5三角形的高线

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初中数学三角形中线、高线、角平分线相关知识

初中数学三角形中线、高线、角平分线相关知识XX：__________指导：__________日期：__________如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC 的周长之差为多少？这道题题目比较简单，很容易得出答案是2，具体计算过程今天我不再分享，如果哪位朋友有兴趣的话可以自己在评论区里给出过程也可以。

这道题里面出现了中线，今天我们想一想三角形有多少线，和它们有关的性质、判定以及定理有哪些…三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三角形中线性质定理：1.三角形的三条中线都在三角形内。

2.三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

（这是三角形的角平分线与角平分线的区别）角平分线线定理定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

三角形的高线从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

三角形及其角平分线、中线和高线

三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。

三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。

2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。

角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。

边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。

3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。

典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。

例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。

求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。

例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。

例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。

三角形的高中线和角平分线课件人教版八年级数学上册

第十一章三角形
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
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平分线( B )
A. AD
B. AE
C. AF
D. AC
2. 如图，在△ABC中，BC边上的高为( D )
A. BF
B. CF
C. BD
D. AE
课堂练习
3. 下列说法错误的是（ C ） A．锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线三角形外部 C．直角三角形只有一条高 D．任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动任意画一个三角形并分别画出的高、中线、角平分线
再见
前言
学习目标
1、通过画图与观察的实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线。 2、会画出任意三角形的角平分线、高、中线，通过画图了解三角形三条角平分线、三条中线、三条高交汇于一点。
重点难点
重点：会画出任意三角形的角平分线、高、中线。难点：理解三角形的角平分线、高、中线的概念。
问题还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何画线段的中点，怎样画∠ABC 的角平分线？
A C
请同学将自己准备好的三角形纸片ABC 拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB 与AC重合，得到一条折痕为AD。
B 把三角形纸片展开、铺平，AD一定平分∠BAC吗？

三角形的高、中线、角平分线

(2)什么叫三角形的中线？连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系？
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段，而过两点的直线有着本质的不同，一个代表的是线段，另一个却是直线．
(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系？
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，而角平分线指的是一条射线．
导学
目标
知识与
技能
经历折纸，画图等实践过程理解三角形的高、中线与角平分线．毛
过程与
方法
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图理解三角形的三条高(及所在直线)交于一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一点
情感态度与价值观
培养学生辨别水平
各种三角形高线的画法
三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高交点在直角三角形内，直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点，而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．
2．让学生在练习本上画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线．(假如他们所画的是锐角三角形，接着让他们画出直角三角形和钝角三角形，看看这些三角形的中线在哪里)？观察这三条中线的位置有何关系？
薛坪中学教师引导学生自主学习的预案设计
课题
三角形的高、中线、角平分线
环节
教师活动
预达目标
年级
班级
八年级
学科
数学
导学教师
Yt
课型
新授
探
究
深
化
训
练
为
能
2．仔细观察投影表中的内容，并回答下面问题．
(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别和联系？三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线．

