2016届宝山区高三一模数学卷(附答案)
2016年上海市宝山区高考一模数学试卷【解析版】
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A．1
B．2
C．4
D．16
16．（5 分）P 是△ABC 所在平面内一点，若 ＝λ + ，其中 λ∈R，则 P 点一
定在（ ）
A．△Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 内部
B．AC 边所在直线上
C．AB 边所在直线上
D．BC 边所在直线上
17．（5 分）若 a，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）
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＞y2＞0．过 A1，A2 分别作 y 轴的垂线，交抛物线于 B1，B2 两点，直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3（0，y3），此时就称 A1，A2 确定了 A3．依此类推，可由 A2， A3 确定 A4，…．记 An（0，yn），n＝1，2，3，…． 给出下列三个结论：
2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每
①数列{yn}是递减数列； ②对∀n∈N*，yn＞0；
③若 y1＝4，y2＝3，则
．
其中，所有正确结论的序号是
．
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用 2B 铅笔将正确结论 的代号涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零 分．
是首项为 4，公差为 2 的等差数列．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若 bn＝an+f（an），当
时，求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值；
（3）若 cn＝anlgan，问是否存在实数 k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由．
上海市宝山区行知中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2015—2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题(每小题4分）1．已知集合A={x|｜x﹣1｜＜2｝，B=｛x|x2＜4｝,则A∩B=．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1］）的最大值等于．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．5．一组数据8,9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数,其图象过点（a2，a),则f（x）= ．7．方程(θ为参数）所表示曲线的准线方程是．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．9．若变量x，y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k= ．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为cm2．11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中,=+m•,向量的终点M在△ABC的内部（不含边界）,则实数m的取值范围是．13．已知数列｛a n｝的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D,都有f(x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数",非零常数T为函数y=f( x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数"y=f（x）的“似周期"为﹣1,那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)=x是“似周期函数”；③函数f（x)=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x)=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．(写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每小题5分)15．若函数f(x）=ax+1在区间（﹣1，1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1 16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（)A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于( ）A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1)求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图,2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C:=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点,从原点O向圆R：（x ﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作两条切线，切点分别为P，Q．(1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限,求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在,并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1(x)．(1）若y=x2﹣1(x＞)，求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x)和M,设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证:｜f﹣1（x1）﹣f﹣1（x2）｜＜｜x1﹣x2｜;（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1(x)有交点，那么交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分,用记号｜|x｜｜表示，对于实数a,无穷数列｛a n}满足如下条件：a1=｜a，a n+1=其中n=1，2,3,…（1)若a=,求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N＊，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．(3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数,p、q互质)，问对于大于q的任意正整数n,是否都有a n=0成立,并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x｜｜x﹣1｜＜2},B=｛x｜x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x｜|x﹣1|＜2｝=｛x｜﹣2＜x ﹣1＜2｝={x|﹣1＜x＜3｝，B={x|x2＜4｝=｛x｜﹣2＜x＜2}，则A∩B=｛x｜﹣1＜x＜2｝，故答案为：（﹣1，2）．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1(x∈［﹣1，1］）的最大值等于 4 ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据f（x）=﹣(x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1］)，可得函数在[﹣1，1］上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x ﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈［﹣1，1]）∴函数在［﹣1，1]上是增函数，故当x=1时,函数取得最大值为4，故答案为：4．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解:∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴｜z｜==，故答案为：．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π,故答案为:π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是 2 ．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．【解答】解：∵数据8，9，x,11，12的平均数是10，∴=10∴x=10，∴这组数据的方差是(4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x(a＞0且a≠1）的反函数,其图象过点（a2，a），则f（x）= log2x ．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log a x,再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值,可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x,再根据它的图象过点（a2，a)，可得=2=a,即a=2，故f（x）=log 2x，故答案为:log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数)化为普通方程可得x2=y（0≤y≤2）,则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为(0，），∴曲线的准线方程,故答案为:．8．已知（1﹣2x)n关于x的展开式中,只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为:1．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k 的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分)由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A(﹣2,﹣2），∵点A也在直线y=k上,∴k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm）,则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形,其高是棱锥的高,由此作出其侧视图,求侧视图的面积．【解答】解:由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，∴S △VAB=×AB×h=××=．故答案为：11．已知a、b、c为集合A=｛1，2，3，4，5｝中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【分析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5,列举出从集合A中选三个不同的数的情况即可解决问题．