§21.4 无理方程(2)
21.4无理方程
去根号
解有理方程
检验
否是写出原方程的根 Nhomakorabea舍去
结束
解下列方程：
(1) x2x
(2)x1 x3
(3)5x 25x230
课堂小结
• 什么是无理方程？ • 解无理方程的一般步骤有哪些？ • 解无理方程必须检验，检验的方法是什么？ • 解无理方程的策略是什么？体现了什么数
学思想？
作业布置
21.4（1）无理方程
上海市凌桥中学 陆夏瑛
用一根30cm长的细铁丝弯成一个直角 三角形，使它的一条直角边长为5cm，那 么另一条直角边长为多少厘米？
5
？
x
5x 25x2 30
定义：方程中含有根式，且被开方数 是含有未知数的代数式，这样 的方程叫做无理方程。
有理方程和无理方程统称为初 等代数方程，简称代数方程。
• 练习册21.4（1）
判断下列方程是否为无理方程？
(1) x 2 2 x 0 (2) x 3 4
x (3) x 2 1 7 0 (4) 2 x2 5 x 1 0 (5) 1 3
x
怎样解方程 x 3x4 ？
无理方程 转化
平方
有理方程
为什么会产生增根呢？
归纳
解简单无理方程的一般步骤：
无理方程的解法
第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，=4，x2=-7．所以x1=-7为增根，所以原方程的根为x=4．经检验知，x2说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程。
21.4(1)无理方程
21．4 (1)无理方程课型：新授课 教时/累计教时：1 /2 主讲人：褚玉叶 教学目标（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.教学重点及难点只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解.教学媒体：粉笔、多媒体学情分析：学生已基本掌握有理方程的解法课前学生准备：课前预习教材了解本课时的教学内容。
教学过程设计一、 问题引入1．思考直角坐标系中,点A(3,1)与点B(x ,5)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？2．观察思考题中的方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？二、 新课学习1、 归纳概念① 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.② 整式方程和分式方程统称为有理方程.③ 有理方程和无理方程统称为代数方程.巩固练习1已知下列关于x 的方程： .3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（其中无理方程是____________________(填序号).2、 思考与尝试 怎样解方程43+=x x ？3、 归纳方法无理方程 有理方程4、 提问解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗?5、 讨论方程43+=x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？6、 结论①无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围（如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验； ②将有理方程的根分别代入原方程的左边和右边，看左边和右边是否相等，是主要的检验方法.三、 巩固练习课本练习21.4(1) 2、3、4四、 课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、 作业布置完成练习册21.4(1)作业六、 教学反思或后记去根号两边同时乘方。
21.4无理方程(分层作业)(5种题型基础练+提升练)解析版
21.4无理方程（5种题型基础练+提升练）题型一：无理方程的概念2.下列方程是无理方程的是（）．A ．20x -=B 9x=C 2=-D 45x +=【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知D 是无理方程，故选D ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．题型二：不解方程，判断方程是否有实数根2.下列哪个方程有实数解（）A 0+=B 30=C 2=D x=-【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A 选项，1x ³³；对B330+³¹，可知方程无实数解；对C 选项，1040x x -³ìí--³î， x 无解，即方程无实数解；故选D ．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．题型三：解无理方程题型四：无理方程的根的讨论一、填空题二、解答题检验：当m ＝2时，左边＝右边；当m ＝3时，左边≠右边．∴m ＝2．【点评】本题考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解题的关键，解无理方程最后要检验．题型五：无理方程的应用1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．【答案】24cm 和25cm ．【解析】设另外一条直角边长为xcm ，依题意可得756x ++=，解得：24x =，经检验，24x =是原方程的根且符合25cm =，即另两边长分别为24cm 和25cm ．【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．【答案】224m ．【解析】设原场地的边长为xm ，100.1cm m =，则扩大后场边长为()0.1x m +，依题意得()225400.126000.6x x +=´+，整理得22754520x x --=，解得：115x =，2255x =-（舍），由此得原场地面积为2221600600245x m æö=´=ç÷èø．【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．3.如果y 轴上一点P 到两点A （3，5）、B （-1，-2）的距离相等，求P 点的坐标．【答案】29014P æöç÷èø，．【解析】设点()0P x ，=， 平方得22103445x x x x -+=++，解得：2914x =，经检验，2914x =是原方程的根，即29014P æöç÷èø，．【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．