解析三角形的高与中线关系

解析三角形的高与中线关系三角形的高与中线关系是数学中一个经典的话题。

在本文中，我们将对三角形的高和中线进行解析，探讨它们之间的相关性。

一、三角形的基本概念在开始解析三角形的高与中线关系之前，有必要对三角形的基本概念进行回顾。

三角形是由三条边和三个内角组成的图形。

常见的分类方法包括按边长分类（等边三角形、等腰三角形、一般三角形）和按角度分类（钝角三角形、直角三角形、锐角三角形）。

二、三角形的高三角形的高是指从三角形的顶点到底边（也称为基）的垂直距离。

具体来说，我们可以根据三角形的形状来计算高的长度。

对于等腰三角形来说，高是指等腰边的中线，它同时也是高线和中位线；对于一般三角形来说，高是斜边关于底边的垂直线段。

需要注意的是，不同形状的三角形在计算高的过程中可能采用不同的方法。

三、三角形的中线三角形的中线是连接三角形任意两个顶点与对应底边中点的线段。

三角形有三条中线，它们分别被称为顶点A的中线、顶点B的中线和顶点C的中线。

这些中线在三角形的内部相交于一个点，称为三角形的重心。

四、高与中线的关系在解析三角形的高与中线关系时，我们需要研究两个问题：高与中线的长度之间是否存在固定的数值关系；高与中线之间的形状特征是否有联系。

1. 高与中线的长度比较总体来说，三角形的高线较长，中线较短。

具体而言，对于任意给定的三角形，高线的长度大于等于中线的长度，且三角形的垂心（即高线与底边相交的点）到三角形重心的距离是中线的二分之一。

2. 高与中线的形状关系在形状特征方面，高与中线之间存在一定的关联。

具体来说，对于等腰三角形，高线与底边以及两个中线都是同一条线段；对于直角三角形，高线与底边垂直且相等于中线的一半；对于锐角三角形和钝角三角形，高、中线和底边之间没有简单的比例关系，它们的长度和形状取决于具体的三角形。

五、实际应用三角形的高与中线关系不仅仅是数学中的一个概念，它在实际生活中也有重要应用。

例如，在建筑和工程领域，我们经常需要计算三角形的高，以确定材料的使用量和设计合理性。

角平分线、中线、高线

证明三角形的全等或相似
当两个三角形的高线相等时，可以证明两个三角形全等或相似。
解决与三角形相关的问题
在解决与三角形相关的问题时，高线可以作为辅助线，帮助我们找到解决问题的思路和方法。例如，在证明三角形的内角和定理时，可以通过作高线将三角形分为两个直角三角形来证明。
角平分线、中线、高
05
线的综合应用
定义和性质
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的小角，所得到的射线叫做这个角的平分线。
中线
连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
角平分线
02
定义与性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。
学习方法建议
理解定义与性质
首先要理解角平分线、中线、高线的定义和性质，这是掌握这些
知识点的基础。
多做练习题
通过大量的练习，可以加深对知识点的理解和记忆，提高解题的
熟练度和准确性。
结合图形理解
在学习过程中，可以结合图形来理解相关概念和性质，这样更加
应用一
在解决三角形面积问题时，中线可用于将三角形划分为两个等面积的小三角形，从而简化计算。
应用二
在证明三角形全等或相似时，中线可以作为一条重要的辅助线，帮助构建所需的几何关系。
应用三
在解决三角形内部点问题时，中线可用于确定点的位置或性质，如重心、外心等。

解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题
三角形是一种最基本的几何形状，它由三条线段组成，每条线段都有一个角度。

