2.5 等比数列的前n项和练习题及答案解析 (2)必修5

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【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________．解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

2016-2017学年高二数学人教A版必修5第2.5 等比数列的前n项和含解析精品

绝密★启用前人教A 版数学必修五第二章2.5等比数列的前n 项和一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知数列{}n a 满足1320n n a a ++=，253a =-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 102313⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 102313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.1032123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D. 1032123⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】1320n n a a ++= ，123n n a a +∴=-，{}n a ∴是等比数列，公比为23q =-，∴首项为152a =，()10101101321123a q S q -⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 考点：等比数列前n 项和. 【题型】选择题【难度】一般2．【题文】等比数列{}n a 中，a 3=27，a 6=729，{}n a 的前4项和为（） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则3637292727a q a ===，解得q =3. 又3122739a a q ===，所以等比数列{}n a 的前4项和S 4=()431313--=120，故选B.考点：等比数列的性质与前n 项和. 【题型】选择题【难度】较易3．【题文】等比数列{}n a 中，397,91S S ==，则6S =（）A ．28B ．32C ．35D ．49 【答案】A【解析】 {}n a 是等比数列，∴每相邻两项的和也成等比数列，3S ∴、63S S -、96S S -成等比数列，即、67S -、691S -成等比数列．()()2667791S S ∴-=⨯-，解得628S =，故选A ．考点：等比数列前n 项和的性质．【题型】选择题【难度】一般4．【题文】已知等比数列{}n a 中，132n n a -=⨯，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为（）A ．()314n -B ．()341n -C ．14n -D ．41n - 【答案】D【解析】设新数列为{}n b ，则222133244n n n n b a --==⨯=⋅，则{}n b 是以3为首项，4为公比的等比数列，()3144114n n n S ⨯-==--．考点：等比数列的通项公式与前n 项和．【题型】选择题【难度】一般5．【题文】已知n S 表示正项等比数列{}n a 的前项和．若26a =，35576a a =，则10S 的值是（）A.511B.1023C.1533D.3069 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为{}n a 是由正项等比数列，35576a a =，所以424a =，所以2422446a q a ===，解得2q =，所以21632a a q ===，由等比数列的前项和公式得10103(12)306912S -==-，故选D ．考点：等比数列的前项和．【题型】选择题【难度】一般6．【题文】等比数列{}n a 的前项和记为n S ，若84:2:3S S =，则124:S S =（） A.7∶9 B.1∶3 C.5∶7 D.3∶5 【答案】A【解析】设82,S k =则43S k =，令143x S k ==，284x S S k =-=-，3128122x S S S k =-=-，由题意知321,,x x x 成等比数列，因此2213x x x =⋅，代入解得1273k S =，因此12477339kS S k ==.考点：等比数列前项和的性质. 【题型】选择题【难度】一般7．【题文】设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若23=S ，186=S ，则=510S S （） A ．17 B ．33 C ．−31 D ．−3 【答案】B【解析】由题意可得公比1q ≠，因为3611(1)(1)2,1811a q a q q q--==-- ，所以61663331(1)1811,9,980,(1)211a q q qq q a q q q---==-+=---解得1q =（舍去）或2q =，故10101055511233112S q S q --===--，故选B. 考点：等比数列的前项和. 【题型】选择题【难度】一般8．【题文】在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}2n a +也是等比数列，则n S 等于（） A.221-+n B.n 3 C.n 2 D.13-n 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比q ，则1113n n n a a q q --==，由数列{}2n a +也是等比数列得{}132n q -+是等比数列，所以032q +，132q +，232q +为等比数列，所以()()()2102323232qq q +=++，得0122=+-q q ，即1=q ，所以13n S na n ==.考点：等比数列的通项及前n 项和. 【题型】选择题【难度】一般二、填空题：本题共3小题.9．【题文】已知等比数列{}n a 中，a 2＋a 3=12，a 1a 2a 3=64，则{}n a 的前n 项和 n S =. 【答案】122n +-【解析】∵a 1a 2a 3=64，∴a 2=4，又∵a 2+a 3=12，∴a 3=8，公比q =2，∴a 1=2， ∴()12122212n n n S +-==--,.考点：等比数列的性质，等比数列的前n 项和．【题型】填空题【难度】较易10．【题文】等比数列{}n a 中，363,9S S ==，则9____S =．