一、单选题1．（2022春·上海·八年级校考期中）下列方程中，有实数解的是（ ）A 10=B ．22111x x x =--C 1=D 2=故选：D ．【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．2．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）在下列方程中，无实数根的方程有（ ）40=； 0=； x -；0=； ⑤2240x x -+=； ⑥2236111x x x +=+--．A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题3．（2023春·八年级单元测试）有两个正方形纸片，较大纸片的面积比较小纸片的面积大28，较大纸片的边长比较小纸片的边长大2，若设较大纸片的面积为x，按题意可列方程为______．【答案】x1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．三、解答题5．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）解方程：2x =．28200--=x x(x-10)(x-2)=0x1=10，x2=-2经检验x=10是原方程的解，∴原方程的解为x=10．【点睛】本题考查无理方程的解法，解题关键是将无理方程转化为有理方程．7．（2022春·上海·1=【答案】点P 在两道路交点上下方【分析】建立平面直角坐标系，直接根据勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：以公路n 、m 分别为依题意得()10A ，，()123B ，或()23B -，，设()0P y ，，依题意可得()22212325y y +++-=或()22212325y y ++++=，整理得2112440y y -+=或2112440y y ++=，解得：12y =，2211y =，32y =-，4211y =-，经检验均是原方程的解，但32y =-，4211y =-不符合题意，故舍去，2。
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章“方程与不等式”的第四节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二元二次方程组的定义、解法及应用。
通过学习，学生能理解二元二次方程组的概念，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了二元一次方程组的相关知识，对解方程组有一定的基础。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上有较大的区别，需要学生重新建立认知结构。
此外，学生需要进一步培养抽象思维能力、问题解决能力和合作交流能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解二元二次方程组的定义，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，代入法、消元法求解二元二次方程组。
2.难点：理解二元二次方程组的解法及应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究二元二次方程组的解法，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作交流能力。
4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元二次方程组的相关概念、解法及应用。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
如：某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元。
无理方程解法
无理方程解法教学目标1. 理解无理方程的概念，会识别无理方程2. 掌握无理方程的基本解法,通过去根号转化成有理方程求解3. 理解解无理方程需要验根，并掌握验根的方法教学重难点1. 通过探索换元法解无理方程的原理,提高观察力和代数变形能力2. 通过代数变形合理化简无理方程教学内容知识梳理一.概念方程中含有根式,切被开放数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程. 整式方程和分式方程统称有理方程,有理方程和无理方程统称代数方程.二.解法基本思想:将无理方程转化为有理方程.基本方法:(1)两边平方法(2)换元法⎧⎨⎩两个根式互为倒数时根号外与根号内含未知数项的系数对应相等或成比例时验根:把解得的无理方程的根代入原方程检验,既要看每一个根式是否有意义,同时还要看方程左右两边是否相等,只有同时满足以上两点的根才是原方程的根,否则是增根.概念一.判断方程属于哪种类型73x =+22=6=1=+8=9=二.不解方程,判断无理方程解的情况8=-0=2x =-6=10= (6). 241=--+-x x三,填空题1.在一元一次方程,一元二次方程,分式方程,无理方程中必须验根的是______________2.1=的根是___________3.若关于x m =无实数解,则m __________k x =-的根是________=的根为________6.m =的根为1,2x =m 的值为______________7.满足34)1(342--=-x x x 的x 的值有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个两边平方法解下列方程(1) 2x =0=(3) 2)2x =3=x 1=- (6)6x -=(7) 2232=--+x x (8) 01582=++-+x x(9) 33x 2x 3=++- (10) 972=-++x x=换元法 1.解方程112421222+++=+x x x x 时，若设y x x =++1242，那么，原方程可变为关于y 的方程 。
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制，这一节内容是在学生已经掌握了无理数的概念、实数的概念以及一元二次方程的解法的基础上进行学习的。
无理方程是实数范围内的一类方程，它不能用传统的解法直接求解，需要采用特殊的方法。
本节内容主要介绍了求解无理方程的方法，包括换元法、有理化方法等，以及如何运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于无理数和一元二次方程的概念有一定的了解。