在三角形中，有三个重要的线：高线、中线和角平分线。

高线是三角形中最长的线段，它连接三角形的两个顶点，并且与三角形的底边
垂直。

高线可以用来测量三角形的高度，它可以帮助我们计算三角形的面积。

中线是三角形中的第二长的线段，它连接三角形的两个顶点，并且与三角形的
底边平行。

中线可以用来测量三角形的宽度，它可以帮助我们计算三角形的周长。

角平分线是三角形中的第三条线段，它从三角形的一个顶点出发，穿过三角形
的底边，到达另一个顶点。

角平分线可以用来测量三角形的角度，它可以帮助我们计算三角形的面积。

总之，三角形中的高线、中线和角平分线是三角形中最重要的线段，它们可以
帮助我们计算三角形的面积、周长和角度。

三角形的高线定理

三角形的高线定理三角形的高线定理是数学中一个重要的定理，用于描述三角形中高线的性质以及与三角形边长的关系。

本文将介绍高线的定义、性质以及高线定理的证明和应用。

一、高线的定义和性质在三角形ABC中，假设AD为边BC上的高线，垂足为D。

根据高线定理，我们可以得出以下性质：性质1：三角形的高线相交于一个点。

根据垂直平分线的性质，可以证明三角形的三条高线相交于同一个点，该点被称为三角形的垂心。

垂心在三角形的内部、外部或边上，具体位置要根据三角形形状来确定。

性质2：三角形两边的垂线乘积相等。

设BE和CF是三角形ABC的两条高线，在垂足E和F处，可以得出以下关系：BE×EF=CF×DF。

这个关系在解题中经常会用到。

二、高线定理的证明高线定理可以通过几何证明或使用向量法进行证明。

以下是向量法证明的一个简单示例：设三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

通过向量运算，可以得到边AC和高线BD的方程：AC: (x - x1)/(x3 - x1) = (y - y1)/(y3 - y1) (1)BD: (x - x2)/(x4 - x2) = (y - y2)/(y4 - y2) (2)由于AC⊥BD，所以它们的斜率之积为-1：(kAC)×(kBD) = -1将式(1)和式(2)带入上式，可以得到：[(y3 - y1)/(x3 - x1)] × [(y4 - y2)/(x4 - x2)] = -1化简上式，可以得到：(y3 - y1) × (y4 - y2) + (x3 - x1) × (x4 - x2) = 0这就是高线定理的向量表达形式。

由此可见，高线定理在向量法中得到了简练的表达解释。

三、高线定理的应用高线定理在几何证明中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形的重心、垂心等特殊点的坐标。

三角形的高中线,角平分线的教学设计

三角形的高中线,角平分线的教学设计教学设计：三角形的高中线、角平分线教学目标•熟练掌握三角形高中线、角平分线的概念和性质。

•能够判断给定的三角形中是否存在高、中线、角平分线。

•能够灵活运用高中线、角平分线的性质进行图形推理和证明。

教学内容三角形的高中线•高：从三角形的顶点到与对边垂直的线段。

•中线：连接三角形两个边的中点。

三角形的角平分线•角平分线：从三角形角的顶点到对边上的一点，将角平分为两个相等的角。

教学方法•教师讲解：讲解三角形高中线、角平分线的定义、性质，举例说明，注重概念的把握和性质的理解。

•学生实践：学生在课堂上通过给定的图形进行练习并互相检查。

•学生合作：学生在小组中合作，通过讨论、交流和思考，掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

教学步骤1.导入新知：引入三角形高中线、角平分线的知识，让学生了解学习的目的和意义。

2.概念解释：详细讲解高中线、角平分线的定义和性质，强调掌握概念的准确性。

3.举例说明：通过实例图形讲解高中线、角平分线的应用。

4.学生练习：让学生在课堂上通过给定的三角形进行练习，检查是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

5.学生合作：学生分组进行讨论和交流，探讨高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

6.案例分析：通过实际案例，让学生在掌握高中线、角平分线的基础上，在实际问题中运用所学知识进行解决。

7.总结回顾：简单回顾所学的知识点，对学生学习效果进行评估与归纳。

教学评价1.学生课堂练习：通过教师布置的练习题，检查学生是否理解清楚高中线和角平分线的概念和性质。

2.学生小组合作：通过小组探讨和交流，检查学生是否掌握高中线、角平分线的推理方法和证明技巧。

3.个人评价：通过课后作业，检查学生是否掌握高中线、角平分线的应用技巧。

教学资源•三角形高中线、角平分线的图形•高中数学教材及相关辅导书籍•练习题集•课堂讲授PPT教材参考1.高中数学1 第8章三角形的性质2.高中数学2 第5章平面向量与三角形3.沪教版高中数学第一册第八章三角形的性质下册第五章平面向量与三角形教学设计人：AI助手。

三角形的高、中线与角平分线(课件)

段？你认为有哪些特殊位置？
1.垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说
这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．
故答案为14°．
如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，
30
若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=_____cm．
三角形的
∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对
的边BC于点D，所得线段AD叫做
△ABC的角平分线.
∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2

∴ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC

画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么
发现？
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角
③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ D ）
A．①和② B．①和③
C．②和③
D．只有②正确
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，AC=8，AB=10，BC=6，则CD的
长是（ B ）
48
5
A．
24
5
B．
C．
12
5
28
15
D．
4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于