【答案】21【解析】由等比数列前n 项和的性质知：36396,,S S S S S --成等比数列，因为3633,6,S S S =-=所以9612S S -=，解得921S =．考点：等比数列前n 项和的性质．【题型】填空题【难度】一般11．【题文】已知数列{}n a ，新数列1a -，12a a -，23a a -，…，1n n a a --，…是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =. 【答案】1212n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】依题意可得()()()11223111112211212n n n n a a a a a a a -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-+-+-++-==- ⎪⎝⎭- ，即1212n na ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1212n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 考点：累加法求数列的通项公式，等比数列的前项和公式. 【题型】填空题【难度】一般三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d ≠0，且42366,,,S a a a =成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{n b }的前n 项和n T ．【答案】（1）n a ＝9−3n （2）3512178n n T -=- 【解析】（1）由题意得2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +++＝，解得112d a =-或d ＝0（舍去）． ∴41113414622S a a a ⨯=-⨯==，得d ＝−3．∴n a ＝1a ＋（n −1）d ＝6−3（n −1）＝9−3n ，即n a ＝9−3n ．（2）∵n b ＝9331228n a n n --==，∴1b ＝64，118n n b b +=． ∴{n b }是以64为首项，18为公比的等比数列，∴131641(1)51218117818n n n n b q T q -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---.考点：等差数列的前n 项和公式，等差数列通项公式，等比数列前n 项和公式. 【题型】解答题【难度】一般13．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3612,84a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，*n ∈Ν．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设, ,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．【答案】（1）4n a n =，132n n b -=⋅（2）212212482n n P n n ++=+++ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11212,61584,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得14,44,n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+= ，∴当1n =时，13b =，当2n ≥时，11230n n T b ---+=，两式相减，得12(2)n n b b n -=≥，数列{}n b 为公比为2的等比数列，132n n b -∴=⋅．（2）14,32,n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数,为偶数, 211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++2122482n n n +=+++．【考点】等差数列和等比数列，数列的求和方法. 【题型】解答题【难度】一般14．【题文】已知数列{}n a 满足114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν），设()11nn nb a =+-．（1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列32n n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前项和n S ．【答案】（1）()()111321n n n a --=⨯-+-（2）1132n n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν），得()()1111121n n n n a a --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以12n n b b -=-（2n ≥），又()1111130b a =+-=≠，所以数列{}n b 是等比数列，故()132n n b -=⨯-（*Νn ∈），()()111321n n n a --=⨯-+-（*n ∈Ν）. （2）()1323232n n n n b ---=⨯-， ()()()()1211473232323232n n n S --=+++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯-,①()()()()()12311147353223232323232n n n n n S ----=+++⋅⋅⋅++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-,②①-②得，()()()()()1231311111321232222232nn n n n S n --⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=-⋅- ⎪⎝⎭----⨯-.故1132nnnS-⎛⎫=-⎪⎝⎭.【考点】构造数列求通项，错位相减法求数列的和. 【题型】解答题【难度】一般。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n }仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