但是，对于无理方程的解法，大部分学生可能会感到困惑，因此需要通过实例讲解，让学生理解无理方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握无理方程的解法，能够运用无理方程的解法解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解，培养学生解决无理方程的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等。
2.教学难点：如何运用无理方程的解法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。
2.新课讲解：讲解无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等，并通过实例进行讲解。
3.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
4.实际问题解决：让学生运用无理方程的解法解决实际问题。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调无理方程的解法和实际问题的解决方法。
七. 说板书设计板书设计如下：无理方程的解法设t = a + b√c ，则原方程可以转化为关于 t 的一元二次方程。
2.有理化方法将方程两边同时乘以共轭式，将无理方程转化为有理方程。
八. 说教学评价通过课堂练习和实际问题解决的情况，评价学生对无理方程解法的掌握程度。
21.4无理方程(作业)解析版
21.4无理方程（作业）一、单选题1．（2020·上海浦东新区·八年级月考）下列方程中有实数解的是（ ）A ．2340x x ++=B 0=C ．333x x x =--D x=-【答案】D【分析】求出判别式即可判断A ；根据算术平方根是一个非负数即可判断B ；求出方程的解，代入x-3进行检验，即可判断C ；解方程可得x=0，进行检验，即可判断D ．【详解】解：A 、x 2+3x+4=0，△=32-4×1×4=-7＜0，即此方程无实数解，故本选项错误；B =-1，∵算术平方根是一个非负数，∴此方程无实数解，故本选项错误；C 、333x x x =--，方程两边都乘（x-3）得：x=3，∵x=3代入x-3=0，∴x=3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；D x =-，x=x 2，解得x 1=0，x 2=1（是增根，舍去），故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程，二元一次方程的解，根的判别式等知识点的应用．2．（2020·上海嘉定区·八年级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）A ．410x +=B 10+=C x =-D ．22111x x x =--【答案】C【分析】利用乘方的意义可对A 进行判断；通过解无理方程可对B 、C 进行判断；通过解分式方程可对D 进行判断．【详解】解：A 、x 4≥0，x 4+1＞0，方程x 4+1=0没有实数解；B 1=-，任何数的算术平方根是非负数，故原方程没有实数解；C 、两边平方得x +2=x 2，解得x 1=-1，x 2=2，经检验，原方程的解为x =-1；D 、去分母得x =1，经检验x =1是原方程的增根，故原方程没有实数解，故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．3．（2020·上海徐汇区·八年级期末）下列方程中，有实数解的是（ ）．A ．610x +=；B 2=；C 30=；D ．222=--x x x ．【答案】B 【分析】利用乘方的意义可对A 进行判断；通过解无理方程可对B 进行判断；利用二次根式的性质可对C 进行判断；通过解分式方程可对D 进行判断．【详解】A 、60x ³，610x +>，方程610x +=没有实数解；B 、两边平方得24x -=，解得2x =-，经检验2x =-为原方程的解；C 0³30+=没有实数解；D 、去分母得2x =，经检验原方程无解．故选：B ．【点睛】本题主要考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．4．（2018·上海金山区·八年级期中）下列方程中，无理方程是（ ）A 1-=B 1+=C 1+=D 10+=【答案】C【分析】根据无理方程的定义求解即可，根号内含有未知数的方程为无理方程．【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、是分式方程，故B 不符合题意；C 、是无理方程，故C 符合题意；D 、是一元一次方程，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查无理方程，熟练掌握无理方程的定义是解题关键．5．（2018·上海崇明区·八年级期中）下列四个方程中，有一个根是2x =的方程是（ ）A ．2022x x x +=--B ．2202x x x--+=C 2=D 0=【答案】B 【分析】将2x =代入四个方程进行检验即可．【详解】A 、由分式方程的分母不能为0可得2x ¹，则2x =不是原分式方程的根，此项不符题意B 、将2x =代入得：2222022--+=，经检验，2x =是原方程的根，此项符合题意C 、当2x =时，62640x -=-=-<无意义，则2x =不是原方程的根，此项不符题意D 、当2x =时，32310x -=-=-<无意义，则2x =不是原方程的根，此项不符题意故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程与无理方程的根的定义，掌握方程的根的定义是解题关键．6．（2018·上海松江区·八年级期中）下列关于x 的方程中，有实数根的是（ ）A 0=B ．320x +=C ．111x x x =-- D 30=【答案】B 【分析】先解每个方程，求出相应的x 的值，再进行检验即可.【详解】0==平方得：x+2=x-2，2=-2，此方程无解，故本选项不符合题意；B. 320x +=，32x =-，x =C. 111x x x =-- ，方程两边都乘以x-1得：x=1，检验：当x=1时，x-1=0，∴此方程无解，故本选项不符合题意；30=3=-，∵算术平方根的结果是非负数，∴此方程无解，故本选项不符合题意，故选：B.【点睛】此题考查分式方程的解，高次方程及无理方程，正确解方程是解题的关键.二、填空题7．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如果方程1k =有实数解，那么k 的取值范围是________________________．【答案】：k ≤1【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于k 的不等式求解即可．