三角形的中位线和高线

三角形的中位线和高线三角形是一种简单而重要的几何形状，它由三个点和三条线段组成。

在三角形中，有两条特殊的线段，分别是中位线和高线。

本文将探讨三角形中位线和高线的定义、性质和用途。

一、中位线中位线是连接三角形的一个顶点和对立边中点的线段。

对于任意三角形ABC，连接顶点A和BC中点的线段AD就是三角形ABC的中位线。

中位线有以下三个重要性质：1. 三角形的三条中位线交于一点在任意三角形中，连接三个顶点与对立边中点的三条中位线会相交于同一个点，称为三角形的重心。

重心是三角形的一个重要中心，具有平衡作用。

2. 重心将中位线分成比例为2:1的两部分以重心为中心，连接重心和三角形两个顶点的线段分别为中位线的两部分。

这两部分线段的长度比例为2:1，即重心到顶点的距离是重心到对立边中点的距离的两倍。

3. 中位线长度与三角形面积的关系三角形的中位线长度等于对立边的一半。

假设三角形ABC的对立边为a，中位线为AD，则有AD=0.5a。

这个性质可以通过面积比例的原理进行推导。

二、高线高线是从三角形的一个顶点垂直于对立边的线段。

对于任意三角形ABC，从顶点A到对立边BC的垂直线段AE即为三角形ABC的高线。

高线有以下三个重要性质：1. 三角形的三条高线交于一点在任意三角形中，从三个顶点分别作对立边的垂线，这三条垂线会相交于同一个点，称为三角形的垂心。

垂心是三角形的一个特殊点，具有一些独特的几何性质。

2. 垂心到三角形顶点的距离相等垂心到三个顶点的距离相等，即垂心与三个顶点的连线构成一个等腰三角形。

这是高线性质的一个重要推论。

3. 高线长度与三角形面积的关系三角形的高线长度与对立边有关。

假设三角形ABC的对立边为a，高线为AE，则有AE=k*√a，其中k为常数。

这个常数可以通过面积比例的原理进行推导。

三、应用中位线和高线作为三角形的特殊线段，在几何学和应用数学中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：1. 计算三角形的面积利用中位线和高线的长度关系，可以快速计算三角形的面积。

三角形中的角平分线与高线定理

三角形中的角平分线与高线定理三角形是几何学中最基本的图形之一，而角平分线与高线则是三角形中重要的概念与定理。

本文将详细讨论三角形中的角平分线与高线的性质与定理，以及它们在解题中的应用。

一、角平分线与高线的定义与性质1. 角平分线的定义：三角形中，如果从一个顶点引出一条直线，将对角的角分成相等的两部分，那么这条直线就是该角的平分线。

2. 角平分线的性质：a. 角平分线将对边分成相等的两部分。

b. 三角形内的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。

c. 内心与三角形三个顶点的连线分别与对边垂直。

3. 高线的定义：三角形中，从一个顶点到对边上某一点的垂线称为该三角形的高线。

4. 高线的性质：a. 三角形内任意两条高线交于一点，称为三角形的垂心。

b. 垂心与三角形三个顶点的连线分别与对边垂直。

c. 垂心到三角形三边的距离之积等于四个三角形面积的平方。

二、角平分线与高线的定理1. 角平分线定理：三角形的内心到三角形三边的距离之比等于对边的比值。

假设三角形的内心为I，三角形的三个顶点分别为A、B、C，三角形边长为a、b、c，则有以下关系成立：AI/BI = c/b, BI/CI = a/c, CI/AI = b/a2. 高线定理：三角形的垂心到三条边的距离之比等于垂线到边之比值的倒数。

假设三角形的垂心为H，三角形的三个顶点分别为A、B、C，三角形边长为a、b、c，则有以下关系成立：AH/BH = c/b, BH/CH = a/c, CH/AH = b/a三、角平分线与高线定理在解题中的应用1. 判断角平分线：在解题中，如果需要判断一个线段是否为三角形某个角的平分线，可以利用角平分线定理进行计算验证。