等比数列的前n项和练习题及答案解析_(2)必修5

等比数列前n 项和练习1．设数列{(－1)n －1·n }的前n 项和为S n ，则S 2011等于( )A ．－2011B ．－1006C ．2011D ．1006 2．已知数列{1n n ＋1}的前n 项和为S n ，则S 9等于( )A.910 B.710 C.109D.1073．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则前9项和S 9＝( )A ．45B ．52C ．108D ．544．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＝( )A ．－29B ．29C ．30D ．－305．数列9,99,999,9999，…，的前n 项和等于( )A ．10n－1 B.10 10n－1 9－nC.109(10n－1)D.109(10n－1)＋n6．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．297．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n 项的和为( ) A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋19．已知a n ＝n ＋13n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.10．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n 2＋3n ＋2，则数列的前n 项和S n ＝__________.11．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n 为__________．12．已知数列{a n }中，a n ＝⎩⎨⎧2n －1n 为正奇数，2n －1 n 为正偶数，则a 9＝________(用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________(用数字作答)． 13．求数列112，314，518，…，[(2n －1)＋12n ]的前n 项和14．已知数列{a n}的通项a n＝2·3n，求由其奇数项所组成的数列的前n项和S n.15．已知{a n}是首项为19，公差为－2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．(1)求通项a n及S n；(2)设{b n－a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及前n项和T n.16．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1，证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ＝3－2a n .答案：D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．5B ．8C ．－8D ．15解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝5.答案：A3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512D ．510解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝12，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.答案：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝126，∴2n ＝64，∴n ＝6.答案：66．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 解析：由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2，又∵a 2＝1，∴a 1＝12，∴S 4＝12·(1－24)1－2＝152.答案：1527．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －18．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝S n a 1＋qS n S n ＋1－a 1S n ＋1－qS n S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1<0， ∴S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1，即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1·(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1·(1－q 4)1－q＝5×a 1·(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12；通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.[B 组能力提升]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝35，则S 10＝( ) A.1 0232B.1 0242C ．235D.1 0222解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝35， ∴a 1·a 2·a 3·…·a 10＝235. ∴a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)＝235.∴a 101q1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a 101·245＝235，即a 101＝1210， ∴a 1＝12.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1 0232.答案：A2．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．解析：由题意可知q ＝2，设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ，则a n ＋a n ＋1＝24，又a 1＝1， ∴q n －1＋q n ＝24，即2n －1＋2n ＝24，解得n ＝4，∴项数为8项．答案：84．(2019·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设{a n }的公比为q ，于是a 1(1＋q 2)＝10，① a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n n 2＋72n n ＝2－12 (n －72 )2＋498≤26＝64.∴a 1a 2…a n的最大值为64. 答案：645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋52d ＝6，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2a n ＝22n －1， ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解析：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n .∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列．又b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② ①－②，得－T n ＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.。

高二数学人教A必修5练习：2.5 等比数列的前n项和(二) Word版含解析

§2.5 等比数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q；当q ＝1时，S n ＝na 1.2n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1) 答案 D解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 C解析若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元答案 B解析设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.二、填空题 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________________________________________________________________________. 答案 63解析方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14③将③代入①得a 11－q ＝64，∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q＝64(1－143)＝63.方法二因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ，所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________．答案 (1＋q )12－1解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求a n还是求S n的问题．。

人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和练习.doc

一、本节学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明方法；2.灵活应用等比数列的前n 项和公式解决有关问题；二、重难点指引重点：等比数列的前n 项和公式推导和应用；难点：等比数列的前n 项和公式灵活应用及将实际问题转化为数学问题（数学建模）．三、学法指导1．由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，注意推导方法“错位相减法”落实；2．重视分类讨论的数学思想方法的指导作用.四、教材多维研读▲ 一读教材1．前n 项和公式的推导方法：_________________2．设等比数列{}n a ，它的前n 项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0.(1)当1=q 时则1na s n =(2)当1≠q 时，若已知1a 和q ，则用公式_________=n S 较好；若已知n a 和q ，则用公式_________=n S 较好.3．若等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足{}n S 是等差数列，则{}n a 的公比q ＝．4．当1≠q 时，=--=q q a S n n 1)1(1n q q a -11qa --11，可以看做___________函数与_________函数的复合函数.5．{}n a 是___________数列B Aq S n n +=⇔其中____B A ____q ,A =+≠；0.6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且0≠n S ，则n n n n n S S S S S 232,,--成数列． ▲ 二读教材1．在等比数列{}n a 中，若14a =-，12q =，则10S =________；若11a =，243k a =，3q =，则k S =_________．2．若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则常数a 的值等于（）若等比数列{}n a 的前n 项和为a 31n n +=+S ，则常数a 的值等于（）A ．13-B ．1-C ．13D ．3- 3．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（） A ．50 B ．70 C ．80 D ．904．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 5．已知数列{}n a 是等比数列，16,252==a a ，则______13221=++++n n a a a a a a Λ. ▲ 三读教材1．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． (2)求和：1321-+++++n aa a a Λ五、典型例析例1 在等比数列{}n a 中，661=+n a a ， 12821=⋅-a a n ， 126=n S ，求项数n 和公比q 的值．例2 设等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求首项、公比q 及项数n ．例3 设{}n a 是等比数列，求证：n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列．例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．六、课后自测◆ 基础知识自测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对 2. 在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为（） A.4 B.5 C .6 D .73．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（）A ．180 B.10 C.75 D.634. 等比数列{}n a 中，a 4=21，a 9=16则S 5的值为_______ 5.已知数列)}({*∈N n a n 是等比数列，公比为q ，如果有,18321=++a a aqa a a a --=++1,91432那么的值是 . ◆ 能力提升自测 1.等比数列{}n a 共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .2.若等比数列{}n a 的前n 项和为,13-=n n S 求2232221...n a a a a ++++=___________ 3．等比数列{}n a 中，)0(109≠=+a a a a ，b a a =+2019，则=+10099a a .4. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，143=n S ，则4n S 等于（）A ．80B ．30C ．26D ．16 ◆ 智能拓展训练1. 已知函数()()21-=x x f ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列(1≠q )，若()()()()1,1,1,13131+=-=+=-=q f b q f b d f a d f a(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意的自然数n 均有： ()122111++=+++n n n a n b cb c b c Λ，求数列{}n c 前n 项和S n ．。