【详解】∵1k -=1k =-0³，∴10k -³，∴k ≤1．故答案为：k ≤1．【点睛】本题考查了无理方程，根据二次根式有意义的条件列出关于k 的不等式是解答本题的关键．8．（2019·上海市敬业初级中学八年级月考）关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．【答案】k ＜-1【分析】根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．【详解】解：若关于x 1k =+无实数根，则10+<k ，∴k ＜-1,故答案为：k ＜-1【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．9．（2020·3=的根是_______________．【答案】x=7【分析】根据无理方程的解法求解即可.3=，两边平方可得：x+2=9，移项合并得：x=7.故答案为：x=7.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程.10．（2020·0=，则x ＝___________．【答案】x=2【分析】根据算术平方根的非负性可得x 的值.0=，∴x-2=2-x=0，∴x=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了非负数的应用，解题的关键是根据算术平方根的非负性求得x 的值.11．（2020·上海市静安区实验中学）关于x 25x =-是无理方程，则m 的取值范围是_______．【答案】0m ¹【分析】根据无理方程的概念可得结果.【详解】解：由题意可得： ∵无理方程的根号下含有未知数，∴m ≠0.故答案为：m ≠0.【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学）写出下列方程属于整式方程，分式方程还是无理方程：方程221x x +=+ ________________【答案】分式方程【分析】根据分式方程的概念可得结果.【详解】解：由方程221x x +=+可知，分母中含有x ，∴该方程为分式方程.故答案为：分式方程.【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．13．（2020·上海市静安区实验中学）写出下列方程属于整式方程，分式方程还是无理方程：x = _______________【答案】整式方程【分析】根据整式方程的概念可得结果.x =可知，该方程是整式方程.故答案为：整式方程.【点睛】本题考查了整式方程的概念，根据方程的形式判断方程的类型.14．（2020·上海浦东新区·八年级期末） 4=的解是_____．【答案】15x =【分析】两边同时平方，即可求出方程的解.4=,两边同时平方可得：116,x += 解得：15.x =经检验，15x =符合题意.故答案为15x =【点睛】考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.15．（2020·上海浦东新区·八年级月考）2=的解是__________．【答案】x=7【分析】将方程两边平方后求解，注意检验．【详解】将方程两边平方得x-3=4，移项得：x=7，=2＝2的解是x=7．故本题答案为：x=7．【点睛】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．三、解答题16．（2020·x=-【答案】0x =【分析】将方程两边平方，结合x 的取值范围求解即可.【详解】解：方程两边平方得：x=（-x ）2，解得：x 1=0，x 2=1，经检验，1x =为原方程的增根，应舍去，所以，原方程的根是0x =.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题时注意未知数的取值，检验是否是增根.17．（2019·x=-【答案】1x =-【分析】两边平方，化成整式方程求解，注意检验.【详解】解：两边平方得：3x+4=（-x ）2，即x 2-3x-4=0，解得：x 1=-1，x 2=4，经检验，4x =为原方程的增根，应舍去，所以，原方程的根是1x =-.【点睛】本题考查了无理方程的解法，解题时注意未知数的取值，检验是否是增根.18．（2020·上海杨浦区·八年级期末）1=【答案】14x =【分析】方程两边同时平方可把根号化去，逐渐化为整式方程，可求出解.1=+两边平方，得两边平方，得4x=1，所以，正数x=14 ，故答案为14.【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程.解题关键点:方程两边同时平方把根号化去.19．（2020·上海徐汇区·7x +=【答案】5x =．【分析】先t =，利用换元法将原方程进行变形，再利用因式分解法解一元二次方程求出t 的值，然后根据平方根的定义即可得．【详解】令t =，则21x t =+，且0t ³，原方程可变形为217t t ++=即260t t +-=，(2)(3)0t t -+=，20t -=或30t +=2t =或30t =-<2=两边同时平方得14x -=，解得5x =．【点睛】本题考查了换元法和因式分解法解方程、平方根的定义，熟练掌握方程的各种解法是解题关键．20．（2020·上海金山区·1=+【答案】14x =【分析】根据解无理方程的方法解答即可．【详解】解：方程两边同时平方，得21x x +=++，整理，得1=12=，解得：14x =，经检验：14x =是原方程的解．∴原方程的解是：14x =．【点睛】本题考查了无理方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解无理方程的方法是关键．21．（2020·-3．【答案】无解+3，两边平方得x +3＝x +91，利用算术平方根的定义可判断方程无解．，两边平方得x +3＝x +9＝﹣1，方程无解，所以原方程无解【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．22．（2020·80x +-=【答案】1219,3x x =-=【分析】通过平方将方程转化为整式方程，再解答并检验即可．80x +-=8x =-+22271664x x x +=-+216570x x +-=1219,3x x =-=经检验，1219,3x x =-=都是原方程的根 ，所以，原方程的根是1219,3x x =-=．【点睛】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．23．（2019·上海风华初级中学八年级月考）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为12 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理．【答案】不对=|a|，可得答案．【详解】不正确，当1a <时，11112a a a a a =+-=+-=¹；当1a ³时，112112a a a a =+-=-³>. 因此，该同学所求得的答案为12肯定是不正确的.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键．。