【解答】解:由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A={1，2，3，4，5｝中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种,所以概率为．故答案为:．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界)，则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D,E),借助于点D，E即可得出．【解答】解:如图所示，设，过点D作DE∥AC 交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上(不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0,而M在△ABC 的内部（不含边界)，因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M 在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为:．13．已知数列｛a n｝的前n项和S n,对任意n∈N＊,S n=(﹣1）n a n++n﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数,最大值为，函数（n为正偶数）为增函数,最小值为．再由(a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得;当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣=1=．若n为偶数,则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数)为增函数，最小值为．若（a n+1﹣p)（a n﹣p）＜0恒成立,则a1＜p＜a2,即．故答案为：．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T,对于任意x∈D，都有f(x+T）=T•f （x）,则称函数y=f（x）是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f（x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期"为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数"；④如果函数f(x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ,k∈Z"．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f(x﹣1）=﹣f(x），从而可得f(x ﹣2)=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T•f (x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T)=T•f （x)得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T•f (x）得cos(ω（x+T)）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f(x)的“似周期"为﹣1,∴f（x﹣1）=﹣f（x)，∴f(x﹣2）=﹣f（x﹣1)=f（x）,故它是周期为2的周期函数，故正确;②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T)=T•f （x)，即x+T=Tx恒成立;故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误;③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f (x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T)=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT)=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z;故正确；故答案为：①④．二、选择题（每小题5分）15．若函数f(x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1)＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x）=ax+1在区间（﹣1,1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1)＜0，即（1﹣a)（1+a)＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时,直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立,∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α"的必要不充分条件，故选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2)的焦点坐标为（)A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据a2＞λ＞b2,将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0)∴该双曲线的焦点坐标为(±，0）故选：B18．函数f(x）=sinx在区间(0，10π)上可找到n个不同数x1，x2,…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】正弦函数的图象．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解:设==…==k，则条件等价为f(x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f(x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°,AC=BC=2，AA1=4,D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；(2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系,利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2)分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】(理）(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2,0,0）、B（0，2,0)、D(2,0,2)、A1（2,0,4)、C1（0,0，4)．∴=（﹣2,0，2），,．∵=0，．∴DC1⊥DC,DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．(2）解：设是平面ABD的法向量．则,又，,∴,取y=1，得=（1,1,0）．由(1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣,结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理)（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;（2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1)摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°,∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB 中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB(2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N(﹣cosθ,﹣sinθ）,由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1］，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解:（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2,即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π)，则N(﹣cosθ,﹣sinθ），由（Ⅰ）知S(3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+)，=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+)，∴•=(cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）(﹣sinθ﹣）=11||•｜｜=×=×==由θ∈［0，2π）知｜｜•||∈［11,13］…所以cos∠MSN=∈［，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C:=1，设R(x0,y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+(y﹣y0)2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限,求圆R的方程；(2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】(1）由直线OP，OQ互相垂直,且与圆R相切,可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程,求得点R的坐标，即可得到圆R的方程;(2）运用直线和圆相切的条件：d=r,结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即,①又R(x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限,解得，所以圆R的方程为:;（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k 1,k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以,即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数,其反函数是y=f ﹣1（x)．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M,x2∈M，x1≠x2，求证：｜f﹣1（x1）﹣f﹣1(x2）｜＜｜x1﹣x2｜;（3)求证：若y=f(x)和y=f﹣1（x)有交点，那么交点一定在y=x上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质．【分析】（1）由，解得x=，把x与y 互换，即可得出y=f﹣1（x）；（2）任意取x1∈M，x2∈M,x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明;（3）设(a，b)是y=f（x)和y=f﹣1（x）的交点,即，可得a=f（b），b=f（a)，对a与b的大小关系分类讨论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x 与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．