2019宝山高三一模数学

上海市宝山区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为

2. 集合U =R ，集合{|30}A x x =->，{|10}B x x =+>，则U B A =I ð

3. 若复数z 满足(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则z =

4. 方程ln(931)0x x +-=的根为

5. 从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一 名代表，则各班的代表数有 种不同的选法（用数字作答）

6. 关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则x y +=

7. 如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =

8. 函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =

9. 已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22

x y ππ∈-，则x y += 10.

将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是

11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C

的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c .显然缺少条件，若他打算 补充a 的大小，并使得c 只有一解，，那么a 的可能取值是

（只需填写一个合适的答案）

12. 如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意n ∈*

N ，都有

n n b a kd -= ，其中k 为常数，k ∈*N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中， 首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若

11221111lim()3

n n n a b a b a b →∞++⋅⋅⋅+=，则k =

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中

0a 、1a 、2a 、3a 为实常数，则0123a a a a +++=（ ）

A. 2

B. 1-

C. 4

D. 1

14. “[,]22

x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分又非必要

15. 关于函数23()2

f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形

C. 函数有最大值

D. 当0x >时，()y f x =是减函数

16. 设点M 、N 均在双曲线22

:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则 12|2|MF MF MN +-u u u u r u u u u r u u u u r 的最小值为（ ）

A. B. 4

C. D. 以上都不对

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =， 设E 为侧棱PC 的中点.

（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；

（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.

18.

已知函数sin 21

()cos 2201

x f x x -=，将()f x 的图像向左移α（0α>）个单位得函数

()y g x =的图像.

（1）若4π

α=，求()y g x =的单调递增区间；

（2）若(0,)2πα∈，()y g x =的一条对称轴为12x π

=，则()y g x =，[0,]2

x π

∈的值域.

19. 某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为 工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y （单位：度）与时 间t （单位：小时，[0,20]t ∈）近似地满足函数关系|13|2

b y t t =-+

+，其中，b 为大棚内 一天中保温时段的通风量.

（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度 （精确到0.1C ︒）；

（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒，求大棚一天中保温时段通风 量的最小值.

20. 已知椭圆2

2:14

x y Γ+=的左、右焦点为1F 、2F . （1）求以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

（2）若椭圆Γ上点M 满足123F MF π

∠=，求M 的纵坐标M y ；

（3）设(0,1)N ，若椭圆Γ上存在两不同点P 、Q 满足90PNQ ∠=︒，证明直线PQ 过定点，并求该定点的坐标.

21. 如果数列{}n a 对任意n ∈*N ，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”，若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，n ∈*N ，1a a =（a ∈R ）.

（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；

（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围；

（3）类似地：非零数列{}n b 对任意n ∈*N ，都有2n n

b q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”，已知数列{}n

c 中，满足1c k =（0k ≠，k ∈Z ），

1112018()2

n n n c c -+=⋅，n ∈*N ，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整 数k 使得对于任意n ∈*N ，都有1n n c c +>，若不是，说明理由.