21.4(2)无理方程
21.4 (2)无理方程课型：新授课 教时/累计教时：2/2 主讲人：褚玉叶 教学目标（1）会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）；（2）能根据二次根式的性质，直接判断含二次根式的特殊无理方程的根的情况；（3）通过解无理方程，进一步体会事物之间相互转化的关系，培养辩证观点；教学重点及难点解简单的无理方程；根据二次根式的性质直接判断无理方程的根的情况。
教学媒体：粉笔、多媒体学情分析：学生已基本掌握有理方程的解法课前学生准备：课前预习教材了解本课时的教学内容。
教学过程设计一、 复习解无理方程的一般步骤是什么？无理方程如何进行“验根”？二、 例题讲解讲解解下列方程:（1）;632-=-x x （2）;1222+=-x x（3）;323x x =-- （4）.12=-+x x思考：在解无理方程的时候要注意些什么？小结：解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单；解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程.[说明]例题中（1）、（2）两个无理方程，只需方程两边直接平方就可以去掉根号；（3）、（4）两个无理方程，则要先移项，再进行平方，这样求解比较简便.课本将它们分成两个例题，现在将它们放在一道题目中,目的是为了加强学生对两种类型方程的对照和比较，从而对解法上的差异形成更为鲜明的印象.在讲解时，重视解题的示范，再引导学生对如何简化无理方程的解题过程进行反思小结,有利于学生清晰地掌握.提问不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗? ①011=++x ； ②11=+-x x ； ③325=-+-x x .5、归纳对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a ，有0,0≥≥a a .”[说明]观察分析也是解无理方程的一种方法（在特殊情况下可用）.通过提问，让学生来观察和判断无理方程有无实数根，激发学生从另外的角度来分析无理方程，而不是不加辨别地采取一般方法进行解题,使学生养成良好的观察和分析习惯.补充②③两题是为了丰富此方法的适应类型，让学生掌握方法，从而能举一反三.三、巩固练习课本练习21.4(2) 1、2、3四、课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、作业布置练习册21.4(2)六、教学反思或后记。
21-第二十一章-代数方程-八年级（下）-知识点汇总-沪教版
第二十一章代数方程21.1 一元整式方程1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。
于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程元一次方程2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程方程 3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程方程21.2 二项方程1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0n nax b +=（0,0a b ¹¹，n 是正整数）是正整数）2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根次方根3、 对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ¹¹）（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根为奇数时，方程有且只有一个实数根（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根，那么方程没有实数根 21.3可化为一元二次方程的分式方程1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，约去分母，转化为正式方程来解正式方程来解2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、 整式方程和分式方程统称为有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤解简单无理方程的一般步骤5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5 二元二次方程和方程组1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程叫二元二次方程2、关于x、y的二元二次方程的一般形式是：220 ax bxy cy dx ey f+++++=（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d 以及c与e分别不全为零）分别不全为零）3、仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。
21.4 无理方程(原卷版)
21.4 无理方程1．理解代数方程的概念，会熟练解无理方程，进一步体会转化思想在解方程中的运用．2．理解增根的意义，会检验无理方程的根．会结合算术平方根的双重非负性判断无理方程实数根情况．1. 无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程（也叫作根=2=3，等都是无理方程．整式方程与分式方程统称为有理方程．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．2. 解无理方程将无理方程转化为有理方程，转化的方法是方程两边乘方，去根号．【知识补充】有理方程和无理方程的联系：无理方程式通过“去根号”转化为有理方程，然后求解．解无理方程的一般步骤：３．增根产生的原因：无理方程化为有理方程的过程必须要两边乘方，两个方程未知数的允许取值范围会扩大，这时就产生了增根．所以解无理方程必须检验，而检验只需把有理方程的解代入到原无理方程、看左右两边是否有意义、且左边是否等于右边．４．无解的情况：（1）将无理方程化为有理方程后，有理方程无解．