(2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2,则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3)证明：设（a，b)是y=f（x）和y=f﹣1(x）的交点，即，∴a=f（b），b=f(a），当a=b，显然在y=x上;当a＞b,函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a)＞f（b),∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x)是单调递增函数,∴f（a）＜f(b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x)的交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号｜|x｜｜表示，对于实数a，无穷数列｛a n｝满足如下条件：a1=|a，a n+1=其中n=1，2，3，…(1）若a=,求数列{a n｝;（2）当a时，对任意的n∈N＊，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立,并证明你的结论．【考点】数列递推式．【分析】（1)由题设知=，a 2====，由此能求出．（2）由a1=｜｜a｜|=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．(3）成立．证明:由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数,可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0,所以对不大q的自然数n，都有a n=0．【解答】解：(1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号｜|x||表示，a 1=,a n+1=其中n=1,2，3，…∴=,a 2====,…a k=，则a k+1===，所以．…（2）∵a1=|｜a|｜=a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，==﹣1=a，所以a2+a﹣1=0,解得a=,（a=∉（，1），舍去）．…②当,即2≤＜3时，a2==，所以a2+2a﹣1=0，解得a==，(a=﹣∉(，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．…综上，{a=，a=，a=}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n,a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q;…②若p n≠0，设q n=ap n+β（0≤βP n,α，β是非负整数）则=a+,而由，得=,==,故P n+1=β，q n+1=P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n=0，则p n+1=0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m=0．从而数列{a m｝中a m以及它之后的项均为0,所以对不大q的自然数n，都有a n=0．…（其它解法可参考给分)2017年1月4日。
宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷
宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷（2016年12月）一、填空题（本大题共12题，满分54分，其中低1至第6题填对得4分，第7题至第12题填对得5分）1、23lim 1n n n →∞+=+ 。
2、设全集U R =，集合{}{}1,01,2,3,2A B x x =-=≥，则U A C B = 。
3、不等式102x x +<+ 的解集为 。
4、椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为 。
5、设复数z 满足23z z i +=-，（i 为虚数单位），则z = 。
6、若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为 。
7、若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为 。
8、已知向量()()1,2,0,3a b == ，则b 在a 方向上的投影为 。
9、已知一个地面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为 。
10、某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中，男、女生均有的概率为 。
11、设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a = 。
12、如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如：2，3，4，5，6为20型标准数列。
则2668型标准数列的个数为 。
二、选择题（共4题，满分20分）13、设a R ∈，则“1a =”是“()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、 充要条件D 、 既非充分也非必要条件14、某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人。
为了了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中高二学生人数为（ ）A 、80B 、96C 、 108D 、 11015、设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题： （1）若M 、N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()920P M N = ； （2）若()()11,23P M P N ==，()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若()()11,23P M P N ==， ()56P MN =，则M 、N 为相互独立事件。
上海市宝山区2016届高三一模试卷和答案
宝山区2015学年第一学期质量检测高三物理试卷2016．1 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。
考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号，并用2B铅笔正确涂写准考证号。
2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。
3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
一．单项选择题（共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
）1．下列属于物理学基本单位的是（）（A）牛顿N （B）摄氏度℃（C）安培A （D）特斯拉T2．下列现象中不属于机械波实例的是（）（A）歌唱家引吭高歌，人们听到动人歌声（B）手机在有信号的场合发送微信（C）晾在绳上的纱巾被风吹动，出现波纹（D）蜻蜓点水后形成涟漪3．做竖直上抛运动的物体，在任意相同时间间隔内，速度的变化量（）（A）大小相等、方向相同（B）大小相等、方向不同（C）大小不等、方向不同（D）大小不等、方向相同4．伽利略开创了实验研究和逻辑推理相结合探索自然规律的科学方法，利用这种方法伽利略发现的规律有（）（A）发现单摆具有等时性并得出了单摆的周期公式（B）自由落体运动是一种匀变速运动（C）惯性定律（D）重的物体比轻的物体下落得快5．老师做了一个物理小实验让学生观察：一轻质横杆两侧各固定一金属环，横杆可绕中心点自由转动，老师拿一条形磁铁插向其中一个小环，后又取出插向另一个小环，同学们看到的现象是（）（A）磁铁插向左环，横杆发生转动（B）磁铁插向右环，横杆发生转动（C）无论磁铁插向左环还是右环，横杆都不发生转动（D ）无论磁铁插向左环还是右环，横杆都发生转动6．下列说法正确的是（ ）（A ）两个分子之间的作用力随着距离的增大而减小 （B ）内能在宏观上只与其温度和体积有关（C ）分子a 从远处趋近固定不动的分子b ，当a 到达受b 的作用力为零处时，a 的动能最大 （D ）物质的状态在一定的条件下可以相互转变，在转变过程中不会发生能量交换7．一个质点在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态如图所则它们的大小关系是（ ） （A ）F 1＞F 2＞F 3 （B ）F 1＞F 3＞F 2 （C ）F 3＞F 1＞F 2 （D ）F 2＞F 1＞F 38．一建筑塔吊如图所示向右上方匀加速提升建筑物料，若忽略空气阻力，则下列有关物料的受力图正确的是（ ）二．单项选择题（共24分，每小题3分。
上海市宝山区学年第二次高考模拟高三数学试卷含答案
宝山区2016-2017学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各 个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）(]02， （B ）(]12， （C ）[]12， （D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．1宝山区2016-2017学年第二学期期中高三数学教学质量监测试参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(120)E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/ =13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3arcsin θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为3．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FHCD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HE tan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=EF 与1AA所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC ∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故EFC ∠=EF 与平面11AA B B所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y x y k x t ⎧=⎨=-⎩消去x ，得0442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因x a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/ 综上，()()2212n nn k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）．…………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/ （ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =-211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/（3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a c b +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a a c b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时， d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/ 由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！． 综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2016级高三一诊数学(文)答案
