数学归纳法完整课件
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数学归纳法完整版课件
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，
数学归纳法课件
更深入的学习和研究
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
数学归纳法完整PPT课件
n=k+1时应增加的式子； 3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
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12
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13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
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7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
数学归纳法 课件
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出 “n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子 写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核 心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N*) [证明] (1)当 n＝2 时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＞56.
则当 n＝k＋1 时，k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k1＋1＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
…
＋
1 3k
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
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例2：已知数列{an }，其通项公式为 an = 2n - 1 ，试猜想该 数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
解：（1）
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）= 则当n=k+1时，1+3+5…+（2k-1)+[2(k+1)-1] = k 2 + [2(k+1)-1] = (k + 1)2
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1,
a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形 的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(一，课本第95页练习1，2。 二，试着归纳本节课所学内容。
小结
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
☺
新课
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。 ❋用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。 提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的 正确性呢？
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完 全归纳法，问题4是用的完全归纳法。
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
实验演示，探索解题途径
在多米诺骨牌游戏中，要让这些骨牌全部倒下，必 须具备 哪些条件呢？ （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
思考：
第一块不推倒行吗？从中间拿走几块行吗？
演示小节：可以看出条件（2）事实上给出了一个递推关系； 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也会倒下。这样， 只要第一块倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的 合理性 (可以上网查阅)
二，数学归纳法原理：
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？
常采用下面的方法来证明他们的正确性 步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出命题成立。 这种证明方法叫做数学归纳法
数学归纳法用框图标表示就是
验证n=n0时 命题成立
若n=k（k≥n0）时命题成立， 证明n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始所 有的正整数n都成立
应用
例1、例1如果{ an }是一个等差数列，那么对于 an = a1 + (n - 1)d 一切n∈N*都成立。用数学归纳法证明。
证明: (1)当n=1时,左边=a1 ,右边= a1+（1-1）d= a1 , 结 论成立。 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak + 1 = ak +(k-1)d ak + 1 = ak + d 则 当n=k+1时， = a1 +(k-1)d+d = a1 +[(k+1)-1]d凑结论 ∴当n=k+1时，结论也成立。 * 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N 都成立。
sn = n ， 问题转化为证明： 2 1+3+5+…+（2n+1）= n
（2）猜想
s1 = a1 = 1 s2 = s1 + a2 = 4 s3 = s2 + a3 = 4 + 5 = 9 , s4 = s3 + a4 = 9 + 7 = 16
2
k2
\ 当n=k+1时，等式也成立。
* 由（1）和（2）知，等式对任何 n Î N 都成立。