（2）解出的有理方程的根是无理方程的增根．5. 无理方程的实数根情况对于含二次根号的无理方程，结合二次根式的双重非负性可以不解出方程直接判断方程是否有实数根．题型一无理方程的概念【例题1-1】下列说法正确的是（）A．是二项方程B．是无理方程C．是分式方程D．是二元二次方程【例题1-2】下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．；B．；C．；D．．【例题1-3】下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．D．【变式1-1】以下方程是无理方程的是（）A．B．C．D．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．是分式方程B．是二元二次方程组C．是无理方程D．是二项方程【变式1-3】已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（）A．2x5+b＝0是二项方程B．是分式方程C．2x+5＝x是无理方程D．是二元二次方程组【同步测试1-1】方程（x﹣2）＝0的根是 _____．【同步测试1-2】如果方程无实数解，那么的取值范围是______．【同步测试1-3】如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是_____．题型二解无理方程【例题2-1】方程的解是____________．【例题2-2】解方程：(1)；(2)；(3)【例题2-3】我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）(2)已知两个根分式与．①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；②当是一个整数时，求无理数的值．(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：去分母，得①可得②①+②，可得将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．∴原方程的解为：请你学习小明的方法，解下面的方程：①方程的解是_____________；（直接写出答案）②方程的解是_____________；（直接写出答案）【变式2-1】解方程：．【变式2-2】“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解无理方程．解：方程两边同时平方，得：，解这个一元一次方程，得：．检验：当时，左边右边，所以，是原方程的解．通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．通过上面的学习，请解决以下两个问题：(1)解无理方程：；(2)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标．【变式2-3】类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．【回顾旧知，类比求解】解方程：．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得______．经检验，______是原方程的解．【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：（1）；（2）【同步测试2-1】解方程：．【同步测试2-2】阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．(1)问题：方程的解是，，；(2)拓展：用“转化”思想求方程的解．【同步测试2-3】定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2－（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)请直接写出＋的对偶式_________；(2)已知m＝，n＝，求的值；(3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4．【同步测试2-4】解方程(1)解无理方程：﹣＝1；(2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．课后限时训练（15min）一、单选题1．已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（）A．2x5+b＝0是二项方程B．是分式方程C．2x+5＝x是无理方程D．是二元二次方程组2．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．；B．；C．；D．．3．下列说法正确的是( )A．是二项方程B．是二元二次方程C．是分式方程D．是无理方程4．下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．D．5．下列方程中有实数解的方程是（）A．；B．；C．；D．．二、填空题6．方程＝0的根是______．7．若，则________．8．方程的根为____．9．方程的根是______.10．方程的解是____．三、解答题11．解方程：；12．解方程13．解方程：x﹣＝214．求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标．15．解方程：2x1．。
无理方程2
复习： 复习：
1.解无理方程的一般步骤是什么？ 1.解无理方程的一般步骤是什么？ 解无理方程的一般步骤是什么 ①去根号 ②解有理方程 ③验根 ④答
2.无理方程如何进行验根？ 2.无理方程如何进行验根？ 无理方程如何进行验根 将解有理方程所得的根代入原方程看是否左 将解有理方程所得的根代入原方程看是否左 右相等，相等即原方程的根， 右相等，相等即原方程的根，不相等即增根
解无理方程一般方法： 解无理方程一般方法：
1.只含一个根号项的无理方程， 1.只含一个根号项的无理方程，可以将 只含一个根号项的无理方程 根号项”放在方程的一边， “根号项”放在方程的一边，其他项放 在方程的另一边进行平方。 在方程的另一边进行平方。 2.只含两个“根号项”而没有其他项的 2.只含两个“根号项”而没有其他项的 只含两个 无理方程，可以将两个“根号项”分别 无理方程，可以将两个“根号项” 放在等号两边，进行平方。 放在等号两边，进行平方。
3.除了含有两“根号” 之外还含有其他项 3.除了含有两“根号”项之外还含有其他项 除了含有两 的无理方程，通常需要经过“两次平方” 的无理方程，通常需要经过“两次平方”才 能将原方程化为有理方程。 能将原方程化为有理方程。
练习： 练习：P44 讨论： 讨论：
2