在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减������
易知 , 当bɤ０ 时 , 不合题意������ h( x) ＞０, ʑ b＞０ ������ １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝ － b x e h ᶄ( １ ＝１－ b e ������ x ① 当bȡ
������������������８ 分 ������������������１ ０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２ １． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－ － ＋ a＝ ������ ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０ 时 , x－e ＜０ ������
３ a b c． ３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝ ３,
π , ʑ a＝２ ３ c o s A ＝ ３． ３
３ a b c． ３
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������６ 分 ������������������８ 分 ������������������９ 分 ������������������１ ０分 ������������������１ ２分
１ x ( , 由题意, 当a＝ 不等式f( 时恒成立������ Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １ ＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立������ n x－ b( x－１ e ɤ０ 在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ������
－ － ^ ^＝ a b x＝２ １ ������ ５－０ ������ ２ˑ６ ３＝８ ������ ９ ������ y－ ^＝０ 故所求线性回归方程为 y ������ ２ x＋８ ������ ９ ������
上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考
长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（文科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的偶函数)(x f y =，当0≥x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的 解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则y x z +=2的最小值为____________．10．已知在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x k x （k 为常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则=k _____________． 11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于21的概率是______________．12．已知数列}{n a 满足n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则22122312n a a a n +++=+L __________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________． 14．对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0s i n =α”是“1cos =α”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α； （C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则||c r的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知直线l ：b x y +=2与函数xy 1=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则函数)(b f S =是（ ）．（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递增 （B ）偶函数且在),0(∞+上单调递增 （A ）奇函数且在),0(∞+上单调递减 （D ）偶函数且在),0(∞+上单调递减三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：AC ⊥平面11B BCC ；（2）求异面直线D B 1与AC 所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12cos 2sin 3)(-+=x x x f （R ∈x ）． （1）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 的集合；若不是，也请说明理由；ABC A 1B 1C 1 D（2）若函数xx a x g ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在),0[∞+上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,1(F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线a x ±=，b y ±=所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若n m +=，求证：22n m +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足△BFM 与△BFN 的面积的比值为2，求直线l 的方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 、}{n b 满足：411=a ，1=+n n b a ，211nn n a b b -=+． （1）求1b ，2b ，3b ，4b ； （2）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求}{n b 的通项公式；（3）设13221++++=n n n a a a a a a S ，若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．23 5．32π 6．3 7．]2,2[- 8．x y 42= 9．6- 10．2 11．73 12．n n 622+13．}30,27,24{ 14．4-二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题 19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分） 因为⊥1CC 平面ABC ，所以AC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥AC 平面11B BCC ． ……………………………………………………（5分） （2）取1CC 点E ，连结DE 、E B 1，则DE ∥AC所以，DE B 1∠就是异面直线D B 1与AC 所成角（或其补角）． …………………（2分） 解法一：由已知，1CC DE ⊥，AC DE ⊥，所以⊥DE 平面11B BCC ，所以△DE B 1是直角三角形，且︒=∠901ED B ， …………………………………………（4分）因为2=DE ，51=E B ，所以，25tan 11==∠BE E B DE B ， ……………………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为25arctan ． …………………………（7分）解法二：在△DE B 1中，31=D B ，51=E B ，2=DE ，由余弦定理得，322325492cos 1212211=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠DE D B E B DE D B DE B ．……………（6分） 所以，异面直线D B 1与BC 所成角的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， …………………………………………（3分）所以，)(x f 的最小小正周期π=T ， …………………………………………（4分）)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z ∈k ． ……………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ， 所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ． …………………………（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分） （2）由题意，3)(3≤≤-x g 对),0[∞+∈x 恒成立，即3412113≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≤-xx a ， ……………………………………………（1分）令xt ⎪⎭⎫⎝⎛=21，则]1,0(∈t ，原不等式变为242≤+≤-t at ，故t t a t t 2224-≤≤--， 故minmax 24⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t a t t ， ……………………（3分） 因为t t y --=4在]1,0(∈上是增函数，故54max -=⎪⎭⎫⎝⎛--t t ， …………………（5分）又t t y -=2在]1,0(∈t 上是减函数，故12min=⎪⎭⎫⎝⎛-t t ． ………………………（7分）综上，实数a 的取值范围是]1,5[-． ………………………（8分）22．