2. 求角平分线的长度：已知三角形的边长或角度，可以利用角平分线定理计算角平分线的长度。

3. 判断高线：在解题中，如需判断一个线段是否为三角形某个顶点的高线，可利用高线定理进行计算验证。

4. 求高线的长度：已知三角形的边长或角度，可利用高线定理计算高线的长度。

三角形的中线与高线的性质

三角形的中线与高线的性质三角形是几何学中最基本的一个概念，是由三条边和三个顶点组成的多边形。

在三角形中，有一些特殊的线段，如中线和高线，它们具有一些独特的性质。

本文将针对三角形的中线和高线进行探究，从几何的角度来分析它们的性质。

一、中线的性质中线是连接三角形的两个顶点和另一边中点的线段，对于任意一个三角形，都有三条中线。

下面我们将讨论中线的一些性质。

性质1：三角形中线的长度对于任意一个三角形ABC，连接三角形顶点A和边BC的中点D，我们可以证明：中线AD的长度等于边BC长度的一半。

即AD = 0.5 * BC。

证明：由于D为边BC的中点，所以BD = CD，根据勾股定理，得到BD^2 = AB^2 - AD^2CD^2 = AC^2 - AD^2将上述两式相加，得到BD^2 + CD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AD^2由于BD = CD，代入上式，得到2 * BD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AD^2即2 * BD^2 + 2 * AD^2 = AB^2 + AC^2将AB = BD + AD，AC = CD + AD代入上式，得到2 * (BD^2 + AD^2) + 2 * AD^2 = (BD + AD)^2 + (CD + AD)^2化简得4 * AD^2 + 2 * AD^2 = BD^2 + 2 * BD * AD + AD^2 + CD^2 + 2 * CD * AD + AD^2约掉相同项，得到3 * AD^2 = BD^2 + CD^2由BD = CD，将上式化简得3 * AD^2 = 2 * CD^2即AD^2 = (2/3) * CD^2即AD = sqrt((2/3)) * CD同理可得AB和AC的关系，因此AB = AC = sqrt((2/3)) * CD所以中线AD的长度等于边BC长度的一半。

即AD = 0.5 * BC性质2：三角形中线的交点对于任意一个三角形ABC，它的三条中线AD, BE和CF交于一点G，称为三角形ABC的重心。

三角形高线的求法

三角形高线的求法三角形的高线是指从三角形的一个顶点到对边的垂线，即从一个顶点上的直线段与对边的交点为高线。

求三角形的高线可以通过不同的方法和定理来进行推导和计算。

一、高线定理高线定理是三角形中最基本的定理之一，它说明了在一个三角形中，从顶点向对边的垂线交对边所在的直线段上的一点，那么该直线段的两个端点与三角形的另外两个顶点连成的线段是互相垂直的。

二、高线的性质1. 高线的长度是唯一的，对于同一个三角形，不论从哪个顶点出发，高线的长度都是相同的。

2. 高线与底边的垂线分成的两个小三角形和原三角形相似，且顶角相等。

3. 高线与底边的垂线所分割的两个小三角形的面积之和等于原三角形的面积。

4. 在直角三角形中，斜边对应的高线等于斜边的一半。

三、高线的求法根据高线定理，我们可以使用以下方法求解三角形的高线：1. 几何法：根据高线定理，可以直接在三角形的顶点处作垂线，与对边相交即可得到高线的长度。

这种方法适用于已知三角形的三条边长或已知两个角和一个边长的情况。

2. 向量法：设三角形的顶点为A，底边上的两个点分别为B、C。

设D为高线与底边BC的交点，以向量表示可以得到AD⋅AB=0，即(ADx, ADy)⋅(ABx, ABy)=0，其中(ADx, ADy)和(ABx, ABy)分别表示向量AD和向量AB的坐标。