不解方程， 不解方程，判断出下列方程的根的情况
例2：解方程
x+2− x =1
观察发现，此方程除了含有两个“根号” 观察发现，此方程除了含有两个“根号” 项之外，还有其他项。 项之外，还有其他项。不属于前面所归纳的 两种情况。 两种情况。 通过移项再两边平方后， 通过移项再两边平方后，原方程就变成 了只含有一个“根号”项的无理方程， 了只含有一个“根号”项的无理方程，即第 一种情况。 一种情况。 那么， 那么，解这种类型的方程就需要经过两次平 方。
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80%
证明代数恒等式
某些代数恒等式可以通过构造无 理方程来证明，例如平方差公式 等。
在几何中的应用
01
02
03
确定点的位置
在平面几何中，通过建立 无理方程可以确定某些特 殊点的位置，例如圆的切 点、抛物线的焦点等。
解决几何问题
某些几何问题可以通过建 立无理方程来解决，例如 求三角形内切圆半径等。
证明几何定理
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汇报人:
202X-12-31
目
CONTENCT
录
• 无理方程的基本概念 • 无理方程的解法 • 无理方程的应用 • 无理方程的扩大知识 • 习题与解答
01
无理方程的基本概念
无理方程的定义
无理方程
含有根号或平方根的非线性方程。
描写
无理方程是数学中一类常见的方程，其情势通常为 包含根号或平方根的非线性表达式。
答案4
解方程 $frac{x}{y} + frac{y}{x} = 2$ 的解为 $x = y = pmsqrt{2}$
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感谢凝听
某些几何定理可以通过构 造无理方程来证明，例如 勾股定理等。
在物理中的应用
解决力学问题
在力学中，无理方程可以 用来解决某些涉及速度、 加速度、力等方面的复杂 问题。
解决波动问题
在波动理论中，无理方程 可以用来描写波动现象， 例如弦振动方程等。
解决电磁学问题
在电磁学中，无理方程可 以用来描写电磁波的传播 、散射等现象。
举例
√x + 2 = 0 或 x^2 - 3 = 0。
无理方程的分类
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简单无理方程
无理方程的解法
无理方程的解法
无理方程解法包括以下几种方法：
1. 开平方法：对于形如$\sqrt{a+bx}=c$的无理方程，可先将其平方得到$a+bx=c^2$，进而解出$x=\dfrac{c^2-a}{b}$
2. 合并同类项：对于形如$\sqrt{ax^2+bx+c}+px+q=0$的无理方程，可以将方程展开并合并同类项，然后将含有无理数
$\sqrt{ax^2+bx+c}$的项移项，再两边平方，最后得到一个关于$x$的一元二次方程，即可以使用求根公式解出$x$的值
3. 倍角公式：对于形如$\sqrt{a\sin x+b\cos x}=c$的无理方程，可以使用倍角公式将$\sqrt{a\sin x+b\cos x}$化为形如
$\sqrt{a'\sin(2x+\alpha)}$的表达式，然后再使用开方法解出$x$的值
4. 代换法：对于形如$\sqrt[3]{ax^2+bx+c}=d$的无理方程，可以将$\sqrt[3]{ax^2+bx+c}$代入新变量$t$，得到一个关于$t$的一元方程$(t-d)^3=ax^2+bx+c$，可以解出$t$的值，进而解出$x$的值
5. 因式分解法：对于形如$\sqrt{a(x-b)(x-c)}=d$的无理方程，可以先将方程右侧的无理数平方，然后再将方程展开并化简得到一个关于$x$的一元二次方程
需要注意的是，解无理方程时要注意检查解的合法性，因为在开方、平方等过程中可能会存在增根、减根的情况。
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课堂练习 3： 下列方程中，有实数根的方程是： A、 x − 1 + 4 = 0 ； C、 x = − x ； B、 x + 1 = 0 ；
2
学生：C
D、 x + 2 +
x−2 = 0；
1、含一个“根号”的无理方 程的解法； 2、含两个“根号”的无理方 程的解法．
三、本课小结 通过这节课的学习，你有什么收获？
§21．4 无理方程(2) 21． 无理方程(2)
普陀区课题组
教学目标： 教学目标： 1．会解无理方程，并再次规范解题格式； 2．通过无理方程转化为有理方程，感受化归的数学思想． 教学重点： 教学重点：无理方程的解法． 教学难点 难点： 教学难点：含有两个关于未知数二次根式的无理方程的解法． 教学过程： 教学过程： 教师活动 一、复习引入 复习引入 1、解无理方程的一般步骤是什么？ 学生活动 预设： （1） 设计意图
请 2 位同学板演．
及 时 练
3
（1） x − 4 x + 3 = 1 − x ；
2
习，巩固知 识．
（2） x − 2 • （3） x − 7 +
x−3− 2 =0； x = 7。
让学生来 观察和判断 预设： 无理方程有 不能 学生小组交流， 请几位同 无实数根，激 学汇报，并及时的给予评价． 发 学 生 从 另 外的角度来 x + 1 的值是一个非负 分析无理方 数，在加上个 1，和肯定大于 程，使学生养 0，所以原方程没有实数根． 成 良 好 的 观 察和分析习 惯。练习丰富 此方法的适 应类型，让学 生掌握方法， 从而能举一 反三．
x1 = 2, x 2 = 6
这两个解都是原方程的根吗？ 经检验， x = 2 是原方程的 根； x = 6 是增根，舍去． 所以原方程的根是 x = 2． 适 时 小 结，让学生掌 握规律．
原方程的根是什么？
小结：解只含一个“根号”的无理方程时， 一般将 “根号项” 放在方程的一边， 把其他 “项” 放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解 比较简单． 课堂练习 1： （1） 2 x + 3 = − x ； （2） x − 学生独立完成，投影评 讲．
2x − 3 = x − 3
方程两边平方：
如何化为有理方程？
2x − 3 = x 2 − 6x + 9
这是个什么方程，怎么解？ 一元二次方程，先化为一般 式：
方程（2） 可以作为方 程（1）的变 式，需要先移 项，化为例 1(1)的形式， 再进行平方．
x 2 − 8 x + 12 = 0
用因式分解法解得：
x +1 −1 = 0 ．
例 2：解下列方程: (1)
x2 − 2 = 2x + 1 ;
预设： 生：能 让 学 生 发现方程中
教师：这个方程出现两个根号，能用平方
2
法吗？
方程两边平方：
x 2 − 2 = 2x + 1
这是个什么方程，怎么解？ 一元二次方程，先后能转化 为有理方程.