（1）由已知，1=c ， …………………………………………………（1分） 又2||22=+=c b BF ，故2=a ， ………………………………………………（2分）所以，3222=-=c a b ，所以，椭圆Γ的标准方程为13422=+y x ． ……………（4分） （2）)3,2(C ，)3,2(-D ， ………………………………………………（1分）设),(00y x P ，则134220=+y x ，由已知n m +=，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,)(3,)(200n m y n m x ……………………（4分）所以，13)(34)(422=++-n m n m ，即2122=+n m 为定值． ……………（6分） （3）2=∆∆BFNBFMS S 等价于2||||=FN FM ， ……………………………………………（1分） 当直线l 的斜斜率不存在时，1||||=FN FM ，不合题意． ……………………………（2分）故直线l 的斜率存在，设l ：)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,)1(22y x x k y 消去x ，得096)43(222=-++k ky y k ， ……………………（3分）设),(11y x M ，),(22y x N ，则221436k k y y +-=+，2221439k k y y +-=，由2||||=FN FM ，得221-=y y ，则22436k k y +=，)43(292222k k y +=， 从而8432=+k ，25±=k ． …………………………………………（5分） 所以，直线l 的方程为)1(25-±=x y ． …………………………………………（6分）23．（1）由已知，nn n n n n n n b b b b a a b b -=-=+-=+21)2()1)(1(1， 因为411=a ，所以，431=b ，542=b ，653=b ，764=b ． …………（4分）（每个1分） （2）n n b b -=+211，nnn n b b b b --=--=-+2112111， ……………………（2分） 所以，11112111--=--=-+n n n n b b b b ， 所以，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是以4-为首项，1-为公差的等差数列． ……………………（4分）所以，311--=-n b n ，32++=n n b n （*N ∈n ）． ………………………………（6分） （3）因为32++=n n b n ，从而311+=-=n b a n n ， ………………………………（1分） 所以，13221++++=n n n a a a a a a S )4)(3(1651541++++⨯+⨯=n n)4(44141+=+-=n nn ， …………………………………（2分） 解法一：所以，不等式n n b aS <4化为324++<+n n n an ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分） 解法二：)4)(3(8)2(3)1(32442++--+-=++-+=-n n n a n a n n n an b S a n n n ， 若不等式n n b aS <4对任意*N ∈n 恒成立，则当且仅当08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立． ………………………………（4分）设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分） 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。
2016宝山一模数学试卷解析各区一模在此集结
2016宝山一模数学试卷解析各区一模在此集结
点评：试卷不难，题目多一题（宝山区特色啊）
17题：七八年级的等边旋转题，旋转出4/5/6三边的三角形再求角度的三角比，挺好的
18题：应该是今年最简单的18题了（也有可能是之一）
25题：一二问比较有两点，上海常出抛物线平移，但是对称翻折倒是很少，三小问回归相似存在和等腰存在，老生常谈，四小问更是不知道在考什么，感觉有点傻傻的。
26题：第一问说明角ACB为直角时，上海教材并无圆周角和直径所对圆周角为90度的知识点，所以应该还要证明一下；二小问勾股定理秒杀掉吧，不难不难；三小问的对称落在弧上说明的时候有点困难，倒是不难求；四小问动图形扫过的面积很少见，不过把握住点的轨迹基本上是没有问题的，况且是直接写出，你们懂得！！
试卷得分预测：题量有点多，140算是不错的了
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2016年高三一模化学宝山区试卷及答案(精校版)
宝山区2015-2016学年第一学期高三教学质量检测满分150分。
考试时间120分钟。
2015.12相对原子质量：H—1 O—16 C—12 Na—23 Fe—56 N—14 Cu—64 S—32一、选择题（本题共10分，每小题2分，每题只有一个正确选项）1.物质的性质决定其用途，下列应用中利用了物质氧化性的是A．氧化铝做耐火材料B．纯碱去油污C．食醋除水垢D．漂白粉漂白织物2．下列关于有机化合物的说法正确的是是A．铍原子：B．碳原子：C．氯原子：D．铝原子：4.下列有关物质性质的应用正确的是A．铜的金属活泼性比铁的弱，可在海轮外壳上装若干铜块以减缓其腐蚀B．液氨汽化时要吸收大量的热，可用作制冷剂C．生石灰能与水反应，可用来干燥氯气D．二氧化硅不与强酸反应，可用石英作为反应容器制取氢氟酸5.下列有机物的命名错误的是二、选择题（本题共36分，每小题3分，每题只有一个正确选项）6.下列关于氮的固定的说法错误的是A．氮的固定包括人工固氮和自然固氮B．工业合成氨属于人工固氮C．自然固氮中氮元素被氧化D．氮的的固定中参与元素至少有两种7.下列指定微粒的数目一定相等的是高化合价为最低化合价绝对值的3倍，c与d同周期，d的原子半径小于c。
下列叙述错误的是A．d元素的非金属性最强B．它们均存在两种或两种以上的氧化物C．只有a与其他元素生成的化合物都是离子化合物D．b、c、d分别与氢气形成的化合物中化学键均为极性共价键9.下列实验操作正确的是A. 工业炼铝：电解熔融的氯化铝B. 制取漂粉精：将氯气通入澄清石灰水C.工业制纯碱：在饱和氯化钠溶液中通入二氧化碳气体，煅烧反应所得沉淀D. 工业制硫酸：用硫磺为原料，经燃烧、催化氧化、最后用98.3%浓硫酸吸收12.常温下，下列各组离子一定能在指定溶液中大量共存的是=1×10﹣13mol•L﹣1的溶液中：NH4+、Ca2+、Cl﹣、NO3﹣下列说法正确的是32332A．H2S+ 2Fe3+→ S↓+2Fe2++2H+ B．H2S+ Fe2+→ 2H++ FeS↓C．H2S+ Cu2+→ CuS↓ +2H+ D．2H++2NO3—+ 3H2S→2NO↑+ 3S↓+ 4H2O16. 7.8克过氧化钠固体在常温低压下，与一定量的水蒸气反应，最终得到固体16.8克，此固体物质中一定含有A．NaOH·H2O B．NaOH C．Na2O2·2H2O D．Na2O2·8H2O17.一定量的CO2与足量的碳在体积可变的恒压密闭容器中反应：C(s)+CO2(g)⇌2CO(g)，平衡时，体系中气体体积分数与温度的关系如图所示：已知气体分压（P分）=气体总压（P总）×体积分数，下列说法不正确的是三、选择题（本题共20分，每小题4分，每小题有一个或两个正确选项。
上海市宝山区高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（ ）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b 的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b ，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。
上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考数学(理)试卷 含解析
长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科) 2016。
04。
（满分150分，考试时间120分钟)考生注意：1．本试卷共4页,23道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分． 1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ,},034{2R ∈≥+-=x x x x B ,则A B =_________．2．已知i 为虚数单位,复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x ax f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算:=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内,直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周,所得几何体的体积为___________．6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________．7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时,42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________． 10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m项的系数为mb ,若432b b=,则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积,则其数学期望=ξE _________． 12．已知各项均为正数的数列}{na满足23n a n n +=+（*N ∈n ），则12231na a a n +++=+___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分,答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ,函数x a x x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ,设M 是函数)(x f 图像上任意一点,过M 作垂直于x 轴的直线l ,且l 与线段AB 交于点N ,若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题(本大题共有4题,满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ )．(A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ;(B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C)直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π;（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α,则1l ∥2l .17．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值是（ )．(A ）1 （B ）2 (C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ,3x ,4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===,其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（ )．（A))96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15(三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分,第2小题满分7分．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1)求证：⊥BC 平面11A ACC ；(2）求二面角11C CD B --的大小(结果用反三角 函数值表示)．20．