高二数学人教A必修5练习：2.5 等比数列的前n项和(一) Word版含解析.docx

§2.5等比数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33 答案 D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152D.172 答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案－13解析显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1. ∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nx n ＋11－x (x ≠1且x ≠0).能力提升13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解方法一由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝54①S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q＝60②由②÷①得1＋q n ＝109，∴q n ＝19，∴a 11－q＝9×548，∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝9×548(1－193)＝1823.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．。

等比数列的前n项和典型例题含解答

倒序相加法
总结词
将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。
详细描述
首先将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。这种方法适用于公比q满足q≠1的情况。
错位相减法
总结词
将等比数列的一项乘以公比的负一次方后错位相减，得到一个等差数列，再求和。
VS
详细描述
$frac{a_5}{a_4} = frac{32}{-16} = 2$
由于相邻两项之比相等，所以这个数列是等比数列。04CHAPTER
等比数列前n项和的实际应用
在金融中的应用
贷款还款
等比数列前n项和公式常用于计算贷款的分期还款额，例如房屋贷款、汽车贷款等。
投资回报
在投资领域，等比数列前n项和公式可用于计算复利，即投资的利息或收益会逐年增长。
化。
元素周期表
元素周期表中的元素按照原子序数排列，形成等差数列，而元素的某些性质则可能呈现等比数列的变化趋势。
05
CHAPTER
等比数列前n项和的练习题及答案
练习题一及答案
题目：求等比数列 1, 2, 4, 8, ... 的前n项和。
等比数列的前n项和公式为
将 $a_1 = 1$ 和 $r = 2$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
等比数列的前n项和公式为
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
在此添加您的文本16字
将 $a_1 = frac{1}{2}$ 和 $r = frac{1}{2}$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{frac{1}{2}(1 - (frac{1}{2})^n)}{1 frac{1}{2}} = 1 - (frac{1}{2})^n$

人教A版高中数学必修五同步练测：2.5等比数列的前n项和(含答案解析)