根据向量的内积计算公式可以得到高线的长度。

3. 三角形面积法：根据高线的性质3，我们可以通过计算三角形的面积来求解高线的长度。

设三角形的底边为a，高线对应的高为h，根据面积计算公式可以得到三角形的面积S=1/2 * a * h。

根据已知条件或其他方法计算出三角形的面积S，再根据已知的底边a计算出高线的长度h。

这种方法适用于已知三角形的底边和面积的情况。

以上是求三角形高线的几种常见方法和相关理论。

通过这些方法和定理，我们可以计算出任意三角形的高线长度，进而应用到实际问题中。

三角形中的中位线与高线

三角形中的中位线与高线三角形是几何学中最基本的形状之一，具有很多有趣的性质和特点。

在三角形中，中位线与高线是两个重要的概念。

它们与三角形的几何特征有着密切的联系，并在解决各种问题和证明中发挥着重要作用。

一、中位线的定义与性质中位线是连接三角形的两个顶点和对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，连接顶点A和对边BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。

中位线有许多重要性质。

首先，三角形的三条中位线会相交于一个点，称为三角形的质心，通常用字母G表示。

质心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个全等的三角形。

其次，中位线将三角形划分成三个面积相等的小三角形。

这是因为中位线的中点是对边中点，所以根据中点划分线的性质，中位线将对边分成相等的两段，也就使得三角形被划分成三个面积相等的小三角形。

最后，中位线的长度等于对边长度的一半。

如果三角形的对边长度为a、b和c，那么它们分别对应的中位线长度分别为a/2、b/2和c/2。

这个性质可以通过中点划分线的性质和中点划分线的长度公式证明得到。

二、高线的定义与性质高线是从三角形的一个顶点到对边上的垂线。

对于任意三角形ABC，从顶点A到对边BC上的垂线就是三角形ABC的高线。

高线同样有很多重要性质。

首先，三角形的三条高线会相交于一个点，称为三角形的垂心，通常用字母H表示。

垂心是三角形的又一个特殊点，它将三角形的每一条边都平分成两段，且每一段的长度与其所对应的边成正比。

其次，高线将三角形划分成三个全等的小三角形。

这是因为高线所构成的垂线将对边垂直分割成两段，且根据高度定理可知，垂线长与其所对应的边成正比，因此对边两侧的三角形与底边为公共边的全等三角形。

最后，三角形的高度等于高线的长度。

如果三角形的底边长度为b，高线的长度为h，则三角形的面积等于底边乘以高度的一半，即1/2bh。

三、中位线与高线的应用中位线和高线在解决各种问题和证明中发挥着重要作用。

首先，根据中位线将三角形划分成六个全等的三角形的性质，可以应用于证明一些三角形的性质和定理。

三角形标注方法

三角形标注方法
1. 标注三角形的边长：在三角形的边上加上箭头，并标明对应的边长，一般用小写字母表示。

2. 标注三角形的角度：在三角形的顶点处加上一个圆弧，并标明对应的角度，一般用大写字母表示。

3. 标注三角形的顶点：在三角形的顶点处写上大写字母，以示区分。

4. 标注三角形的中线：在三角形的边上加上一个线段，并标明对应的中线，一般用小写字母表示。

5. 标注三角形的高线：从三角形的顶点向底边作垂线，并标明对应的高线，一般用小写字母表示。

6. 标注三角形的中点：在三角形的边上加上一个小圆点，并标明对应的中点，一般用小写字母表示。

7. 标注三角形的内角平分线：从三角形的顶点向底边作角平分线，并标明对应的角平分线，一般用小写字母表示。

8. 标注三角形的内切圆：在三角形的内部画一个圆，并标明对应的内切圆，一般用小写字母表示。

9. 标注三角形的外切圆：在三角形的外部画一个圆，并标明对应的外切圆，一般用小写字母表示。

10. 标注三角形的重心：在三角形的重心处加上一个小圆点，并标明对应的重心，一般用大写字母表示。

这些标注方法可以使得三角形的各个要素更加清晰地展示出来，方便观察和计算。

标注的方式也可以根据实际需要进行变化，例如使用不同颜色的线条或标注符号来区分不同的要素。

三角形的高