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f (0>ω，R ∈x ）,且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式； (2）在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ,且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．ABC A 1 B 1C 1 D定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．(1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数x xa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点,直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点,与y 轴交于P 点． （1)若AB PA =，求k 的值; （2)求证：BFO AFP ∠=∠;(3)求△ABF 面积的最大值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足:对任意*N ∈n ,都有n a ，n b ,1+n a 成等差数列，nb ，1+n a ,1+n b 成等比数列，且101=a，152=a ．(1)求证：数列{}nb 是等差数列；(2)求数列}{na ，}{nb 的通项公式；（3）设12111nnSa a a =+++，如果对任意*N ∈n ，不等式nn na b aS-<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．23 5．32π6．37．]2,0[]2,( --∞ 8．x y42=9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n622+13．{48，51，54，57，60｝ 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1)因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥,（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ,所以BC CC ⊥1，………………………………………（4分）所以,⊥BC 平面11A ACC ．……………………………………………………（5分）(2）以C 为原点，直线CA ，CB ,1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ,)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)2,0,0(1C ,)2,2,0(1B ,)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ,设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =,则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ,2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分)设CB 与n的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角， 所以,二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．(1)16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ，………………（3分)又π=T ,所以，2=ω, ………………………………………………（5分） 所以,162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ．…………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ,所以,6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B (Z ∈k )， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分)又4=+c a ，所以,1022=+c a ,所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以,7=a ． …………………………………（8分）21．(1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………(2分) 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分)(2)因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ,所以,34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ), ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144(]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）,………………………（5分） 令t tt h --=24)(,则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数,所以2141)(max -=⎪⎭⎫⎝⎛=g t h ；(6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫⎝⎛=h t p ．…（7分） 所以，实数a的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………(8分）22。
【K12教育学习资料】高考数学一模试卷(含解析)
2016年上海市宝山区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．已知：（i是虚数单位），则z= ．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．数列所有项的和为．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= ．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．12．数列，则是该数列的第项．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．1616．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．设a、b、c分别是△AB C三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．2016年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23 ．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．已知：（i是虚数单位），则z= ﹣3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题．4．数列所有项的和为 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：S n==2[1﹣（）n]，∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= 8 ．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法则求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法则的合理运用．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于基础题．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= 1 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解： ==．∵f（x）的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=．∵函数f（x+t）为偶函数，∴，则t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是48 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；若奥迪车上有两个小孩，则有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，对两边平方，解出||．【解答】解： =||×=||．∵，∴（）2=．∴﹣2+=．∴1﹣||+||2=．解得||=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．12．数列，则是该数列的第128 项．【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项．【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；其中是分子、分母之和为17的第8项；．故共有项．故答案为128．【点评】本题考查了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】直线方程即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的范围．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先确定直线B n﹣1B n﹣2的方程，求得，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n﹣1（），B n﹣2（），则直线B n﹣1B n﹣2的方程为令x=0，则，∴∴∴∵y1＞y2＞0，∴y n＞0，故②正确；，∴y n＜y n﹣1，故①正确；若y1=4，y2=3，则，y4=，，故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法．16．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，则，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选B．【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b 垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则a∥b．【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a 只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可以作一个平面α与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距，故C正确；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则直线与平面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式；将乙方式所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式求出，将两个式子进行比较，可得出较为省钱的入网方式．