2.5 等比数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知在等比数列{}n a 中，公比q 是整数，14a a ＋＝18，23a a ＋＝12，则此数列的前8项和为( ) A.514 B.513 C.512 D.5102.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a －＝，则42S S ＝( ) A.5 B.8 C.－8 D.153.已知在等比数列{}n a 中，13a a ＋＝10，46a a ＋＝54，则等比数列{}n a 的公比q 的值为( ) A.14 B.12 C.2 D.84.已知某等比数列的前n 项和n S ＝4n a ＋，则a 等于( )A.－4B.－1C.0D.15.在等比数列{}n a 中，29a ＝，5243a ＝，则{}n a 的前4项和为( )A.81B.120C.168D.1926.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ＋＝，则62S S 等于( ) A.－11 B.－8C.5D.117.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n项和，且369S S ＝，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.1588.数列{}n a 的通项公式是11n a n n ++＝，若前n 项和为10，则项数n ＝( ) A.11 B.99 C.120 D.1219.已知{}n a 是等比数列，22a ＝，5a ＝14，则1223aa aa ＋ 1n n a a ＋＋＋＝( )A.16(14)n －－B.16(12)n －－C.32(14)3n －－D.32(12)3n －－ 10.若正项等比数列{}n a 满足241a a ＝，313S ＝,3log n n b a ＝，则数列{}n b 的前10项和是( )A.65B.－65C.25D.－25二、填空题（每小题4分，共16分）11.13＋115＋135＋163＋199＝________.12.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q ＝________.13.在等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21n n S ＝－，则22212n a a a ＋＋＋＝________.14.已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋1(1)(43)n n －－－，则21S S －＝________. 三、解答题（共44分）15.（6分）在等比数列{}n a 中，3S ＝ 139，6S ＝ 3649，求n a .16.（7分）已知{}n a 为等差数列，且3660a a ＝－，＝.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足18b ＝－，2123b a a a ＝＋＋，。

苏教版数学必修五2.5等比数列的前n项和(学案含答案)

苏教版数学必修五2.5等比数列的前n项和（学案含答案）2. 在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意讨论公比q 是否为1。

3. 当1q ≠时，若已知1a 及q ，则用公式1(1)1nna q S q-=-较好；若已知na ，则用公式11nna a qS q-=-较好。

4. 注意其推导方法——错位相减法若q ＝1，则S n ＝na 1。

若q ≠1，∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①所以两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n 。

② ①－②得（1－q ）S n ＝a 1－a 1q n ，∴当q ≠1时，S n ＝qq a n--1)1(1， S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧=⋅≠--=--)1()1(,11)1(111q na q q qa a qq a n n注意：错位相减法，它特别适用于求一个等差数列与一个等比数列各项对应的积组成的新数列的前n 项的和。

考点二：等比数列的前n 项和公式的一些性质（1）连续n 项的和（如232,,,nnnnnS S S S S --…）仍组成等比数列。

（注意：这连续n 项的和必须非零才能成立）证明如下：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，显然S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列。

当q ≠1时，S n ＝,1)1(1q q a n--S 2n ＝,1)1(21qq a n-- S 3n ＝,1)1(31qq a n --则S 2n －S n＝=--q q q a n n 1)(21,1)1(1qq q a n n --S 3n －S 2n＝=--q q q a n n 1)(321＝,1)1(21qq q a n n -- ∴（S 2n －S n）2＝,)1()1(22221q q q a n n --S n （S 3n －S 2n ）＝⋅--q q a n 1)1(1,1)1(21qq q a n n --∴S n ·（S 3n －S 2n ）＝（S 2n －S n ）2，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列。

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为 ( )．A ．63B ．64C ．127D ．128解析设公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4及题设，知16＝q 4. ∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )．A ．2B ．4C.152D.172解析 S 4a 2＝a 1(1－q 4)1－q a 1q ＝a 1(1－16)－a 1·2＝152.答案 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )． A ．33B ．72C ．84D ．189解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84. 答案 C4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析由a 1＝1，S 6＝4S 3， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1－q 6＝4(1－q 3)．得q 3＝3，故a 4＝a 1q 3＝1×3＝3.答案 35．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________.解析由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－(－2)5]1－(－2)＝11. 答案 116．已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1,2,3，…)． (1)解设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R )，由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6，从而a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2， a 6＝a 1q 5＝q －1.因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列，所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)．所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝64⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)证明 S n ＝a 1(1－q n )1－q＝64⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n <128. 综合提高(限时25分钟)7．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－1解析已知⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝1，S 8＝17，即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·q 4＝16.两式相除得q 4＝16，∴q ＝±2. 答案 C8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于 ( )． A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)解析设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2n －1.易知等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，∴a n ＝2n －1，于是a n 2＝4n －1，∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝13(4n－1)．故选D. 答案 D9．S n ＝112＋314＋518＋…＋⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n ＝________. 解析 S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋ (12)＝n [1＋(2n －1)]2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于________．解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1. 答案 2n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.12．(创新拓展)n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n .解设第1行的公差为d ，各列公比为q ，则得 a 1k ＝a 11＋(k －1)d ，a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1① a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k 2k .设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ④12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1⑤ ④－⑤得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n .即a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2－n ＋22n .。

