k＋1 时，结论正确． 根据(1)、(2)可知，命题对任何 n∈N＋，n≥3 都成立．
除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到
“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整
除．
证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成 立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)· 7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时，
1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋…＋ )＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 ＝( ＋…＋ ＋ )＋( － ) 2k 2k＋1 k＋2 k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋…＋ ＋ ＋ ＝右边， 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2]
求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． 本题是与正整数有关的命题，直接分解出
[思路点拨]
因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整
除．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·2k－y2·2k－x2y2k＋x2y2k x y
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出
2．用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ . 2 3 4 2n n＋1 n＋2 2n 2n－1
1 1 1 证明：①当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ＝ ＝右边， 2 2 1＋1 所以等式成立． ②假设 n＝k 时等式成立，即 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ . 2 3 4 2k 2k－1 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ － 2 3 4 2k－1 2k 2k＋1 2k＋2
[思路点拨] 注意到这是与正整数 n 有关的命题，可
考虑用数学归纳法证明．
[证明] 3 ＝ . 4
2＋1 1 3 (1)当 n＝2 时， 左边＝1－ ＝ ， 右边＝ 4 4 2×2
∴当 n＝2 时，等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即： 1 1 1 1 k＋1 (1－ )(1－ )(1－ )…(1－ 2)＝ 4 9 16 k 2k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，(1－ )(1－ )…(1－ 2)[1－ ] 4 9 k k＋12 k＋1 1 ＝ [1－ 2] 2k k＋1 k＋1 kk＋2 k＋2 k＋1＋1 ＝ · ＝ ＝ . 2k k＋12 2k＋1 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n≥2，n∈N＋等式成立．
域分成了两块，因此增加了 k＋1 个区域，所以 k＋1 条 1 2 1 直线把平面分成了 (k ＋k＋2)＋k＋1＝ [(k＋1)2＋(k＋ 2 2 1)＋2]个区域． ∴n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)、(2)知，对一切的 n∈N＋，此命题均成立．
用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从
n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地， 证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的 基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中 分出1个来，剩下的k个利用假设．
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一

是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n
＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记 住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数 n，均有 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ －n＝2( ＋ ＋… 2 3 4 n－1 n＋2 n＋4 1 ＋ )成立时， 2n (1)第一步检验的初始值 n0 是什么？ (2)第二步归纳假设 n＝2k 时(k∈N＋)等式成立， 需证明 n 为何值时，方具有递推性； (3)若第二步归纳假设 n＝k(k 为正偶数)时等式成立， 需证明 n 为何值时，等式成立．
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
骤： 第一个值n0 ①证明当n取 (如取n0＝1或2
等)时命题正确； n＝k＋1 ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明 当 不小于n0 时命题也正确．
由此可以断定，对于任意
整数n，命题都正确．
的正
[例 1]
证明：当 n≥2，n∈N＋时，
n＋1 1 1 1 1 (1－ )(1－ )(1－ )…(1－ 2)＝ . 4 9 16 n 2n