【解答】解：每月接打本地电话的时间是接打长途电话的5倍，王先生每月拨打长途电话时间为x（分钟），他所需话费y（元），联通130他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x（x＞0）；移动“神州行”他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算，可得：12+0.36×5x+3.6x＜0.6×5x+4.2x，解得：x＞（分钟）=400秒．故选：B．【点评】本题主要是应用数学模型来解决实际问题，考查一次函数的应用．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD 为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，∴，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，，DA=5，∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，∴tan∠AQD=2，∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．20．设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】（1）由，化简得 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：（1）由，得．…即，亦即 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），…所以．…（2）因，…而，所以，tan（A+B）有最小值，…当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．…【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】数列的应用．【专题】应用题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）…当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），则+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．（2）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．与椭圆方程联立得．△＞0，再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出．（3）利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S△AOB，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】（1）证明：设M（x，y），则+y2=1，于是===，∵﹣1≤y≤1，∴当时，．即．（2）解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．由消去y，得．∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即①将AB中点，代入直线方程解得②由①②得或．（3）解：令，即，则，且O到直线AB的距离为，设△AOB的面积为S（t），∴，当且仅当时，等号成立．故△AOB面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得a n=k2n+2，再由等比数列的定义即可得证；（2）求得a n，f（a n），再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；（3）由题意可得（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．讨论k＞1，0＜k＜1，运用数列的单调性即可得到所求k的范围．【解答】解：（1）证明：由题意可得f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log k a n=2n+2，∴，∴．∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{a n}是以k4为首项，k2为公比的等比数列；（2）当时，，f（a n）=2n+2，所以，因为n≥1，所以，是递增数列，因而最小值为S1=1+3+﹣=．（3）由（1）知，，要使c n＜c n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k2对一切n∈N*恒成立；当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k2对一切n∈N*恒成立，只需，∵单调递增，∴当n=1时，．∴，且0＜k＜1，∴．综上所述，存在实数满足条件．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2016届上海宝山区初三数学一模试卷加答案(完美word版)
2015学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1． 本试卷含四个大题，共26题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．如图，在直角△ABC 中，90=∠C °，BC =1，tan A=21, 下列判断正确的是………………………………（ ） A ．∠A=30°； B ．AC =21； C ．AB =2； D ．AC =2 2．抛物线542+-=x y 的开口方向………………（ ） A ．向上； B ．向下； C ．向左； D ．向右3．如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，AE ：BE =1：2，BC =6，那么DE 的模为…………………………………（ ） A ．2-； B ．3-； C ．2； D ．3．4．已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为)4,3(-，则点M 与⊙O 的位置关系为……………………………………（ ）A ． M 在⊙O 上；B ． M 在⊙O 内；C ．M 在⊙O 外；D ．M 在⊙O 右上方 5．如图，在RT △ABC 中，∠C =90°，∠A =26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于点D 、点E ，则的度数为……（ ）A ．26°；B ．64°；C ． 52°；D ．128°． 6．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论 中正确的是……………………………………（ ） A ．ac ＞0； B ．当x ＞-1时，y ＜0； C ． b=2a ； D ．9a+3b+c=0．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知23=b a ，那么bba -=▲ ． 第3题B第5题第6题8. 两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ▲ ．9．如图D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当 ▲ 时（填一个条件），△DEA 与 △ABC 相似．10. 如图△ABC 中∠C=90°，若CD ⊥AB 于D ，且BD=4，AD=9，则CD= ▲ ． 11. 计算：=-+5)43(2 ▲ ．12.53，则对角线的长为 ▲ ．13. 抛物线4)3(22+--=x y 的顶点坐标是 ▲ ．14．若A(1，2)、B(3，2)、 C(0，5)、D(m ，5)抛物线c bx ax y ++=2图像上的四点，则m = ▲ ． 15．已知A （4，y 1）、B （-4，y 2）是抛物线2)3(2-+=x y 的图像上两点，则y 1__▲__y 2． 16．已知⊙O 中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ▲ ．17．如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转， 使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则∠CDE 的正弦值为 ▲ ．18．如图抛物线322--=x x y 交x 轴于A(-1，0)、B （3，0），交y 轴于C （0，-3），M 是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 ▲（面积单位）．三、（本大题共8题，第19--22题每题8分；第23、24题每题10分．第25题12分；第26题每题14分；满分78分）19． 计算：ooo o o 30cot 30cos 45sin 230tan 345tan 2-- 20.已知某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像顶点为A(1，0)且与y 轴交于点B(0，1)． （1）求该二次函数的解析式；（2）设C 为该二次函数图像上横坐标为2的点，记=OA a ，b =试用、表示． 21.如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC 的坡度为1:2，AC 的长度为55米，AB 为底楼地面，CD 为二楼楼面，EF 为二楼楼顶，当然有EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，过C 的直线EG ⊥AB 于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE ．（参考数据42sin °=32，cos 42°=35，tan 42°=552）D22.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，若AC =2，AE =3，CE =．求弧BD 的长度．(保留π)3的一对相似三角23．如图，D 为△ABC 边AB 上一点， 且CD 分△ABC 为两个相似比为1：形．（不妨如图假设左小右大）求：（1）△BCD 与△ACD 的面积比； （2）△ABC 的各内角度数．24．本题共10分，其中（1）、（2）小题各5分如图，△ABC 中，AB=AC=6，F 为BC 的中点，D 为CA 延长线上一点，∠DFE=∠B ；（1） 求证：EFBFDF CD =； （2） 若EF ∥CD ， 求DE 的长度．25．本题共12分，其中（1）、（4）小题各2分，（2）、（3）小题各4分（1）已知二次函数)3)(1(--=x x y 的图像如图， 请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的左右平移，新图像通过坐标原点？（2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线c bx ax y +-=2（0≠a ）和抛物 线c bx ax y ++=2（0≠a ）关于y 轴对称， 基于协作共享，秦同学将其发现口诀化 “a 、 c 不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补笔 记的胡庄韵同学听成了 “a 、c 相反，b 不 变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线)3)(1(--=x x y 的对 称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况。