第1节认识三角形（第4课时）【教学目标】理解三角形的高线的概念； 2 •掌握三角形的高线的性质.【重点、难点】三角形的高线的概念是本节的重点，画钝角三角形的高线是本节的难点. 【教学过程】一、复习回顾1. 过直线外一点画已知直线的垂线”：二、新课学习1. 角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,_ 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. （注意：三角形的高线”是一条线段）.在图4—19中，线段AF是厶ABC的边BC 上的高.AF1BC2. 分别画锐角三角形的三条高（如图1）、直角三角形的三条高（如图2）、钝角三角形的三条高（如图3）.这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.【归纳：】三角形的三条高所在的所在的直线交于一点。

3. 例题讲解【例1】如图所示：在△ ABC中，/ A:Z B:Z C= 3: 4: 5, BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求/ BHC的度数.C【例2】如图所示，AF 、AD 分别是△ ABC 的高和角平分线，且/ B=30°，/ C=70° .（1）求/ CAB 的度数；（2）求/ DAF 的度数.4. 课堂练习1. 如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（）A •锐角三角形B •直角三角形C .钝角三角形D .2. ______________________________________________________在Rt △ ABC 中，CD 是斜边 AB 边上的高，若/ B = 54 °则/ CAD = _____________________________________________________________D , DE 丄BC 于点E ,则下列说法不正确的是（）B . △ BCD 中，DE 是BC 边上的高D . △ ACD 中，AD 是CD 边上的高1 1 4.如图2，计算钝角△ ABC 的面积，李宁认为等于： 2 % BC X AD ;李军认为等于：§x BD X AD ;李新认为等于：1X DC X AD ，你认为 _________ 的表示正确.5. 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AB = 5cm , AC = 4cm , BC = 3cm , AB 边上的高是 ______ c m .6. 在图3中，分别画出三角形的三条高.5. 课堂小结3.如图1, AC 丄BC 于点C , CD 丄AB 于点 A . △ ABC 中，AC 是BC 边上的高 C . △ ABE 中，DE 是BE 边上的高1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和口垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.2. 三角形的三条咼所在的直线交于一点.三、课后作业下列线段有可能在三角形外部的是（） A .三角形的角平分线 B .三角形的中线 C .三角形的高线 D .以上都有可能一张三角形纸片上，只能用折叠法折叠出它的一条高，可以推断，这个三角形纸片是（）A .锐角三角B .直角三角形C .钝角三角形D .直角或钝角三角形如图1，在厶ABC 中，/ BAD = Z CAD ，G 为AD 的中点，延长 BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点, CF 丄AD 于H ，那么下列说法正确的是（ A . AD 是厶ABE 的角平分线 IC . CH ACD 边AD 上的高丨6. 如图4, CD 是厶ABC 的AB 边上高，/ B = Z 1. △ ABC 是直角三角形吗？请说明理由.1. 2. 3. ）B . BE 是厶ABD 边AD 上的中线D . CF ACD 边AD 上的高4. △ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，中，BD 边上的高是线段 _________ ; 三角形一边上的中线把它分为面积5. 如图3, △ ABC 是直角三角形，/ 三角形；再过点 D 作DE 丄AB 于次垂线后，图中共有 AE 是BC 边上的高，如图 2，贝U BD △ ACD 中，CD 边上的高是线段 _____ ___CD ; △ ABD ;由此可知：个直角E ,此时图中共有 ______ 个直角三角形；依次进行下去，当作第 n个直角三角形.图1 C A C答案部分随堂练习1．A2. Z CAD = 36°,/ DCA = 54 3．C4．李宁的表示正确．5．2.4cm6．画图略课后作业1．C2．D3．C4. BD = CD ; AE;AE;相等；5．3；5；（2n＋1）6. △ABC 是直角三角形.。