高中数学新人教A版必修5习题 2.5 等比数列的前n项和2

等比数列的综合应用A 组基础巩固1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37解析：根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.答案：B2．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( ) A ．14 B ．16 C ．18 D ．20解析：S 4＝1，S 8＝3.∴S 8－S 4＝2，∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16，…，成等比数列，且公比为2， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1·24＝16. 答案：B3．如果一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为96，则此等比数列的项数为( )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：设等比数列为{a n }，其项数为2n ，公比为q ，则a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝96.S 偶＝a 21－q 2n 1－q 2，S 奇＝a 11－q 2n1－q2. 由S 偶＝2S 奇，得a 2＝2a 1＝2.∴q ＝2. 由a n ＋a n ＋1＝96，得2n －1＋2n＝96.∴3·2n －1＝96，即2n －1＝32，∴n ＝6,2n ＝12. 答案：A4．在等比数列中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．81 解析：∵a 1a 15＝a 28， ∴a 58＝243＝35，∴a 8＝3，答案：T 8T 4T 12T 88．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析：∵a 1＝3，a 4＝81，∴3q 3＝81， ∴q ＝3，a n ＝3×3n －1＝3n， ∴b n ＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n n ＋1， ∴S n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n －1b n＋1b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n －1n＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：nn ＋19．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，.a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1.故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时，S 1符合此式．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，当n ＝1时也适合，所以a n ＝4n －1，n ∈N *. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n，所以2T n －T n ＝(4n －1)·2n－＝(4n －5)·2n＋5. 故T n ＝(4n －5)·2n＋5，n ∈N *.B 组能力提升11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3 B.S 5S 3C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则8a 1q ＋a 1q 4＝0，得q ＝－2，∴a 5a 3＝q 2＝4；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；而S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn ，由于n 未知，故无法确定其值．答案：D12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，所以S 5＝1×[1－－25]1－－2＝11.答案：1113．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列．设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14.故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1.即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n.两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13，∴T n ＝19．14．将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如下表．记表中各行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，各行的最后一个数a 1，a 3，a 6，a 10，…构成的数列为{c n }，第n 行所有数的和为s n (n ＝1,2,3,4，…)．已知数列{b n }是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q ，且a 1＝a 13＝1，a 31＝53.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10… … … … … … … …(1)求数列{c n }，{s n }的通项公式； (2)记d n ＝2n －1s n ＋c n ＋2n ＋1s n ＋1(n ∈N *)，求证：d 1＋d 2＋d 3＋…＋d n >4n 3－29. 解析：(1)由题意得b n ＝dn －d ＋1. 前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个数．∵13＝4×52＋3，∴a 13＝b 5×q 2，即(4d ＋1)q 2＝1.又∵31＝7×82＋3，∴a 31＝b 8×q 2，即(7d ＋1)q 2＝53，解得d ＝2，q ＝13，∴b n ＝2n －1，c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2n －13n －1，s n ＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32(2n －1)·3n－13n .(2)证明：d n ＝2n －1s n ＋c n ＋2n ＋1s n ＋1＝2n －1322n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n －13n ＋23n ＋2n ＋1322n ＋1·3n ＋1－13n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n3n ＋1＋3n ＋13n ＋1－1＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋13n ＋1－1－13n ＋1＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－23n－13n ＋1－13n ＋1. 又∵23n－13n ＋1－13n＋1<23n－13n ＋1－33n ＋1＝233n ＋1<23n ＋1，∴d 1＋d 2＋d 3＋…＋d n > 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n ＋1 ＝4n 3－29＋23n ＋2>4n 3－29.。