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宝山区2015学年度第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.方程0624=--xx 的解集为 .2.已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是 ．4.数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为 ．5. 已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = ． 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．9. 已知,0,>t ω函数xxx f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 ．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 ．11. 向量a r ，b r 满足a 1=r，a 2b -=r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则b =r .12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论：① 数列{}n y 是递减数列； ② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15.如图，该程序运行后输出的结果为…… （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上 17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为------------------------------------------ （ ）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。
18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……（ ）（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内． 19．（本题满分12分）在三棱锥P ABC -中，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB ，AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。
20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2cos ),cos(1B A B A m ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅.（1）求B A tan tan ⋅的值； （2）求222sin cb a Cab -+的最大值.21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变． C（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称． （1）若已知)21,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：210≤MC ； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2) 若()n n n b a f a =+，当k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学参考答案一．填空题1. {}3log 22. -3-4i 3．()()252122=-+-y x 4． 25. 86. π627． 18. 9. 65π10.48 11.1212. 128 13. ),3[+∞- 14. ① ② ③ 二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B三．解答题 19．解：11562032V PA =⨯⨯⨯=，所以4PA =，-------------------3分 取PC 的中点为D ，连结AD ，DQ ，则AQD ∠为异面直线PB ，AQ 所成的角，--------------------------------5分53,2PD QD ==，5DA =，------------------------------------7分因为QD PAC ⊥平面，所以QD AD ⊥----------------------9分 所以2tan =∠AQD异面直线PB ，AQ 所成的角为2arctan 。
-----------------------12分20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）由(1cos(),cos)2A B m A B -=-+u r ,5(,cos )82A B n -=r，且98m n ⋅=u r r ，C即259[1cos()]cos828A B A B --++=.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,--------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.----------------6分 （2）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-----------------8分 而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-------------------------------------------10分 由1tan tan 9A B =知：0tan ,tan >B A ------------------------------------------11分93tan()84A B +≥⨯=,当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号，-------------------------------------------------------------12分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-，所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.---------------------------------14分 21. 解：（1）--------------------------------------------------------------1分当120n ≤≤且n N *∈时，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈时，0n a =．∴21,120220,21n n n n Na n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且----------------------------------------------------------4分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且-------------------------------------------------------------7分（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=．---------------8分 当205≤≤n 时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++L L432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-------------------------------------------------------------11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，解得n=3416.3021≈≤ --------------------------------------------------------------13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）设),,(y x M 则2212x y +=, 于是 22)21(-+=y x MC =22)21(22-+-y y492+--=y y --------------------------------------------------------2分 25)21(2++-=y因11≤≤-y ,所以，当21-=y 时，210max =MC .即210≤MC ----------------------------4分 （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. ------------------------------5分 由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m bx x b m m +-+-=. --------------------------------------------------------7分 因为直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以,224220b m ∆=-++>， 即2221b m<+①----------------------------8分将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++ --------------------------------------------------------9分 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得3m <-或3m > --------------------------------------------------------10分（3）令1((0,t m =∈ ，即23(0,)2t =，则 21232212242+++-⋅+=t t t t AB --------------------------------------------11分且O 到直线AB的距离为21t d +=-----------------------------------------------12分 设AOB ∆的面积为()S t ，所以222)21(22121)(22≤+--=⋅=t d AB t S --------------------------14分 当且仅当212t =时，等号成立. 故AOB ∆面积的最大值为2. ---------------------------------------------------16分 23．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：(1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+， ∴22n n a k+= ---------------------------------2分∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. -----------------------4分(2)当k =时，112n n a += , ()2n+2n f a =，----------------------6分所以2111122411423122212n n n n S n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=++---------------------8分因为1n ≥,所以，2111322n n n +++-是递增数列， 因而最小值为1111513244S =++-=。