1 4 1 是原方程 4
经检验， x =
的根． 所以原方程的根是
x=
1 ． 4
小结：解含两个“根号”的无理方程时，一 般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边 平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果 含两个“根号”的无理方程中还有其他“项” ， 通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有 理方程． 课堂练习 2：
你能判断 思考： 不解方程 x + 1 + 1 = 0 ， 出这个方程有没有实数根么? 教师： 你尝试给 x 取几个值代入， 看能使方 程成立么？ 小组讨论，体会为什么找不到实数根？
归纳： 归纳：对于某些特殊的无理方程，可以不解方 程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于 二次根式 a ，有 a ≥ 0, a ≥ 0 .”
二、讲授新课 例 1：解下列方程: （1） 2 x − 3 = x − 6 ; 预设： 方程两边平方：
教师：如何化为有理方程？ 2 4( x − 3) = ( x − 6 ) 注意： “2”也要平方， x − 3 ”看作整体！ “ 一元二次方程，先化为一般 式： 这是个什么方程，怎么解？ 2
例题（1） 中无理方程， 只需方程两 边直接平方 就可以去掉 根号.
学生自主 小结，教师适 时归纳引导
四、回家作业 练习册§21.4（2）
4
教师： 这个方程也出现两个根号， 可以直接 平方去根号吗？
注意： 一般把较简单的二次根式移到方程的 另一边，留下较为复杂的形式。
x + 2 = 1+ x
方程两边平方：
x + 2 = 1+ 2 x + x
整理可化为例 1(2)的形式了！
2 x =1
如何化为有理方程？ 两边平方得：
4x = 1
解得： x = 这个解一定是原方程的根吗？
x − 16 x + 48 = 0
用因式分解法解得：
1
x1 = 4, x 2 = 12
这两个解都是原方程的根吗？ 经检验，x = 4 是增根， 舍去； x = 12 是原方程的根． 所以原方程的根是 x = 12 ． 学 生 只 要求知道．
*也可以换个角度检验： 当 x = 4 时，右边= 4 − 6 = −2 < 0 ，可知 x = 4 是 增 根 ， 舍 去 。 当 x = 12 时 ， 右 边 = 12 − 6 = 6 > 0 ，可知 x = 12 是原方程的根． （2） 3 − 2 x − 3 = x 教师：可以直接平方去根号吗？ 化为例 1(1)的形式了！ 预设： 要移项，原方程可变形为：
x 2 − 2x − 3 = 0
用因式分解法解得：
x1 = −1, x 2 = 3
这两个解都是原方程的根吗？ 经检验， x = −1 是增根， 舍去； x = 3 是原方程的根． 所以原方程的根是 x = 3． （2） x + 2 −
x = 1.
预设： 不行，要移项，原方程可变 形为： 教师要耐 心引导，让学 生自己发现 规律。加强学 生对不同类 型方程的对 照和比较，从 而对解法上 的差异形成 更为鲜明的 印象．
复 习 前 一节课内容， 为后面学习 做准备．
2、无理方程如何进行“验根”？
（2）代入原方程的左边和右 边，使左边=右边，且根号有 意义．
强 调 检 验的方法和 重要性.
3、增根产生的原因是什么？
（3）平方把无理方程化为了 有理方程， 但是原方程中未知 数允许取值的范围扩大了．
知 道 是 什么和为什 么.